Atom. Doświadczenie Geigera-Marsdena

Transkrypt

1 Wykład III Atom Badania zmizając do poznania i zozui stuktuy atomu pzyczyniły się w ogomnj miz do ukształtowania mtod fizyki kwantowj tak doświadczalnj jak i totycznj Opisana tż została i wyjaśniona budowa atomu Doświadczni Giga-Masdna Doświadczni a właściwi cała sia doświadczń wykonanych pzz Hansa Giga i Ensta Masdna pod kiunkim Ensta Ruthfoda w latach pozwoliła poznać stuktuę atomu W doświadczniach tych badano ozpaszani cząstk alfa na cinkich mtalowych foliach Schmat układu kspymntalngo pzdstawia ysunk Cząstki alfa pochodząc z adioaktywngo źódła padają na cinką mtalową folię Większość z nich pzchodzi pzz folię nimal ni ziając kiunku swojgo uchu pozostał natomiast ulgają ozposzniu ich to odchyla się od początkowgo o kąt Waz z wzostm tgo kąta ubywa ozposzonych cząstk lcz występują i taki któ zostają odchylon 0 całkowici do tyłu tj o kąt 180 Rozposzon cząstki alfa jstowan są pzz dtkto czy układ dtktoów otaczających folię Cały układ umiszczony jst w komoz póżniowj aby wyliować oddziaływani cząstk alfa z powitzm 1

2 Wykład III cd Plantany modl atomu Analizując wyniki pomiaów Giga i Masdna Ruthfod doszdł do wniosku ż ozpaszani cząstk alfa faktyczni zachodzi na ciężkich obdazonych dodatnim ładunkim obiktach dużo mnijszych niż sam atomy Tym samym Ruthfod pzdstawił plantany modl atomu w któym lkki ujmni naładowan lktony okążają ciężki naładowan dodatnio jądo Atom jako całość jst lktyczni nutalny gdyż ładunk jąda jst kompnsowany pzz sumę ładunków lktonów Pzkój czynny Ruthfoda Wniosk o istniniu nidużgo lcz ciężkigo naładowango dodatnio jąda atomowgo Ruthfod sfomułował na podstawi analizy ozkładu kąta ozposznia cząstk alfa Pzśldzimy to ozumowani wypowadzając słynną fomułę opisującą kątowy ozkład ozposzonych cząstk W tym clu ozważamy uch naładowanj cząstki alfa w odpychającym polu Coulomba wytwazanym pzz jądo atomow o któym zakładamy ż jst dużo cięższ od cząstki alfa Po piwsz stwidzamy ż uch cząstki alfa odbywa się w płaszczyźni co wynika z zachowania jj momntu pędu w polu siły cntalnj czyli siły działającj wzdłuż postj łączącj źódło siły i obikt na któy ta siła działa Momnt pędu dango punktu matialngo dfiniujmy jako p m gdzi jst wktom położnia punktu p jgo pędm a zachowani momntu pędu dowodzimy postym achunkim d m m F 0 0 Wktoy lżą więc w niziającj się w czasi płaszczyźni postopadłj do wktoa i p Skoo uch cząstki zachodzi w płaszczyźni wygodni jst go opisywać z pomocą współzędnych bigunowych Tajktoię cząstki paamtyzujmy więc odlgłością od cntum ozpaszania i kątm To cząstki pzdstawia ysunk na któym zaznaczono zn ( ) a takż paamt zdznia b kąt odpowiadający imalnj odlgłości cząstki alfa od cntum sił a takż kąt ozposznia któy jak widać na ysunku ówny jst 0

3 Wykład III cd Aby znalźć ozkład kąta ozposznia cząstk alfa jako funkcję paamtu zdznia b ni musimy ozwiązać odpowidnich ównań uchu wystaczy się tylko odwołać do dwóch paw zachowania: momntu pędu i ngii Wilkość momntu pędu cząstki alfa w współzędnych bigunowych znajdujmy jako p p m const p d gdzi jst aksjalną składową pędu to pędkość kątowa Całkowita ngia cząstki ówna jst 1 1 E m( ) V ( ) m const m V ( ) jst ngią potncjalną pzy czym współczynnik wynosi Z1Z gdy jądo o liczbi poządkowj Z 1 oddziałuj z jądm o liczbi poządkowj Z

4 Wykład III cd Z wyażnia na momnt pędu wyliczamy pędkość kątową a z wyażnia na ngię d m d m E m m jako Zakładamy tutaj ż E 0 aby wyażni pod piwiastkim było niujmn Bioąc stosunk tych wilkości otzymujmy A zatm d d ( ) d d m m' E m m d' E m m' ' Nas intsuj kąt odpowiadający imalnj odlgłości cząstki alfa od cntum gdyż okśla on kąt ozposznia Odlgłość znajdujmy jako mijsc zow pochodnj d d m E m co powadzi do ównania kwadatowgo E m 0 któgo ozwiązanim jst wyażni m me 0 m 0 m m me me 4

5 Wykład III cd Intsujący nas kąt znajdujmy więc jako d dx 0 me ( x a) x( x b) m E m m gdzi a m m me m me b me me Poniważ b a 0 więc potzba nam całka wynosi i ostatczni znajdujmy dx 1 a b accos x a) x( x b) ab a b 0 ( cos m 4 m me m v gdzi wyaziliśmy jszcz ngię cząstki pzz początkową pędkość gdy cząstka znajduj się dalko od cntum ozpaszania momnt pędu zaś pzz tę pędkość i paamt zdznia b czyli mv E mvb Kąt ozposznia ówny okśla więc fomuła cos cos sin 4 m v b Zgodni z oczkiwaniami 0 gdy b natomiast dla b 0 Zamiast opować ozkładm kąta ozposznia cząstk któy zalży od intnsywności wiązki cząstk padających na taczę wpowadzimy ważną wilkość zwaną óżniczkowym pzkojm czynnym okśloną jako d dn d u gdzi dn jst liczbą cząstk ozposzonych pod kątm z pzdziału ( d ) jst gęstością wiązki zaś u pędkością cząstk wiązki względm taczy Iloczyn u mówi il cząstk wiązki pada w jdnostc czasu na jdnostkową powizchnię postopadłą do kiunku wiązki Pzkój czynny któy ma wymia powizchni zalży tylko od odziaływania pocisku z taczą ni zaś od waunków kspymntu b v 5

6 Wykład III cd Aby cząstka oddziaływała z jądm a paamt zdznia wynosił musi ona tafić w piściń o powizchni pokazany na ysunku Innymi słowy pzkój czynny na oddziaływani z paamtm zdznia b jst ówny powizchni piścinia i wynosi d bdb A zatm óżniczkowy pzkój czynny znajdujmy jako b bdb d db d b( ) d d Poniważ sin b ctg 4 m v b mv A zatm cos d sin d d mv mv 4 sin sin gdzi wykozystaliśmy tożsamość sin sin cos Zwykl ozważamy ozpaszani w kąt byłowy d sin d co pozwala zapisać słynny wzó na pzkój Ruthfoda w postaci d 1 d mv 4 sin Wypowadzony pzkój czynny ma kilka cikawych własności Ni zalży on od znaku współczynnika co oznacza ż ozkład kąta ozpaszania jst taki sam zaówno dla pzyciągania Coulomba jak i odpychania Ruthfodowski pzkój staj się niskończony gdy kąt dąży do zo Powoduj to ż całkowity pzkój czynny czyli d d jst niskończony st to skutkim niskończongo zasięgu siły Coulomba co spawia ż cząstki oddziaływując nawt z niskończni wilkim paamtm zdznia ulgają ozposzniu tyl ż o niskończni mały kąt W zczywistości gdy paamt zdznia jst większy niż pomiń atomu ładunk jąda jst kanowany więc ozpaszana cząstka już ni oddziałuj z jądm 6

7 Wykład III cd Kłopoty z plantanym modl atomu Wypowadzony pzz Ruthfoda pzkój czynny świtni się zgadzał z wynikami pomiaów Giga i Masdna a jdnak plantany modl atomu ni mógł być popawny i to z dwóch ważnych powodów Elkton okążając jądo atomow pousza się z pzyśpisznim co zgodni z lktodynamiką klasyczną wymusza misję poiowania Elkton więc taci ngię i ostatczni spada na jądo Atomy więc ni byłyby stabiln Atomy mają ozmiay ok natomiast zgodni z plantanym modlm atomy mogą być zupłni dowolnych ozmiaów okślanych jdyni pzz watości ngii i momntu pędu lktonów m Modl Boha atomu wodou W 191 oku Nils Boh zapoponował kwantowy modl atomu któy miał usunąć tudności modlu klasyczngo Boh ozważając najpostszy atom wodou składający się z jąda (twozongo pzz poton o czym w owym czasi ni widziano) i jdngo lktonu pzyjął ż na obici stacjonanj lkton ni poiuj a jgo momnt pędu jst całkowitą wilokotnością h stałj Plancka Siła lktostatyczngo pzyciągania zaś jst ównoważona pzz siłę odśodkową bzwładności Dla uposzcznia ozważań zakładamy dalj ż obita jst okęgim o poiu oaz ż śodk masy pokywa się z położnim potonu co jst uzasadnion gdyż masa lktonu m jst blisko 000 azy mnijsza od masy potonu Momnt pędu pzybia wtdy watości n mv n n 1 v m a waunk ównowagi sił ma postać i powadzi do wyażnia na pomiń obity mv n m 11 Wilkość a B 5 10 m zwana jst poim Boha Zwóćmy m uwagę ż okślon ozmiay atomów wymagają istninia stałj Plancka! Gdyby jj ni było atomy byłyby tak jak obity plant najóżnijszych ozmiaów 7

8 Wykład III cd Engia kintyczna lktonu i potncjalna są dan wzoami T mv m n 4 4 m V n więc ngia całkowita wynosi 4 m R E n T V n 1 n n gdzi m R 4 16 V jst tzw stałą Rydbga Widzimy ż ngia jst skwantowana! Lini spktaln Boh pzyjął ż jśli lkton znajduj się na obici n i pzchodzi na niższą obitę n ( n' n) to wymitowany foton ma ngię: E 1 1 En' En R n n' Częstotliwość (częstość) poiowania wynosi R 1 1 h n n' R 1 1 n' n n' n n n' Widzimy ż częstość poiowania pzybia ściśl okślon watości lini spktaln któ odkyt na pzłomi XIX i XX wiku stanowiły wilką zagadkę Lini twozą si Gdy n 1 a n ' 4 mamy do czyninia z sią Lymana jśli n a n ' 4 5 z sią Balma a kidy n zaś n ' mamy się Paschna Wyjaśnini pochodznia linii spktalnych było największym sukcsm modlu Boha Ni wyjaśnia on natomiast dlaczgo stanm o najniższj ngii ma być tn o n 1 ni zaś n 0 ni wyjaśnia tż stabilności atomu T poblmy można było dopio ozwiązać na gunci mchaniki kwantowj 8

9 Wykład III cd Dygsja Wpowadzani sił bzwładności często budzi kontowsj wato więc pokazać ż ównani ównowagi mv / / można łatwo wypowadzić ni odwołując się do pojęcia sił bzwładności Rozpatując uch pod działanim siły Coulomba po okęgu o ustalonym poiu znajdującym się w płaszczyźni x-y mamy dwa nwtonowski ównania uchu mx my x y znak us wynika z faktu ż siła jst pzyciągająca Wpowadzając współzędn bigunow ( ) współzędn katzjański ówn są i a ównania uchu pzyjmują postać x cos y sin m(cos sin ) cos m(sin cos ) sin cos sin m sin cos m cos sin Mnożąc piwsz ównani pzz a dugi pzz cos i odjmując stonami od piwszgo ównania dugi dostajmy 0 co oznacza ż uch po okęgu odbywa się z stała pędkością kątową sin Mnożąc piwsz ównani pzz stonami dostajmy gdzi zostało uwzględnion ż cos a dugi pzz sin mv m m v i dodając ównania 9