40. Międzynarodowa Olimpiada Fizyczna Meksyk, lipca 2009 r. ZADANIE TEORETYCZNE 3 DLACZEGO GWIAZDY SĄ TAK DUŻE?

Transkrypt

1 40. Międzynaodowa Olimpiada Fizyzna Mksyk, 1-19 lipa 009. ZADANIE TEORETYCZNE 3 DLACZEGO GWIAZDY SĄ TAK DUŻE? Gwiazdy są kulami goągo gazu. Większość z nih świi poniważ w ih ntalnyh zęśiah zahodzi akja łąznia wodou w hl. W tym zadaniu będzimy używać klasyznj i kwantowj mhaniki, jak ówniż lktostatyki i tmodynamiki aby zozumić, dlazgo gwiazdy muszą być dostatzni duż by zahodziła w nih akja łąznia jąd oaz wyznazymy, jaka musi być masa i pomiń najmnijszj gwiazdy, w któj mogą zahodzić akj łąznia wodou w hl. Rys. 1 Jak większość gwiazd nasz Słoń świi w wyniku tmojądowyh akji zamiany wodou w hl w ntalnj zęśi. WARTOŚCI STAŁYCH FIZYCZNYCH: 11 Stała gawitayjna = G = m 3-1 s 3 Stała Boltzmanna = k = J K Stała Planka = h = m s -1 Masa potonu = Masa lktonu = mp m = = Jdnostka ładunku lktyzngo = q = Pznikalność dilktyzna póżni = ε 0 = C N -1 m - 8 Pomiń = = m RS Masa Słońa = M S = C - 1 -

2 40. Międzynaodowa Olimpiada Fizyzna Mksyk, 1-19 lipa Klasyzn oszaowani tmpatuy w śodku gwiazdy. Załóżmy, ż gaz twoząy gwiazdę zahowuj się jak ałkowii zjonizowany wodó (ówna lizba lktonów i potonów) i ż zahowuj się jak gaz doskonały. Z punktu widznia fizyki klasyznj można agumntować, ż waunkim połąznia się dwóh 15 potonów jst to, ż muszą znalźć się on w odlgłośi 10 m, aby siln jądow oddziaływania pzyiągają zazęły dominować nad odpyhająymi siłami Coulomba. Załóżmy, ż dwa potony, taktowan jak ząstki punktow pouszają się napziw sibi z pędkośiami v ms każdy, vms to piwiastk z śdnigo kwadatu pędkośi potonów w jdnowymiaowym zdzniu ntalnym. 1a 1a. Jaka musi być tmpatua gazu, T, aby odlgłość najbliższgo 15 zbliżnia potonów, d, wynosiła 10 m? Podaj tę i wszystki inn numyzn watośi w tym zadaniu z dokładnośią do dwóh yf znaząyh Tak oszaowana tmpatua ni jst właśiwa Aby stwidzić, zy tak oszaowana tmpatua jst ozsądna, nalży wyznazyć tmpatuę w śodku gwiazdy inną mtodą. Budowa gwiazd jst skomplikowana, al można uzyskać nizł jj zozumini kozystają z pzybliżń. Gwiazdy są w stani ównowagi, to znazy ż ni zapadają się ani ni ozszzają, poniważ pzyiągająa siła gawitaji jst zównoważona pzz odpyhająą siłę pohodząa z óżniy iśniń (patz ys. ). Dla wastwy gazu waunk ównowagi hydodynamiznj wastwy w odlgłośi od śodka gwiazdy jst dany pzz P G M ρ =, gdzi P jst iśninim gazu, G - stałą gawitaji, M - masą zęśi gwiazdy wwnątz sfy o pominiu, a ρ jst gęstośią gazu w wastwi. Rys.. Gwiazdy są w ównowadz hydostatyznj, óżnia iśniń ównoważy gawitaję. - -

3 40. Międzynaodowa Olimpiada Fizyzna Mksyk, 1-19 lipa 009. Oszaowani zędu wilkośi tmpatuy w śodku gwiazdy moż być uzyskan pzz watośi wilkośi fizyznyh w śodku i na powizhni gwiazdy pzy użyiu następująyh pzybliżń: P P o P, gdzi P i P o są iśniniami w śodku i na powizhni gwiazdy. Poniważ P >> P, to możmy założyć ż: W tym samym pzybliżniu: o gdzi R jst pominim gwiazdy oaz P P. R, M M M, R = gdzi M jst ałkowitą masą gwiazdy. Gęstość można pzybliżyć pzz watość w śodku ρ. ρ Można tż założyć, ż iśnini jst taki, jak dla gazu doskonałgo. a Podaj ównani na tmpatuę w śodku gwiazdy, T, w któym występują jdyni masa i pomiń gwiazdy oaz stał fizyzn. Możmy taz użyć następujągo pzwidywania tgo modlu jako kytium jgo popawnośi: b Kozystają z ównania znalziongo w punki a podaj zalżność stosunku M / R dla gwiazdy od tmpatuy T i stałyh fizyznyh. Kozystają z watośi T wyznazonj w punki 1a znajdź numyzną watość stosunku M / R dla gwiazdy. d Obliz stosunk M ( Slon) / R( Slon) i pzkonaj się, ż otzymana watość jst znazni mnijsza od tj wilkośi wyznazonj w punki. 1. Kwantow oszaowani tmpatuy w śodku gwiazdy Duża ozbiżność uzyskana w punki (d) suguj, ż klasyzn oszaowani tmpatuy T uzyskan w (1a) ni jst popawn. Zgodność wyników można uzyskać kozystają z fktów kwantowyh, któ mówią, ż potony zahowują się jak fal i ż pojdynzy poton jst ozmyty na odlgłośi o ozmiaah zędu długośi fali d Bogli a λ p. To oznaza, ż jśli odlgłość najbliższgo zbliżnia d jst zędu λp to potony pzkywają się i mogą się łązyć

4 40. Międzynaodowa Olimpiada Fizyzna Mksyk, 1-19 lipa a λp Zakładają, ż d = jst waunkim umożliwiająym akję 1/ łąznia dla potonów o pędkośi v ms, podaj ównani na T zalżn jdyni z stałyh fizyznyh b Wyznaz numyzną watość T uzyskaną w punki (3a). 3 Użyj watośi T uzyskanj w (3b) do wyznaznia numyznj watośi stosunku M / R dla gwiazdy, skozystaj z zalżnośi uzyskanj w (b). Spawdź, ż ta wilkość jst zbliżona do obswowanj watośi M ( Slon) / R( Slon). Gwiazdy z tak zwango iągu główngo (zużywają wodó) o dużyh masah spłniają w pzybliżniu uzyskaną zalżność w pzypadku dużyh mas.. Stosunk masy do pominia dla gwiazd. Uzyskana właśni zgodność suguj, ż kwantow podjśi do szaowania tmpatuy śodka Słońa jst popawn. 4a Kozystają z uzyskango popzdnio wyniku wykaż, ż dla każdj gwiazdy zużywająj wodó stosunk masy M do pominia M jst stały i zalży jdyni od stałyh fizyznyh. Podaj ównani na stosunk M / R dla gwiazd zużywająyh wodó. 3. Masa i pomiń najmnijszj gwiazdy. Wynik uzyskany w punki 4a suguj, ż masa gwiazdy moż być dowolna pod waunkim, ż zalżność z 4a jst spłniona; to ni jst jdnak pawdą. Gaz wwnątz zwykłj gwiazdy zahowuj się w pzybliżniu jak gaz doskonały. To oznaza, ż d - typowa odlgłość między lktonami jst większa niż λ - ih typowa długość fali d Bogli a. Jśli znajdowałyby się bliżj, utwozyłyby tak zwany zdgnowany gaz i wówzas gwiazda byłaby zupłni inna. Zwóć uwagę na óżni między tym jak opisujmy potony i lktony wwnątz gwiazdy. W pzypadku potonów ih fal d Bogli a powinny się pzkywać pzy zdzniu, o pozwala na akję łąz ni powinny się pzkywać aby pozostały on gazm doskonałym. Gęstość matii wwnątz gwiazdy ośni pzy maljąym pominiu. Mimo to, w pzybliżniu piwszgo zędu załóż, ż gwiazdy mają stałą gęstość. Ponadto moższ użyć waunku m >> m. p 5a Znajdź ównani na n, śdnią lizbę lktonów w jdnost objętośi wwnątz gwiazdy

5 40. Międzynaodowa Olimpiada Fizyzna Mksyk, 1-19 lipa b Znajdź ównani na d, typową odlgłość między lktonami wwnątz gwiazdy. 5 λ Wykozystują waunk d podaj ównani na pomiń 1/ najmnijszj nomalnj gwiazdy. Pzyjmij, ż tmpatua w śodku gwiazdy jst taka, jak w wnętzu typowj gwiazdy d Znajdź numyzną watość pominia najmnijszj nomalnj gwiazdy w mtah oaz w stosunku do pominia Słońa. 5 Wyznaz numyzną watość masy najmnijszj gwiazdy w i w stosunku do masy Słońa. 4. Łązni się jąd hlu w staszyh gwiazdah. Po pwnym zasi gwiazda stazj się, większość wodou w wnętzu zaminia się w hl (H). Rozpozyna się wówzas pos łąznia się hlu w ięższ piwiastki, o tż powadzi do świnia. Jądo hlu ma dwa potony i dwa nutony, ih ładunk jst dwukotni większy a masa w pzybliżniu ztokotni większa od masy potonu. λp Widziliśmy, ż waunkim zahodznia akji łąznia się potonów jst d =. 1/ 6a Zapisz odpowidnik tgo ównania dla jad hlu i znajdź v ms (H) - pędkość ms dla atomów hlu oaz T (H) - tmpatuę konizną do wystąpinia akji łąznia się hlu