VIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
|
|
- Agnieszka Piasecka
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 VIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa (18 października 01 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Miary α, β, γ kątów pewnego trójkąta spełniają warunek α+β <γ. Wynika z tego, że a) trójkąt ten jest ostrokątny; b) trójkąt ten jest rozwartokątny; c) taki trójkąt nie istnieje. Przekształcimy podaną nierówność równoważnie. Dodając do obu jej stron γ, otrzymujemy α+β +γ < γ. Suma kątów w trójkącie jest równa 180, a zatem 180 < γ. Stąd wniosek, że warunek dany w treści zadania jest równoważny zależności 90 <γ, która oznacza, że trójkąt jest rozwartokątny.. Długość przekątnej pewnego kwadratu jest liczbą niewymierną. Wynika z tego, że a) pole tego kwadratu jest liczbą wymierną; b) długość boku tego kwadratu jest liczbą wymierną; c) obwód tego kwadratu jest liczbą całkowitą. Rozważmy kwadrat, którego przekątna d ma długość 4. Liczba 4 jest liczbą niewymierną. Ponadto pole rozważanego kwadratu jest równe 1 d = i jest to liczba niewymierna. Z kolei długość boku tego kwadratu wynosi 4 8 d = i jest to także liczba niewymierna. Wreszcie obwód tego kwadratu to 4 d = d = 4 8 i ta liczba jest również niewymierna. 1
2 3. Istnieje liczba naturalna o sumie cyfr równej 01, podzielna przez a) 4; b) 5; c) 6. a), b) iech a będzie liczbą, której pierwsze 01 cyfr to 1, a cyfry dziesiątek i jedności są równe 0. Liczba a jest podzielna przez 4, gdyż jej ostatnie dwie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4. Liczba a jest podzielna przez 5, gdyż jej ostatnia cyfra to 0. c) Ponieważ 6 = 3 oraz największy wspólny dzielnik liczb i 3 wynosi 1, więc liczba naturalna jest podzielna przez 6 wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzielna przez i przez 3. Liczba 01 nie jest podzielna przez 3, a zatem na mocy cechy podzielności przez 3, liczba o sumie cyfr równej 01 nie może być podzielna przez 3. ym bardziej więc liczba ta nie może być podzielna przez ierówność x 1 > x a) nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych; b) ma co najmniej jedno rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych; c) ma nieskończenie wiele rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych. Każda liczba x 1 spełnia podaną nierówność. Istotnie: jeśli x 1, to x 1, czyli x 1 0, a zatem wyrażenie x 1 jest określone. Ponadto x 1 0. Wobec tego x 1 0 > 1 x. 5. Dane są takie liczby całkowite a i b, że liczby a+b i a b są podzielne przez 1. Wynika z tego, że obie liczby a i b są podzielne przez a) ; b) 3; c) 4. a), b) Skoro obie liczby a+b i a b są podzielne przez 1, to ich suma oraz różnica mają również tę własność. Stąd wynika, że liczby a i b są podzielne przez 1, a zatem istnieją takie liczby całkowite k i l, że a = 1k oraz b = 1l. Wobec tego a = 6k, b = 6l, więc liczby a i b są podzielne zarówno przez jak i przez 3.
3 c) Przyjmijmy a = 6 oraz b = 6. Wówczas liczby a + b = 1 i a b = 0 są podzielne przez 1. Jednak wtedy żadna z liczb a i b nie jest podzielna przez rójkąt ABC jest podstawą takiego ostrosłupa ABCS, że kąty ASB, BSC, CSA są równe. Wynika z tego, że a) AS = BS = CS; b) AB = BC = CA; c) ostrosłup ABCS jest prawidłowy. Rozważmy czworościan foremny AB C S o krawędzi długości. iech B i C będą odpowiednio środkami krawędzi B S, C S. Przecinając rozpatrywany czworościan płaszczyzną ABC, otrzymujemy ostrosłup ABCS, w którym kąty ASB, BSC, CSA są równe. Ponadto AB = 3, BC = 1, AC = 3 oraz AS =, BS = 1, CS = Dodatnie liczby a i b są całkowite i ich największy wspólny dzielnik jest równy 1. Ponadto liczba a b jest kwadratem liczby całkowitej. Wynika z tego, że a) obie liczby a i b są kwadratami liczb całkowitych; b) największy wspólny dzielnik liczb a oraz a+b jest równy 1; c) liczba a + b jest kwadratem liczby całkowitej. a) Dodatnia liczba całkowita jest kwadratem liczby całkowitej wtedy i tylko wtedy, gdy w jej rozkładzie na czynniki pierwsze każda liczba pierwsza występuje w parzystej potędze. iech liczba pierwsza p będzie dzielnikiem liczby a. Wówczas liczba p jest także dzielnikiem liczby a b. ajwiększy wspólny dzielnik liczb a i b jest równy 1, więc liczba p nie jest dzielnikiem liczby b. Wobec tego liczba p występuje w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby a w takiej samej potędze, jak w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby a b. Jednak w rozkładzie liczby a b na czynniki pierwsze każda liczba pierwsza występuje w parzystej potędze, gdyż liczba a b jest kwadratem liczby całkowitej. b) Oznaczmy przez d największy wspólny dzielnik liczb a oraz a + b. Ponieważ d a oraz d a+b, więc liczba d jest również dzielnikiem różnicy tych liczb równej (a+b) a = b. Wobec tego d a oraz d b, a skoro największy wspólny dzielnik liczb a i b jest równy 1, to wynika stąd, że d = 1. 3
4 c) Przyjmijmy a = 4 oraz b = 9. Liczby a i b spełniają wówczas warunki zadania, ale liczba a+b = 13 nie jest kwadratem liczby całkowitej. 8. Istnieje taki ostrosłup prawidłowy siedmiokątny, którego krawędź boczna jest a) dłuższa od krawędzi podstawy; b) równa krawędzi podstawy; c) krótsza od krawędzi podstawy. Rozważmy ostrosłup prawidłowy siedmiokątny ABCDEF GS o podstawie siedmiokąta foremnego ABCDEF G. Oznaczmy przez O rzut prostokątny wierzchołka S na podstawę ostrosłupa. Wówczas <)AOB =360 /7, a zatem <)AOB <60. Wobec tego w trójkącie równoramiennym ABO bok AO jest dłuższy od podstawy AB. Ponadto, w trójkącie prostokątnym AOS przeciwprostokątna AS jest dłuższa od przyprostokątnej AO. Podsumowując, AS > AO > AB, czyli w dowolnym ostrosłupie prawidłowym siedmiokątnym krawędź boczna jest dłuższa od krawędzi podstawy. 9. Dodatnia liczba całkowita d jest dzielnikiem dodatniej liczby całkowitej a. Liczbę a) 10; b) 13; c) 30. d zwiększono o 30% uzyskując w wyniku liczbę całkowitą będącą dzielnikiem liczby a. Wynika z tego, że liczba a jest podzielna przez a) Zwiększając liczbę d o 30%, uzyskujemy liczbę d d= 10d, która jest całkowita. Oznaczmy tę liczbę przez l. Wówczas 13 10d = l, czyli 13d = 10l, a zatem 10 jest dzielnikiem liczby 13d. Liczby 13 i 10 są względnie pierwsze (tzn. ich największy wspólny dzielnik jest równy 1). Wobec tego 10 jest dzielnikiem liczby d. Ponieważ d jest dzielnikiem liczby a, więc wynika stąd, że 10 jest dzielnikiem liczby a. b) Zwiększając liczbę d o 30%, otrzymujemy liczbę 13 10d, która jest dzielnikiem liczby a. Wobec tego istnieje taka dodatnia liczba całkowita k, że a = 13 10dk. Mnożąc ostatnią zależność stronami przez 10, uzyskujemy 10a = 13dk. Stąd wniosek, że 13 jest dzielnikiem liczby 10a. Ponieważ liczba 13 jest pierwsza, więc jest ona dzielnikiem liczby 10 lub liczby a. Pierwszy z tych przypadków nie jest spełniony. Wobec tego 13 jest dzielnikiem liczby a. 4
5 c) Przyjmijmy a=130 oraz d=10. Zwiększając liczbę d o 30%, otrzymujemy liczbę 13, będącą dzielnikiem liczby 130. Jednocześnie liczba 130 nie jest podzielna przez Dany jest trójkąt ABC, w którym BC = AC. Dwusieczna kąta BAC przecina odcinek BC w punkcie D. Wynika z tego, że kąt ADC jest a) równy 3 <)DAC; b) większy od kąta ACB; c) mniejszy od kąta BAC. a) Półprosta AD jest dwusieczną kąta BAC, skąd wynika, że <)DAB = <)DAC. Ponadto, AC = BC, a zatem <)ABC = <)BAC = <)DAB +<)DAC = <)DAC. Ponieważ kąt ADC jest kątem zewnętrznym trójkąta ABD, więc <)ADC = <)DAB +<)ABC = <)DAC + <)DAC = 3 <)DAC. c) Wykazaliśmy przed chwilą, że <)ADC =3 <)DAC, podczas gdy <)BAC = <)DAC. Wobec tego kąt ADC jest większy od kąta BAC. b) Rozpatrzmy trójkąt ABC, w którym <)ACB = 10, <)CAB = 30 i <)ABC = 30. Wówczas <)DAC = 15, więc <)ADC = 3 15 = 45, a zatem <)ACB > <)ADC. 11. Liczba a) niewymierna; b) całkowita; c) większa od jest Zauważmy, że = (+ 3) (1+ 3) (+ 3) + 1 (1+ 3) (+ 3) (1+ 3) = = = = Sfera wpisana w czworościan ABCD jest styczna do ścian ABC i ABD odpowiednio w punktach K i L. Wynika z tego, że a) AK = AL; b) <)AKB = <)ALB; c) oba punkty K i L są środkami okręgów wpisanych w trójkąty ABC i ABD. 5
6 a) Oznaczmy przez O środek sfery. Wówczas <)OKA = 90 = <)OLA. Wobec tego, na mocy twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy AK = AO OK = AO OL = AL, skąd AK = AL. b) Wykazaliśmy wyżej, że AK =AL. Analogicznie wykazujemy, że BK =BL. rójkąty ABK i ABL mają ponadto wspólny bok AB. Wobec tego trójkąty te są przystające (cecha bok-bok-bok), skąd wynika, że <)AKB = <)ALB. c) Rozpatrzmy taki czworościan ABCD, że trójkąt ABC jest równoboczny, a trójkąt ABD prostokątny równoramienny o kącie prostym przy wierzchołku D. Przypuśćmy, że punkty K i L są środkami okręgów wpisanych w trójkąty ABC i ABD. Wtedy półproste AK i BK są odpowiednio dwusiecznymi kątów BAC i ABC, skąd wniosek, że <)BAK = <)ABK = 30, więc <)AKB = 10. Analogicznie wykazujemy, że <)ALB = 135. A zatem <)AKB <)ALB, wbrew udowodnionej wcześniej równości <)AKB =<)ALB. Z otrzymanej sprzeczności wynika, że oba punkty K i L nie mogą być jednocześnie środkami okręgów wpisanych w trójkąty ABC i ABD. 13. a odcinku długości 1 wybrano trzy różne punkty dzieląc ten odcinek na cztery części. Wynika z tego, że a) długość co najmniej jednej z tych części jest większa od 1/5; b) suma długości pewnych dwóch z tych części jest nie mniejsza od 1/; c) z pewnych trzech części można zbudować trójkąt. Oznaczmy przez a, b, c i d długości czterech części, na które podzielono odcinek. Warunek dany w treści zadania oznacza, że a+b+c+d = 1. a) Przypuśćmy, że a 1 5, b 1 5, c 1 5 oraz d 1 5. Dodając powyższe cztery nierówności stronami, otrzymujemy a+b+c+d 4/5. Z otrzymanej sprzeczności wynika, że długość co najmniej jednej części jest większa od 1/5. b) Przypuśćmy, że a+b < 1, a+c < 1, a+d < 1, b+c < 1, b+d < 1 oraz c+d < 1. Dodając powyższe nierówności stronami, uzyskujemy 3a+3b+3c+3d < 6, czyli a+b+c+d < 1. 6
7 Otrzymaliśmy sprzeczność, z której wynika, że suma długości pewnych dwóch części jest nie mniejsza od 1/. c) Przyjmijmy a=1/10, b=1/10, c=3/10, d=5/10. Wtedy a+b+c+d=1, lecz żadne trzy spośród tych czterech długości nie spełniają nierówności trójkąta. 14. Dane są takie liczby a, b, że a>b oraz liczby a(b+1) i b(a+1) są wymierne. Wynika z tego, że a) liczba a b jest wymierna; b) liczba ab jest wymierna; c) obie liczby a i b są wymierne. a) Liczby a(b+1) i b(a+1) są wymierne, a zatem ich różnica a(b+1) b(a+1) = ab+a ab b = a b również jest liczbą wymierną. b), c) Przyjmijmy a = oraz b = 1. Wówczas a > b, a ponadto liczby a(b +1) oraz b(a+1) są wymierne, gdyż a(b+1) = ( 1+1) =, b(a+1) = ( 1) ( +1) = 1 = 1. Jednak wtedy liczby a i b oraz liczba ab = ( 1) = nie są wymierne. 15. W czworościanie ABCD kąty ABC i BCD są proste. Wynika z tego, że a) AD BC; b) kąt CDA jest prosty; c) AB +BD = AC +CD. a) Przez punkty B i C poprowadźmy odpowiednio płaszczyzny k i l prostopadłe do prostej BC. Wówczas płaszczyzny te są równoległe, a odległość między nimi jest równa długości odcinka BC. Ponadto punkt A należy do płaszczyzny k, a punkt D do płaszczyzny l. Stąd AD BC. b) Rozpatrzmy trójkąt prostokątny ABC o kącie prostym przy wierzchołku B. Przez punkt C poprowadźmy prostą prostopadłą do płaszczyzny ABC i wybierzmy na niej 7
8 punkt D, różny od punktu C. Wówczas czworościan ABCD spełnia warunki zadania. Zauważmy jednak, że w trójkącie ACD kąt ACD jest prosty, a zatem kąt CDA jest mniejszy od 90. c) Ponieważ trójkąt ABC jest prostokątny, więc na mocy twierdzenia Pitagorasa AB +BC = AC, a zatem BC = AC AB. Podobnie, na mocy twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego BCD, otrzymujemy BC +CD = BD, więc BC = BD CD. Wobec tego AC AB = BD CD, skąd wniosek, że AB +BD = AC +CD. 8
IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (3 października 2013 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba 3 9 3 27 jest a) niewymierna; b) równa 3 27;
VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o
VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (29 września 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Istnieje taki graniastosłup, którego liczba krawędzi
X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (27 listopada 2014 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Istnieje ostrosłup, który ma dokładnie 15 14 a) wierzchołków;
XIII Olimpiada Matematyczna Juniorów
XIII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część testowa (8 września 017 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. W każdym z trzech lat 018, 019 i 00 pensja pana Antoniego będzie o 5% większa
XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (24 września 2015 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Dane są takie dodatnie liczby a i b, że 30% liczby a
XIV Olimpiada Matematyczna Juniorów
XIV Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część testowa (27 września 2018 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. W sklepie U Bronka cena spodni była równa cenie sukienki. Cenę spodni najpierw
XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2016 r. 17 października 2016 r.)
XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna ( września 06 r. 7 października 06 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych. Liczby wymierne a, b, c spełniają równanie
Treści zadań Obozu Naukowego OMJ
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ JUNIORÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMJ Poziom OM 2017 rok SZCZYRK 2017 Olimpiada Matematyczna Juniorów jest wspó³finansowana
Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.
Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 017/018 19 grudnia 017 1 1 Klasy pierwsze - poziom podstawowy 1. Dane są zbiory
Zadania, które zaproponowałem na różne konkursy Olimpiada Matematyczna. bc(b 3 + c 3 ) + c4 + a 4. ca(c 3 + a 3 ) 1. c + ca + cab 1 ( 1
Zadania, które zaproponowałem na różne konkursy Olimpiada Matematyczna. (57-II-3) Liczby dodatnie a, b, c spełniają warunek ab + bc + ca = abc. Dowieść, że a 4 + b 4 ab(a 3 + b 3 ) + b4 + c 4 bc(b 3 +
LX Olimpiada Matematyczna
LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1
XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
www.omg.edu.pl I Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2015 r. 12 października 2015 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych 1. Wykaż, że istnieje
Treści zadań Obozu Naukowego OMG
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OMG 2016 rok SZCZYRK 2016 Pierwsze zawody indywidualne Treści
V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej
V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej Rozwiązania - klasy drugie 1. Znaleźć wszystkie pary liczb całkowitych (x, y) spełniające nierówności x + 1 + y 4 x + y 4 5 x 4 + y 1 > 4. Ważne jest zauważenie,
Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne
Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Na pytania odpowiada się tak lub nie poprzez wpisanie odpowiednio T bądź N w pole obok pytania. W danym trzypytaniowym zestawie możliwa jest dowolna kombinacja
Treści zadań Obozu Naukowego OMG
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OM 2015 rok SZCZYRK 2015 Pierwsze zawody indywidualne Treści
XV Olimpiada Matematyczna Juniorów
XV Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część testowa (26 września 209 r.) Rozwiązania zadań testowych. odatnia liczba a jest mniejsza od. Wynika z tego, że a) a 2 > a; b) a > a; c)
XII Olimpiada Matematyczna Juniorów
XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część testowa (29 września 2016 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. odatnia liczba a powiększona o 50% jest równa dodatniej liczbie b pomniejszonej
2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia.
1. Wykaż, że liczba 2 2 jest odwrotnością liczby 1 2. 2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia. 3. Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej
Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 11 Zadania planimetria
1 TEST WSTĘPNY 1. (1p) Wysokość rombu o boku długości 6 i kącie ostrym 60 o jest równa: A. 6 3 B. 6 C. 3 3 D. 3 2. (1p) W trójkącie równoramiennym długość ramienia wynosi 10 a podstawa 16. Wysokość opuszczona
LXV Olimpiada Matematyczna
LXV Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 8 kwietnia 2014 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Dane są względnie pierwsze liczby całkowite k,n 1. Na tablicy
LVII Olimpiada Matematyczna
Zadanie 1. LVII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 5 kwietnia 2006 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych a, b, c, d, e układ równań
Planimetria VII. Wymagania egzaminacyjne:
Wymagania egzaminacyjne: a) korzysta ze związków między kątem środkowym, kątem wpisanym i kątem między styczną a cięciwą okręgu, b) wykorzystuje własności figur podobnych w zadaniach, w tym umieszczonych
Trójkąty jako figury geometryczne płaskie i ich najważniejsze elementy
Artykuł pobrano ze strony eioba.pl Trójkąty jako figury geometryczne płaskie i ich najważniejsze elementy Trójkąt jest wielokątem o trzech bokach Suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa 180. +
9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie
9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinusów, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym, okrąg wpisany i opisany na wielokącie, wielokąty foremne (c.d).
Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie
Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie Zadanie 1. Na bokach trójkąta równobocznego ABC tak wybrano punkty E, F oraz D, że AE = BF = CD = 1 AB (rysunek obok). a) Udowodnij, że trójkąt EFD jest
Planimetria Uczeń: a) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym, b) korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów
Planimetria Uczeń: a) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym, b) korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów stycznych, c) rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje
Matematyka podstawowa VII Planimetria Teoria
Matematyka podstawowa VII Planimetria Teoria 1. Rodzaje kątów: a) Kąty wierzchołkowe; tworzą je dwie przecinające się proste, mają takie same miary. b) Kąty przyległe; mają wspólne jedno ramię, ich suma
LVIII Olimpiada Matematyczna
LVIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 18 kwietnia 2007 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. W trójkącie ostrokątnym A punkt O jest środkiem okręgu opisanego,
X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
www.omg.edu.pl X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (10 listopada 01 r. 15 grudnia 01 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych 1. nia rozmieniła banknot
LXIII Olimpiada Matematyczna
1 Zadanie 1. LXIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 17 lutego 2012 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych a, b, c, d układ równań a
Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej.
C Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej. Zad. 1 Oblicz pole trójkąta o bokach 13 cm, 14 cm, 15cm. Zad. 2 W trójkącie ABC rys. 1 kąty
XIV Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2018 r. 15 października 2018 r.)
XIV Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna ( września 0 r. października 0 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych. Liczbę naturalną n pomnożono przez, otrzymując
Bukiety matematyczne dla gimnazjum
Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 5 IX rok 2003/2004 Bukiet 1 1. W trójkącie ABC prosta równoległa do boku AB przecina boki AC i BC odpowiednio w punktach D i E. Zauważ,
Elżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab. Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki
Elżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki Zadanie Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym. Z punktu M, należącego
MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1
Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ JUNIORÓW SZCZYRK 2017
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ JUNIORÓW Obóz Naukowy OMJ Poziom OMJ 207 rok SZCZYRK 207 Olimpiada Matematyczna Juniorów jest wspó³finansowana ze œrodków
KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie
KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM ETAP I TEST II Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie 1. A. Stosunek pola koła wpisanego w kwadrat o boku długości 6 do pola koła opisanego na tym kwadracie
XXV Rozkosze Łamania Głowy konkurs matematyczny dla klas I i III szkół ponadgimnazjalnych. zestaw A klasa I
XXV Rozkosze Łamania Głowy konkurs matematyczny dla klas I i III szkół ponadgimnazjalnych zestaw A klasa I 1. Zbiór wszystkich środków okręgów (leżących na jednej płaszczyźnie) przechodzących przez: a)
Internetowe Kółko Matematyczne 2003/2004
Internetowe Kółko Matematyczne 2003/2004 http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ Zadania dla gimnazjum Zestaw I (12 IX) Zadanie 1. Znajdź cyfry A, B, C, spełniające równość: a) AB A = BCB, b) AB A = CCB. Zadanie
V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny
V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny im. Stefana Banacha dla uczniów szkół średnich Zespół Szkół Nr 1 im. Adama Mickiewicza w Lublińcu 42-700 Lubliniec, ul. Sobieskiego 22 18. kwiecień 2011 rok 1. W trapezie
Metoda siatek zadania
Metoda siatek zadania 1. (Leningrad 1984) Wykazać, że jeżeli suma kątów płaskich przy wierzchołku S ostrosłupa SA 1 A 2... A n (n 3) jest większa niż 180, to każda z krawędzi bocznych jest mniejsza od
Zadanie PP-GP-1 Punkty A, B, C, D i E leżą na okręgu (zob. rysunek). Wiadomo, że DBE = 10
Zadanie PP-GP-1 Punkty A, B, C, D i E leżą na okręgu (zob. rysunek). Wiadomo, że DBE = 10, ACE = 60, ADB = 40 i BEC = 20. Oblicz miarę kąta CAD. B C A D E Typ szkoły: LO LP T Czy jesteś w klasie z rozszerzonym
Wersja testu A 25 września 2011
1. Czy istnieje liczba całkowita dodatnia o sumie cyfr równej 399, podzielna przez a) 3 ; b) 5 ; c) 6 ; d) 9? 2. Czy równość (a+b) 5 = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 jest prawdziwa dla a) a = 8/7, b = 1/7 ; b)
Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r.
Waldemar ompe echy przystawania trójkątów 1. unkt leży na przekątnej kwadratu (rys. 1). unkty i R są rzutami prostokątnymi punktu odpowiednio na proste i. Wykazać, że = R. R 2. any jest trójkąt ostrokątny,
9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie
9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinusów, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym, okrąg wpisany i opisany na wielokącie, wielokąty foremne (c.d).
Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2014/15
Kolokwium nr 3: 27.01.2015 (wtorek), godz. 8:15-10:00 (materiał zad. 1-309) Kolokwium nr 4: 3.02.2015 (wtorek), godz. 8:15-10:00 (materiał zad. 1-309) Ćwiczenia 13,15,20,22.01.2015 (wtorki, czwartki) 266.
LVIII Olimpiada Matematyczna
LVIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 23 lutego 2007 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie. Wielomian P (x) ma współczynniki całkowite. Udowodnić, że jeżeli
A. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla
Zadanie 1 Liczba jest równa A. B. C. 10 D. Odpowiedź B. Zadanie 2 Liczba jest równa A. 3 B. 2 C. D. Odpowiedź D. Zadanie 3. Liczba jest równa Odpowiedź D. Zadanie 4. Liczba osobników pewnego zagrożonego
ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI
ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zad. 1 (2 pkt) Rozwiąż równanie Zad.2 (2 pkt) 2 3x 1 = 1 2x 2 Rozwiąż układ równań x +3y =5 2x y = 3 Zad.3 (2 pkt) 2 Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0 Zad.4 (2 pkt) 3 2
KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy
KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Matematyka Poziom podstawowy Marzec 09 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź. D 8 9 8 7. D. C 9 8 9 8 8 9 8 9 8 ( 89 )
EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 4 CZERWCA Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę Instrukcja dla zdającego EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
NOWA FORMUŁA EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MMA 2019 UZUPEŁNIA ZDAJĄCY. miejsce na naklejkę UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2019 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 4 czerwca 2019
Klasa 3. Trójkąty. 1. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne p i q oraz przeciwprostokątną r. Z twierdzenia Pitagorasa wynika równość:
Klasa 3. Trójkąty. 1. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne p i q oraz przeciwprostokątną r. Z twierdzenia Pitagorasa wynika równość: A. r 2 + q 2 = p 2 B. p 2 + r 2 = q 2 C. p 2 + q 2 = r 2 D. p + q
Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów. rok szkolny 2016/2017. Etap III etap wojewódzki- klucz odpowiedzi
Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów rok szkolny 2016/2017 Etap III etap wojewódzki- klucz odpowiedzi W kluczu przedstawiono przykładowe rozwiązania oraz prawidłowe odpowiedzi. Za każdą
MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYCH. Lata Poziom podstawowy. Uzupełnienie Zadania z sesji poprawkowej z sierpnia 2019 r.
MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYH Lata 010 019 Poziom podstawowy Uzupełnienie 019 Zadania z sesji poprawkowej z sierpnia 019 r. Opracował Ryszard Pagacz Spis treści Zadania maturalne.........................................................
Inwersja w przestrzeni i rzut stereograficzny zadania
Inwersja w przestrzeni i rzut stereograficzny zadania Rozważmy sferę S o środku O i promieniu R. Inwersją względem sfery S nazywamy przekształcenie, które przekształca punkt A na punkt A leżący na półprostej
GEOMETRIA ELEMENTARNA
Bardo, 7 11 XII A. D. 2016 I Uniwersytecki Obóz Olimpiady Matematycznej GEOMETRIA ELEMENTARNA materiały przygotował Antoni Kamiński na podstawie zbiorów zadań: Przygotowanie do olimpiad matematycznych
KURS MATURA PODSTAWOWA Część 2
KURS MATURA PODSTAWOWA Część 2 LEKCJA 7 Planimetria ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Kąt na poniższym rysunku ma miarę:
NOWA FORMUŁA EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MMA 2019 UZUPEŁNIA ZDAJĄCY. miejsce na naklejkę UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2019 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 20 sierpnia
Internetowe Kółko Matematyczne 2003/2004
Internetowe Kółko Matematyczne 003/004 http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ Zadania dla szkoły średniej Zestaw I (5 IX) Zadanie 1. Które liczby całkowite można przedstawić w postaci różnicy kwadratów dwóch
VII POWIATOWY KONKURS MATEMATYCZNY SZKÓŁ GIMNAZJALNYCH W POGONI ZA INDEKSEM ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI. rok szkolny 2016/2017
1. 30. Tak 3. ----- 4. Równanie nie ma rozwiązania. Lewa strona nie równa się prawej dla żadnej pary liczb, y ponieważ prawa strona jest nieparzysta a prawa parzysta. Należy wykazać parzystości stron równania
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 2015/16) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 05/6) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum (osiągnięcia ucznia w zakresie podstawowym) I. Liczby rzeczywiste. Język
Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e
Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 2 szkice rozwiązań zadań 1. Dana jest taka liczba rzeczywista, której rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone
ETAP REJONOWY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM W ROKU SZKOLNYM 2018/
WOJEWÓDZKIE KONKURSY RZEDMIOTOWE 08/09 GIMNAZJUM WOJEWÓDZKI KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM W ROKU SZKOLNYM 08/09 Schemat punktowania zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź uczeń otrzymuje
LXI Olimpiada Matematyczna
1 Zadanie 1. LXI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 21 kwietnia 2010 r. (pierwszy dzień zawodów) Dana jest liczba całkowita n > 1 i zbiór S {0,1,2,...,n 1}
Pytania do spr / Własności figur (płaskich i przestrzennych) (waga: 0,5 lub 0,3)
Pytania zamknięte / TEST : Wybierz 1 odp prawidłową. 1. Punkt: A) jest aksjomatem in. pewnikiem; B) nie jest aksjomatem, bo można go zdefiniować. 2. Prosta: A) to zbiór punktów; B) to zbiór punktów współliniowych.
MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH. Twierdzenie Pitagorasa inaczej cz. 2
Renata Nowak MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH Twierdzenie Pitagorasa inaczej cz. 2 Wróćmy do twierdzenia Pitagorasa, które dobrze znamy. Mówi ono o związkach między bokami w trójkącie prostokątnym. Może w jego
MAŁOPOLSKI KONKURS MATEMATYCZNY dla gimnazjalistów Rok szkolny 2010 / 2011 ETAP SZKOLNY - 7 października 2010 roku
Kod ucznia... MAŁOPOLSKI KONKURS MATEMATYCZNY dla gimnazjalistów Rok szkolny 200 / 20 ETAP SZKOLNY - 7 października 200 roku. Przed Tobą zestaw 20 zadań konkursowych. 2. Na ich rozwiązanie masz 90 minut.
Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2011/12
168. Uporządkować podane liczby w kolejności niemalejącej. sin50, cos80, sin170, cos200, sin250, cos280. 169. Naszkicować wykres funkcji f zdefiniowanej wzorem a) f(x) = sin2x b) f(x) = cos3x c) f(x) =
STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH
STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI 2 proste
Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI - MODUŁ 11 Teoria planimetria
1 Pomimo, że ten dział, to typowa geometria wydawałoby się trudny dział to paradoksalnie troszkę tu odpoczniemy, jeśli chodzi o teorię. Dlaczego? Otóż jak zapewne doskonale wiesz, na maturze otrzymasz
Obozowa liga zadaniowa (seria I wskazówki)
Obozowa liga zadaniowa (seria I wskazówki) 1. Rozstrzygnij, która liczba jest większa: 9 czy 3 1? 9 < 30 8 10 < 9 10 3 0 < 3 1.. Rozstrzygnij, która liczba jest większa: 81 czy 3 49? 81 > 80 56 10 > 43
II Powiatowy Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjum organizowany przez II LO im. Marii Skłodowskiej-Curie w Końskich
II Powiatowy Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjum organizowany przez II LO im. Marii Skłodowskiej-Curie w Końskich Rozwiązania zadań konkursowych 14 czerwca 2013 r. Zadanie 1. Rozłóż na czynniki
Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów
Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Liga zadaniowa 202/203 Seria VI (grudzień 202) rozwiązania zadań 26. Udowodnij, że istnieje 0 00 kolejnych liczb całkowitych dodatnich nie większych
Stereo. (a miejscami nawet surround) 30 stycznia 2014
Stereo (a miejscami nawet surround) 30 stycznia 2014 To kółko wiele zawdzięcza niezrównanym artykułom Michała Kiezy z Kącika Przestrzennego Delty. Oprócz tego zadania pochodzą z OMów oraz prezentacji Adama
Treści zadań Obozu Naukowego OMG
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OMG 2015 rok SZCZYRK 2015 Treści zadań Pierwsze zawody indywidualne
Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o wymiarach 5 x 3 x 4 jest równe A. 94 B. 60 C. 47 D. 20
STEREOMETRIA - ZADANIA MATURALNE lata 2010-2017 Zadanie 1. (0-1) Maj 2010 [I. Wykorzystanie i tworzenie informacji] Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o wymiarach 5 x x 4 jest równe A. 94 B.
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
MARZEC ROK 017 PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 4 strony (zadania 1 34). Ewentualny brak
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 04/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-R CZERWIEC 0 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad. 3
PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1
PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia
Podstawowe pojęcia geometryczne
PLANIMETRIA Podstawowe pojęcia geometryczne Geometria (słowo to pochodzi z języka greckiego i oznacza mierzenie ziemi) jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych
a 2019 a = 2018 Kryteria oceniania = a
Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów szkół podstawowych od klas IV województwa pomorskiego, rok szkolny 2018/2019 Etap III - wojewódzki W kluczu przedstawiono przykładowe rozwiązania oraz prawidłowe
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
MARZEC ROK 08 PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 70 minut Instrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 4 stron (zadania 34). Ewentualny brak zgłoś
Zadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska
Egzamin Gimnazjalny Zadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska W nauczaniu matematyki ważne jest rozwijanie różnych aktywności umysłu. Ma temu służyć min. rozwiązywanie jednego zadania czy dowodzenie
UZUPEŁNIA ZDAJĄCY miejsce na naklejkę
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2017 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 22 sierpnia
Matematyka rozszerzona matura 2017
Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem
TABELA ODPOWIEDZI. kod ucznia
MAŁOPOLSKI KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów dotychczasowych gimnazjów i klas dotychczasowych gimnazjów prowadzonych w szkołach innego typu województwa małopolskiego Rok szkolny 018/019 ETAP SZKOLNY 5 października
Przykładowe rozwiązania
Przykładowe rozwiązania (E. Ludwikowska, M. Zygora, M. Walkowiak) Zadanie 1. Rozwiąż równanie: w przedziale. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Uwzględniając, że x otrzymujemy lub lub lub. Zadanie. Dany jest czworokąt
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 25 MARCA 2017 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Najmniejsza liczba całkowita
Bank zadań na egzamin pisemny (wymagania podstawowe; na ocenę dopuszczającą i dostateczną)
Bank zadań na egzamin pisemny (wymagania podstawowe; na ocenę dopuszczającą i dostateczną) Zadania zamknięte (jedna poprawna odpowiedź) 1 punkt Wyrażenia algebraiczne Zadanie 1. Wartość wyrażenia 3 x 3x
XXXVIII Regionalny Konkurs Rozkosze łamania Głowy
XXXVIII Regionalny Konkurs Rozkosze łamania Głowy klasy I i II szkół ponadgimnazjalnych 1. Liczba 2015 2017 + 2 2015 2016 + 2015 2015 jest podzielna przez: A. 2017 B. 2016 C. 2015 2. Układ równań 8 >
Zadanie 2. ( 4p ) Czworokąt ABCD ma kąty proste przy wierzchołkach B i D. Ponadto AB = BC i BH = 1.
Zadanie 1. ( p ) Dodatnia liczba naturalna n ma tylko dwa dzielniki naturalne, podczas gdy liczba n + 1 ma trzy dzielniki naturalne. Liczba naturalna n + ma. dzielniki naturalne. Liczna n jest równa..
1.2. Ostrosłupy. W tym temacie dowiesz się: jak obliczać długości odcinków zawartych w ostrosłupach, jakie są charakterystyczne kąty w ostrosłupach.
12 Ostrosłupy W tym temacie dowiesz się: jak obliczać długości odcinków zawartych w ostrosłupach, jakie są charakterystyczne kąty w ostrosłupach Ostrosłup prosty to ostrosłup, który ma wszystkie krawędzie
7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA
7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA ZADANIA ZAMKNIĘTE 1. Okrąg o równaniu : A) nie przecina osi, B) nie przecina osi, C) przechodzi przez początek układu współrzędnych, D) przechodzi przez punkt. 2. Stosunek
Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych
Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A D B B C D C C D D A B D B B A C B C A Zadanie. (0-) Rozwiąż nierówność
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 1 KWIETNIA 017 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Suma sześciu kolejnych