Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego

Transkrypt

1 1 Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego Sinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości przeciwprostokątnej. osinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie do długości przeciwprostokątnej. Tangensem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości drugiej przyprostokątnej. sin α cos α tg α Przykład 1 Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta α w poniższym trójkącie sin α cos α tg α

2 Przykład Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta α w poniższym trójkącie Aby wyznaczyć wartości wszystkich funkcji trygonometrycznych dla kąta ostrego, powinniśmy mieć dane wszystkie boki trójkąta. Tu jednego nam brakuje. Ale w łatwy sposób obliczymy go korzystając z tw. Pitagorasa. jeśli brakujący bok oznaczymy przez x to tw. Pitagorasa da nam równość: x + 6 ( 13) x x 5 36 x 16 x 4 zatem wartości funkcji trygonometrycznych wynosić będą: sin α cos α tg α Gdy znamy wartość tylko jednej funkcji trygonometrycznej kąta ostrego bez problemu (korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych) możemy znaleźć: wartości brakujących funkcji trygonometrycznych (przykład 1 i ), wartości wyrażeń zawierających funkcje trygonometryczne (przykład 3) Przykład 3 Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego α jeśli a) sin α a) b) tg α łść ą"#$ %#żą #$ " # '( ą Skoro sin α, oznacza to, że kąt ostry α musi leżeć naprzeciw łść # '( ą"#$ boku o mierze jednostek, a przeciwprostokątna będzie mieć 3 jednostki (spójrz na trójkąt poniżej)

3 3 Korzystając z tw. Pitagorasa obliczymy ile jednostek ma brakujący bok. + x 3 4+ x 9 x 9 4 x 5 x 5 znając długość brakującego boku możemy już zapisać (korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych), że: cos α tg α Uwaga! W przypadku gdy mamy na wstępie podany cos α postępujemy podobnie. b) łść ą"#$ %#żą #$ " # '( ą Skoro tg α, oznacza to, że kąt ostry α musi leżeć naprzeciw łść '#$ ą"#$ boku o mierze 1 jednostek, a druga przyprostokątna będzie mieć jednostki (spójrz na trójkąt poniżej) Korzystając z tw. Pitagorasa obliczymy ile jednostek ma brakujący bok. 1 + x 1+ 4 x x 5 x 5 znając długość brakującego boku możemy już zapisać (korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych), że: sin α cos α

4 4 Przykład 4 Oblicz wartości wyrażenia 3sin α jeśli dla kąta ostrego α jeśli cos α Postępujemy podobnie jak w przykładzie 1 i łść ą"#$ %#żą #$ ą '# Skoro cos α, oznacza to, że kąt ostry α musi leżeć przy boku o łść # '( ą"#$ mierze 3 jednostek, a przeciwprostokątna będzie mieć jednostki (spójrz na trójkąt poniżej) Korzystając z tw. Pitagorasa obliczymy ile jednostek ma brakujący bok. ( 3) + x 3+ x 4 x 4 3 x 1 x 1 znając długość brakującego boku możemy już zapisać (korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych), że: sin α i obliczyć wartość wyrażenia 3sin α *

5 5 Funkcje trygonometryczne kąta wypukłego Przypomnijmy, że kąt wypukły to kąt o mierze od 0 do 180 o. Taki kąt narysowany został w układzie współrzędnych na poniższym rysunku. Zauważ, że długość odcinka r możemy dzięki twierdzeniu Pitagorasa policzyć ze wzoru: r +, +. wtedy: sin α / 0, cos α 1 0, tg α / 1 Przykład 5 Oblicz sinus, cosinus, tangens kąta wypukłego AOP, gdzie punkt A (1, 0), O (0, 0) oraz P (-6, 1) x - 6, y 1 stąd r ( 6) zatem: sin α / 0 > > cos α 1 0?>?> > > - tg α / 1?> -

6 6 Wartości funkcji trygonometrycznych dla niektórych kątów α 0 o 30 o 45 o 60 o 90 o sin α cos α tg α nie istnieje Przykład 6 Oblicz wartość wyrażenia (sin 60 o + cos 30 o ) + tg 60 o tg 45 o Korzystając z tabeli odczytuję wartości występujących w wyrażeniu funkcji trygonometrycznych (sin 60 o + cos 30 o ) + tg 60 o tg 45 o

7 7 Wzory redukcyjne i związki między funkcjami trygonometrycznymi Jeśli chcielibyśmy obliczać wartości podobnych wyrażeń, ale zawierających większe kąty takie jak 10 o, 135 o, 150 o musimy skorzystać z wzorów redukcyjnych. TABELA ZNAKÓW FUNKJI TRYGONOMETRYZNYH W POSZZEGÓLNYH ĆWIARTKAH I ĆWIARTKA II ĆWIARTKA sin α + + cos α + - tg α + - WZORY REDUKYJNE DLA KĄTA WYPUKŁEGO β, gdzie α (0; 90 o ) β I ĆWIARTKA II ĆWIARTKA 90 O - α 90 O + α 180 O - α sin β cos α cos α sin α cos β sin α - sin α - cos α tg β 1 tg α - - tg α Przykład 7 Wyznacz wartość wyrażenia cos 10 o sin 150 o kąt 10 o o stąd cos 10 o cos (180 o 60 o ) z wzoru redukcyjnego cos (180 o α) - cos α otrzymujemy - cos 60 o odczytujemy z tabeli wartość - kąt 150 o o stąd sin 150 o sin (180 o 30 o ) z wzoru redukcyjnego sin (180 o α) sin α otrzymujemy sin 30 o odczytujemy z tabeli wartość otrzymane wartości podstawiamy do wyrażenia cos 10 o sin 150 o (- ) ( ) 0

8 8 Dla każdego wypukłego kąta α zachodzą zależności: sin α + cos α 1 (jedynka trygonometryczna) tgα DEFG HIDG, α 90o Przykład 8 Wyznacz wartość wyrażenia a) cos 14 o + cos 76 o 3 b) cos o (1 + tg o ) a) Korzystając z wzoru redukcyjnego cos (90 o α) sin α otrzymamy cos 14 o cos (90 o 76 o ) sin 76 o zatem nasze początkowe wyrażenie zmieni postać na: sin 75 o + cos 76 o 3 podkreślone wyrażenie to jedynka trygonometryczna, więc jest równe 1, stąd: b) Wiedząc, że tgα '" nasze wyrażenie zamienimy do postaci: cos o (1 + '"J K ) J K Po wymnożeniu czynnika przed nawiasem przez wyrażenie w nawiasie otrzymamy: cos o +cos o '"J K J K cos o + sin (sin + cos ) 1 Przykład 9 Wiedząc, że α jest kątem ostrym oblicz wartość wyrażenia sin α cos α, jeśli wiadomo, że tgα + Wiedząc, że tgα '" nasze wyrażenie zamienimy do postaci: '" + STUV WKSV '" + '" sprowadzamy lewą stronę równania do wspólnego mianownika, którym będzie sin α cos α '" J + J '" '" '" J X J '" w liczniku ułamka mamy jedynkę trygonometryczną, stąd: (mnożymy na krzyż) '" sin α cos α 3 QRG

9 9 Przykład 10 Uzasadnij, że dla dowolnego kąta ostrego α prawdziwa jest równość DEFG sinα HIDG QRG Lewą stronę równości sprowadzamy do wspólnego mianownika, którym będzie sinα '"J? '"J '" '" '" jedynka trygonometryczna mówi nam, że sin α + cos α 1, jeśli zatem liczbę 1 w liczniku zastąpimy jedynką trygonometryczną to otrzymamy: '"J X J? '" J J '" '" '" L P (równość udowodniona) STUV WKSV