Statystyka i eksploracja danych

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Statystyka i eksploracja danych"

Transkrypt

1 Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014

2 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II

3 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej rozkładu

4 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej rozkładu Zmienną losową na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) nazywamy funkcję X : Ω R 1 dla której określone są prawdopodobieństwa P(X > u) = P ({ω ; X (ω) > u}), u R 1.

5 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej rozkładu Zmienną losową na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) nazywamy funkcję X : Ω R 1 dla której określone są prawdopodobieństwa P(X > u) = P ({ω ; X (ω) > u}), u R 1. Rozkładem zmiennej losowej X nazywamy prawdopodobieństwo P X na R 1 zadane na odcinkach wzorem P X ((a, b]) := P(a < X b) = P ({ω ; X (ω) (a, b]}).

6 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej rozkładu Zmienną losową na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) nazywamy funkcję X : Ω R 1 dla której określone są prawdopodobieństwa P(X > u) = P ({ω ; X (ω) > u}), u R 1. Rozkładem zmiennej losowej X nazywamy prawdopodobieństwo P X na R 1 zadane na odcinkach wzorem P X ((a, b]) := P(a < X b) = P ({ω ; X (ω) (a, b]}). Uwaga: P X ((a, + )) = P(X (a, + )), P X ((, a]) = P(X (, a]).

7 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II, cd.

8 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II, cd. Definicja wartości oczekiwanej zmiennej losowej

9 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II, cd. Definicja wartości oczekiwanej zmiennej losowej Wartością oczekiwaną nieujemnej zmiennej losowej X nazywamy całkę EX := + 0 P(X > u) du [0, + ].

10 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II, cd. Definicja wartości oczekiwanej zmiennej losowej Wartością oczekiwaną nieujemnej zmiennej losowej X nazywamy całkę EX := + 0 P(X > u) du [0, + ]. Niech f będzie funkcją o wartościach rzeczywistych. Częścią dodatnią f + (ujemną f ) funkcji f nazywamy złożenie tej funkcji z funkcją h + (x) = 0 x (z funkcją h (x) = 0 ( x)).

11 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II, cd. Definicja wartości oczekiwanej zmiennej losowej Wartością oczekiwaną nieujemnej zmiennej losowej X nazywamy całkę EX := + 0 P(X > u) du [0, + ]. Niech f będzie funkcją o wartościach rzeczywistych. Częścią dodatnią f + (ujemną f ) funkcji f nazywamy złożenie tej funkcji z funkcją h + (x) = 0 x (z funkcją h (x) = 0 ( x)). Niech X będzie zmienna losową i niech EX + < + i EX < +. Wartością oczekiwaną zmiennej losowej X nazywamy całkę EX := EX + EX (, + ).

12 Interpretacja formalizmu Wartość oczekiwana Dystrybuanty

13 Interpretacja formalizmu Wartość oczekiwana Dystrybuanty Wartość zmiennej losowej X (ω) to liczbowa (na ogół niepełna) charakterystyka wyniku eksperymentu losowego ω Ω.

14 Interpretacja formalizmu Wartość oczekiwana Dystrybuanty Wartość zmiennej losowej X (ω) to liczbowa (na ogół niepełna) charakterystyka wyniku eksperymentu losowego ω Ω. Rozkład zmiennej losowej określa wartości oczekiwane Ef (X ) (w szczególności prawdopodobieństwa zdarzeń P(X A)).

15 Interpretacja formalizmu Wartość oczekiwana Dystrybuanty Wartość zmiennej losowej X (ω) to liczbowa (na ogół niepełna) charakterystyka wyniku eksperymentu losowego ω Ω. Rozkład zmiennej losowej określa wartości oczekiwane Ef (X ) (w szczególności prawdopodobieństwa zdarzeń P(X A)). Dzięki prawom wielkich liczb i innym rezultatom teoretycznym możemy przyjąć, że potrafimy obliczać Ef (X ).

16 Interpretacja formalizmu Wartość oczekiwana Dystrybuanty Wartość zmiennej losowej X (ω) to liczbowa (na ogół niepełna) charakterystyka wyniku eksperymentu losowego ω Ω. Rozkład zmiennej losowej określa wartości oczekiwane Ef (X ) (w szczególności prawdopodobieństwa zdarzeń P(X A)). Dzięki prawom wielkich liczb i innym rezultatom teoretycznym możemy przyjąć, że potrafimy obliczać Ef (X ). Wynika stąd, że w ramach eksperymentów losowych potrafimy badać własności rozkładów zmiennych losowych.

17 Własności wartości oczekiwanej Wartość oczekiwana Dystrybuanty Uwaga: zmienna losowa X ma skończoną wartość oczekiwaną dokładnie wtedy, gdy E X < +. Mówimy również, że zmienna X jest całkowalna i piszemy X L 1 (P).

18 Własności wartości oczekiwanej Wartość oczekiwana Dystrybuanty Uwaga: zmienna losowa X ma skończoną wartość oczekiwaną dokładnie wtedy, gdy E X < +. Mówimy również, że zmienna X jest całkowalna i piszemy X L 1 (P). Twierdzenie (Własności wartości oczekiwanej)

19 Własności wartości oczekiwanej Wartość oczekiwana Dystrybuanty Uwaga: zmienna losowa X ma skończoną wartość oczekiwaną dokładnie wtedy, gdy E X < +. Mówimy również, że zmienna X jest całkowalna i piszemy X L 1 (P). Twierdzenie (Własności wartości oczekiwanej) 1 Jeżeli X 0, to EX 0. Jeżeli X 0 i EX = 0, to P(X = 0) = 1.

20 Własności wartości oczekiwanej Wartość oczekiwana Dystrybuanty Uwaga: zmienna losowa X ma skończoną wartość oczekiwaną dokładnie wtedy, gdy E X < +. Mówimy również, że zmienna X jest całkowalna i piszemy X L 1 (P). Twierdzenie (Własności wartości oczekiwanej) 1 Jeżeli X 0, to EX 0. Jeżeli X 0 i EX = 0, to P(X = 0) = 1. 2 EX E X.

21 Własności wartości oczekiwanej Wartość oczekiwana Dystrybuanty Uwaga: zmienna losowa X ma skończoną wartość oczekiwaną dokładnie wtedy, gdy E X < +. Mówimy również, że zmienna X jest całkowalna i piszemy X L 1 (P). Twierdzenie (Własności wartości oczekiwanej) 1 Jeżeli X 0, to EX 0. Jeżeli X 0 i EX = 0, to P(X = 0) = 1. 2 EX E X. 3 Jeżeli E X < + i E Y < +, to dla dowolnych liczb α, β R 1 funkcja αx + βy jest zmienna losową i ma miejsce równość: E (αx + βy ) = αex + βey.

22 Własności wartości oczekiwanej Wartość oczekiwana Dystrybuanty Uwaga: zmienna losowa X ma skończoną wartość oczekiwaną dokładnie wtedy, gdy E X < +. Mówimy również, że zmienna X jest całkowalna i piszemy X L 1 (P). Twierdzenie (Własności wartości oczekiwanej) 1 Jeżeli X 0, to EX 0. Jeżeli X 0 i EX = 0, to P(X = 0) = 1. 2 EX E X. 3 Jeżeli E X < + i E Y < +, to dla dowolnych liczb α, β R 1 funkcja αx + βy jest zmienna losową i ma miejsce równość: E (αx + βy ) = αex + βey. 4 Jeżeli Y X, to EY EX pod warunkiem, że wartości oczekiwane istnieją.

23 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II, cd.

24 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II, cd. Definicja dystrybuanty zmiennej losowej

25 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II, cd. Definicja dystrybuanty zmiennej losowej Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F X : R 1 [0, 1] określoną wzorem F X (u) = P(X u) ( = P X ((, u]) ).

26 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II, cd. Definicja dystrybuanty zmiennej losowej Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F X : R 1 [0, 1] określoną wzorem F X (u) = P(X u) ( = P X ((, u]) ). Wniosek: rozkład P X zmiennej losowej jest znany dokładnie wtedy gdy znana jest dystrybuanta F X tej zmiennej.

27 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II, cd. Definicja dystrybuanty zmiennej losowej Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F X : R 1 [0, 1] określoną wzorem F X (u) = P(X u) ( = P X ((, u]) ). Wniosek: rozkład P X zmiennej losowej jest znany dokładnie wtedy gdy znana jest dystrybuanta F X tej zmiennej. Wniosek: jeśli X 0, to EX = + 0 (1 F X (u)) du.

28 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II, cd. Definicja dystrybuanty zmiennej losowej Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F X : R 1 [0, 1] określoną wzorem F X (u) = P(X u) ( = P X ((, u]) ). Wniosek: rozkład P X zmiennej losowej jest znany dokładnie wtedy gdy znana jest dystrybuanta F X tej zmiennej. Wniosek: jeśli X 0, to EX = + 0 (1 F X (u)) du. Wniosek: Wartość oczekiwana jest funkcją rozkładu (dystrybuanty) zmiennej losowej, a nie samej zmiennej. W ten sposób prawdopodobieństwa na (R 1, B 1 ) pełnią szczególną rolę. Nazywamy je rozkładami prawdopodobieństwa.

29 Własności dystrybuanty Wartość oczekiwana Dystrybuanty

30 Własności dystrybuanty Wartość oczekiwana Dystrybuanty Twierdzenie (Własności dystrybuanty zmiennej losowej)

31 Własności dystrybuanty Wartość oczekiwana Dystrybuanty Twierdzenie (Własności dystrybuanty zmiennej losowej) 1 Jeżeli u v, to F X (u) F X (v) (monotoniczność).

32 Własności dystrybuanty Wartość oczekiwana Dystrybuanty Twierdzenie (Własności dystrybuanty zmiennej losowej) 1 Jeżeli u v, to F X (u) F X (v) (monotoniczność). 2 F X jest funkcją prawostronnie ciągłą.

33 Własności dystrybuanty Wartość oczekiwana Dystrybuanty Twierdzenie (Własności dystrybuanty zmiennej losowej) 1 Jeżeli u v, to F X (u) F X (v) (monotoniczność). 2 F X jest funkcją prawostronnie ciągłą. 3 lim F X (u) = 0, u lim F X (u) = 1. u +

34 Własności dystrybuanty Wartość oczekiwana Dystrybuanty Twierdzenie (Własności dystrybuanty zmiennej losowej) 1 Jeżeli u v, to F X (u) F X (v) (monotoniczność). 2 F X jest funkcją prawostronnie ciągłą. 3 lim F X (u) = 0, u lim F X (u) = 1. u + Twierdzenie (O dystrybuantach) Jeżeli funkcja F : R 1 [0, 1] spełnia warunki 1-3 z powyższego twierdzenia, to istnieje zmienna losowa X taka, że F = F X.

35 Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe

36 Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe Rozkłady dyskretne Zmienna losowa X ma rozkład dyskretny, jeśli istnieją liczby x 1, x 2,... R 1 i prawdopodobieństwa p 1, p 2,... 0, j=1 p j = 1, takie, że P(X = x j ) = p j, j = 1, 2,....

37 Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe Rozkłady dyskretne Zmienna losowa X ma rozkład dyskretny, jeśli istnieją liczby x 1, x 2,... R 1 i prawdopodobieństwa p 1, p 2,... 0, j=1 p j = 1, takie, że P(X = x j ) = p j, j = 1, 2,.... Rozkłady absolutnie ciągłe Zmienna losowa X ma rozkład absolutnie ciągły o gęstości p(x), jeśli dla każdych a < b P(a < X b) = b a p(x) dx. (Wtedy p(x) 0 i p(x) dx = 1). Gęstość rozkładu absolutnie ciągłego jest wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do równości l-prawie wszędzie (gdzie l jest miarą Lebesgue a).

38 Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe cd. P X {x} = P(X = x) > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dystrybuanta F X ma skok w punkcie x i F X (x) F X (x ) = P(X = x).

39 Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe cd. P X {x} = P(X = x) > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dystrybuanta F X ma skok w punkcie x i F X (x) F X (x ) = P(X = x). Gęstość a pochodna dystrybuanty

40 Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe cd. P X {x} = P(X = x) > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dystrybuanta F X ma skok w punkcie x i F X (x) F X (x ) = P(X = x). Gęstość a pochodna dystrybuanty Można pokazać, że każda dystrybuanta F jest l-prawie wszędzie różniczkowalna i pochodna F (określona l-prawie wszędzie) spełnia warunek F (x) F (x) dx. (,x] Może się więc zdarzyć, że R 1 F (x) dx < 1.

41 Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe cd. P X {x} = P(X = x) > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dystrybuanta F X ma skok w punkcie x i F X (x) F X (x ) = P(X = x). Gęstość a pochodna dystrybuanty Można pokazać, że każda dystrybuanta F jest l-prawie wszędzie różniczkowalna i pochodna F (określona l-prawie wszędzie) spełnia warunek F (x) F (x) dx. (,x] Może się więc zdarzyć, że R 1 F (x) dx < 1. Jeżeli R 1 F (x) dx = 1, to rozkład odpowiadający dystrybuancie F jest absolutnie ciągły z gęstością p(x) = F (x).

42 Jak liczyć EX? Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe Jeżeli X ma rozkład dyskretny,

43 Jak liczyć EX? Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe Jeżeli X ma rozkład dyskretny, to dla dowolnej funkcji f : R 1 R 1 Ef (X ) = f (x i )P(X = x i ) = f (x i )p i, i=1 i=1

44 Jak liczyć EX? Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe Jeżeli X ma rozkład dyskretny, to dla dowolnej funkcji f : R 1 R 1 Ef (X ) = f (x i )P(X = x i ) = f (x i )p i, i=1 i=1 przy czym Ef (X ) istnieje dokładnie wtedy, gdy f (x i ) p i < +. i=1

45 Jak liczyć EX? cd. Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe Jeżeli X ma rozkład absolutnie ciągły o gęstości p(x),

46 Jak liczyć EX? cd. Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe Jeżeli X ma rozkład absolutnie ciągły o gęstości p(x), to dla dowolnej funkcji (borelowskiej) f : R 1 R 1 Ef (X ) = + f (x)p(x) dx,

47 Jak liczyć EX? cd. Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe Jeżeli X ma rozkład absolutnie ciągły o gęstości p(x), to dla dowolnej funkcji (borelowskiej) f : R 1 R 1 Ef (X ) = + f (x)p(x) dx, przy czym Ef (X ) istnieje dokładnie wtedy, gdy f (x) p(x) dx < +. +

48 Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. III

49 Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. III Definicje Momentem absolutnym rzędu q > 0 zmiennej losowej nazywamy liczbę m p = m p (X ) = E X p.

50 Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. III Definicje Momentem absolutnym rzędu q > 0 zmiennej losowej nazywamy liczbę m p = m p (X ) = E X p. Wariancją całkowalnej z kwadratem zmiennej losowej X nazywamy liczbę D 2 (X ) = VarX := E(X EX ) 2 = EX 2 (EX ) 2.

51 Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. III Definicje Momentem absolutnym rzędu q > 0 zmiennej losowej nazywamy liczbę m p = m p (X ) = E X p. Wariancją całkowalnej z kwadratem zmiennej losowej X nazywamy liczbę D 2 (X ) = VarX := E(X EX ) 2 = EX 2 (EX ) 2. Odchyleniem standardowym całkowalnej z kwadratem zmiennej losowej X nazywamy liczbę D(X ) := VarX = E(X EX ) 2.

52 Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. III, cd.

53 Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. III, cd. Definicje Medianą zmiennej losowej X (właściwie: rozkładu zmiennej losowej) nazywamy taką liczbę x 1/2, że P(X x 1/2 ) 1/2, P(X x 1/2 ) 1/2.

54 Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. III, cd. Definicje Medianą zmiennej losowej X (właściwie: rozkładu zmiennej losowej) nazywamy taką liczbę x 1/2, że P(X x 1/2 ) 1/2, P(X x 1/2 ) 1/2. Kwantylem rzędu p, p (0, 1), rozkładu zmiennej losowej X nazywamy taką liczbę x p, że P(X x p ) p, P(X x p ) 1 p.

55 Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. III, cd. Definicje Medianą zmiennej losowej X (właściwie: rozkładu zmiennej losowej) nazywamy taką liczbę x 1/2, że P(X x 1/2 ) 1/2, P(X x 1/2 ) 1/2. Kwantylem rzędu p, p (0, 1), rozkładu zmiennej losowej X nazywamy taką liczbę x p, że P(X x p ) p, P(X x p ) 1 p. Zadanie: Przypuśćmy, że znamy dystrybuantę F X zmiennej losowej X. Jak znaleźć medianę i kwantyle tej zmiennej?

56 Przestrzeń statystyczna Dwa ważne przykłady Słowniczek statystyki matematycznej, cz. I

57 Przestrzeń statystyczna Dwa ważne przykłady Słowniczek statystyki matematycznej, cz. I Definicja przestrzeni statystycznej Przestrzenią statystyczną (lub modelem statystycznym ) nazywamy trójkę (X, B, {P θ } θ Θ ), gdzie dla każdego θ Θ trójka (X, B, P θ ) jest przestrzenią probabilistyczną.

58 Przestrzeń statystyczna Dwa ważne przykłady Słowniczek statystyki matematycznej, cz. I Definicja przestrzeni statystycznej Przestrzenią statystyczną (lub modelem statystycznym ) nazywamy trójkę (X, B, {P θ } θ Θ ), gdzie dla każdego θ Θ trójka (X, B, P θ ) jest przestrzenią probabilistyczną. Zbiór X nazywamy przestrzenią próbek lub zbiorem prób losowych.

59 Przestrzeń statystyczna Dwa ważne przykłady Słowniczek statystyki matematycznej, cz. I Definicja przestrzeni statystycznej Przestrzenią statystyczną (lub modelem statystycznym ) nazywamy trójkę (X, B, {P θ } θ Θ ), gdzie dla każdego θ Θ trójka (X, B, P θ ) jest przestrzenią probabilistyczną. Zbiór X nazywamy przestrzenią próbek lub zbiorem prób losowych. Definicja statystyki Statystyką nazywamy funkcję Y : (X, B) R 1 (lub R d ), która dla każdego θ Θ jest zmienną losową na (X, B, P θ ).

60 Przestrzeń statystyczna Dwa ważne przykłady Przykład. n-krotny pomiar jednym przyrządem

61 Przestrzeń statystyczna Dwa ważne przykłady Przykład. n-krotny pomiar jednym przyrządem Rozważmy ciąg pomiarów postaci X k = m + ε k, gdzie m - rzeczywista wartość pomiaru, a ε k - błąd k-tego pomiaru.

62 Przestrzeń statystyczna Dwa ważne przykłady Przykład. n-krotny pomiar jednym przyrządem Rozważmy ciąg pomiarów postaci X k = m + ε k, gdzie m - rzeczywista wartość pomiaru, a ε k - błąd k-tego pomiaru. Co przyjąć za wynik pomiaru? X n = X 1 + X X n. n Dlaczego? Bo prawo wielkich liczb stwierdza, że ε 1 + ε ε n n Eε 1, gdzie Eε 1 = 0 dla przyrządu poprawnie skalibrowanego ( brak błędu systematycznego ).

63 Przestrzeń statystyczna Dwa ważne przykłady Przykład. n-krotny pomiar jednym przyrządem Rozważmy ciąg pomiarów postaci X k = m + ε k, gdzie m - rzeczywista wartość pomiaru, a ε k - błąd k-tego pomiaru. Co przyjąć za wynik pomiaru? X n = X 1 + X X n. n Dlaczego? Bo prawo wielkich liczb stwierdza, że ε 1 + ε ε n n Eε 1, gdzie Eε 1 = 0 dla przyrządu poprawnie skalibrowanego ( brak błędu systematycznego ). Powyżej korzystamy z modelu błędu pomiaru w postaci ciągu niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie, z wartością oczekiwaną zero.

64 Przestrzeń statystyczna Dwa ważne przykłady Przykład. Losowanie ze zwracaniem

65 Przestrzeń statystyczna Dwa ważne przykłady Przykład. Losowanie ze zwracaniem Badamy rozkład danej cechy U w populacji Ω.

66 Przestrzeń statystyczna Dwa ważne przykłady Przykład. Losowanie ze zwracaniem Badamy rozkład danej cechy U w populacji Ω. Losujemy (ze zwracaniem) N osobników ω 1, ω 2,..., ω N i badamy wartości cechy U(ω 1 ), U(ω 2 ),..., U(ω N ).

67 Przestrzeń statystyczna Dwa ważne przykłady Przykład. Losowanie ze zwracaniem Badamy rozkład danej cechy U w populacji Ω. Losujemy (ze zwracaniem) N osobników ω 1, ω 2,..., ω N i badamy wartości cechy U(ω 1 ), U(ω 2 ),..., U(ω N ). Jak określić odpowiednią przestrzeń statystyczną (X, B, {P θ } θ Θ )?

68 Przestrzeń statystyczna Dwa ważne przykłady Przykład. Losowanie ze zwracaniem Badamy rozkład danej cechy U w populacji Ω. Losujemy (ze zwracaniem) N osobników ω 1, ω 2,..., ω N i badamy wartości cechy U(ω 1 ), U(ω 2 ),..., U(ω N ). Jak określić odpowiednią przestrzeń statystyczną (X, B, {P θ } θ Θ )? Niech X 0 = {U(ω) : ω Ω} R d. Kładziemy: X = (X 0 ) N ; B =? (jak wynika z kontekstu); Θ = P(X 0 ) (zbiór wszystkich rozkładów prawdopodobieństwa na X 0 ); P θ = θ θ... θ. }{{} N razy

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja

Bardziej szczegółowo

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne , centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne

Bardziej szczegółowo

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna. Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania 4.1.1 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Statystyka i eksploracja

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i unkcja gęstości rozkładu

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości

Bardziej szczegółowo

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III. Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej

Bardziej szczegółowo

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne

Bardziej szczegółowo

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 6 Ciągłe zmienne losowe ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Zmienna losowa ciągła jest

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015 Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA

STATYSTYKA Wykład 1 20.02.2008r. 1. ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1.1 Rozkład dwumianowy Rozkład dwumianowy, 0 1 Uwaga: 1, rozkład zero jedynkowy. 1 ; 1,2,, Fakt: Niech,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem

Bardziej szczegółowo

Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej

Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej c Copyright by Ireneusz Krech ikrech@ap.krakow.pl Instytut Matematyki Uniwersytet Pedagogiczny im. KEN w Krakowie

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa

STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa STATYSTYKA MATEMATYCZNA rachunek prawdopodobieństwa treść Zdarzenia losowe pojęcie prawdopodobieństwa prawo wielkich liczb zmienne losowe rozkłady teoretyczne zmiennych losowych Zanim zajmiemy się wnioskowaniem

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 2013/2014 Wykład 3 Zmienna losowa i jej rozkłady Zdarzenia losowe Pojęcie prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) 4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena

Bardziej szczegółowo

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład I: Formalizm statystyki matematycznej 17 lutego 2014 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Zagadnienia omawiane na wykładach Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura

Bardziej szczegółowo

ZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1.

ZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1. Opracowała: Joanna Kisielińska ZMIENNE LOSOWE Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R tzn. X: R. Realizacją zmiennej losowej

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń probabilistyczna

Przestrzeń probabilistyczna Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład I: Formalizm teorii prawdopodonieństwa 6 października 2014 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Dostępność treści wykładów 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin dwuczęściowy:

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Statystyka i opracowanie danych W4 Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Rozkład normalny wykres funkcji gęstości

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia

Ważne rozkłady i twierdzenia Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa

Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa Rozdział 06: Zmienne losowe. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2015/2016 Wprowadzenie Przykład 6.1 Adam, Bolek i Czesiu wstąpili do kasyna. Postanowili

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2016/2017 Wprowadzenie Przykład 1 Bolek, Lolek i Tola

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby

Bardziej szczegółowo

Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl

Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka Zmienne losowe Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag oraz Biostatystyka p.

Bardziej szczegółowo

Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: Własności dystrybuanty zmiennej losowej:

Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: Własności dystrybuanty zmiennej losowej: Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: F (t) P (X t) < t < Własności dystrybuanty zmiennej losowej: jest niemalejąca: 0 F (t) jest prawostronnie

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe skokowe

Zmienne losowe skokowe Zmienne losowe skokowe 1.1 Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta Zad.1 Niech zmienna losowa X przyjmuje wartości równe liczbie wyrzuconych oczek przy pojedynczym rzucie kostką do gry, czyli =1,2,3,,6.

Bardziej szczegółowo

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Spis treści 3 SPIS TREŚCI Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe

Bardziej szczegółowo

Wartość oczekiwana Mediana i dominanta Wariancja Nierówności związane z momentami. Momenty zmiennych losowych Momenty wektorów losowych

Wartość oczekiwana Mediana i dominanta Wariancja Nierówności związane z momentami. Momenty zmiennych losowych Momenty wektorów losowych Przykład(Wartość średnia) Otrzymaliśmy propozycję udziału w grze polegającej na jednokrotnym rzucie symetryczną kostką. Jeśli wypadnie 1 wygrywamy2zł,;jeśliwypadnie2,płacimy1zł;za3wygrywamy 4zł;za4płacimy5zł;za5wygrywamy3złiwreszcieza6

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

O ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ I MEDIANIE

O ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ I MEDIANIE Ryszard Zieliński, IMPAN Warszawa O ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ I MEDIANIE XXXIX Ogólnopolska Konferencja Zastosowań Matematyki Zakopane-Kościelisko 7-14 września 2010 r Model statystyczny pomiaru: wynik pomiaru

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Wykład 2. Krzysztof Topolski. Wrocław, 11 października 2012

Statystyka. Wykład 2. Krzysztof Topolski. Wrocław, 11 października 2012 Wykład 2 Wrocław, 11 października 2012 Próba losowa Definicja. Zmienne losowe X 1, X 2,..., X n nazywamy próba losową rozmiaru n z rozkładu o gęstości f (x) (o dystrybuancie F (x)) jeśli X 1, X 2,...,

Bardziej szczegółowo

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 II WYKŁAD STATYSTYKA 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 2 Rachunek prawdopodobieństwa zdarzenia elementarne zdarzenia losowe zmienna losowa skokowa i ciągła prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA wykład 5-6

STATYSTYKA wykład 5-6 TATYTYKA wykład 5-6 Twierdzenia graniczne Rozkłady statystyk z próby Wanda Olech Twierdzenia graniczne Jeżeli rozpatrujemy ciąg zmiennych losowych {X ; X ;...; X n }, to zdarza się, że ich rozkłady przy

Bardziej szczegółowo

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Rachunek prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział PPT, MS, rok akad. 213/14, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Bardziej szczegółowo

5 Przegląd najważniejszych rozkładów

5 Przegląd najważniejszych rozkładów 5 Przegląd najważniejszych rozkładów 5. Rozkład Bernoulliego W niezmieniających się warunkach wykonujemy n razy pewne doświadczenie. W wyniku każdego doświadczenia może nastąpić zdarzenie A lub A. Zakładamy,

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS

Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS przykładowe zadania na. kolokwium czerwca 6r. Poniżej podany jest przykładowy zestaw zadań. Podczas kolokwium na ich rozwiązanie przeznaczone będzie ok. 85

Bardziej szczegółowo

Modelowanie komputerowe

Modelowanie komputerowe Modelowanie komputerowe wykład 1- Generatory liczb losowych i ich wykorzystanie dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Akademia im. Jana Długosza w Częstochowie 5,12 października 2016 r.

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 9 Wrocław, 5 grudnia 2011 Temat. Test zgodności χ 2 Pearsona. Statystyka χ 2 Pearsona Rozpatrzmy ciąg niezależnych zmiennych losowych X 1,..., X n o jednakowym dyskretnym rozkładzie

Bardziej szczegółowo

Pojęcie przestrzeni probabilistycznej

Pojęcie przestrzeni probabilistycznej Pojęcie przestrzeni probabilistycznej Definicja (przestrzeni probabilistycznej) Uporządkowany układ < Ω, S, P> nazywamy przestrzenią probabilistyczną jeśli (Ω) Ω jest niepustym zbiorem zwanym przestrzenia

Bardziej szczegółowo

Rozkłady zmiennych losowych

Rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych losowych Wprowadzenie Badamy pewną zbiorowość czyli populację pod względem występowania jakiejś cechy. Pobieramy próbę i na podstawie tej próby wyznaczamy pewne charakterystyki. Jeśli

Bardziej szczegółowo

Matematyka 2. dr inż. Rajmund Stasiewicz

Matematyka 2. dr inż. Rajmund Stasiewicz Matematyka 2 dr inż. Rajmund Stasiewicz Skala ocen Punkty Ocena 0 50 2,0 51 60 3,0 61 70 3,5 71 80 4,0 81 90 4,5 91-5,0 Zwolnienie z egzaminu Ocena z egzaminu liczba punktów z ćwiczeń - 5 Warunki zaliczenia

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Diagramy Venna. Uwagi:

Diagramy Venna. Uwagi: Wykład 3: Prawdopodobieństwopodstawowe pojęcia i modele Często modelujemy zmienność używając rachunku prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo opadów deszczu wynosi 80%. (zinterpretuj) Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych

Statystyczna analiza danych Statystyczna analiza danych Marek Ptak 21 października 2013 Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 1 / 70 Część I Wstęp Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 2 / 70 LITERATURA A. Łomnicki, Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 21 marca 2011 Zmienna losowa wst ep Przeprowadzane w praktyce badania i eksperymenty maja bardzo różnorodny charakter, niemniej jednak wiaż a sie z rejestracja jakiś sygna lów (danych). Moga to być na

Bardziej szczegółowo

x x 0.5. x Przykłady do zadania 4.1 :

x x 0.5. x Przykłady do zadania 4.1 : Rachunek prawdopodobieństwa MAP5 Wydział Elektroniki, rok akad. /, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przykłady do listy 4: Wartość oczekiwana, wariancja, mediana, kwartyle rozkładu prawdopodobieństwa.

Bardziej szczegółowo

PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH

PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Szkic wykładu 1 Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona 2 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład

Bardziej szczegółowo

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii.

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii. Rozkład normalny Rozkład normalny jest niezwykle ważnym rozkładem prawdopodobieństwa w wielu dziedzinach. Nazywa się go także rozkładem Gaussa, w szczególności w fizyce i inżynierii. W zasadzie jest to

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ

Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ Zadanie 1. Zmienna losowa przyjmuje wartości -1, 0, 1 z prawdopodobieństwami równymi odpowiednio: ¼, ½, ¼. Należy: a. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego

Statystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Podstawowe rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych skokowych Rozkład zero-jedynkowy Rozpatrujemy doświadczenie, którego rezultatem może

Bardziej szczegółowo

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI. Zmienna losowa i jej rozkład

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI. Zmienna losowa i jej rozkład WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI Zmienna losowa i jej rozkład ZMIENNA LOSOWA Funkcja X przyporządkowująca każdemu zdarzeniu elementarnemu jedną i tylko jedną liczbę x. zmienna losowa skokowa skończona

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Weryfikacja hipotez dotyczących postaci nieznanego rozkładu -Testy zgodności.

Bardziej szczegółowo

Gdy n jest duże, statystyka ta (zwana statystyką chikwadrat), przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0, ma w przybliżeniu rozkład χ 2 (k 1).

Gdy n jest duże, statystyka ta (zwana statystyką chikwadrat), przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0, ma w przybliżeniu rozkład χ 2 (k 1). PRZYKŁADY TESTÓW NIEPARAMETRYCZNYCH. Test zgodności χ 2. Ten test służy testowaniu hipotezy, czy rozważana zmienna ma pewien ustalony rozkład, czy też jej rozkład różni się od tego ustalonego. Tym testem

Bardziej szczegółowo

Opis przedmiotu: Probabilistyka I

Opis przedmiotu: Probabilistyka I Opis : Probabilistyka I Kod Nazwa Wersja TR.SIK303 Probabilistyka I 2012/13 A. Usytuowanie w systemie studiów Poziom Kształcenia Stopień Rodzaj Kierunek studiów Profil studiów Specjalność Jednostka prowadząca

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Hipotezy statystyczne

Wykład 3 Hipotezy statystyczne Wykład 3 Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu obserwowanej zmiennej losowej (cechy populacji generalnej) Hipoteza zerowa (H 0 ) jest hipoteza

Bardziej szczegółowo

Rozkłady dwóch zmiennych losowych

Rozkłady dwóch zmiennych losowych Rozkłady dwóch zmiennych losowych Uogólnienie pojęć na rozkład dwóch zmiennych Dystrybuanta i gęstość prawdopodobieństwa Rozkład brzegowy Prawdopodobieństwo warunkowe Wartości średnie i odchylenia standardowe

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna i ekonometria

Statystyka matematyczna i ekonometria Statystyka matematyczna i ekonometria prof. dr hab. inż. Jacek Mercik B4 pok. 55 jacek.mercik@pwr.wroc.pl (tylko z konta studenckiego z serwera PWr) Konsultacje, kontakt itp. Strona WWW Elementy wykładu.

Bardziej szczegółowo

(C. Gauss, P. Laplace, Bernoulli, R. Fisher, J. Spława-Neyman) Wikipedia 2008

(C. Gauss, P. Laplace, Bernoulli, R. Fisher, J. Spława-Neyman) Wikipedia 2008 STATYSTYKA MATEMATYCZNA - dział matematyki stosowanej oparty na rachunku prawdopodobieństwa; zajmuje się badaniem zbiorów na podstawie analizy ich części. Nauka, której przedmiotem zainteresowania są metody

Bardziej szczegółowo

R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych

R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych Przykłady: Błąd pomiarowy Wzrost, wydajność Temperatura ciała Zawartość różnych składników we

Bardziej szczegółowo

12. Przynależność do grupy przedmiotów: Blok przedmiotów matematycznych

12. Przynależność do grupy przedmiotów: Blok przedmiotów matematycznych (pieczęć wydziału) KARTA PRZEDMIOTU Z1-PU7 WYDANIE N1 Strona 1 z 5 1. Nazwa przedmiotu: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna 2. Kod przedmiotu: RPiS 3. Karta przedmiotu ważna od roku akademickiego:

Bardziej szczegółowo

166 Wstęp do statystyki matematycznej

166 Wstęp do statystyki matematycznej 166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA

AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej KATEDRA MATEMATYKI TEMAT PRACY: ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA AUTOR: BARBARA MARDOSZ Kraków, styczeń 2008 Spis treści 1 Wprowadzenie 2 2 Definicja

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD stycznia 2010

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD stycznia 2010 STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 14 18 stycznia 2010 Model statystyczny ROZKŁAD DWUMIANOWY ( ) {0, 1,, n}, {P θ, θ (0, 1)}, n ustalone P θ {K = k} = ( ) n θ k (1 θ) n k, k k = 0, 1,, n Geneza: Rozkład Bernoulliego

Bardziej szczegółowo

Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby

Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Przypomnijmy Populacja Próba Wielkość N n Średnia Wariancja Odchylenie standardowe 4.2 Rozkład statystyki Mówimy, że rozkład statystyki (1) jest dokładny,

Bardziej szczegółowo

Aleksander Adamowski (s1869) zmienn ą losow ą T o rozkładzie wykładniczym o średniej 5 minut.

Aleksander Adamowski (s1869) zmienn ą losow ą T o rozkładzie wykładniczym o średniej 5 minut. Zadanie Statystyczna Analiza Danych - Zadania 6 Aleksander Adamowski (s869) W pewnym biurze czas losowo wybranej rozmowy telefonicznej jest zmienn ą losow ą T o rozkładzie wykładniczym o średniej 5 minut.

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4. Testowanie hipotez Niech X = (X 1... X n ) będzie próbą losową na przestrzeni X zaś P = {P θ θ Θ} rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby X. Definicja 1. Hipotezą zerową Θ

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład XII: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 12 maja 2014 Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie. Standaryzacją zmiennej X nazywamy zmienną losową Z = X EX Var (X ). Definicja

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Podstawowe pojęcia Metody opisowe w analizie rozkładu cechy

Wykład 1. Podstawowe pojęcia Metody opisowe w analizie rozkładu cechy Wykład Podstawowe pojęcia Metody opisowe w analizie rozkładu cechy Zbiorowość statystyczna - zbiór elementów lub wyników jakiegoś procesu powiązanych ze sobą logicznie (tzn. posiadających wspólne cechy

Bardziej szczegółowo

KARTA PRZEDMIOTU. 12. Przynależność do grupy przedmiotów: Prawdopodobieństwo i statystyka

KARTA PRZEDMIOTU. 12. Przynależność do grupy przedmiotów: Prawdopodobieństwo i statystyka (pieczęć wydziału) KARTA PRZEDMIOTU Z1-PU7 WYDANIE N1 Strona 1 z 5 1. Nazwa przedmiotu: RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 2. Kod przedmiotu: RPr 3. Karta przedmiotu ważna od roku akademickiego: 20152016 4. Forma

Bardziej szczegółowo

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na

Bardziej szczegółowo

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład XI: Testowanie hipotez statystycznych 12 stycznia 2015 Przykład Motywacja X 1, X 2,..., X N N (µ, σ 2 ), Y 1, Y 2,..., Y M N (ν, δ 2 ). Chcemy sprawdzić, czy µ = ν i σ 2 = δ 2, czyli że w obu populacjach

Bardziej szczegółowo

METODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ. nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie

METODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ. nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie METODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ X 1,..., X n - próbka z rozkładu P θ, θ Θ, θ jest nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie P θ. Definicja. Estymatorem

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne Testowanie hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Hipotezy

Bardziej szczegółowo

Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2

Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2 Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2 Zadania zestaw 3. 1 Rozkład zmiennej losowej skokowej X przedstawia tabela. x i m 0 n p i 0,4 0,3 0,3 a) Wyznacz m i n jeśli: są całkowite, m

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

5.Dzienne zużycie energii (1=100kWh) pewnej firmy jest zmienną losową. 0, gdy x 0 lub x 3

5.Dzienne zużycie energii (1=100kWh) pewnej firmy jest zmienną losową. 0, gdy x 0 lub x 3 LISTA 4 1.Liczba komputerów, które mogą być zarażone wirusem poprzez pewną sieć ma rozkład Poissona z parametrem λ = 7. Prawdopodobieństwo,że wirus uaktywni się w zarażonym komputerze wynosi p. Jakie jest

Bardziej szczegółowo

Ubezpieczenia majątkowe

Ubezpieczenia majątkowe Funkcje użyteczności a składki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu Instytut Nauk Ekonomicznych i Społecznych 2016/2017 Funkcja użyteczności Niech ω wielkość majątku decydenta wyrażona w j.p., u (ω) stopień

Bardziej szczegółowo

TABLICE PODSTAWOWYCH ROZKŁADÓW PRAWDOPODOBIEŃSTWA. T4. Tablica kwantyli rozkładu chi-kwadrat (I część - poziomy kwantyli 0,5)

TABLICE PODSTAWOWYCH ROZKŁADÓW PRAWDOPODOBIEŃSTWA. T4. Tablica kwantyli rozkładu chi-kwadrat (I część - poziomy kwantyli 0,5) TABLICE PODSTAWOWYCH ROZKŁADÓW PRAWDOPODOBIEŃSTWA T1. Tablica dystrybuanty standardowego normalnego rozkładu N(0,1) T2. Tablica kwantyli standardowego normalnego rozkładu N(0,1) T3. Tablica kwantyli rozkładu

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO czȩść I

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO czȩść I PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO czȩść I Szkic wykładu 1 Przykład wprowadzajacy 2 Prawo wielkich liczb Bernoulliego i centralne tw. graniczne 3 4 Przykład wprowadzajacy W Polsce różne głosowania odbywaja

Bardziej szczegółowo

Oznacza to, że chcemy znaleźć minimum, a właściwie wartość najmniejszą funkcji

Oznacza to, że chcemy znaleźć minimum, a właściwie wartość najmniejszą funkcji Wykład 11. Metoda najmniejszych kwadratów Szukamy zależności Dane są wyniki pomiarów dwóch wielkości x i y: (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ). Przypuśćmy, że nanieśliśmy je na wykres w układzie

Bardziej szczegółowo

Monte Carlo, bootstrap, jacknife

Monte Carlo, bootstrap, jacknife Monte Carlo, bootstrap, jacknife Literatura Bruce Hansen (2012 +) Econometrics, ze strony internetowej: http://www.ssc.wisc.edu/~bhansen/econometrics/ Monte Carlo: rozdział 8.8, 8.9 Bootstrap: rozdział

Bardziej szczegółowo

VII WYKŁAD STATYSTYKA. 30/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

VII WYKŁAD STATYSTYKA. 30/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 VII WYKŁAD STATYSTYKA 30/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 7 (c.d) WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI Weryfikacja hipotez ( błędy I i II rodzaju, poziom istotności,

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 1) Dariusz Gozdowski

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 1) Dariusz Gozdowski Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 1) Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW STATYSTYKA to nauka, której przedmiotem

Bardziej szczegółowo

Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych

Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych Zad. 1 Średnia ocen z semestru letniego w populacji studentów socjologii w roku akademickim 2011/2012

Bardziej szczegółowo