Modele Markov-Functional przegląd wybranych własności i zastosowanie do wyceny wybranych instrumentów pochodnych

Transkrypt

1 Uniwersye Warszawski Wydział Maemayki, Informayki i Mechaniki Rober Pysiak Nr albumu: Modele Markov-Funcional przegląd wybranych własności i zasosowanie do wyceny wybranych insrumenów pochodnych Praca magiserska na kierunku MATEMATYKA Praca wykonana pod kierunkiem dra Mariusza Baryło Syczeń 22

2 Oświadczenie kierującego pracą Powierdzam, że niniejsza praca zosała przygoowana pod moim kierunkiem i kwalifikuje się do przedsawienia jej w posępowaniu o nadanie yułu zawodowego. Daa Podpis kierującego pracą Oświadczenie auora pracy Świadom odpowiedzialności prawnej oświadczam, że niniejsza praca dyplomowa zosała napisana przeze mnie samodzielnie i nie zawiera reści uzyskanych w sposób niezgodny z obowiązującymi przepisami. Oświadczam również, że przedsawiona praca nie była wcześniej przedmioem procedur związanych z uzyskaniem yułu zawodowego w wyższej uczelni. Oświadczam ponado, że niniejsza wersja pracy jes idenyczna z załączoną wersją elekroniczną. Daa Podpis auora pracy

3 Sreszczenie W pracy omówiono pewne podsawowe własności uogólnionego modelu Vasička oraz modeli rynkowych. Poruszono również problem niezgodności modeli rynkowych BGM i Jamshidiana, ilusrując go na przykładzie n 2 okresów depozyowych. Nasępnie przedsawiono alernaywny sposób modelowania sóp procenowych, zwany modelowaniem Markov-Funcional M-F. W ym podejściu posuluje się, że sopy rynkowe są funkcjami pewnego procesu Markowa. Pokazano różne meody kalibracji modelu M-F do danych rynkowych. Ponado zaprezenowano meodę modelowania M-F sopy LIBOR w mierze spo oraz opisano model M-F ceny akywa. Poruszono eż kwesię wyboru procesu Markowa definiującego model M-F. Słowa kluczowe modele Markov-Funcional, modele sopy procenowej, uogólniony model Vasička, model BGM, model Jamshidiana, procesy Markowa. Maemayka Dziedzina pracy kody wg programu Socraes-Erasmus Klasyfikacja emayczna 9 Game heory, economics, social and behavioral sciences 9G Mahemaical finance 9G3 Ineres raes sochasic models Tyuł pracy w języku angielskim Markov-Funcional Models an overview of chosen properies and applicaion in valuaion of some derivaives

4

5 Spis reści Wsęp Podsawowe pojęcia z eorii procesów sochasycznych Całka sochasyczna Nawias skośny i wariacja kwadraowa Wzór Iô Sochasyczne równania różniczkowe Twierdzenie Girsanowa, zamiana miary Procesy Markowa Podsawy maemayki finansowej Sopy procenowe i podsawowe insrumeny finansowe Miary maryngałowe i zamiana numéraire Modele sopy procenowej Miara forward i miara swapowa Uogólniony model Vasička Modele rynkowe Niezgodność modeli rynkowych Modele Markov-Funcional Wyznaczenie funkcjonału N na podsawie cen rynkowych Modelowanie sóp rynkowych w mierze P Tn Kalibracja modelu dla paramerycznej posaci funkcjonału N Modelowanie sopy LIBOR w mierze spo Modelowanie ceny akywa meodą Markov-Funcional Wybór zmienności procesu kierującego Dodaek Podsumowanie Bibliografia

6

7 Wsęp Niedoskonałości wielu isniejących modeli sopy procenowej wciąż skłaniają maemayków do poszukiwania modelu spełniającego podsawowe założenia niezbędne w prakyce rynkowej m.in. brak arbirażu, możliwość jak najlepszego dopasowania do danych rynkowych oraz możliwość efekywnej implemenacji. Sosunkowo nową grupę modeli sanowią zw. modele Markov-Funcional M-F, w kórych posuluje się, że obserwowane na rynku sopy procenowe są funkcjami pewnego procesu Markowa o niewielkim wymiarze. Taki sposób modelowania zosał zaproponowany w roku 2 przez P. Huna, J. Kennedy i A. Pelssera w [HKP] por. eż [HK], [Pels] oraz niezależnie przez P. Ballanda i L. Hugsona w [BH]. Nasępnie a emayka była rozwijana przez C. Friesa i M. Roa por. [FR], [F], [F2]. Celem niniejszej pracy jes przedsawienie modeli Markov-Funcional, a akże poprawienie i uzupełnienie niekórych wyników zawarych w cyowanych źródłach. Większość rozumowań opiera się na monografii [HK] i arykułach [F2], [FR] por. eż [F]. W pracy położony jes nacisk na eoreyczne aspeky omawianych modeli. Szczegóły doyczące implemenacji modelu M-F można znaleźć w [F], s. 4-4, i [Pels], s Przykładowe wyceny i porównanie z innymi modelami znajdują się m.in. w [Pels], s i [BK]. Praca składa się z pięciu rozdziałów. W rozdziale pierwszym wprowadzony jes niezbędny apara analizy sochasycznej używany w dalszych częściach pracy. Rozdział drugi zawiera podsawowe definicje i wierdzenia maemayki finansowej. W rozdziale rzecim przedsawione są niekóre znane modele sopy procenowej uogólniony model Vasička oraz modele rynkowe BGM i Jamshidiana. Opisany jes akże problem niezgodności modeli rynkowych wraz z ilusracją dla n 2 okresów depozyowych sanowiącą wynik własny auora pracy. Rozdział czwary zawiera opis modeli Markov-Funcional w ym modeli LIBOR M-F i swap M-F oraz meody kalibracji do danych rynkowych. Oprócz ego przedsawiony jes sposób modelowania sóp LIBOR w zw. mierze spo, a akże model M-F ceny akywa. Ponado omówiona jes kwesia wyboru procesu Markowa definiującego model M-F. W Dodaku rozdział 5 zaware są pomocnicze obliczenia wykorzysywane w pracy, a akże pewne wierdzenia mówiące o związkach między lognormalnością rozkładów sóp LI- BOR lub sóp swapowych a odpowiednimi wzorami Blacka. 5

8

9 Rozdział Podsawowe pojęcia z eorii procesów sochasycznych Na począku przypomnimy najważniejsze dla maemayki finansowej narzędzia eorii procesów sochasycznych, kóre będą używane w pracy, m.in. konsrukcję całki sochasycznej Iô, wzór Iô, wierdzenie Girsanowa i opis procesów Markowa. Definicje i wierdzenia znajdujące się w ym rozdziale można znaleźć w [L], [JPRS], [HK], [KS] i [RY]. Zakładamy, że Ω, F, P jes zupełną przesrzenią probabilisyczną zn. dowolny podzbiór zbioru miary zero w ej przesrzeni jes mierzalny, < T < oraz F F [,T ] jes filracją spełniającą zwykłe warunki. Ponado zakładamy, że W jes procesem Wienera względem filracji F zn. W jes adapowany do F oraz dla dowolnych s < zmienna losowa W W s jes niezależna od F s. W pracy będziemy oznaczać przez g i Φ odpowiednio gęsość i dysrybuanę sandardowego rozkładu normalnego. O ile nie zosanie powiedziane inaczej, symbol E będzie oznaczał warość oczekiwaną w mierze P. Warość oczekiwaną w dowolnej innej mierze probabilisycznej Q będziemy oznaczać wskazując ę miarę w indeksie dolnym symbolem E Q... Całka sochasyczna Opiszemy konsrukcję całki sochasycznej Iô względem procesu Wienera. Podobnie jak w przypadku całki Lebesgue a, całkę sochasyczną określa się najpierw dla najprosszych procesów sochasycznych zw. procesów elemenarnych, a nasępnie uogólnia się definicję na przypadek bardziej skomplikowanych procesów. Definicja.. Proces X X [,T ] nazywamy procesem elemenarnym, jeśli X jes posaci n X ω ξ ω {} + ξ k ω k, k+ ], [, T ], ω Ω, k gdzie < <... < n T, a ξ k są ograniczonymi F k -mierzalnymi zmiennymi losowymi. Rodzinę procesów elemenarnych oznaczamy przez E. Uwaga.. E jes przesrzenią liniową. Definicja.2. Dla X E definiujemy całkę Iô IX T 7 X s dw s

10 wzorem IX : n k ξ k W k+ W k. Całkę u X sdw s dla < u < < T określamy nasępująco: u X s dw s T Definicja nie zależy od reprezenacji X E. u,] sx s dw s.. Swierdzenie.. Jeśli X E, o proces I X : X sdw s jes maryngałem względem F o średniej zero i ciągłych rajekoriach. Ponado I X oraz zn. E T T EIX 2 E Xs 2 ds, 2 T T X s dw s E Xs 2 ds Xs 2 ds dp..2 Ω Wzór.2 oznacza, że przekszałcenie I I T, L 2 [, T ] Ω, B[, T ] F, λ P E I L 2 Ω, F, P, gdzie λ jes miarą Lebesgue a, jes izomerią. To pozwala rozszerzyć całkę Iô na domknięcie przesrzeni E w L 2 [, T ] Ω, B[, T ] F, λ P. Rozszerzenie o konsruujemy w sposób nasępujący: jeśli proces X E jes granicą w L 2 [, T ] Ω, B[, T ] F, λ P ciągu procesów X n z przesrzeni E, o X n jes ciągiem Cauchy ego. Ponieważ I jes izomerią, więc ciąg IX n jes ciągiem Cauchy ego w L 2 Ω, F, P. Z zupełności ej przesrzeni wynika, że isnieje granica lim n IX n w L 2 Ω, F, P, kórą przyjmujemy jako definicję całki Iô z procesu X względem procesu Wienera na przedziale [, T ] i oznaczamy znowu przez IX. Całkę Iô na przedziale zawarym w [, T ] definiujemy wzorem.. Definicja.3. i σ-ciałem zbiorów prognozowalnych P nazywamy σ-ciało podzbiorów [, T ] Ω generowane przez zbiory posaci F {} A oraz s, ] A dla s < T, A F s. ii Proces X X [,T ] nazywamy prognozowalnym, jeśli funkcja, ω X ω : [, T ] Ω R jes mierzalna względem P. iii Proces X nazywamy mierzalnym, jeśli funkcja, ω X ω : [, T ] Ω R jes mierzalna względem B[, T ] F T. Okazuje się, że E L 2 [, T ] Ω, P, λ P. Ponado można pokazać, że jeśli X jes procesem mierzalnym, F-adapowanym i akim, że E T X2 s ds <, o isnieje proces prognozowalny Y aki, że X ω Y ω dla λ P-p.w., ω [, T ]. Dzięki emu możemy określić I X X sdw s dla procesów X Λ T, gdzie { } Λ T : X X [,T ] mierzalny i adapowany : E T X 2 s ds <. 8

11 Twierdzenie.. Jeśli X Λ T, o proces I X [,T ] posiadającym modyfikację ciągłą. jes maryngałem względem F Dlaego, rozważając całkę Iô, mamy zawsze na myśli jej ciągłą modyfikację. Okazuje się, że klasę procesów całkowalnych można jeszcze rozszerzyć. Oznaczmy { T } P T : X X [,T ] mierzalny i adapowany : P Xs 2 ds <..3 Definicja.4. Jeśli X X T jes procesem sochasycznym, a τ momenem zarzymania, o X τ X τ T proces X zarzymany w chwili τ definiujemy wzorem Swierdzenie.2. Dla X P T określmy τ n ω : inf X τ : X τ. { } [, T ] : Xs 2 ωds n T n, n Z +. Wówczas τ n jes rosnącym ciągiem momenów zarzymania, τ n T p.n. oraz [,τn]x [,τn]x [,T ] Λ T. Ponado dla m n procesy [,τn]x s dw s i [,τm]x s dw s τn są nieodróżnialne, zn. τn P [,T ] [,τn]x s dw s [,τm]x s dw s. Pozwala o określić całkę Iô dla X P T : I X X s dw s [,τn]x s dw s X τn s dw s dla τ n. Innymi słowy, całka Iô o aki proces M [,T ] X sdw s [,T ], że M τn τn X s dw s [,τn]x s dw s dla n Z +. Na mocy powyższego swierdzenia definicja a jes poprawna. Ponado całka jes maryngałem lokalnym τ n jes ciągiem lokalizującym posiadającym ciągłą modyfikację, jes przekszałceniem liniowym, ale nie jes już izomerią. Definicja.5. Proces Z Z [,T ] o ciągłych rajekoriach nazywamy procesem Iô, jeśli dla [, T ] zachodzi równość Z Z + a s ds + b s dw s p.n..4 gdzie a jes procesem mierzalnym i adapowanym akim, że P a s ds < dla < T oraz b P T. Równość.4 zapisujemy w posaci zw. różniczki sochasycznej: dz a d + b dw. Proces a nazywamy współczynnikiem dryfu lub dryfem procesu Z, a proces b współczynnikiem dyfuzji procesu Z. Przedsawienie.4 jes jednoznaczne: jeśli a sds + b sdw s ãsds + b s dw s p.n., o b s b s dw s ã s a s ds jes ciągłym maryngałem lokalnym sarującym z zera, o wahaniu ograniczonym na [, ] dla < T, zaem jes sale równy. 9

12 Definicja.6. Całkę Iô względem procesu Iô.4 określamy wzorem X s dz s a s X s ds + b s X s dw s, o ile całki po prawej sronie powyższej równości isnieją. Na koniec ego podrozdziału przypomnimy pewne prose własności całek sochasycznych z funkcji deerminisycznych. Swierdzenie.3. Niech h będzie funkcją deerminisyczną. Wówczas a jeśli h L 2 [, T ], o całka T hsdw s ma rozkład normalny N b jeśli h C [, T ], o T T hsdw s ht W T h sw s ds..2. Nawias skośny i wariacja kwadraowa, T h2 sds Twierdzenie.2 Rozkład Dooba-Meyera. Jeśli M M [,T ] jes ciągłym maryngałem akim, że sup EM 2 < względnie: ciągłym maryngałem lokalnym, o isnieje dokładnie jeden proces M M [,T ] o rajekoriach ciągłych i niemalejących aki, że M oraz proces M 2 M [,T ] jes maryngałem względnie: maryngałem lokalnym. Definicja.7. i Proces M z powyższego wierdzenia nazywamy nawiasem skośnym maryngału maryngału lokalnego M. ii Wzajemnym nawiasem skośnym dwóch ciągłych maryngałów lokalnych M i N nazywamy proces M, N określony wzorem M, N M + N M N. 4 Uwaga.2. a Jeśli W jes procesem Wienera, o W 2 jes maryngałem, zaem W. b Dla ciągłego maryngału lokalnego M mamy M, M M. Definicja.8. Jeśli isnieje proces Z Z [,T ] aki, że [,T ] k n i X n i X n 2 P Z i n dla dowolnego ciągu π n n,..., n k n podziałów odcinka [, ], n < n <... < n k n, akiego że diam π n, o Z nazywamy wariacją kwadraową procesu X na przedziale [, T ] i oznaczamy przez [X].

13 Twierdzenie.3. Jeśli X jes procesem Iô, X X + a s ds + b s dw s p.n., o isnieje jego wariacja kwadraowa oraz [X] b2 sds równoważnie: d[x] b 2 d. Definicja.9. Wzajemną wariacją kwadraową dwóch procesów Iô X i Y nazywamy proces [X, Y ] określony wzorem [X, Y ] [X + Y ] [X Y ]. 4 Uwaga.3. Jeśli X i Y są procesami Iô, X X + a sds + b sdw s p.n., Y Y + α sds + β sdw s p.n., o [X, Y ] b sβ s ds równoważnie: d[x, Y ] b β d. Twierdzenie.4. Jeśli M, N są ciągłymi maryngałami lokalnymi, o dla każdego zachodzi [M] M oraz [M, N] M, N..3. Wzór Iô Wzór Iô pokazuje, że klasa procesów Iô jes zamknięa ze względu na funkcje gładkie i podaje wzór na różniczkę sochasyczną dfx. Przez C,2 będziemy oznaczać klasę funkcji mających ciągłą pochodną względem pierwszej zmiennej i ciągłą drugą pochodną względem drugiej zmiennej. Twierdzenie.5 Lema Iô. Niech Z Z [,T ] będzie procesem Iô, Z Z + a s ds + b s dw s p.n. i niech f, x : R + R R będzie funkcją klasy C,2. Wówczas f, Z [,T ] eż jes procesem Iô oraz dla każdego [, T ] zachodzi wzór: f f, Z f, Z + x s, Z f sds + x s, Z sdz s + 2 f 2 x 2 s, Z sd[z] s p.n..5 lub równoważnie, f f, Z f, Z + s s, Z sds f x s, Z sa s ds + 2 f x 2 s, Z sb 2 sds + f x s, Z sb s dw s p.n..6 Całka sochasyczna wysępująca we wzorze.6 jes maryngałem lokalnym, a jeśli b Λ T i pochodna f x jes ograniczona, o całka a jes ponado maryngałem. Częso używa się posaci różniczkowej wzoru Iô: lub df, Z df, Z f, Z d + f x, Z dz + 2 f 2 x 2, Z d[z] [ f, Z + f x, Z a + 2 ] f 2 x 2, Z b 2 d + f x, Z b dw.

14 W przypadku, gdy funkcja f nie zależy od czasu, zn. f C 2 R, wzór Iô redukuje się do posaci: dfz f Z dz + 2 f Z d[z], a przyjmując, że dz a d zn. [Z] orzymujemy znany wzór na różniczkowanie funkcji złożonej: dfz f Z dz f Z a d. Wzór Iô można uogólnić na przypadek wielowymiarowy. Twierdzenie.6. Niech f, x : R + R n R będzie funkcją klasy C,2 i niech Z Z,..., Z n, gdzie Z i są procesami Iô dla i,..., n. Wówczas f, Z [,T ] jes procesem Iô oraz dla każdego [, T ] zachodzi wzór: f n f, Z f, Z + s ds+ f s, Z s dz i x s+ i n i 2 i,j 2 f x i x j s, Z s d[z i, Z j ] s p.n. Po zasosowaniu dwuwymiarowego wzoru Iô do funkcji fx, y xy orzymujemy wzór na całkowanie przez części. Twierdzenie.7. Jeśli X, Y są procesami Iô, o X Y X Y + X s dy s + Y s dx s + [X, Y ] p.n..4. Sochasyczne równania różniczkowe Definicja.. Mamy dane funkcje a, b : [, T ] R n R oraz F -mierzalną zmienną losową ξ. Proces X X [,T ] nazywamy rozwiązaniem sochasycznego równania różniczkowego dx a, X d + b, X dw, X ξ,.7 jeśli jes ciągły, F adapowany oraz dla każdego [, T ] zachodzi X ξ + as, X s ds + bs, X s dw s p.n. Okazuje się, że dla dosaecznie regularnych funkcji a, b równanie.7 ma jednoznaczne rozwiązanie. Twierdzenie.8. Załóżmy, że współczynniki a, b : [, T ] R R sochasycznego równania różniczkowego.7 spełniają: i warunek Lipschiza względem zmiennej przesrzennej: dla dowolnych x, y R i dowolnego [, T ] a, x a, y 2 + b, x b, y 2 K x y 2 ii warunek liniowego wzrosu: dla dowolnego x R i dowolnego [, T ] a, x 2 + b, x 2 K + x 2, 2

15 gdzie K jes pewną sałą. Wówczas isnieje rozwiązanie równania.7. Ponado jes ono jedyne w sensie nieodróżnialności procesów, zn. jeśli X, Y są dwoma rozwiązaniami równania.7, o P X Y [,T ]. Jeśli dodakowo ξ L 2 P, o sup [,T ] E X 2 <. Swierdzenie.4. Jeśli funkcje a, b : R + R są mierzalne i ograniczone, o równanie: dx ax d + bx dw ma dokładnie jedno rozwiązanie. Jes ono zadane wzorem: X X exp bsdw s + as 2 b2 s ds Swierdzenie.5 Eksponena sochasyczna. Jeśli proces γ P, o równanie dz γ Z dw, Z ma dokładnie jedno rozwiązanie. Jes ono zadane wzorem: Z exp γ s dw s γs 2 ds exp M 2 2 M,.8 gdzie M γ sdw s. Ponado Z jes nieujemnym maryngałem lokalnym a zaem jes nadmaryngałem..5. Twierdzenie Girsanowa, zamiana miary Definicja.. Niech Ω, F, P będzie przesrzenią probabilisyczną. Miarę probabilisyczną Q nazywamy równoważną mierze P na Ω, F co oznaczamy P Q, jeśli P, Q mają e same zbiory miary zero, zn. A F PA QA. Twierdzenie.9. Jeśli miary probabilisyczne P i Q są równoważne na Ω, F, o isnieje gęsość jednej miary względem drugiej zw. gęsość Radona-Nikodýma: ϱ dq dp, zn. QA A ϱdp dla dowolnego A F, oraz ϱ jes dodanią zmienną losową mierzalną względem F. Ponado mamy dp dq ϱ. Twierdzenie.. i Niech F będzie filracją generowaną przez proces Wienera: F F W na Ω, F T. Wówczas isnieje proces γ P T aki, że ϱ T : dq T dp exp γ s dw s T γs 2 ds. 2 ii Załóżmy, że proces ϱ ma posać ϱ exp γ s dw s 2 γs 2 ds oraz niech P Q dla pewnego γ P T i niech miara Q będzie określona wzorem: dq ϱ T dp zn. QA A ϱ T dp dla A F T. Wówczas miara Q jes równoważna mierze P wedy i ylko wedy, gdy E P ϱ T. 3

16 Uwaga.4. Ponieważ ϱ jes nadmaryngałem, więc warunek E P ϱ T emu, że ϱ jes maryngałem. jes równoważny Częso sosowanym kryerium dosaecznym, zapewniającym zachodzenie powyższego warunku jes zw. kryerium Nowikowa. Twierdzenie. kryerium Nowikowa. Jeśli o E P ϱ T. T E P exp γ 2 udu 2 <, Twierdzenie.2 Girsanowa. Niech T < i niech Q będzie miarą probabilisyczną równoważną P na Ω, F T aką, że dq T dp ϱ T exp γ s dw s T γs 2 ds 2 dla pewnego γ P T. Jeśli W W [,T ] jes procesem Wienera na przesrzeni probabilisycznej Ω, F, P względem filracji F, o proces W zdefiniowany wzorem W W γ s ds [,T ] jes procesem Wienera na przesrzeni probabilisycznej Ω, F, Q względem filracji F. Wniosek.. Przy założeniach wierdzenia Girsanowa dynamikę procesu Iô.4 można zapisać w posaci dz a + b γ d + b d W, zaem współczynnik dyfuzji nie zmienia się przy zmianie miary probabilisycznej na równoważną..6. Procesy Markowa Na koniec ego rozdziału przypomnimy podsawowe pojęcia związane z procesami Markowa. Zakładamy, że Ω, F, P jes przesrzenią probabilisyczną, T R oraz E, B jes przesrzenią mierzalną, aką że wszyskie zbiory jednoelemenowe są mierzalne, zn. x E {x} B. Ponado dla procesu X X T określamy σ-ciała: i wprowadzamy oznaczenia: F X σx s : s ; s, T, F X σx s : s ; s, T EY Z EY σz, EY Z,..., Z n EY σz,..., Z n, PA G E A G, gdzie Y jes całkowalną zmienną losową, Z, Z i zmiennymi losowymi o warościach w E; A F oraz G F jes σ-ciałem. Inuicyjnie mówiąc, proces Markowa o aki proces, kórego przyszłość zależy od przeszłości jedynie poprzez san eraźniejszy. Innymi słowy, w danej chwili, do prognozowania przyszłości procesu X nie jes porzebna wiedza o całej przeszłości wysarczy znajomość obecnego sanu X. Tę inuicję precyzuje poniższa definicja. 4

17 Definicja.2. Proces sochasyczny X X T o warościach w E, B nazywamy procesem Markowa i mówimy, że X ma własność Markowa, jeśli dla dowolnych T, A F X, B F X zachodzi: PA B X PA X PB X p.n. Isnieje wiele równoważnych sformułowań własności Markowa. Mówi o ym poniższe wierdzenie. Twierdzenie.3. Nasępujące warunki są równoważne:. X jes procesem Markowa. 2. Dla dowolnych T, F X -mierzalnej zmiennej losowej ξ, F X -mierzalnej zmiennej losowej η, akich że ξ, η, ξη L zachodzi Eξη X Eξ X Eη X p.n. 3. Dla każdego T i dowolnej F X -mierzalnej, całkowalnej zmiennej losowej ξ zachodzi 4. Dla dowolnych T, A F X zachodzi Eξ F X Eξ X p.n. PA F X PA X p.n. 5. Dla dowolnych, s T, < s i dowolnego Γ B zachodzi PX s Γ F X PX s Γ X p.n. 6. Dla dowolnych, s T, < s i dowolnej borelowskiej funkcji f : E R akiej, że fx s L zachodzi EfX s F X EfX s X p.n. 7. Dla dowolnych, s T, < s, dowolnego Γ B i dowolnych n N, s < s 2 <... < s n zachodzi PX s Γ X s,..., X sn PX s Γ X p.n. W dalszej części pracy będziemy używać przede wszyskim charakeryzacji 6. Użyjemy jej do zdefiniowania procesu Markowa względem dowolnie usalonej filracji. Definicja.3. Mówimy, że X X T jes procesem Markowa względem filracji F T, jeśli jes adapowany do F T oraz dla dowolnej funkcji mierzalnej i ograniczonej f i dowolnych, s T, < s zachodzi warunek EfX s F EfX s X. Przywołajmy pewne wierdzenie z rachunku prawdopodobieńswa, kóre pozwoli nam zdefiniować warunkową warość oczekiwaną i prawdopodobieńswo warunkowe pod warunkiem zdarzenia {Z z} nawe jeśli jego prawdopodobieńswo jes równe zero. Twierdzenie.4. Niech Y będzie całkowalną zmienną losową, Z zmienną losową o warościach w E. Wówczas isnieje funkcja borelowska h : E R aka, że: EY Z hz. 5

18 Definicja.4.. Warunkową warością oczekiwaną zmiennej losowej Y pod warunkiem {Z z}, oznaczaną przez EY Z z, nazywamy liczbę hz, gdzie h jes funkcją orzymaną w powyższym wierdzeniu. 2. Prawdopodobieńswem warunkowym zdarzenia A F pod warunkiem {Z z}, oznaczanym przez PA Z z, nazywamy liczbę E A Z z. Zdefiniujemy eraz dwa ważne pojęcia w eorii procesów Markowa funkcję przejścia i gęsość przejścia. Definicja.5. Rodzinę funkcji P s, x, Γ s, T,s, P s, x, Γ : E B R nazywamy rodziną funkcji przejścia dla procesu Markowa X względem F, jeżeli spełnione są nasępujące warunki: s, s, T x E P s, x, jes miarą probabilisyczną na E, B; 2 s, s, T Γ B P s,, Γ : E, B R, BR jes funkcją mierzalną; 3 s T x E P s,s x, δ x ; 4 s, s, T Γ B PX Γ X s P s, X s, Γ p.n. Warunek 4 można zapisać jako: P s, x, Γ PX Γ X s x. Definicja.6. Niech E, B R d, BR d. Jeśli isnieje rodzina funkcji p s, x, y s, T, s<, p s, : E E, B B R, BR, mierzalnych i akich że s, T,s< x E Γ B P s, x, Γ p s, x, ydy, o p s, nazywamy gęsością przejścia dla procesu Markowa X. Gęsość przejścia musi spełniać warunek: s, T, s< x,y E p s, x, y oraz Γ E p s, x, ydy p s, x, jes gęsością prawdopodobieńswa. W dalszej części pracy będziemy korzysać z nasępującego faku. Fak.. Jeśli X jes procesem Markowa z rodziną funkcji przejścia P s,, s, T, s, o dla dowolnej funkcji mierzalnej f : E R zachodzi E fx F s ϕx s p.n., gdzie ϕx E fup s, x, du. W szczególności, jeśli dla procesu X isnieje rodzina gęsości przejścia p s,, s, T, s, o ϕx fup s, x, u du E 6

19 Dla procesów Markowa z czasem dyskrenym przyjmujemy nasępującą erminologię: Definicja.7. Niech X X T będzie procesem Markowa; i jeśli T Z, o X nazywamy łańcuchem Markowa; ii Jeśli T Z, a E jes zbiorem co najwyżej przeliczalnym, o X nazywamy dyskrenym łańcuchem Markowa. Dla dyskrenych łańcuchów Markowa B PE gdyż, jak założyliśmy na począku ego podrozdziału, wszyskie zbiory jednoelemenowe są mierzalne, naomias odpowiednikiem rodziny gęsości przejścia jes zw. macierz przejścia P s, x, y : p s, x, y x,y E, gdzie p s, x, y : P s, x, {y}. Wówczas zachodzi: s, s, T x E Γ E P s, x, Γ P s, x, {y} p s, x, y. y Γ y Γ Macierz przejścia musi spełniać warunki:. s, T, s x,y E p s, x, y oraz y E p s,x, y ; 2. dla każdego s T P s,s jes macierzą jednoskową, zn. p s,s x, y δ x {y}. Za definicję dyskrenego łańcucha Markowa częso przyjmuje się dyskreną wersję warunku 7 w wierdzeniu.3. Zanim podamy przykłady procesów Markowa, przypomnijmy znany fak z rachunku prawdopodobieńswa. Twierdzenie.5. Niech G będzie σ-ciałem, X zmienną losową niezależną od G, a Y zmienną losową G-mierzalną. Wówczas dla dowolnej funkcji borelowskiej f : E E E zachodzi EfX, Y G EfX, y yy. Przykład. Każdy proces X o przyrosach niezależnych jes procesem Markowa. Isonie, dla s i Γ B mamy, na mocy wierdzenia.5 zasosowanego do funkcji fx, y Γ x + y i zmiennych X X s, X s, PX Γ F X s PX s + X X s Γ F X s Px + X X s Γ xxs PX s + X X s Γ X s PX Γ X s i z warunku 5 w wierdzeniu.3 wynika, że X ma własność Markowa. Ponado funkcja przejścia procesu X jes równa P s, x, Γ PX Γ X s x Px + X X s Γ. W szczególności, proces Wienera jes procesem Markowa o funkcji przejścia P s, x, Γ Px + W W s Γ Γ 2π s e y x2 2 s dy, bowiem x + W W s N x, s. Zaem gęsość przejścia dla procesu Wienera ma posać: p s, x, y 2π s e y x2 2 s. 7

20 Oczywiście procesem Markowa jes akże proces posaci X µ + σw. Ponado dla dowolnej funkcji niemalejącej ϕ proces Y W ϕ jes procesem Markowa względem filracji F F ϕ. Przykład 2. Niech X, Y, Y 2,... będą niezależnymi zmiennymi losowymi o warościach w E, f n : E E E funkcjami mierzalnymi, n, 2,... i niech X n f n X n, Y n dla n, 2,.... Wówczas X n n jes łańcuchem Markowa. Isonie, dla n, 2,..., Fn X σx, Y,..., Y n i dla dowolnej funkcji mierzalnej i ograniczonej g mamy, na mocy wierdzenia.5 zasosowanego do funkcji mierzalnej g f n+ i zmiennych Y n+, X n, E gx n+ Fn X E gf n+ X n, Y n+ Fn X Eg f n+ x, Y n+ E gf n+ X n, Y n+ X n E gx n+ X n xxn i z warunku 6 w wierdzeniu.3 oraz zasady indukcji wynika, że X n n ma własność Markowa. W szczególności, jeśli X, Y, Y 2,... są niezależnymi rzeczywisymi zmiennymi losowymi oraz b, σ : N R R, o ciąg zmiennych losowych X n n określony rekurencyjnie wzorem X n+ X n + bn, X n + σn, X n Y n+ ma własność Markowa. Jes o dyskreny odpowiednik procesu dyfuzji, spełniającego równanie.7, kóry, jak się okazuje, dla dosaecznie regularnych funkcji b, σ jes również procesem Markowa. Zachodzi Twierdzenie.6. Załóżmy, że współczynniki a, b równania.7 spełniają warunki i,ii wierdzenia.8. Wówczas rozwiązanie ego równania jes procesem Markowa. Jak widzimy, procesy Markowa sanowią szeroką klasę procesów sochasycznych. W maemayce finansowej są one wykorzysywane do modelowania Markov-Funcional opisanego w dalszych rozdziałach. Zazwyczaj do opisu modelu sosuje się procesy Markowa z czasem ciągłym. W celu kalibracji modelu do danych rynkowych i implemenacji dyskreyzuje się czas, czyli de faco używa się łańcuchów Markowa. 8

21 Rozdział 2 Podsawy maemayki finansowej W ym rozdziale przedsawimy podsawowe zagadnienia maemayki finansowej, używane w nasępnych rozdziałach. Usalamy horyzon czasowy T i przesrzeń probabilisyczną Ω, F, P z filracją F F [,T ] generowaną przez proces Wienera W, zn. F F W σw s : s dla [, T ]. O ile nie zosanie powiedziane inaczej, proces Wienera w mierze Q równoważnej P będziemy oznaczać przez W Q. Będziemy eż zakładali, że obecnie znajdujemy się w chwili. 2.. Sopy procenowe i podsawowe insrumeny finansowe Przez B B [,T ] będziemy oznaczać proces opisujący rachunek bankowy. Zakładamy, że spełnia on nasępujące równanie różniczkowe: db r B d, B, gdzie r r [,T ] jes F-adapowanym procesem sochasycznym w przesrzeni Ω, F, P, nazywanym krókoerminową sopą procenową. Rozwiązaniem powyższego równania jes proces B exp r s ds, [, T ]. Definicja 2.. Obligacją zerokuponową o erminie zapadalności T zapadalną w T nazywamy insrumen finansowy, kóry gwaranuje posiadaczowi wypłaę w wysokości w danej walucie w chwili T. Warość obligacji w momencie [, T ] oznaczamy przez B, T. W przypadku usalonej srukury czasowej T < T <... T n zawsze będziemy zakładać, że isnieje obligacja zapadalna w T i, i,..., n. Definicja 2.2. Czynnik dyskonowy pomiędzy dwiema chwilami, T, oznaczany przez DF, T, jes o wielkość, kóra sprowadza do chwili warość jednoski monearnej danej waluy płanej w chwili T. Oczywiście dla każdego T, DF T, T, DF, T < dla [, T oraz DF, T [,T ] jes F-adapowanym procesem sochasycznym. Będziemy zakładać, że dla danego krzywa czynników dyskonowych obserwowana w chwili, j. funkcja DF, : [, T ] [, ] jes dopasowana do cen obligacji, zn. jeśli isnieje obligacja zerokuponowa zapadająca w chwili T, o DF, T B, T. Dla pozosałych chwil T sosujemy inerpolację i eksrapolację ak, aby orzymana funkcja DF, była różniczkowalna. Ponado będziemy zakładać, że począkowa krzywa czynników dyskonowych DF, jes znana. 9

22 Definicja 2.3. Niech T < S. Terminową sopę LIBOR obserwowaną w chwili [, T ] na okres depozyowy [T, S] oznaczamy przez L T, S i określamy wzorem L T, S DF, T DF, S DF, S lub równoważnie, + L T, S DF, T DF, S, przy czym S T jes długością okresu depozyowego liczoną według usalonej konwencji. Spoową sopą LIBOR na okres [T, S] nazywamy sopę LT, S : L T T, S. Spełnia ona zależność DF T, S LT, S DF T, S, zn. + LT, S DF T, S. Definicja 2.4. Caple odpowiednio floorle jes o opcja kupna sprzedaży sopy LIBOR L LT, S, kórej okres depozyowy zaczyna się w erminie wygaśnięcia opcji T i kończy się w S. Wypłaa z ej opcji nasępuje w chwili T i jes równa maxωl K, + L N DF T, S maxωl K, N, gdzie ω ω dla floorlea, K jes zw. ceną wykonania opcji, określającą poziom sopy procenowej, jes długością okresu depozyowego sopy L, a N jes nominałem opcji wyrażonym w walucie sopy L. Na porzeby nasępnych definicji zawarych w ym podrozdziale usalmy srukurę czasową T < T <... < T n i oznaczmy przez i T i T i długość i-ego okresu depozyowego, i,..., n. Definicja 2.5. Capem odpowiednio floorem będziemy nazywać serię n capleów floorleów na sopy LT i, T i, i,..., n, o usalonej cenie wykonania K i z usalonym nominałem N. Definicja 2.6. Konrak IRS Ineres Rae Swap, lub w skrócie: swap, jes o umowa między dwiema sronami, na podsawie kórej w usalonych chwilach czasu T,..., T n srony e wypłacają sobie wzajemnie odseki od usalonego nominału N w danej walucie, naliczane według odmiennych sóp procenowych. Jedna ze sron konraku dokonuje płaności odsekowych według sałej sopy K zw. sopy konraku IRS, usalonej w momencie zawarcia konraku T, podczas gdy druga srona w chwilach T i dokonuje płaności według sopy zmiennej LT i, T i, i,..., n. Srumień pieniężny złożony z płaności wyliczonych według sałej sopy nazywa się nogą sałą konraku IRS, naomias srumień płaności według zmiennej sopy nogą zmienną konraku IRS. Obie nogi kończą się w ym samym momencie, zwanym erminem zapadalności konraku IRS. Wyróżniamy dwa rodzaje konraków IRS: a pay-fixed IRS lub payer IRS o konrak IRS, kórego posiadacz płaci sopę sałą i orzymuje sopę zmienną; b receive-fixed IRS lub receiver IRS o konrak IRS, kórego posiadacz płaci sopę zmienną i orzymuje sopę sałą. 2

23 Dla i,..., n łączny przepływ pieniężny w chwili T i jes równy ωlt i, T i K i N, gdzie ω dla konraku payer IRS lub ω dla konraku receiver IRS. Definicja 2.7. Terminową sopę swapową w chwili [, T ] na przyszły ermin T oznaczamy przez K T, T n i określamy wzorem K T, T n DF, T DF, T n ni. i DF, T i Spoową sopą swapową nazywamy sopę KT, T n : K T T, T n. Spełnia ona zależność KT, T n DF T, T n ni i DF T, T i. Uwaga 2.. Dla n konrak IRS sprowadza się do konraku forward na sopę K o erminie zapadalności T oraz K T, T L T, T dla [, T ]. Zauważmy, że dla i,..., n mamy K T i, T n DF, T i DF, T n nki k DF, T k nji DF,T j n + n ki k DF,T j njk+ DF,T j DF,T j DF,T i DF,T n n + n ki k DF,T k DF,T n nji + j L j n + n ki k njk+ + j L j, 2. gdzie L j L T j, T j. Zaem erminowa sopa swapowa K i jes funkcją erminowych sóp LIBOR L i, L i+,..., L n. Definicja 2.8. Swapcja jes o opcja na konrak IRS, kóry rozpoczyna się w erminie wygaśnięcia opcji T i kończy się w T n, przy czym cena wykonania swapcji jes sopą konraku. Wyróżniamy dwa rodzaje swapcji: a payer swapcja payer swapion o opcja na konrak payer IRS; b receiver swapcja receiver swapion o opcja na konrak receiver IRS. Innymi słowy, payer/receiver swapcja jes opcją kupna/sprzedaży sopy swapowej KT, T n. Zauważmy, że dla n payer/receiver swapcja sprowadza się do caplea/floorlea na sopę LT, T Miary maryngałowe i zamiana numéraire Rozparujemy rynek finansowy złożony z d insrumenów pierwonych, kórych ceny S,..., S d są F-adapowanymi procesami Iô ypu càdlàg. Przesrzeń Ω, F, P wraz z procesem cen S S,..., S d nazywamy modelem rynku finansowego i oznaczamy przez M. 2

24 Definicja 2.9. Sraegią inwesycyjną lub porfelem nazywamy proces ϕ ϕ,..., ϕ d o składowych prognozowalnych i lokalnie ograniczonych. Procesem warości porfela ϕ nazywamy proces d V ϕ ϕ i S, i [, T ]. i Definicja 2.. Numéraire jes o proces sochasyczny N N [,T ], kóry z prawdopodobieńswem jes ściśle dodani dla prawie każdego [, T ], zn. N ω > dla λ P-p.w., ω. Inuicyjnie, numéraire opisuje insrumen N, względem kórego normalizowane są ceny wszyskich innych insrumenów. Innymi słowy, zamias cen S k rozparywane są ceny Sk N dzielone przez numéraire, k,,..., d. Będziemy zakładać, że N w czasie swego isnienia nie płaci dywidendy i prawie na pewno jes ściśle dodani dla każdego [, T ]. Definicja 2.. Niech N będzie numéraire. Miarę probabilisyczną P N określoną na przesrzeni Ω, F nazywamy równoważną miarą maryngałową RMM sowarzyszoną z N, jeśli P N jes równoważna mierze P oraz proces S N S N [,T ] jes P N -maryngałem względem filracji F. Na rynku z czasem dyskrenym isnienie RMM jes równoważne warunkowi braku arbirażu. Aby sformułować warunek równoważny isnieniu RMM na rynku z czasem ciągłym, musimy najpierw wprowadzić kilka echnicznych definicji. Definicja 2.2. Proces prognozowalny nazywamy prosym, jeśli jes skończoną kombinacją liniową procesów posaci ψ τ,σ], gdzie τ, σ są momenami zarzymania, a ψ jes zmienną losową F τ -mierzalną. Usalmy numéraire N. Definicja 2.3. Niech δ >. Prosą sraegię inwesycyjną ϕ nazywamy δ-dopuszczalną względem N, jeśli V ϕ P [,T ] δ. N Definicja 2.4. Mówimy, że proces cen S spełnia warunek NFLVR no free lunch wih vanishing risk, jeśli dla każdego ciągu δ n zbieżnego do zera i każdego ciągu ϕ n prosych sraegii akich, że dla n, 2,... ϕ n jes δ n -dopuszczalna względem N, zachodzi warunek V T ϕ n P n. Twierdzenie 2.. Na rynku M isnieje równoważna miara maryngałowa wedy i ylko wedy, gdy jes spełniony warunek NFLVR. Twierdzenie 2.2 Fundamenalne wierdzenie wyceny. Załóżmy, że isnieje numéraire N i równoważna miara maryngałowa P N sowarzyszona z N. Wówczas dla dowolnego numéraire U isnieje równoważna miara maryngałowa P U sowarzyszona z U. Co więcej, warość w chwili [, T ] dowolnej nasępującej w T T wypłay osiągalnej X dzielona przez U jes P U -maryngałem, zn. π X X E U P U U F, T T. 2.2 T 22

25 Ponado, pochodna Radona-Nikodýma definiująca miarę P U jes dana wzorem dp U dp N U T N U N T. 2.3 Miarę P : P B sowarzyszoną z rachunkiem bankowym jako numéraire nazywa się miarą neuralną względem ryzyka. Proces Wienera w ej mierze będziemy oznaczać przez W. Ze wzoru 2.2, zwanego maryngałowym wzorem wyceny, wynika naychmias związek między cenami obligacji a procesem krókoerminowej sopy procenowej: BT, T T B, T B E P F E P exp r s ds F. B T Technika zmiany numéraire jes niezwykle użyecznym narzędziem wyceny insrumenów pochodnych. Jeśli mamy daną wypłaę hx T zależącą od procesu X w chwili T np. od sopy procenowej, kursu wymiany walu, ceny akcji i chcemy obliczyć jej warość w chwili, możemy dobrać odpowiedni numéraire N, ak aby warość oczekiwana E hxt P N N T była możliwie najprossza do obliczenia. Jeśli dodakowo X T N T jes wypłaą osiągalną, o XN N X jes P N -maryngałem, co również jes mile widzianą własnością. Wówczas, jeśli chcemy modelować X za pomocą lognormalnego procesu Iô w mierze P N, spełniającego równanie dx µx d + σx dw PN dla pewnych funkcji deerminisycznych µ, σ, o współczynnik dryfu musi być zerowy i na mocy wzoru.8 orzymujemy ln X N ln X σ 2 sds, σ 2 sds 2 w P N, czyli znamy rozkład X w mierze P N, dzięki czemu możemy sosunkowo ławo obliczać warości oczekiwane funkcji zależnych od X. 23

26

27 Rozdział 3 Modele sopy procenowej W ym rozdziale przedsawimy uogólniony model Vasička modelujący krókoerminową sopę procenową, a akże modele rynkowe BGM i Jamshidiana modelujące obserwowane na rynku erminowe sopy LIBOR i, odpowiednio, erminowe sopy swapowe. Najpierw jednak zdefiniujemy pewne miary maryngałowe, kórych bedziemy używać. 3.. Miara forward i miara swapowa Definicja 3.. Przyjmijmy obligację zerokuponową zapadalną w chwili T jako numéraire: N B, T. Równoważną miarę maryngałową sowarzyszoną z ym numéraire nazywamy miarą T -forward lub miarą forward, jeśli określenie T nie jes isone albo wynika z koneksu i oznaczamy przez P T. Proces Wienera w ej mierze będziemy oznaczać przez W T. Uwaga 3.. Zgodnie z 2.3 miarę T -forward można zdefiniować za pomocą pochodnej Radona-Nikodýma wzorem dp T dp B T B,T P -p.n. Swierdzenie 3.. Terminowa sopa LIBOR na dowolny okres kończący się w T jes maryngałem w mierze P T, zn. W szczególności, dla S mamy E PT L S, T F u L u S, T u S<T. E PT LS, T F u L u S, T, czyli erminowa sopa LIBOR obserwowana w chwili u jes warunkową warością oczekiwaną przyszłej sopy LIBOR pod warunkiem informacji dosępnej w u. Dowód. Z definicji erminowej sopy LIBOR L S, T wynika, że L S, T B, T B, S B, T T S jes ceną pewnego akywa w chwili porfela złożonego z długiej pozycji w obligacji zapadalnej w S z nominałem T S oraz krókiej pozycji w obligacji zapadalnej w T, akże z nominałem T S. Sąd L S, T L S, T B, T B, T jes P T -maryngałem. 25

28 Definicja 3.2. Niech < T < T <... < T n, j T j T j dla j,..., n i niech k {,,..., n }. Jako numéraire przyjmijmy porfel złożony z n k długich pozycji w obligacjach zerokuponowych zapadalnych w T k+,..., T n, z nominałami odpowiednio k+,..., n. Jego proces cen będziemy oznaczać przez P k+, zn. P k+ njk+ j B, T j. Równoważną miarę maryngałową sowarzyszoną z ym numéraire nazywamy miarą swapową i oznaczamy przez P Tk+. Proces Wienera w ej mierze będziemy oznaczać przez W T k+. Uwaga 3.2. Zauważmy, że P n n B, T n, zaem P Tn P Tn. Swierdzenie 3.2. Terminowa sopa swapowa K jes maryngałem w odpowiedniej mierze swapowej, zn. przy powyższych oznaczeniach zachodzi E PTk+ K T k, T n F u K u T k, T n u Tk W szczególności dla T k mamy E PTk+ KT k, T n F u K u T k, T n, czyli erminowa sopa swapowa w chwili u na ermin T k jes warunkową warością oczekiwaną przyszłej sopy swapowej KT k, T n pod warunkiem informacji dosępnej w u. Dowód. Z definicji erminowej sopy swapowej wynika, że K T k, T n n jk+ j B, T j B, T k B, T n jes ceną pewnego akywa w chwili porfela złożonego z długiej pozycji w obligacji zapadalnej w T k i krókiej pozycji w obligacji zapadalnej w T n. Sąd K T k, T n K T k, T n n jk+ j B, T j njk+ j B, T j jes P Tk+ -maryngałem Uogólniony model Vasička Tak zwane modele dyfuzyjne sopy krókoerminowej są zadane przez sochasyczne równanie różniczkowe dr µ, r d + σ, r dw, 3. gdzie W jes procesem Wienera w mierze wolnej od ryzyka P, a funkcje µ, σ : [, T ] R R są dosaecznie regularne np. spełniające warunki liniowego wzrosu i Lipschiza, jak w wierdzeniu.8, ak aby powyższe równanie z warunkiem począkowym r > miało jednoznaczne markowskie rozwiązanie. Wówczas warość w chwili dowolnej obligacji zerokuponowej zapadalnej w T jes zadana wzorem B, T E P exp 26 T r s ds r,

29 a więc jes funkcją zmiennych, T, r : B, T B, T, r. 3.2 Pozwala o efekywnie wyceniać insrumeny pochodne za pomocą rozmaiych meod numerycznych. Jednym z pierwszych modeli sopy krókoerminowej jes model zaproponowany przez Vasička w roku 977, w kórym dynamika sopy r w mierze P jes zadana przez równanie z warością począkową r : dr θ ar d + σdw dla pewnych sałych r, θ, a, σ >. Sopa krókoerminowa w ym modelu ma zw. własność powrou do średniej : w przypadku, gdy r < θ a, dryf procesu jes dodani; jeśli zaś r > θ a, o dryf jes ujemny. Zaem dla każdego sopa krókoerminowa r zbliża się do warości θ a. Wadą modelu Vasička jes niemożność dopasowania go do bieżącej srukury erminowej sóp procenowych. Aby dokładnie skalibrować model do rynkowych cen obligacji, musielibyśmy rozwiązać nieskończoną liczbę równań posaci B, T E P exp T r s ds, T [, T ], co wymagałoby wprowadzenia nieskończenie wielu paramerów. Ten problem sanowił moywację dla Hulla i Whie a 2 do rozszerzenia modelu Vasička poprzez zasąpienie sałych paramerów funkcjami zależnymi od czasu i modelowanie sopy krókoerminowej równaniem dr θ ar d + σdw, r, 3.3 gdzie funkcje θ, a, σ : [, T ] R są ograniczone. Model en, nazywany uogólnionym modelem Vasička lub modelem Vasička-Hulla-Whie a, daje możliwość dokładnej kalibracji do począkowej srukury erminowej sóp procenowych, a akże do srukury erminowej współczynników zmienności erminowej sopy LIBOR. Ponado zachowuje on własność powrou do średniej w ym sensie, że dla każdego sopa krókoerminowa r zbliża się do krzywej θ a o ile a. Paramer a bywa nazywany paramerem powrou do średniej. Wyznaczymy eraz rozkład i auokorelację procesu r. Przyjmijmy nasępujące oznaczenia: φ exp asds, ψ, T Ze wzoru na całkowanie przez części mamy T φu du, ξ φ 2 uσ 2 udu. 3.4 dφr φar d + φdr φθd + σdw. Zaem dla s < a więc r φsr s + φuθudu + φuσudwu, 3.5 φ s s r r s N φsr s + φuθudu, φ s ξ ξs φ 2. zob. O. Vasiček, An equilibrium characerisaion of he erm srucure. Journal of Financial Economics 5, s , zob. J. Hull, A. Whie, Pricing ineres-rae derivaive securiies. Review of Financial Sudies 3, s ,

30 Ponado dla s < u < mamy oraz Covr, r u r s corrr, r u r s ξu ξs φφu ξu ξs ξ ξs. W szczególności, jeśli a a >, σ σ, o φ e a, ξ σ2 2a e 2a oraz e corrr, r u r s 2au e 2as e 2a, s < u <. 3.6 e2as Jeśli naomias a, σ σ, o φ, ξ σ 2 oraz corrr, r u r s u s s dla s < u <, czyli auokorelacja sopy r jes ożsama z auokorelacją procesu Wienera wynika o również bezpośrednio ze wzoru 3.3. Poniższe wierdzenie pokazuje, że, dla danych s < u <, korelacja sóp r, r u pod warunkiem r s jes malejącą funkcją parameru a >. 3 Twierdzenie 3.. Rozważmy uogólniony model Vasička ze sałymi paramerami a > i σ. Dla dowolnych < s < u < korelacja między sopami r, r u pod warunkiem r s jes funkcją malejącą względem parameru a. Dowód. Usalmy < s < u <. Mamy corr 2 r, r u r s e2au s e 2a s. Oznaczmy c s u s >, x xa 2au s. Ponieważ funkcja x jes rosnącą bijekcją na R +, więc wysarczy wykazać, że dla dowolnie usalonego c > funkcja fx ex e cx jes malejąca na R +. Oczywiście f jes klasy C. Ponado mamy nasępujący ciąg równoważnych nierówności: f x < e x e cx e x ce cx < ce cx e x < e c+x c. Oznaczmy gx ce cx e x, hx e c+x c. Zauważmy, że dla dowolnego n,,... zachodzi g n x c n+ e cx e x, h n x c c + n e c+x oraz g n h n dla n {, } zachodzi równość, a dla n > nierówność osra. Zaem aby wykazać, że gx < hx, wysarczy wykazać, że isnieje n N akie, że g n x < h n x dla wszyskich x >. Ale g n x < c n+ e cx, c c + n e cx < h n x, 3 Jes o wynik własny auora pracy. 28

31 zaem wysarczy udowodnić, że isnieje n spełniające nierówność c n+ < c c + n, kóra z kolei jes równoważna nierówności c n < c. c + c Ta osania nierówność jes oczywiście prawdziwa dla dosaecznie dużego n, gdyż c n n < c c + c wysarczy wziąć n log c c c+ c. Dodakową zaleą uogólnionego modelu Vasička jes zw. afiniczność srukury erminowej. Definicja 3.3. Model krókoerminowej sopy procenowej, w kórym ceny obligacji mają posać B, T A, T e C,T r 3.7 dla pewnych funkcji deerminisycznych A,C, nazywamy modelem afinicznym srukury erminowej. Powyższą nazwę uzasadnia fak, że kapializowana w sposób ciągły sopa zwrou z obligacji o cenie zadanej wzorem 3.7 jes funkcją afiniczną sopy krókoerminowej, zn. ln B, T R, T T ln A, T + C, T r. T Pokażemy eraz, że uogólniony model Vasička jes modelem afinicznym srukury erminowej i wyznaczymy współczynniki A i C. 4 Z równości 3.5 i swierdzenia.3 b widzimy, że dla < T zmienna T r u du pod warunkiem r ma rozkład normalny. Mamy gdzie oraz m,t T T Er u r du r u du r N m,t, V,T, T T 2 T r V,T E P r u du m,t E P T T E P φsσs s u φr + φsθsds du φu φu u 2 T φu du dw s φ 2 sσ 2 s φsσsdw s du 2 T s 2 φu du ds, przy czym przedosania równość wynika ze sochasycznej wersji wierdzenia Fubiniego 5. Na mocy lemau 5. p. Dodaek orzymujemy B, T E P exp T r u du r A, T e C,T r, Jes o wynik auora pracy, nieznaleziony w dosępnej lieraurze. 5 por. w. IV.45 w: P. Proer, Sochasic Inegraion and Differenial Equaions, Springer, Berlin Heidelberg New York

32 gdzie A, T exp T C, T φ T u φsθsds du + T φ 2 sσ 2 T s φu 2 s 2ds φu du, 3.9 du φψ, T. 3. φu Wyprowadzimy jeszcze inny wzór na cenę obligacji w uogólnionym modelu Vasička. Twierdzenie 3.2. Dla T > S > warość w chwili S obligacji zapadalnej w T w uogólnionym modelu Vasička wyraża się wzorem BS, T B, T B, S exp ψs, T X S + 2 ψ2 S, T VarX S, 3. gdzie X φsσsdw T s. W szczególności, jeśli a a, o zachodzi BS, T B, T e B, S exp as e at X S + e as e at 2 VarX S 3.2 a 2 a Dowód. Rozparzmy proces B,S B,T. Korzysając z reprezenacji 3.8 i wzoru 3., orzymujemy B, S A, S B, T A, T ec,t C,Sr F, r, gdzie F, r A,S A,T eφψs,t r. Wzór Iô zasosowany do funkcji F ma posać d B, S B, T F, r d + F r, r dr + 2 F 2 r 2, r d r. Ponieważ B,S B,T jes maryngałem w mierze P T, więc na mocy wniosku. powyższe równanie przyjmie w ej mierze posać Sąd d B, S B, T F r, r σdw T B, S B, T φψs, T σdw T. B, S B, S B, T B, T exp ψs, T φsσsdws T 2 ψ2 S, T φ 2 sσ 2 sds i kładąc S, dosajemy BS, T B, T B, S exp ψs, T co prowadzi do wzoru 3.. W szczególności, jeśli a a, o co daje wzór 3.2. ψs, T S T S φsσsdws T + S 2 ψ2 S, T φ 2 sσ 2 sds, e as ds e as e at a 3,

33 Wniosek 3.. Cena w S obligacji zapadalnej w T jes funkcją X S z paramerami S, T, a, σ : BS, T BS, T, X S, gdzie BS, T, ξ B, T B, S exp ψs, T ξ + S 2 ψ2 S, T φ 2 sσ 2 sds. Na koniec ego podrozdziału wyznaczymy sochasyczne równanie różniczkowe na erminową sopę LIBOR. Jes o uogólnienie wyniku z monografii [HK], s Twierdzenie 3.3. Rozważmy uogólniony model Vasička zadany równaniem 3.3, usalmy srukurę czasową T < T <... < T n i niech i T i T i dla i,..., n. Wówczas dla i,..., n erminowa sopa LIBOR na okres [T i, T i ], L i : L T i, T i spełnia sochasyczne równanie różniczkowe w mierze P Ti : dl i L i + i φψt i, T i σdw T i. 3.3 W szczególności, jeśli a a, o erminowa sopa LIBOR spełnia równanie dl i L i + i e at i e at i e a σdw T i. 3.4 a Dowód. Korzysając z reprezenacji 3.8 i wzoru 3., orzymujemy gdzie L i B, T i B, T i A, Ti i i B, T i A, T i ec,t i C,T i r f, r, Wzór Iô zasosowany do funkcji f ma posać dl i A, f, r Ti i A, T i eφψt i,t i r. f, r d + f r, r dr + 2 f 2 r 2, r d r. Ponieważ L i jes maryngałem w mierze P Ti por. swierdzenie 3., więc na mocy wniosku. powyższe równanie przyjmie w ej mierze posać dl i Przyjmując a a, dosajemy dl i f r, r σdw T i L i L i Ti + i e as ds e a σdw T i T i + i φψt i, T i σdw T i. L i + i e at i e at i e a σdw T i. a Zauważmy, że z posaci 3.3 wynika, że proces Y i rozkładzie lognormalnym w mierze P Ti. : L i + i jes maryngałem o 3

34 3.3. Modele rynkowe Chociaż wiele modeli sopy krókoerminowej ma dobre własności, akie jak isnienie analiycznych wzorów na ceny obligacji i możliwość efekywnej implemenacji, o jednak ich wspólną wadą jes fak, że modelują sopę czyso eoreyczną, nieobserwowalną na rynku. To powoduje ograniczoną możliwość kalibracji modelu do rynkowych cen insrumenów np. capów, floorów, swapcji. Taka kalibracja wymaga użycia bardziej skomplikowanych i nie zawsze saysfakcjonujących meod numerycznych. W celu ominięcia ych problemów rozwinięo zw. modele rynkowe, w kórych modelowane są wysępujące w prakyce erminowe sopy LIBOR i swapowe. W ym podejściu posuluje się, że w zależności od wybranego modelu erminowe sopy LIBOR lub erminowe sopy swapowe są procesami lognormalnymi w odpowiednich miarach maryngałowych, dzięki czemu orzymuje się zgodność cen capów i floorów odpowiednio swapcji ze sosownymi wzorami Blacka, używanymi w prakyce rynkowej. Opiszemy eraz model rynkowy sóp LIBOR, znany również pod nazwą modelu BGM. Zosał on wprowadzony w roku 997 przez Milersena, Sandmanna i Sondermanna 6 oraz Brace a, Gąarka i Musielę 7. Niech < T <... < T n i j T j T j dla j,..., n. Oznaczmy przez L j proces erminowej sopy LIBOR na j-y okres depozyowy, L j L T j, T j [,Tj ] dla każdego j,..., n. Zgodnie ze swierdzeniem 3. proces en jes maryngałem w mierze T j -forward. Dodakowo zakładamy, że ma on w ej mierze rozkład lognormalny, zn. spełnia sochasyczne równanie różniczkowe posaci dl j L j σ j dw T j, 3.5 gdzie σ j : [, T j ] R jes ograniczoną funkcją deerminisyczną. Ponieważ σ j jes ograniczone, więc z kryerium Nowikowa wynika, że L j rzeczywiście jes maryngałem w mierze P Tj. Ze wzoru.8 widzimy, że L j czyli dla dowolnego [, T j ] sopa L j P Tj. Dokładniej, ln L j L j exp σ j sdw T j s σj 2 s ds, N rzeczywiście ma rozkład lognormalny w mierze L j σj 2 sds, σj 2 sds. 2 Ponieważ funkcja DF, jes malejąca, więc dla j,..., n L j > i ze wzoru 3.6 wynika, że proces L j jes dodani. Zadaliśmy dynamikę każdej z n erminowych sóp LIBOR w odpowiedniej mierze forward. Sprowadzimy eraz wszyskie sopy do jednej miary maryngałowej; mianowicie wyznaczymy ich dynamikę w mierze forward na chwilę T n. Usalmy i {,..., n }. Zgodnie z wierdzeniem 2.2 pochodna Radona-Nikodýma wiążąca miary P Ti i P Ti+ jes dana wzorem ϱ i dp T i dp Ti+ B, T i B, T i+ F B, T i B, T i+ B, T i+ + i+ L i+ B, T i 6 zob. K. Milersen, K. Sandmann, D. Sondermann, Closed form soluions for erm srucure derivaives wih log-normal ineres raes. Journal of Finance 52, s , zob. A. Brace, D. Gąarek, M. Musiela, The marke model of ineres rae dynamics. Mahemaical Finance 7, s ,

35 Sąd i ze wzoru 3.5 mamy dϱ i B, T i+ B, T i i+σ i+ L i+ dw T i+ i+σ i+ L i+ + i+ L i+ ϱ i + i+ L i+ i+ σ i+ L i+ dw T i+ ϱ i γ i+ dw T i+, gdzie γ i+, [, T i ]. Zauważmy, że skoro funkcja σ i+ jes ograniczona, o proces γ i+ eż jes ograniczony, gdyż i+l i+ <. Zaem γ i+ P Ti por..3. Ze swierdzenia.5 wynika, że ϱ i exp γ s i+ dw T i+ s 2 gdyż ϱ i. Z wierdzenia Girsanowa orzymujemy Ierując powyższe rozumowanie n i razy, dosajemy + i+ L i+ γ i+ s i+l i+ + i+ L i+ 2 ds, dw T i dw T i+ γ i+ d. 3.7 dw T i dw Tn n ki+ γ k d. Zauważmy, że powyższe równanie jes spełnione akże dla i n. Osaecznie orzymujemy nasępującą dynamikę erminowych sóp LIBOR: n n dl i L i σ i dw Tn γ k d k σ k L k ki+ ki+ + k L k L i σ i d + L i σ i dw Tn 3.8 dla [, T i ], i,..., n. Omówimy eraz model rynkowy sóp swapowych. Zosał on wprowadzony w roku 997 przez Jamshidiana 8 dlaego eż jes nazywany modelem Jamshidiana. Jego konsrukcja jes analogiczna do modelu BGM. Zakładamy, że dla każdego j,..., n erminowa sopa swapowa K j : K T j, T n [,Tj ] spełnia sochasyczne równanie różniczkowe w mierze swapowej P Tj : dk j K j σ j d W T j, gdzie σ j : [, T j ] R jes ograniczoną funkcją deerminisyczną. Analogicznie jak w przypadku modelu BGM wnioskujemy, że K j jes w mierze P Tj maryngałem o rozkładzie lognormalnym, zn. K j K j exp σ j sd W T j s σj 2 sds, zob. F. Jamshidian, LIBOR and swap marke models and measures. Finance and Sochasics, s , 33

36 ln K j N K j σj 2 sds, σj 2 sds. 2 Dla pełności opisu wyznaczymy dynamikę erminowych sóp swapowych K,..., K n w jednej mierze maryngałowej, mianowicie mierze P Tn P Tn, choć dynamika a jes dużo bardziej skomplikowana niż dynamika erminowych sóp LIBOR 3.8 w modelu BGM. Niech K K,..., K n. Z wniosku. wynika, że dla i,..., n dynamika sopy K i jes zadana równaniem dk i µ i, K d + σ i K i dw Tn, gdzie µ i jes procesem sochasycznym. Przyjmijmy dla wygody nasępujące oznaczenia:, P i n k B, T k, ki ˆP i P i B, T n, [, T i], i,..., n, Zauważmy, że ˆP i n ki ˆP n Ψ i i + j K j+, i,..., n, Ψ. j n oraz dla i,..., n zachodzi B, T k i+ k ˆP + i B, T i B, T n B, T n i+ ˆP + i + K i+ ˆP i+ i + i+ ˆP + i + i K i+ Po zasosowaniu wzoru na całkowanie przez części mamy i d ˆP + i K i+ i+ d ˆP + B, T i B, T n B, T n i+ ˆP. i+ + i ˆP dk i+ + i d K i+, ˆP i Korzysając z faku, że dla każdego j,..., n ˆP j jes maryngałem w mierze P Tn, orzymujemy i d ˆP + i K i+ i+ i+ d ˆP + i ˆP K i+ σ i+ dw Tn oraz dla i,..., n. Sąd i+ i ˆP µ i+, K d + i σ i+ K i+ d W Tn, ˆP i+ 3.2 Ψ i i d ˆP i przez indukcję orzymujemy Ψ i n i d ˆP czyli i d ˆP ki ˆP i Ψ k n ji+ Ψ i i+ d ˆP + Ψ i ˆP k+ k K k+ + k K k+ Ψ j Ψ i ˆP j ˆP i ˆP i+ i K i+ + i K i+ σ i+ dw Tn σ k+ dw Tn +Ψ n n d ˆP, i,..., n, j K j + j K j σ j dw Tn, i,..., n