Planimetria Uczeń: a) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym, b) korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów

Transkrypt

1 Planimetria Uczeń: a) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym, b) korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów stycznych, c) rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje (także w kontekstach praktycznych) cechy podobieństwa trójkątów, d) korzysta z własności funkcji trygonometrycznych w łatwych obliczeniach geometrycznych, w tym ze wzoru na pole trójkąta ostrokątnego o danych dwóch bokach i kącie między nimi

2

3 b

4 18b

5

6

7

8

9

10 Udowodnij, że punkt styczności okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny z przeciwprostokątną dzieli tę przeciwprostokątną na odcinki, których iloczyn jest równy polu tego trójkąta

11

12

13

14 V

15 VI

16

17 Średnice AB i CD okręgu o środku S przecinają się pod kątem 50 0 (tak jak na rysunku). Miara kąta jest równa A B C D Punkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym ABC. Kąt ACS jest trzy razy większy od kąta BAS, a kąt CBS jest dwa razy większy od kąta BAS. Oblicz kąty trójkąta ABC Z prostokąta ABCD o obwodzie 30 wycięto trójkąt równoboczny AOD o obwodzie 15 (tak jak a rysunku). Obwód zacieniowanej figury jest równy 17

18 A. 25 B. 30 C. 35 D Punkt O jest środkiem okręgu o średnicy AB (tak jak na rysunku). Kąt ma miarę A B C D Najdłuższa przekątna sześciokąta foremnego ma długość 8. Wówczas pole koła opisanego na tym sześciokącie jest równe A. 4 B. 8 C. 16 D Pole równoległoboku o bokach długości 4 i 12 oraz kącie ostrym 30 0 jest równe A. 24 B. 12 C. 12 D Nowa formuła 1. 18

19

20 8. 9. Miara kąta wpisanego w okrąg jest o 20 mniejsza od miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Wynika stąd, że miara kąta wpisanego jest równa A. 5 B. 10 C. 20 D Pole rombu o obwodzie 8 jest równe 1. Kąt ostry tego rombu ma miarę α. Wtedy A. 14 <α <15 B. 29 <α < 30 C. 60 <α < 61 D. 75 <α < Zadania CKE Zadanie 71. Punkty A, B, C, D, E są położone w tej kolejności na okręgu o środku O (zobacz rysunek). Odcinki są średnicami tego okręgu oraz BEC 60. Oblicz miarę kąta CBD. BD i AC 20

21 Zadanie 72. Punkty A, B, C, D są położone w tej kolejności na okręgu o środku O (zobacz rysunek). Odcinek średnicą tego okręgu i BAC, CBD. Wykaż, że 90. DB jest Zadanie 73. Parami różne punkty A, B, C, D, E leżą na okręgu. Odcinki DE i AC są równoległe, zaś odcinek BD jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek). Wykaż, że prosta BE zawiera wysokość trójkąta ABC opuszczoną na bok AC. Zadanie 74. Końce odcinka AB o długości 9 są środkami okręgów o promieniach 6 i 4 (zobacz rysunek). 21

22 Punkt C leży na odcinku AB i jest środkiem takiego okręgu, o promieniu większym od 6, że dwa dane okręgi są do niego wewnętrznie styczne. Promień okręgu o środku C ma długość A. 6,5 B. 7,5 C. 8,5 D. 9,5 Zadanie 75. Dwa okręgi o promieniach r i R są styczne zewnętrznie i są styczne do wspólnej prostej w punktach A i B (zobacz rysunek). Oblicz wartość iloczynu rr, jeżeli wiadomo, że odcinek AB ma długość 5. A B Zadanie 76. Dane są dwa okręgi styczne wewnętrznie: okrąg o środku S i promieniu równym 6 oraz okrąg O o środku T i promieniu długości 2. Z punktu S poprowadzono półproste styczne do okręgu L. Oblicz pole czworokąta SKTL. Zadanie 77. O1 2 O 2 w punktach K i Pole trójkąta ABC równe jest S. Każdy bok trójkąta podzielono w stosunku x : y : x, gdzie x i y są pewnymi liczbami dodatnimi. Wyznacz pole sześciokąta, którego wierzchołkami są punkty podziałów boków trójkąta (zobacz rysunek). C L M K N A P O B Zadanie 78. Odcinki AD i BE przecinają się w punkcie C. W trójkątach ABC i CDE zachodzą związki: CAB CED, AC 5, BC 3, CE 10 (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąty ABC i CDE są podobne. Oblicz długość boku CD. 22

23 Zadanie 79. Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym przyprostokątna AC ma długość 12. Punkt E jest środkiem przeciwprostokątnej AB, spodek D wysokości CD leży między punktami A i E, a odległość między punktami D i E jest równa 1 (zobacz rysunek). C 12 A D 1 E B Oblicz obwód tego trójkąta. Zadanie 80. Na rysunku przedstawiono trapez ABCD oraz zaznaczono wysokości DE i CF tego trapezu. Punkt F jest środkiem podstawy AB, a punkt E dzieli tę podstawę w stosunku 2:5. Wykaż, że punkt przecięcia wysokości CF z przekątną DB dzieli tę przekątną w stosunku 3: 7, licząc od wierzchołka D. Zadanie 81. W trójkącie ABC o bokach długości AC b, BC a i kącie między nimi 60 poprowadzono dwusieczną kąta ACB, która przecięła bok AB w punkcie D. Zapisz długość odcinka CD w zależności od a i b. 23

24 Zadanie 82. Dany jest trapez prostokątny ABCD taki, że kąty przy wierzchołkach A i D są proste oraz AB 10, DC 6, a przekątna AC jest dwa razy dłuższa od ramienia DA.Na podstawie AB obrano taki punkt X, że CX CB (zobacz rysunek). Oblicz sinus kąta XCB. 24