Teoria ze Wstępu do analizy stochastycznej
|
|
- Karolina Wróbel
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 eoria ze Wstępu do analizy stochastycznej Marcin Szumski 22 czerwca 21 1 Definicje 1. proces stochastyczny - rodzina zmiennych losowych X = (X t ) t 2. trajektoria - funkcja (losowa) t X t (ω) f : E 3. przyrosty niezależne - t t 1 t n X t, X t1 X t, X t2 X t1,..., X tn X tn 1 liniowo niezależne 4. przyrosty stacjonarne - t>s X t X s X t s X 5. proces Wienera (Ruch Browna) - proces stochastyczny W t. że: W = p.n., W ma przyrosty niezależne, s<t W t W s N(, t s), P(trajektorie W ciągłe) = 1 6. proces gaussowski - t1,...,t n (X t1, X t2,..., X tn ) ma rozkład normalny 7. zbiór cylindryczny - {x R : (x t1, x t2,..., x tn ) A}, dla ustalonych t 1,..., t n, A B(R ) 8. rozkład procesu - miara probabilistyczna na B(R ) dana wzorem µ X (C) = P((X t ) t C), C B(R ) 9. rozkład skończenie wymiarowy - miara na R n dana wzorem µ t1,...,t n (A) = P((X t1,..., X tn ) A), A B(R n ) 1. warunki zgodności dla rodziny rozkładów skończenie wymiarowych: t1,...,t n σ - permutacja A1,...,A n R µ t1,...,t n (A 1 A n ) = µ tσ(1),...,t σ(n) (A σ(1) A σ(n) ) t1,...,t n+1 A1,...,A n R µ t1,...,t n+1 (A 1 A n R) = µ t1,...,t n (A 1 A n ) 11. modyfikacja procesu - X jest modyfikacją Y t P(X t = Y t ) = procesy nierozróżnialne X, Y nierozróżnialne P( t X t = Y t ) = hoelderowska ciagłość - f : [a, b] R C< s,t [a,b] f (s) f (t) C t s γ 14. stochastyczna ciagłość - t n t X tn P Xt 1
2 15. ciagłość wg p-tego momentu - t n t E X tn X t p 16. filtracja - (F t ) t - rosnąca rodzina σ-ciał, t s F t F s 17. filtracja generowana - (F X t ) t F X t = σ(x s : s t) X = (X t ) t - proces stochastyczny 18. proces zgodny z filtracja - t X t - F t -mierzalny 19. moment zatrzymania - zmienna losowa τ o wartościach w { } t. że t {τ t} F t 2. filtracja prawostronnie ciagła - F t+ = F t, gdzie F t+ = s>t F s 21. zwykłe warunki filtracji - prawostronnie ciągła oraz (A F P(A) = ) A t F t 22. σ-ciało zdarzeń obserwowalnych do chwili τ - F τ = {A F : t A {r t} F t }, gdzie F = σ ( t F t ) 23. proces progresywnie mierzalny t A B(R) {(s, ω) Ω : s t, X s (ω) A} B( (, t]) F t 24. mierzalność zmiennej losowej względem σ-ciała - X mierzalna względem σ- ciała G zawierającego A {ω A : X(ω) B} G dla każdego zbioru borelowskiego B 25. martyngał - (X t, F t ) t - martyngał t X t jest F t -adaptowalny, E X t < oraz x<s E(X t F s ) = X s p.n. (podmartyngał, nad- ) 26. funkcja podharmoniczna - f : R n R, t. że x R n r f (x) 1 f (x + S n 1 S n 1 ry)dσ(y), gdzie σ(y) - miara powierzchniowa na sferze, S n 1 = dσ(y) S n 1 dla f C 2 równoważnie funkcja podharmoniczna, gdy f < 27. liczba przejść funkcji przez przedział 28. rodzina jednostajnie całkowalna - lim C E X i 1 { Xi >C} = 29. podział przedziału [a, b] - Π = (t 1,..., t n ), gdzie t 1 < < t n, podpodział - Π Π - wszystkie punkty Π punktami Π 3. średnica podziału - diam(π) = max i t i+1 t i 31. normalny ciag podziałów - Π n, t. że diam(π n ) n oraz Π n+1 Π n 32. całka Reimanna-Stjeltjesa - b g(t) d f (t) = lim kn a n j=1 g(s k j )[ f (tk j+1 ) f (tk j )] t k j s k j t k j+1, jeśli granica istnieje i jest skończona niezależnie od wyboru normalnego ciągu podziałów Π n = (t n,..., tn k n ) 33. wahanie funkcji - Wah [a,b] ( f ) = sup n N sup a=t <t 1 < <t n =b ni=1 f (t i ) f ( t i 1 ) 34. całka Lebesgue a-stjeltjesa 2
3 35. całka Paleya-Wienera - rozszerzenie do izometrii na L 2 definicji dla funkcji schodkowych h = k i=1 α i 1 (ti 1,t i ], I(h) = t h(s)dw s = k i=1 α i (W(t i ) W(t i 1 ) 36. proces elementarny - X t = ξ 1 {} + n k=1 ξ k 11 (tk 1,t k ](t), gdzie = t < t 1 < < t n <, ξ k - ograniczone zmienne losowe 37. proces I(X) - I(X) t = ( t X sdw s ) t = m k=1 ξ k 1(W tk t W tk 1 t) 38. izometryczna całka stochastyczna Ito - rozszerzenie I(X) do liniowej izometrii z ε w M 2,c 39. σ-ciało zbiorów prognozowalnych P - σ-ciało podzbiorów [, ) Ω generowane przez zbiory A, (s, t] A, s < t <, A F s 4. proces prognozowalny - traktowany jako funkcja X : [, ) Ω R jest mierzalny wzgl. P 41. proces zatrzymany - X τ t = X t τ, gdzie τ - moment zatrzymania 42. całka stochastyczna XdW martyngał lokalny - M = (M t ) t<, t. że adaptowany oraz dla τ n M τ n jest martyngałem. jeśli M τ n M 2,c, to martyngał lokalny ciągły całkowalny z kwadratem (M2,c 44. całka izometryczna XdM,loc ) 45. nawias skośny - < M >= (< M > t ) t - dla M M 2,c, t. że < M > = oraz (M 2 t < M > t ) t jest martyngałem równoważnie: < M >= lim diam(π) sum n k=1 (M t k M tk 1 ) całka stochastyczna XdM < M, N > = 1 4 (< M +N > < M N >) = lim diam(π) sum n k=1 (M t k M tk 1 )(N tk N tk 1 ) =jedyny taki proces, że < M, N > =, trajektorie o wahaniu skończonym oraz MN < M, N > M 2,c 48. proces lokalnie ograniczony - τn t. że X τ n X są ograniczone 49. semimartyngał - proces Z = (Z t ) t< dający się przedstawić w postaci Z = Z + M + A, gdzie Z F -mierzalna, M M 2 loc, A Vc, A = M = 5. całka względem semimartyngału XdZ = XdM + XdA, gdzie Z j. w., pierwsza całka - stochastyczna, druga - Stieltjesa 51. rozwiazanie jednorodnego równania stochastycznego proces X rozwiązuje jednorodne równanie stochastyczne dx t = b(x t )dt + σ(x t )dw t, X s = ξ, gdzie b, σ - ciągłe, R R, ξ - zm. losowa F s -mierzalna, gdy: X t = ξ + t b(x s r)dr + t σ(x s r)dwr, t [s, ) 3
4 52. dyfuzja startujaca z ξ - proces rozwiązujący powyższe równanie, σ - współczynnik dyfuzji, b - współczynnik dryfu 53. rozwiazanie niejednorodnego równania stochastycznego - proces X rozwiązuje niejednorodne równanie stochastyczne dx t = b(t, X t )dt + σ(t, X t )dw t, X s = ξ, gdzie b, σ - ciągłe, R 2 R, ξ - zm. losowa F s -mierzalna, gdy: X t = ξ + t b(r, X s r)dr + t σ(r, X s r)dwr, t [s, ) 54. przestrzenie Λ 2 = {(X t) < prognozowalny: t X2 s ds < p.n. dla < t < } L 2 = L 2([, ) Ω, P, λ P) = {X = (X t ) t< prognozowalny:e X2 s ds < } V c - procesy ciągłe, ograniczone, których trajektorie mają wahanie skończone w każdym przedziale [, t] dla t < M 2,c - przestrzeń martyngałów M = (M t) t względem (F t ) t [,], trajektorie ciągłe, EM 2 < Λ 2 (M) = {(X t) < prognozowalny: t X2 s d < M > s < p.n. dla < t < } 55. generator procesu dyfuzji 56. całka Stratonowicza t Y s dz s = t Y s dz s < M, N >, gdzie Z = Z +A+M, Y = Y + B + N trzeba dodać definicje dla wielowymiarowych 2 wierdzenia i fakty 1. Kiedy X procesem Wienera proces gaussowski, ciągłe trajektorie p.n., EX t =, Cov(X t, X s ) = min{t, x} X = p.n., X ma przyrosty niezależne, P(trajektorie X ciągłe) = 1, X ma przyrosty stacjonarne, EX 1 =, Var(X 1 ) = 1 2. Równość na zbiorze przeliczalnym A B(R ) -przeliczalny ((x, y R t x(t) = y(t)) (x A y A)) 3. Nieróżniczkowalność trajektorii ω P( t t W t (ω) jest różniczkowalne w t ) = 4. wierdzenie Kołmogorowa jeśli rodzina rozkładów skończenie wymiarowych (µ t1,...,t n ) spełnia warunki zgodności, to istnieje proces (X t ) t mający skończenie wymiarowe rozkłady równe (µ t1,...,t n ) 4
5 5. wierdzenie o ciagłej modyfikacji X = (X t ) t [a,b], α, β, C t,s [a,b] E X t X s α C t s 1+β X=( X t ) t [a,b] - modyfikacja procesu X o wszystkich trajektoriach ciągłych, trajektorie modyfikacji są z prawdopodobieństwem 1 hoelderowsko ciągłe z wykładnikiem γ < β α W 6. prawo iterowanego logarytmu lim sup t t 2t ln ln t = 1 p.n. lim in f t 7. lim t W t t W t 2t ln ln t = 1 p.n. = p.n. 8. wierdzenie Dooba (optional sampling) - (X t ) t [a,b),b - martyngał o prawostronnie ciągłych trajektoriach, σ τ - ograniczone momenty zatrzymania, E(X σ F τ ) = X τ p.n. 9. nierówność Dooba - X Λ 2, τ - moment zatrzymania Esup t<τ( t X dw)2 4E τ X2 s ds 1. funkcja harmoniczna a martyngał - W t = (W (1) t,..., W (d) t ) - d-wymiarowy proces Wienera, f : R d R - funkcja harmoniczna, t E f (W t ) < ( f (W t ), Ft W ) - martyngał 11. zbieżność prawie na pewno (X t ) t [a,b),b - podmartyngał o prawostronnie ciągłych trajektoriach. sup t [a,b) EX t + < X = lim t b X t istnieje, skończony p.n. oraz E X < 12. zbieżność w L 1 - (X t ) t [a,b),b - prawostronnie ciągły martyngał, (X t ) t [a,b) - jednostajnie całkowalna Xb -całkowalna lim t b E X t X b = Xb -całkowalna, F b -mierzalna, t. że X t = E(X b F t ) X b = lim t b X t p.n. 13. zbieżność w L p (p > 1) - (X t ) t [a,b),b - prawostronnie ciągły martyngał, sup t [a,b) E X t p < ( X t p ) t [a,b) - jednostajnie całkowalna Xb L p lim t b E X t X b p = Xb L p, F b -mierzalna, t. że X t = E(X b F t ) X b = lim t b X t p.n. 14. nieskończone wahanie ciagłych martyngałów - (M t ) t [a,b) - ciągły martyngał, A = {ω : M t (ω) ma wahanie skończone na [a, b]} M t - ma z prawdopodobieństwem 1 trajektorie stałe na A 15. X L 2 t (( t X dw)2 t X2 ds) t - martyngał 16. M - adaptowalny, prawostronnie ciągły, M =, t E M t <. Wówczas: M - martyngał τ -moment zatrzymania EM τ = 17. X L 2 M s = s X tdw t M 2,c EM s = 18. wierdzenie Grisanowa <, Y-prognozowalny, Y2 s ds <, Z t = exp( t Y s dw s 1 t 2 Y2 s ds), EZ = 1 5
6 V t = W t t Y s ds, t [, ] - proces Wienera względem wyjściowej filtracji na zmodyfikowanej przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, Q ), gdzie Q (A) = Z A t dp, A F 19. exp( t Y s dw s 1 t 2 Y2 s ds) - jest martyngałem lokalnym, gdy Y Λ 2 2. Kryterium Novikowa Y - proces prognozowalny, Eexp( 1 2 Y s 2 ds) < spełnione założenia twierdzenia Grisanowa 21. Ilość rozwiazań równania różniczkowegob, σ - spełniają warunek Lipschitza równanie stochastyczna ma co najwyżej jedno rozwiązanie 22. b, σ - spełniają warunek Lipschitza Eξ 2 < równanie stochastyczna ma dokładnie jedno rozwiązanie 23. wierdzenie Levy ego M - martyngał lokalny, M =, M 2 t t - martyngał lokalny M jest procesem Wienera 3 Wzory 1. Cov( t f (s) dw s, t f (s) dw s) = t f (s)g(s) ds 2. E( X s dw s ) 2 = E X2 s ds 3. E X s dw s = X2 s ds 4. < X dw > t = t X2 dt 5. τ t X dm = t X dmτ = t 1 (,τ]x dm 6. M = X s dw s Y s dm s = Y s X s dw s 7. t X s d(am + bn) = a t X s dm + b t X s dn 8. < X dm, Y dn >= XY dmn 9. Wzór Ito f (Z t ) = f (Z ) + t f (Z s ) dz s + 1 t 2 f (Z s ) d < M > s, gdzie Z = Z + M + A - ciągły semimartyngał 1. wielowymiarowy wzór Ito f (Z t ) = f (Z )+ d i=1 11. t f x i (Z s ) dz ( si)+ 1 2 d i, j=1 Z (i) = Z (i) + M(i) + A (i) -ciągłe semimartyngały t 2 f (Z xi 2 s ) d < M (i), M ( j) > s, gdzie 6
Zadania ze Wstępu do Analizy Stochastycznej 1. = 0 p.n.
Zadania ze Wstępu do Analizy Stochastycznej 1 1. Znajdź rozkład zmiennej 5W 1 W 3 + W 7. 2. Dla jakich parametrów a i b, zmienne aw 1 W 2 oraz W 3 + bw 5 są niezależne? 3. Znajdź rozkład wektora losowego
Bardziej szczegółowo2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
Bardziej szczegółowo2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
Bardziej szczegółowo}, gdzie a = t (n) )(f(t(n) k. ) f(t(n) k 1 ) 1+δ = 0,
Zadania z Procesów Stochastycznych II - 1 1. Niech π n = {t (n), t(n) 1,..., t(n) k n }, gdzie a = t (n) < t (n) 1
Bardziej szczegółowoZadania z Procesów Stochastycznych 1
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 Definicja Procesem Poissona z parametrem (intensywnością) λ > 0 nazywamy proces stochastyczny N = (N t ) t 0 taki, że N 0 = 0; (P0) N ma przyrosty niezależne; (P1)
Bardziej szczegółowo8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,
Bardziej szczegółowoWstęp do Analizy Stochastycznej
Matematyka stosowana Wstęp do Analizy Stochastycznej Rafał Latała R.Latala@mimuw.edu.pl http://www.mimuw.edu.pl/~rlatala Uniwersytet Warszawski, 211 Streszczenie. Ogólna teoria procesów, proces Wienera.
Bardziej szczegółowoWstęp do Analizy Stochastycznej
Wstęp do Analizy Stochastycznej Rafał Latała 6 września 21 Poniższy tekst zawiera notatki do wykładów ze Wstępu do Analizy Stochastycznej, prowadzonego w semestrze wiosennym 21 roku. Gwiazdkami oznaczono
Bardziej szczegółowo4 Kilka klas procesów
Marek Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 4 48 4 Kilka klas procesów 4.1 Procesy rosnące i przestrzenie V,, loc Jak poprzednio niech (Ω, F, F, P ) będzie zupełną bazą stochastyczną. Definicja 4.1 Proces
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowoOśrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski,
Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 27 luty, 2012 Ośrodkowość procesów Dalej zakładamy, że (Ω, Σ, P) jest zupełną przestrzenią miarową. Definicja.
Bardziej szczegółowoPROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω)
PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω) określonych na tej samej przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowo21 maja, Mocna własność Markowa procesu Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126
Mocna własność Markowa procesu Wienera Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 21 maja, 2012 Mocna własność Markowa W = (W 1,..., W d ) oznaczać
Bardziej szczegółowoPrognozowalne kryterium całkowalności według A. N. Shiryaeva i A. S. Cherny ego Joanna Karłowska-Pik. Historia
1 Prognozowalne kryterium całkowalności według A. N. Shiryaeva i A. S. Cherny ego Joanna Karłowska-Pik Całka stochastyczna ( t ) H s dx s = H X. t Historia K. Itô (1944) konstrukcja całki stochastycznej
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 Funkcją tworzącą momenty (transformatą Laplace a) zmiennej losowej X nazywamy funkcję M X (t) := Ee tx, t R. 1. Oblicz funkcję tworzącą momenty zmiennych o
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoJak rzucać losowe spojrzenia na ruch Browna by w nim wszystko dojrzeć
Jak rzucać losowe spojrzenia na ruch Browna by w nim wszystko dojrzeć Jan Ob lój Uniwersytet Warszawski Université Paris 6 Konwersatorium IMPAN, Listopad 2004 p.1/22 Plan referatu 1. Wstępne definicje
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne
Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 21 lutego 2017 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy
Bardziej szczegółowo2. P (E) = 1. β B. TSIM W3: Sygnały stochastyczne 1/27
SYGNAŁY STOCHASTYCZNE Przestrzeń probabilistyczna i zmienna losowa Definicja Przestrzenią probabilistyczną (doświadczeniem) nazywamy trójkę uporządkowaną (E, B, P ), gdzie: E przestrzeń zdarzeń elementarnych;
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ,
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II -. Udowodnij, że dla dowolnych liczb x n, x, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x.. Wykaż, że n n k= δ k/n λ, gdzie λ jest miarą Lebesgue a na [, ].. Podać przykład
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne
Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 2 marca 2015 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane są
Bardziej szczegółowoPEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA
PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II Podaj przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ,
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II -. Udowodnij, że dla dowolnych liczb x n, x, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x.. Wykaż, że n n k= δ k/n λ, gdzie λ jest miarą Lebesgue a na [, ].. Podaj przykład
Bardziej szczegółowoPrawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Bardziej szczegółowoWykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga
RAP 412 21.01.2009 Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz: Łukasz Waszak 1 Wstęp Na ostatnim wykładzie przedstawiliśmy twierdzenie o zbieżności
Bardziej szczegółowoSzkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego
Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego Matematyka Finansowa sem. letni 2011/2012 Spis treści Zajęcia 1 3 1.1 Przestrzeń probabilistyczna................................. 3 1.2 Prawdopodobieństwo warunkowe..............................
Bardziej szczegółowoOptymalne stałe w nierówności typu LlogL dla ciągłych martyngałów
Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Piotr Dworczak Nr albumu: 91564 Optymalne stałe w nierówności typu LlogL dla ciągłych martyngałów Praca licencjacka na kierunku MATEMATYA
Bardziej szczegółowo3. Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ,
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II - Mówimy, że i) ciąg miar probabilistycznych µ n zbiega słabo do miary probabilistycznej µ (ozn. µ n µ), jeśli fdµ n fdµ dla dowolnej funkcji ciągłej ograniczonej
Bardziej szczegółowo5 Przegląd najważniejszych rozkładów
5 Przegląd najważniejszych rozkładów 5. Rozkład Bernoulliego W niezmieniających się warunkach wykonujemy n razy pewne doświadczenie. W wyniku każdego doświadczenia może nastąpić zdarzenie A lub A. Zakładamy,
Bardziej szczegółowoWykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności
RAP 412 14.01.2009 Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz:Mirosława Jańczak 1 Wstęp Do tej pory zajmowaliśmy się ciągami zmiennych losowych (X n
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Bardziej szczegółowoZadania z RP 2. seria Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n
Zadania z RP 2. seria 1. 1. Dla x R n, niech δ x oznacza miarę Diraca, skupioną w punkcie x. Wykazać, że dla dowolnego ciągu x n R n zachodzi δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x. 2. Podać przykład
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne
Procesy stochastyczne 1 Co to jest proces stochastyczny Będziemy zakładać w tej książce, że dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, P ). Definicja 1.1 Procesem stochastycznym nazywamy zbiór zmiennych
Bardziej szczegółowoZadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej
Bardziej szczegółowoWykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowoSeria 1. Zbieżność rozkładów
Seria Zbieżność rozkładów We wszystkich poniższych zadaniach (E, ρ) jest przestrzenią metryczną Wykazać, że dla dowolnych x, x n, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x Sprawdzić, że n nk= δ k n λ, gdzie
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:
Bardziej szczegółowoWariacje na temat Twierdzenia Banacha o Indykatrysie i ich zastosowanie
Wariacje na temat Twierdzenia Banacha o Indykatrysie i ich zastosowanie Rafał M. Łochowski Wrocław 2015 Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław 2015 1 / 42 Plan odczytu 1 Twierdzenie Banacha
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania 4.1.1 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Statystyka i eksploracja
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
Bardziej szczegółowoStochastyczne równania różniczkowe, model Blacka-Scholesa
Stochastyczne równania różniczkowe, model Blacka-Scholesa Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Błądzenie losowe................................ 1 1. Proces Wienera................................. 1.3
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek
PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów
Bardziej szczegółowoNieregularne ścieżki - między determinizmem a losowością
Nieregularne ścieżki - między determinizmem a losowością Rafał Łochowski SGH 6. Forum Matematyków Rafał Łochowski (SGH) Nieregularne ścieżki 6. Forum Matematyków 1 / 21 Problem z nieskończonym wahaniem
Bardziej szczegółowoO procesie Wienera. O procesie Wienera. Procesy stochastyczne Wykład XV, 15 czerwca 2015 r. Proces Wienera. Ruch Browna. Ułamkowe ruchy Browna
Procesy stochastyczne Wykład XV, 15 czerwca 2015 r. Ruch 1 {X t } jest martyngałem dokładnie wtedy, gdy E(X t F s ) = X s, s, t T, s t. Jeżeli EX 2 (t) < +, to E(X t F s ) jest rzutem ortogonalnym zmiennej
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne 2.
Procesy stochastyczne 2. Listy zadań 1-3. Autor: dr hab.a. Jurlewicz WPPT Matematyka, studia drugiego stopnia, I rok, rok akad. 211/12 1 Lista 1: Własność braku pamięci. Procesy o przyrostach niezależnych,
Bardziej szczegółowoRodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.
1 σ-ciała Definicja 1.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki: 1 o M; 2 o jeśli A M, to X
Bardziej szczegółowoJednowymiarowa zmienna losowa
1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Rozważmy eksperymenty 1 gra Bolka w ruletkę w kasynie;
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 1. Oblicz funkcję tworzącą momenty zmiennych o następujących rozkładach: a) symetryczny dwupunktowy; b) dwumianowy z parametrami n, p; c) Poissona z parametrem
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.
Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? a) X = R, d(x, y) = arctg x y ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 3. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki
WYKŁAD 3 Witold Bednorz, Paweł Wolff 1 Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Schemmat Bernouliego Rzucamy 10 razy moneta, próba Bernouliego jest pojedynczy
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa 2.1. σ ciało (algebra) zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska losowe Zdarzenie losowe to pewien podzbiór przestrzeni zdarzeń
Bardziej szczegółowo28 maja, Problem Dirichleta, proces Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126
Problem Dirichleta, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 28 maja, 2012 Funkcje harmoniczne Niech będzie operatorem Laplace a w
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,
Bardziej szczegółowoWokół nierówności Dooba
Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Tomasz Tkocz Nr albumu: 24957 Wokół nierówności Dooba Praca licencjacka na kierunku MATEMATYKA w ramach Międzywydziałowych Indywidualnych
Bardziej szczegółowoZmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład V: Zmienne losowe i ich wartości oczekiwane 25 października 2017 Definicja zmiennej losowej Definicja Zmienne losowa to charakterystyka liczbowa wyniku eksperymentu losowego. Zmienne losowa na przestrzeni
Bardziej szczegółowoTeoria optymalnego stopowania
Dodatek F Teoria optymalnego stopowania F.1. Rozkład Dooba nadmartyngałów W tym paragrafie będziemy rozpatrywać nadmartyngały, podmartyngały i procesy prognozowalne względem ustalonej filtracji (F n )
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 08/9 Zarządzanie e-mail: www: konsultacje: rafal.kucharski@ue.katowice.pl http://web.ue.katowice.pl/rkucharski/ Piątki, 5:0-6:0,
Bardziej szczegółowo1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista.
Literatura P. Billingsley, Miara i prawdopodobieństwo, PWN, Warszawa 1997, P. R. Halmos, Measure theory, Springer-Verlag, 1994, W, Kołodziej, naliza matematyczna, PWN, Warszawa 1978, S. Łojasiewicz, Wstęp
Bardziej szczegółowoJoachim Syga WIELOWARTOŚCIOWE CAŁKI STOCHASTYCZNE WZGLĘDEM SEMIMARTYNGAŁU I ICH ZASTOSOWANIA W TEORII INKLUZJI STOCHASTYCZNYCH
WYDZIAŁ MATEMATYKI, INFORMATYKI I EKONOMETRII UNIWERSYTET ZIELONOGÓRSKI Joachim Syga WIELOWARTOŚCIOWE CAŁKI STOCHASTYCZNE WZGLĘDEM SEMIMARTYNGAŁU I ICH ZASTOSOWANIA W TEORII INKLUZJI STOCHASTYCZNYCH Rozprawa
Bardziej szczegółowoProces rezerwy w czasie dyskretnym z losową stopą procentową i losową składką
z losową stopą procentową i losową składką Instytut Matematyki i Informatyki Politechniki Wrocławskiej 10 czerwca 2008 Oznaczenia Wprowadzenie ξ n liczba wypłat w (n 1, n], Oznaczenia Wprowadzenie ξ n
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?. a) X = R, x = arctg x ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i y i ;
Bardziej szczegółowoTeoria miary i całki
Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane
Bardziej szczegółowoO pewnych klasach funkcji prawie okresowych (niekoniecznie ograniczonych)
(niekoniecznie ograniczonych) Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza, Poznań Będlewo, 25-30 maja 2015 Funkcje prawie okresowe w sensie Bohra Definicja Zbiór E R nazywamy względnie
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna
Bardziej szczegółowo1 Elementy kombinatoryki i teorii prawdopodobieństwa
1 Elementy kombinatoryki i teorii prawdopodobieństwa 1.1 Elementy kombinatoryki W rozwiązywaniu pewnych problemów związanych z obliczaniem prawdopodobieństwa o skończonej liczbie zdażeń elementarnych bardzo
Bardziej szczegółowoAnaliza portfelowa w czasie ciagłym dla ogólnych cen zakupu i sp. ze stałymi kosztami za transakcje
Analiza portfelowa w czasie ciagłym dla ogólnych cen zakupu i sprzedaży ze stałymi kosztami za transakcje Instytut Matematyczny PAN Problem bez stałych kosztów za transakcje (Ω, F, (F t ), P) przestrzeń
Bardziej szczegółowoLiteratura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.
Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej
Bardziej szczegółowoNotatki do wykładu: Procesy Stochastyczne
Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Witold Bednorz Notatki do wykładu: Procesy Stochastyczne 21 stycznia 213 Spis treści 1 Twierdzenie Girsanowa i SDE 3 1.1 Zamiana miary................................
Bardziej szczegółowoStochastyczne równania różniczkowe, studia II stopnia
Stochastyczne równania różniczkowe, studia II stopnia Niech W t (ewentualnie W, W (t)), t oznacza proces Wienera oraz niech W = Niech W = (W, W 2,, W n ) oznacza n-wymiarowy proces Wienera Pokazać, że
Bardziej szczegółowoRepetytorium z przedmiotu Miara i Prawdopodobieństwo. Adam Jakubowski
Repetytorium z przedmiotu Miara i Prawdopodobieństwo Adam Jakubowski Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Toruń, 1999 Spis treści Wstęp 1 1 Przestrzenie mierzalne i przestrzenie
Bardziej szczegółowoRepetytorium z przedmiotu Miara i prawdopodobieństwo dla kierunku Informatyka 2003/2004. Adam Jakubowski
Repetytorium z przedmiotu Miara i prawdopodobieństwo dla kierunku Informatyka 2003/2004 Adam Jakubowski Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Toruń, styczeń 2004 Spis treści
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2016/2017 Wprowadzenie Przykład 1 Bolek, Lolek i Tola
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Momenty Zmienna losowa jest wystarczająco dokładnie opisana przez jej rozkład prawdopodobieństwa. Względy praktyczne dyktują jednak potrzebę znalezienia charakterystyk
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowor u du. Proces wartości aktywów firmy V. Proces bariery v wykorzystywany do zdefiniowania defaultu. moment defaultu τ.
Wprowadzenie Mamy ustalone T > 0 horyzont, (Ω, F, P) z F filtracja, F = {F t } t [0,T ] oraz Proces chwilowej stopy procentowej r = (r t ) t [0,T ], tzn. rachunek bankowy spełnia ODE: db t = B t r t dt,
Bardziej szczegółowoRepetytorium z przedmiotu MIARA I PRAWDOPODOBIEŃSTWO dla kierunku Informatyka 2001/2002. Adam Jakubowski
Repetytorium z przedmiotu MIARA I PRAWDOPODOBIEŃSTWO dla kierunku Informatyka 2001/2002 Adam Jakubowski Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Toruń, 2002 Spis treści Wstęp 1
Bardziej szczegółowoG. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28
G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie
Bardziej szczegółowoPodstawy metod probabilistycznych. dr Adam Kiersztyn
Podstawy metod probabilistycznych dr Adam Kiersztyn Przestrzeń zdarzeń elementarnych i zdarzenia losowe. Zjawiskiem lub doświadczeniem losowym nazywamy taki proces, którego przebiegu i ostatecznego wyniku
Bardziej szczegółowoRobert Kowalczyk. Zbiór zadań z teorii miary i całki
Robert Kowalczyk Zbiór zadań z teorii miary i całki 2 Zadanie 1 Pokazać, że poniższe dwie definicje σ-ciała M są równoważne: (i) Rodzinę M podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ-ciałem jeżeli zachodzą następujące
Bardziej szczegółowo6 Wzór Ito i jego zastosowania
M. Beśka, Całka Stochatyczna, wykład 6 114 6 Wzór Ito i jego zatoowania 6.1 Wzór Ito Zaczniemy od przedtawienia wzoru Ito. Twierdzenie 6.1 Niech X będzie proceem potaci X = M +, gdzie M M c loc oraz c
Bardziej szczegółowoNOTATKI SPORZADZIŁ: JACEK MUCHA
WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI POLITECHNIKI WROCŁAWSKIEJ DR HAB. MATEUSZ KWAŚNICKI Teoria potencjału procesów Markowa NOTATKI SPORZADZIŁ: JACEK MUCHA WROCŁAW 2015 Spis treści 1 Elektrostatyka
Bardziej szczegółowo1 Elementy analizy funkcjonalnej
M. Beśka, Dodatek 1 1 Elementy analizy funkcjonalnej 1.1 Twierdzenia o reprezentacji Zaczniemy od znanego twierdzenia Riesza Twierdzenie 1.1 (Riesz) Niech będzie zwartą przestrzenią metryczną i załóżmy,
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa II
Leszek Słomiński achunek prawdopodobieństwa II Materiały dydaktyczne dla studentów matematyki przygotowane w ramach projektu IKS - Inwestycja w Kierunki Strategiczne na Wydziale Matematyki i Informatyki
Bardziej szczegółowo1. Pojęcie normy, normy wektora [Kiełbasiński, Schwetlick]
1. Pojęcie normy, normy wektora [Kiełbasiński, Schwetlick] wektor x R d x =(x 1,x 2,..., x d ) T wektor, punkt w przestrzeni d-wymiarowej norma wektora własności (1) kxk > 0, kxk =0tylko wtedy, gdy x =0
Bardziej szczegółowoMNRP r. 1 Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa (wykład) Grzegorz Kowalczyk
MNRP 18.03.2019r. Grzegorz Kowalczyk 1 Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa (wykład) Definicja (σ - ciało) Niech Ω - dowolny zbiór. Rodzinę F P (Ω), gdzie P (Ω) jest rodziną wszystkich podzbiorów
Bardziej szczegółowoW2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)
W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie) Henryk Maciejewski Jacek Jarnicki Marek Woda www.zsk.iiar.pwr.edu.pl Rachunek prawdopodobieństwa - przypomnienie 1. Zdarzenia 2. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna / Witold Kołodziej. wyd Warszawa, Spis treści
Analiza matematyczna / Witold Kołodziej. wyd. 5. - Warszawa, 2010 Spis treści Wstęp 1. Podstawowe pojęcia mnogościowe 13 1. Zbiory 13 2. Działania na zbiorach 14 3. Produkty kartezjańskie 15 4. Relacje
Bardziej szczegółowoZestaw 2. jej wartość oczekiwaną oraz wariancję. Znaleźć gęstości zmiennych losowych X, X 2, {
Zestaw 1 P1.1. Czy, jeśli obraz funkcji jest przeliczalny, wystarczy, że przeciwobrazy zbiorów jednopunktowych są mierzalne, aby mieć pewność, że funkcja jest zmienną losową? P1.2. Sprawdzić, że jeśli
Bardziej szczegółowoStatystyka. Magdalena Jakubek. kwiecień 2017
Statystyka Magdalena Jakubek kwiecień 2017 1 Nauka nie stara się wyjaśniać, a nawet niemal nie stara się interpretować, zajmuje się ona głównie budową modeli. Model rozumiany jest jako matematyczny twór,
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 2013/2014 Wykład 3 Zmienna losowa i jej rozkłady Zdarzenia losowe Pojęcie prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowo