PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

Transkrypt

1 PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM - MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC

2 Stron z 9 Zsdy oenini zdń - pozio rozszerzony MARZEC ZADANIA ZAMKNIĘTE Nr zdni Lizb punktów D B B C ZADANIE KODOWANEJ ODPOWIEDZI Zdnie. (-... Wyznz wrtość pretru, dl którego reszt z dzieleni wieloinu W ( x x x przez dwuin x osiąg njwiększą wrtość. W poniższe krtki wpisz kolejno yfrę jednośi orz dwie pierwsze yfry po przeinku rozwinięi dziesiętnego otrzynego wyniku. Rozwiąznie: Reszt z dzieleni wieloinu W ( x x x przez dwuin x wynosi W ( R R 9 Wyrżenie 9 osiąg njwiększą wrtość dl =,. Nr zdni Rozwiąznie ZADANIA OTWARTE Z ROZWIĄZANIAMI I SCHEMATAMI PUNKTACJI Zdnie. (-... Widoo, że log. Wykż, że log Rozwiąznie (I sposób: Złóży, że log. Zuwży, że,. Korzystją z odpowiedni twierdzeń przeksztłćy złożenie log log log log log

3 Stron z 9 Zsdy oenini zdń - pozio rozszerzony MARZEC Przeksztłćy równowżnie tezę. Korzystją złożeni otrzyujey log log log log log log log log log log log Set punktowni I sposobu rozwiązni. Zdjąy otrzyuje... p. gdy zpisze, że log i n ty zkońzy lub w dlszej zęśi rozwiązni popełni błędy, lbo log gdy zpisze, że log i n ty zkońzy lub w dlszej zęśi rozwiązni popełni błędy. Zdjąy otrzyuje... p. log gdy zpisze, że log orz log i n ty zkońzy lub w dlszej zęśi rozwiązni popełni błędy. Zdjąy otrzyuje... p. gdy uzsdni, że log. Rozwiąznie (II sposób: Złóży, że log. Zuwży, że,. Korzystją z złożeni przeksztłćy tezę. log Zuwży, że log log log log Uzsdniy, że log

4 Stron z 9 Zsdy oenini zdń - pozio rozszerzony MARZEC log log log9 log(9 log log log 9 log 9 log log log log log log log log log Co nleżło uzsdnić. Set punktowni II sposobu rozwiązni. Zdjąy otrzyuje... p. gdy zpisze, że log log i n ty zkońzy lub w dlszej zęśi rozwiązni popełni błędy, lbo log(9 gdy zpisze, że i n ty zkońzy lub w dlszej zęśi rozwiązni log 9 popełni błędy. Zdjąy otrzyuje... p. log gdy zpisze, że log log orz i n ty zkońzy lub w dlszej log zęśi rozwiązni popełni błędy. Zdjąy otrzyuje... p. gdy uzsdni, że log. Zdnie. (-... Udowodnij, że dl kżdej lizby rzezywistej x i dl kżdej lizby rzezywistej y prwdziw jest y( y x( y nierówność. x Rozwiąznie (I sposób rozwiązni Złóży, że x R orz y R. Przeksztłćy równowżnie nierówność w nstępująy sposób y( y x( y x y x xy x y, y y x xy x, x y y x xy,,

5 Stron z 9 Zsdy oenini zdń - pozio rozszerzony MARZEC Lew stron tej nierównośi jest suą skłdników nieujeny, wię su t jest nieujen dl kżdej lizby rzezywistej x i dl kżdej lizby rzezywistej y. Uzsdniy terz, że lew stron tej nierównośi nie oże równć się zeru. Zuwży, że wyrżenie byłoby równe zeru, jeśli zyli, to jest ukłd sprzezny. Z powyższy rozwżń wynik, że, o końzy dowód. Set punktowni I sposobu rozwiązni. Zdjąy otrzyuje... p. gdy zpisze nierówność w posti, z której lewą stronę łtwo ożn zpisć w posti suy skłdników nieujeny, np.:. Zdjąy otrzyuje... p. gdy zpisze nierówność w posti i nie uzsdni prwdziwośi tej nierównośi. Zdjąy otrzyuje... p. gdy przeprowdzi pełne rozuownie. Rozwiąznie (II sposób rozwiązni Złóży, że x R orz y R. Przeksztłćy równowżnie nierówność do posti x (y x (y y i wprowdźy funkję kwdrtową f ( x x (y x (y y z pretre y. Wystrzy terz pokzć, że funkj f przyjuje tylko wrtośi dodtnie. Rion prboli skierowne są do góry, wię wyróżnik trójinu usi być ujeny dl kżdego y R. Rozwiąży nierówność: y y y y y y y Dl ułtwieni oblizeń podziely obie strony nierównośi przez. 9y y y Rozwiąznie nierównośi: y R

6 Stron z 9 Zsdy oenini zdń - pozio rozszerzony MARZEC Otrzyny wyróżnik y y jest niejszy od zer dl kżdej lizby rzezywistej y, wię funkj f przyjuje tylko wrtośi dodtnie, to oznz, że nierówność x (y x (y y jest prwdziw dl kżdy lizb rzezywisty x i y. o końzy dowód. Uwg Zdjąy oże rozptrzeć funkję ziennej y z pretre x i postępowć w sposób nlogizny. Set punktowni II sposobu rozwiązni. Zdjąy otrzyuje... p. gdy zpisze funkję f ( x x (y x (y y Zdjąy otrzyuje... p. gdy zpisze wyróżnik w posti y y i uzsdni, że jest on ujeny dl y R. Zdjąy otrzyuje... p. gdy przeprowdzi pełne rozuownie. Zdnie. (-... Kąt ostry BAD równoległoboku ABCD irę, orz. Dwusiezn kąt wypukłego ADC przein bok AB w punkie E. Uzsdnij, że w zworokąt EBCD ożn wpisć okrąg. Rozwiąznie Aby udowodnić, że w zworokąt EBCD ożn wpisć okrąg wystrzy wykzć, że EB DC DE BC. Etp I uzsdnienie, że trójkąt AED jest równorienny. BAD ADC, wię ADC Półprost DE jest dwusiezną kąt ADC, wię ADE. Su ir kątów wewnętrzny trójkąt AED wynosi Trójkąt AED jest równorienny, w który AE AD., wię AED. Etp II (I sposób uzsdnienie, że EB DC DE BC.

7 Stron z 9 Zsdy oenini zdń - pozio rozszerzony MARZEC Wprowdźy nstępująe oznzeni: Wystrzy uzsdnić, że, tzn. Z twierdzeni osinusów dl trójkąt AED otrzyujey Z złożeni otrzyujey Uzsdniliśy wię, że, o końzy dowód. Etp II (II sposób uzsdnienie, że EB DC DE BC. Dl ułtwieni zpisów przyjujey, że AB DC, AD BC AE b. DE AE Z twierdzeni sinusów wynik, że. sin sin sin sin b DE sin sin os os sin sin

8 Stron z 9 Zsdy oenini zdń - pozio rozszerzony MARZEC Zuwży, że, zte sin, b DE DE b AB AD, wię b b EB DC b b b b b b DE BC b b b EB DC DE BC, o końzy dowód. Set punktowni. Zdjąy otrzyuje... p. wykże, że trójkąt AED jest równorienny, w który AE AD orz AED ADE Zdjąy otrzyuje... p. gdy oblizy DE b i zpisze, że nleży wykzć równość EB DC DE BC lbo lbo oblizy i zpisze, że nleży wykzć, że oblizy i zpisze, że nleży wykzć, że. Zdjąy otrzyuje... p. gdy przeprowdzi pełny dowód.

9 Stron 9 z 9 Zsdy oenini zdń - pozio rozszerzony MARZEC Zdnie 9. (-... Z yfr,,, tworzyy sześioyfrowe lizby łkowite dodtnie, w który su yfr jest równ 9. Obliz, ile ożey utworzyć tki lizb. Rozwiąznie (I sposób Musiy rozptrzeć przypdki:! Pierwszą yfrą oże być. Tki lizb jest lub!!! Pierwszą yfrą oże być. Tki lizb jest lub!! Pierwszą yfrą oże być. Tki lizb jest lub!! Pierwszą yfrą oże być. Tki lizb jest lub!! Pierwszą yfrą oże być. Tki lizb jest lub!! Pierwszą yfrą oże być. Tki lizb jest lub!! Tki lizb jest!! lub. Rze y wię lizb sześioyfrowy w który su yfr jest równ 9. Rozwiąznie (II sposób Powyższy lizb jest

10 Stron z 9 Zsdy oenini zdń - pozio rozszerzony MARZEC Powyższy lizb jest Powyższy lizb jest Powyższy lizb jest Rze y wię lizb sześioyfrowy w który su yfr jest równ 9. Set punktowni Zdjąy otrzyuje... p. gdy wyieni ztery ożliwośi uzyskni suy yfr równej 9, tzn. (,,,,, lub (,,,,, lub (,,,,, lub (,,,,,. Zdjąy otrzyuje... p. gdy poprwnie oblizy prwidłowo ilość lizb sześioyfrowy w trze spośród ztere wyieniony przypdków. Zdjąy otrzyuje... p. gdy oblizy, że jest lizb sześioyfrowy określony wrunki zdni. Uwg Jeżeli zdjąy poinie jeden przypdek i rozwiąże zdnie do koń otrzyuje punkty.

11 Stron z 9 Zsdy oenini zdń - pozio rozszerzony MARZEC Zdnie. (-... W trójkąie prostokątny długość przeiwprostokątnej stnowi % suy długośi przyprostokątny. Obliz sinusy kątów ostry w ty trójkąie. Rozwiąznie Wprowdźy nstępująe oznzeni: BC, AC b, AB, CAB, ABC orz złóży, że b. (I sposób rozwiązni Z twierdzeni Pitgors wynik, że %( b ( b b b, zte b b Zuwży, że o gdzie t ;, gdyż /: sin. Dl ułtwieni oblizeń wprowdźy nstępująe oznzenie: t, t t

12 Stron z 9 Zsdy oenini zdń - pozio rozszerzony MARZEC t - sprzezność z złożenie t Ostteznie sin. Postępują w sposób nlogizny podstwiją b wyrżenie b otrzyujey b b gdzie b b sin. Wprowdźy nstępująe oznzenie:, gdzie ;, gdyż o. - sprzezność z złożenie Ostteznie sin. Set punktowni I sposobu rozwiązni Rozwiąznie, w który postęp jest niewielki, le koniezny n drodze do pełnego rozwiązni zdni... p. Zdjąy zpisze ukłd równń %( b b Rozwiąznie, w który jest istotny postęp... p. Zdjąy zpisze równnie z dwie niewidoyi, np. i n ty zkońzy lub dlej popełni błędy. Pokonnie zsdnizy trudnośi zdni... p. Zdjąy zpisze równnie z dwie niewidoyi, np. i zuwży, że sin lbo

13 Stron z 9 Zsdy oenini zdń - pozio rozszerzony MARZEC b b zpisze równnie z dwie niewidoyi, np. i zuwży, że b sin Rozwiąznie prwie pełne... p. Zdjąy popełni błąd runkowy n etpie przeksztłni ukłdu równń i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zdnie do koń lbo oblizy poprwnie jedną wrtość sin lub sin Rozwiąznie pełne... p. Zdjąy oblizy sin orz sin (II sposób rozwiązni Korzystją z twierdzeni Pitgors wynik, że b, b b 9 b 9b b b b /: b b b Podstwiją zienną poonizą z t, gdzie t otrzyujey t t. b Rozwiązują równnie otrzyujey 9 t. b 9 Istnieje wię tk lizb dodtni x, że 9 x, b x x 9 x 9 x x x x

14 Stron z 9 Zsdy oenini zdń - pozio rozszerzony MARZEC x Korzystją z definiji funkji sinus w trójkąie prostokątny otrzyujey sin sin b 9 x x sin sin x x sin 9 sin Set punktowni II sposobu rozwiązni Rozwiąznie, w który postęp jest niewielki, le koniezny n drodze do pełnego rozwiązni zdni... p. Zdjąy zpisze ukłd równń %( b b Rozwiąznie, w który jest istotny postęp... p. Zdjąy zpisze równnie z dwie niewidoyi, np. b b i n ty zkońzy lub dlej popełni błędy. Pokonnie zsdnizy trudnośi zdni... p. Zdjąy zpisze równnie z dwie niewidoyi, np. b b. i zuwży, że Rozwiąznie prwie pełne... p. Zdjąy popełni błąd runkowy n etpie rozwiązywni ukłdu równń i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zdnie do koń lbo oblizy poprwnie jedną wrtość sin lub sin. Rozwiąznie pełne... p. Zdjąy oblizy sin orz sin.

15 Stron z 9 Zsdy oenini zdń - pozio rozszerzony MARZEC Zdnie. (-... Dl jki wrtośi pretru wykres funkji f określonej wzore f ( x ( x ( x przein oś odięty w dwó różny punkt, który odległość jest niejsz od. Rozwiąznie Ustly wrunki, które uszą być spełnione. x x ( ( ( Korzystją ze wzorów Viete otrzyujey x x x x x x x xx x,, -

16 Stron z 9 Zsdy oenini zdń - pozio rozszerzony MARZEC Wrunki zdni są spełnione dl ; ; ; Set punktowni Rozwiąznie zdni skłd się z ztere etpów. ; Pierwszy etp poleg n zpisniu ukłdu nierównośi x x Uwg Jeżeli zdjąy zpisze, że lub poinie zpis, to z ten etp otrzyuje punktów. Drugi etp poleg n rozwiązniu nierównośi. Z poprwne rozwiąznie zdjąy otrzyuje punkt. Trzei etp poleg n rozwiązniu nierównośi x x. Z tę zęść zdjąy otrzyuje punkty. Poniżej podził punktów z trzei etp rozwiązni: Zdjąy otrzyuje punkt, gdy zpisze nierówność w posti równowżnej zwierjąej jedynie suę i ilozyn pierwistków trójinu kwdrtowego f ( x ( x ( x, np.: x x x x. Zdjąy otrzyuje punkt, gdy poprwnie rozwiąże nierówność ; ; Czwrty etp poleg n wyznzeniu zęśi wspólnej zbiorów rozwiązń wszystki trze wrunków zpisny w ukłdzie w pierwszy rozwiązni: ; ;. Z poprwne rozwiąznie tego etpu zdjąy otrzyuje punkt. Uwgi. W przypdku otrzyni n jedny z etpów (II lub III zbioru pustego lub zbioru R jko zbioru rozwiązń nierównośi przyznjey punktów z IV etp.. W przypdku, gdy zdjąy błędnie przyjie, że i konsekwentnie rozwiąże zdnie do koń, to oże otrzyć o njwyżej punkty. Zdnie. (-... sin x Rozwiąż równnie osx os x osx osx w przedzile ;. tgx

17 Stron z 9 Zsdy oenini zdń - pozio rozszerzony MARZEC Rozwiąznie Złożenie: sin x osx os tgx x osx osx sin x osx osx os x (os x os x sin x osx os os x os x os os os osx x os x os x os x os x os x os x x osx x osx x os x os x osx os x(osx ( osx osx (osx ( os x os x os x os x os x x,,, Set punktowni Rozwiąznie, w który postęp jest niewielki, le koniezny n drodze do pełnego rozwiązni zdni... p. Zdjąy lbo wykon koniezne złożeni, np. i n ty zkońzy lub dlej popełni błędy

18 Stron z 9 Zsdy oenini zdń - pozio rozszerzony MARZEC zpisze równnie używją jednej funkji trygonoetryznej tego sego kąt, np. os x os x os x osx i n ty zkońzy lub dlej popełni błędy Rozwiąznie, w który jest istotny postęp... p. Zdjąy wykon koniezne złożeni i zpisze równnie używją jednej funkji trygonoetryznej, np. os x os x os x osx. Pokonnie zsdnizy trudnośi zdni... p. Zdjąy wykon koniezne złożeni i zpisze że os x os x os x os x. Rozwiąznie pełne... p. Zdjąy zpisze rozwiąznie równni, np.: x,,,. Uwg. Jeżeli zdjąy nie wykon odpowiedni złożeń i w rozwiązniu pod lizby nie będąe w zbiorze rozwiązń, to z łe zdnie oże otrzyć ksylnie punkty.. Jeżeli zdjąy wykon odpowiednie złożeni, le w rozwiązniu i nie uwzględni, to z łe rozwiąznie oże otrzyć ksylnie punkty. Zdnie. (-... Lizby, b, w podnej kolejnośi tworzą trzywyrzowy iąg rytetyzny. Su ty lizb jest równ. Jeśli do pierwszej z ty lizb dody, drugą podwoiy, do trzeiej dody, to otrzyy trzy pozątkowe wyrzy rosnąego iągu geoetryznego b. Wyznz, b, orz wyznz wrtość n, dl którego b n b n Przykłdowe rozwiąznie Lizby, b, w podnej kolejnośi tworzą trzywyrzowy iąg rytetyzny, wię Su lizb wynosi, wię b b b Lizby, b, w podnej kolejnośi tworzą trzywyrzowy iąg geoetryzny, wię Rozwiąży ukłd równń: b Rozwiązują ukłd otrzyujey: b ( ( b b b ( ( b lub b n

19 Stron 9 z 9 Zsdy oenini zdń - pozio rozszerzony MARZEC Dl wyznzony wrtośi otrzyujey dw iągi geoetryzne: Pierwszy, w który b, b, b (jest to iąg rosnąy, drugi, w który b, b, b (jest to iąg lejąy, który nie spełni wrunków zdni. W iągu b b, q, wię korzystją ze wzoru n n-ty wyrz iągu geoetryznego n n otrzyujey b. n b n b n n n 9 n n n 9 n 9 n Set punktowni Rozwiąznie, w który postęp jest niewielki, le koniezny n drodze do pełnego rozwiązni zdni... p. b b Zdjąy zpisze ukłd równń b i n ty zkońzy lub dlej popełni błędy. b ( ( Rozwiąznie, w który jest istotny postęp... p. Zdjąy rozwiąże ukłd równń otrzyują nstępująe rozwiązni: b lub b i n ty zkońzy lub dlej popełni błędy. Pokonnie zsdnizy trudnośi zdni... p. Zdjąy wybierze włśiwe rozwiąznie ukłdu, tj: b orz oblizy, że w iągu b n b, q i n ty zkońzy lub dlej popełni błędy. Rozwiąznie prwie pełne... p. n n Zdjąy zpisze wrunek, z którego oże oblizyć n, np.: i n ty zkońzy lub dlej popełni błędy. Rozwiąznie pełne... p. Zdjąy wyznzy b orz wyznzy wrtość n 9, dl którego b n b n.

20 Stron z 9 Zsdy oenini zdń - pozio rozszerzony MARZEC Zdnie. (-... Grnistosłup prwidłowy sześiokątny, w który krwędź podstwy długość przeięto płszzyzną zwierjąą krótszą przekątną podstwy AC orz punkt P, który jest środkie krwędzi boznej EE ' (rysunek obok. Obliz objętość grnistosłup, jeśli pole przekroju jest równe. Przykłdowe rozwiąznie Wprowdźy oznzeni tk jk n rysunku. Dl ułtwieni oblizeń oznzy, że krwędź podstwy, wysokość EE', EP. Zuwży, że AC RT, EN NS SM, zte EM orz NM. I sposób wyznzeni wysokośi grnistosłup Odinki orz są równoległe, wię z twierdzeni Tles wynik, że. Wprowdźy zte nstępująe oznzeni:,. Przekrój ACTPR jest pięiokąte będąy suą dwó figur: prostokąt ACTR orz trójkąt TPR. Pole przekroju P, wię

21 Stron z 9 Zsdy oenini zdń - pozio rozszerzony MARZEC AC QM RT PQ Z twierdzeni Pitgors dl trójkąt wynik, że II sposób wyznzeni wysokośi grnistosłup Trójkąt MEP jest prostokątny, wię PM PE EM PM Trójkąty MEP orz MNQ są podobne, wię PM PM QM EM NM QM QM PQ PM QM, wię PQ Przekrój ACTPR jest pięiokąte będąy suą dwó figur: prostokąt ACTR orz trójkąt TPR. Pole przekroju P, wię AC QM RT PQ

22 Stron z 9 Zsdy oenini zdń - pozio rozszerzony MARZEC Oblizenie objętośi grnistosłup V V Set punktowni Rozwiąznie, w który postęp jest niewielki, le koniezny n drodze do pełnego rozwiązni zdni... p. Zdjąy oblizy długość odink AC lbo oblizy długość jednego z odinków EN lub EM lub NM. Rozwiąznie, w który jest istotny postęp... p. Zdjąy zpisze długość jednego z odinków PQ, QM lub PM w zleżnośi od wysokośi, np.: lbo PM lub QM lub PQ zpisze, że i n ty zkońzy, lub dlej popełni błedy. Pokonnie zsdnizy trudnośi zdni... p. Zdjąy zpisze wrunek pozwljąy n oblizenie wysokośi, np.: lbo zpisze wrunek pozwljąy oblizyć wrtość x, np.: Rozwiąznie prwie pełne... p. Zdjąy oblizy wysokość i n ty zkońzy lub dlej popełni błędy

23 Stron z 9 Zsdy oenini zdń - pozio rozszerzony MARZEC lbo popełni błąd runkowy przy wyznzniu wysokośi i dl błędnie wyznzonej wysokośi prwidłowo oblizy objętość grnistosłup. Rozwiąznie pełne... p. Zdjąy oblizy objętość grnistosłup. Zdnie. (-... Dny jest trójkąt ABC gdzie A (,, B (, i C (9,. Przez punkt D (, poprowdzono prostą o współzynniku kierunkowy dodtni, któr przein boki AC i BC trójkąt odpowiednio w punkt E orz F. Wyznz współrzędne punktów E i F, dl który pole zworokąt AEFB jest njwiększe. Przykłdowe rozwiąznie (I sposób Nie prost EF równnie y x b, gdzie. Prost t przeodzi przez punkt D (, zte b b Prostą EF ożn opisć równnie y x. Współzynnik kierunkowy prostej DC wynosi, prostej AD jest równy, wię by prost EF przeinł boki AC i BC trójkąt odpowiednio w punkt E orz F współzynnik kierunkowy usi spełnić nstępująe wrunki: orz, zte ;. Wyznzy współrzędne punktów E orz F w zleżnośi od. Zuwży, że prost AC równnie y x. Wyznzy współrzędne punktu E : y x y x

24 Stron z 9 Zsdy oenini zdń - pozio rozszerzony MARZEC x y, E Wyznzy współrzędne punktu F : x y y x y, F Pole zworokąt AEFB jest njwiększe, jeśli pole trójkąt EFC jest njniejsze. Zpiszy pole trójkąt EFC w zleżnośi od. FC P, gdzie jest odległośią punktu E od prostej BC. 9 P Po przeksztłeni otrzyujey P 9 (, gdzie ; ( 9 ( ' P Bdy onotonizność i wyznzy ekstre funkji P, przy złożeniu, że ;. ( 9 ( ' P ( ' P ( 9 ( ' P ; ( 9 ( ' P

25 Stron z 9 Zsdy oenini zdń - pozio rozszerzony MARZEC ; Funkj P jest leją w przedzile ;, rosną w przedzile ;, w punkie osiąg iniu loklne, które jest zrze njniejszą wrtośią tej funkji. W związku z ty dl pole trójkąt EFC jest njniejsze, zte pole zworokąt AEFB jest njwiększe. Wyznzy współrzędne punktów E i F.,, E,,,,, F,,, Set punktowni I sposobu rozwiązni Rozwiąznie zdni skłd się z trze etpów. Pierwszy etp skłd się z trze zęśi: zpisnie prostej EF równnie w zleżnośi od pretru. (prost t przeodzi przez punkt D wię równnie prostej EF ożn opisć równnie y x, b zpisnie pol trójkąt EFC w zleżnośi od : P ( 9, określenie dziedziny funkji P : ;. Z kżdą z zęśi tego etpu zdjąy otrzyuje po punkie. Drugi etp skłd się z trze zęśi: 9 wyznzenie poodnej funkji wyiernej P( : 9 P' (, ( b oblizenie iejs zerowego poodnej:, uzsdnienie, że dl funkj P osiąg njniejszą wrtość, np. zpisnie, że w przedzile ; funkj jest leją, w przedzile ; rosną orz P ', wię dl punkj P osiąg iniu loklne, które jest wrtośią njniejszą tej funkji.

26 Stron z 9 Zsdy oenini zdń - pozio rozszerzony MARZEC Z poprwne rozwiąznie kżdej z zęśi tego etpu zdjąy otrzyuje punkt, o ile poprzedni zęść etpu zostł zrelizown bezbłędnie. Uwg Jeżeli zdjąy nie wyznzy dziedziny funkji P, np. ;, to z trzeią zęść drugiego etpu oże otrzyć punkt tylko wtedy, gdy wyznzy współrzędne punktów E i F orz sprwdzi, że punkty te nleżą do odinków odpowiednio AC i BC. Trzei etp Oblizenie współrzędny punktów E, orz F,, dl który pole zworokąt AEFB jest njwiększe. Z poprwne rozwiąznie tego etpu zdjąy otrzyuje punkt. Przykłdowe rozwiąznie (II sposób Wprowdźy oznzenie: (, F, gdzie ; 9. Wyznzy równnie prostej DF. y x b b b Po rozwiązniu ukłdu otrzyujey b Prostą DF ożey zpisć y x

27 Stron z 9 Zsdy oenini zdń - pozio rozszerzony MARZEC Wyznzy współrzędne punktu E. x y x y y x Wykonjy odpowiednie złożeni: x wię. ; ; ; Ostteznie otrzyujey, E, gdzie ;. Pole zworokąt AEFB jest njwiększe, jeśli pole trójkąt EFC jest njniejsze. Zpiszy pole trójkąt EFC w zleżnośi od. FC P, gdzie jest odległośią punktu E od prostej BC. (9 ( P, ; ( P, '( P Bdy onotonizność i wyznzy ekstre funkji P, przy złożeniu, że ;. ( ' P ( ' P ( ' P

28 Stron z 9 Zsdy oenini zdń - pozio rozszerzony MARZEC ; P '( Funkj P jest leją w przedzile ;, rosną w przedzile ;, w punkie osiąg iniu loklne, które jest zrze njniejszą wrtośią tej funkji. W związku z ty dl pole trójkąt EFC jest njniejsze, zte pole zworokąt AEFB jest njwiększe. Wyznzy współrzędne punktów E i F., ; E wię, F,, wię, F. E, Set punktowni II sposobu rozwiązni Rozwiąznie zdni skłd się z trze etpów. Pierwszy etp skłd się z trze zęśi: zpisnie punktu F w zleżnośi od pretru, wię równnie prostej DF ożn opisć równnie y x, b wyznzenie współrzędny punktu E, orz zpisnie pol trójkąt EFC w zleżnośi od : P ( (9, określenie dziedziny funkji P : ;. Z kżdą z zęśi tego etpu zdjąy otrzyuje po punkie. Drugi etp skłd się z trze zęśi: wyznzenie poodnej funkji wyiernej P ( : P '(, b oblizenie iejs zerowego poodnej:, uzsdnienie, że dl funkj P osiąg njniejszą wrtość, np. zpisnie, że w przedzile ; funkj jest leją, w przedzile ; rosną orz P ', wię dl punkj P osiąg iniu loklne, które jest wrtośią njniejszą tej funkji. Z kżdą z zęśi tego etpu zdjąy otrzyuje po punkie.

29 Stron 9 z 9 Zsdy oenini zdń - pozio rozszerzony MARZEC Uwg Jeżeli zdjąy nie wyznzy dziedziny funkji P, np. ;, to z trzeią zęść drugiego etpu oże otrzyć punkt tylko wtedy, gdy wyznzy współrzędne punktów E i F orz sprwdzi, że punkty te nleżą do odinków odpowiednio AC i BC. Trzei etp Oblizenie współrzędny punktów E, orz F, AEFB jest njwiększe. Z poprwne rozwiąznie tego etpu zdjąy otrzyuje punkt., dl który pole zworokąt