Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i Informatyki. sem. II - wykłady M. Czyżak
|
|
- Kazimiera Sowińska
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i Informatyki sem. II - wykłady 8-11 M. Czyżak
2 Arytmetyka komputerowa (ang. computer arithmetic) zajmuje się problemami realizacji obliczeń w urządzeniach cyfrowych. Obejmuje ona zagadnienia teoretyczne takie jak systemy liczbowe przydatne w projektowaniu urządzeń liczących lub w programowej realizacji obliczeń.
3 Zagadnienia związane z systemami liczbowymi obejmują m. in - konstrukcję systemów liczbowych - badanie własności systemów liczbowych.
4 Przedmiotem arytmetyki komputerowej jest ponadto realizacja podstawowych operacji arytmetycznych takich jak dodawanie i odejmowanie liczb bez znaku i ze znakiem, mnożenie i dzielenie jak i obliczanie standardowych funkcji arytmetycznych (np. sinus, cosinus, logarytm naturalny, arcsin, arctg, pierwiastek kwadratowy )
5 Arytmetyka komputerowa zajmuje się także syntezą szybkich i efektywnych układów do realizacji wyżej wymienionych operacji. Ten dział arytmetyki komputerowej wiąże się ściśle z technologią wielkiej skali integracji VLSI (Very Large Scale of Integration).
6 Aktualne zagadnienia arytmetyki komputerowej to m.in. - bardzo szybka realizacja obliczeń z wykorzystaniem potokowania (ang. pipelining) - wykonywanie operacji arytmetycznych z małym poborem mocy (ang. low-power arithmetic). Zagadnienie to ma szczególne znaczenie w związku z rozwojem urządzeń mobilnych, jak również ze wzrostem stosowanych częstotliwości zegarowych, zważywszy na fakt, iż pobór mocy w urządzeniach VLSI jest liniowo proporcjonalny do częstotliwości zegara.
7 Uwagi wstępne o systemach liczbowych(cz. I) Systemy reprezentacji liczb rozwijały się wraz z rozwojem języka. Najstarsze metody reprezentacji liczb to reprezentowanie przy użyciu różnych przedmiotów np. kamieni lub patyczków (łac. calculus oznacza kamyczek).
8 Uwagi wstępne o systemach liczbowych(cz. II) Jednak gdy powstała konieczność stosowania większych liczb, ich reprezentowanie z użyciem pojedynczych przedmiotów jak też porównywanie takich liczb stawało się coraz trudniejsze. Pierwszym udoskonaleniem było grupowanie przedmiotów reprezentujących jednostki (np. liczbę 23 reprezentowano jako 4 grupy po 5 kamyczków oraz 3 osobne). Główny przełom stanowiło jednak wprowadzenie większych przedmiotów reprezentujących grupę 5 lub 10 jednostek.
9 Metoda ta rozwinęła się do formy symbolicznej, gdy zaczęto stosować specjalne symbole do oznaczenia większych jednostek. Znanym przykładem jest zapis rzymski. Jednostkami w tym systemie są 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000, i , które są oznaczane odpowiednio symbolami I, V, X, L, C, D, M, ((I)) i (((I))). Liczbę w tym systemie reprezentuje się w postaci łańcucha symboli o wartości malejącej od lewej strony.
10 Aby skrócić zapis przyjęto, że symbol znajdujący się po lewej stronie większego symbolu reprezentuje wartość ujemną. Np. liczbę 9 bezpośrednio można by zapisać jako VIIII, jednak wygodniejszy jest zapis IX. Podobnie liczbę 450 można by zapisać jako CCCCL, jednak zapis LD jest bardziej dogodny.
11 System rzymski nie jest odpowiedni do reprezentowania dużych liczb jak również trudno jest wykonywać operacje arytmetyczne z jego użyciem. Istotną innowacją było wprowadzenie przez Chińczyków systemu pozycyjnego(wagowego), w którym wartość reprezentowana przez dany symbol nie zależy tylko od niego samego, ale także od jego położenia względem innych symboli. Przykładowo, w liczbie 555 każda z cyfr "5", reprezentuje inną wartość. Skrajna od lewej reprezentuje 500, środkowa 50, a skrajna z prawej 5.
12 System liczbowy, S można określić jako zbiór S={X, X, F}, gdzie X - zbiór wartości abstrakcyjnych liczb, X - zbiór reprezentacji liczb, F: X X. Ogólnie reprezentację liczby można zapisać następująco, (x n-1, x n-2,...,x 0 ), gdzie x i, i=0,1,2,..., n -1 są cyframi reprezentacji. Dla popularnych systemów pozycyjnych nie stosuje się zwykle przy zapisie nawiasów ani przecinków.
13 System wagowy W systemie wagowym liczba X jest przedstawiana w sposób następujący: X gdzie w i W a n 1 im d i w i d i D zbiór W zwany jest zbiorem wag, a zbiór D zbiorem cyfr.
14 System ze stałą podstawą Jeżeli wszystkie wagi są potęgami pewnej stałej r, w i = r i to taki system wagowy nazywamy systemem ze stałą podstawą (ang. fixed - radix number system). Liczbę X można w takim systemie zapisać w sposób następujący X n 1 im d i r i
15 System wagowy o mieszanych podstawach Zbiór dozwolonych cyfr jest taki sam na każdej pozycji. Istnieją też, będące w powszechnym użyciu, systemy wagowe nie będące systemami o stałej podstawie, np. system zliczania czasu. Niech T oznacza czas w ciągu doby wyrażony w sekundach dla pewnej liczby godzin, minut i sekund. T możemy zapisać jako T E0 E1 60 E
16 System wagowy o mieszanych podstawach gdzie poszczególne cyfry mogą przyjmować wartości z następujących zakresów 0 E E E2 24
17 Bezwzględną dokładność reprezentacji liczby w systemie wagowym wyznacza waga najmniej znaczącej pozycji czyli r - m. W systemie ze stałą podstawą reprezentacja zera unikalna, gdyż nie istnieje liczba różna od {0,0,...,0}, której wartością byłoby zero. W systemie takim liczby najmniejsza, N i największa, P reprezentowalne na n pozycjach, mają postać P N (0,0,0,...,0) ( r 1, r 1, r 1,..., r 1)
18 Sposób reprezentacji liczb wpływa nie tylko na łatwość odczytywania liczb, a także na złożoność algorytmów arytmetycznych stosowanych przy realizacji operacji na liczbach. Systemy pozycyjne zawdzięczają swą popularność, przynajmniej częściowo, dostępności prostych i wygodnych algorytmów do realizacji działań na liczbach reprezentowanych w tych systemach. Istnieją jednak systemy niepozycyjne, takie jak resztowy system liczbowy, które mają przewagę nad systemami pozycyjnymi przy realizacji niektórych działań arytmetycznych w pewnych dziedzinach zastosowań.
19 W systemach cyfrowych liczby są kodowane przy użyciu cyfr binarnych zwanych bitami. Stosowanie systemu binarnego wynika z powodów technologicznych, gdyż w fizycznych urządzeniach łatwiej jest reprezentować dwa stany, którym przypisuje się cyfry binarne.
20 Elementy systemów liczbowych Operandami algorytmów arytmetyki komputerowej są więc kody reprezentujące liczby. Zbiór kodów takich jest jednak zbiorem dyskretnym i skończonym, stąd nie wszystkie reguły arytmetyki konwencjonalnej, stosują się do algorytmów arytmetyki komputerowej. Stosuje się zasadniczo dwa rodzaje reprezentacji liczb w komputerach
21 Elementy systemów liczbowych Typy reprezentacji - reprezentację stałoprzecinkową (ang. fixed-point representation), gdzie liczba pozycji przeznaczonych do zakodowania części całkowitej liczby i części ułamkowej liczby jest stała, - reprezentację zmiennoprzecinkową (ang. floating-point representation), w której osobno jest kodowana jest mantysa wraz ze znakiem oraz osobno cecha określająca relację między liczbą a mantysą.
22 Przykład. Reprezentacja stałoprzecinkowa o 8 pozycjach może być zapisana następująco xxxx.xxxx Kropka ( lub przecinek) oddziela cześć całkowitą od części ułamkowej. W systemie dziesiętnym można przy użyciu takiej reprezentacji przedstawiać liczby z następującego zakresu [ , ], a w systemie binarnym z zakresu [ , ].
23 Reprezentacja zmiennoprzecinkowa liczby nieujemnej w systemie dziesiętnym ma postać ( m p-1, m p-2,.., m 0, c q-1, c q-2,.., c 0 ), Cyfry m i, i=0,1,.., p-1 i c i,i=0,1,..,q-1 są cyframi dziesiętnymi, cyfry m i reprezentują mantysę, a c i cechę. Liczba tutaj ma wartość c m 10 Mantysa i cecha są liczbami stałoprzecinkowymi. Reprezentacja taka nie jest jednoznaczna, np. liczba może być reprezentowana jako
24 Reprezentacja zmiennoprzecinkowa w systemie binarnym w najprostszym przypadku może mieć następującą postać (m p-1, m p-2,.., m 0, c q-1, c q-2,.., c 0 ), Cyfry m i, i=0,..,p-1 i c i, i=0,1,..,q-1 są tutaj cyframi binarnymi, a mantysa m jest liczbą ułamkową z przedziału Liczba ma wartość 0.5 m c m 2 1
25 Liczby w systemach cyfrowych są kodowane przy użyciu bitów. Kodowanie oznacza, że każdej liczbie, która ma być reprezentowana w danym systemie cyfrowym, przypisuje się pewien kod - ciąg bitów reprezentujący tę liczbę. Przypisanie to powinno być logiczne i systematyczne, tak aby umożliwiało prostą realizację operacji arytmetycznych, jak również proste sprawdzanie osobliwości lub specjalnych przypadków.
26 Systemy binarny naturalny, oktalny i heksadecymalny Systemy te mają zasadnicze znaczenie w informatyce. System binarny (dwójkowy) naturalny W systemie binarnym r = 2 oraz reprezentacja ma postać X = (x n-1, x n-2,...,x 0 ) x i 0,1 Wartość liczby o reprezentacji X można obliczyć z zależności X n 1 i0 x 2 i i
27 Przykład. Znaleźć wartości dziesiętne następujących liczb binarnych a) X 1 =(101) 2 b) X 2 =(11001) 2 c) X 3 =( ) 2
28 Maksymalna wartość liczby binarnej reprezentowanej na n pozycjach o wagach od 1 do 2 n-1 jest równa. 2 n - 1 Warto zauważyć, że liczba 2 n wymaga reprezentacji na n+1 pozycjach. Stosując system binarny często używa się określeń bajt, liczba dwu -, czterobajtowa, a także n - bajtowa. Bajt oznacza liczbę złożoną z 8 cyfr binarnych o wagach od 1 do 2 n-1 i maksymalnej wartości Liczba dwubajtowa oznacza liczbę złożoną z 16 cyfr binarnych o wagach od 1 do 2 15, o maksymalnej
29 a) system oktalny (ósemkowy), w systemie tym podstawa r = 8 oraz x i 0,1,2,3,4,5,6,7 n 1 X 8 i0 x i i a)x 1 =(31) 8 = (25) 10 b)x 2 =(77) 8 = (63) 10 c)x 3 =(775) 8 =(509) 10
30 System heksadecymalny (szesnastkowy), W systemie tym podstawa systemu r = 16. Wartość liczby heksadecymalnej wyraża się wzorem n 1 X 16 i0 x i x i 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A, B, C, D, E, F i a) X 1 =(2B) 16 = (43) 10 b) X 2 =(FF) 16 = (255) 10 c) X 3 =(ABC) 16 =(2748) 10
31 Konwersje międzysystemowe Konwersja międzysystemowa to operacja znajdowania reprezentacji liczby X w pewnym systemie liczbowym, gdy dana jest reprezentacja tej liczby w innym systemie liczbowym. Zasadniczo konwersję międzysystemową dla systemów ze stałą podstawową można wykonać stosując ogólną metodę konwersji przedstawioną poniżej,
32 Konwersje międzysystemowe Ogólna procedura konwersji Oznaczmy przez r podstawę systemu ze stałą podstawą, z którego dokonujemy konwersji, a przez R podstawę systemu, do którego ma następować konwersja. Procedura konwersji polega na dzieleniu liczby przedstawionej przy podstawie r, przez liczbę R, przedstawioną przy podstawie r i wyznaczaniu reszty z dzielenia.
33 Konwersje międzysystemowe Konwersja system binarny naturalny - system dziesiętny Konwersję tę realizuje się stosując zależność n 1 X 2 i0 x i i
34 Konwersja system dziesiętny - system binarny naturalny Można tutaj zastosować ogólny algorytm konwersji dla r =10 i R = 2. Przykład. Znaleźć reprezentacje binarne liczb 30 i 23. X R reszta
35 Przykład. Wyznaczanie reprezentacji binarnej liczby 8-bitowej. #include <stdio.h> #include <conio.h> int main() { char x=30; int i, bit[8]; for (i=0;i < 8;i++) { if (x%2==1) bit[i] = 1; else bit[i] = 0; x=x/2; } for (i=7;i>=0;i--) printf(" %d ",bit[i]); getch(); return 0; }
36 Konwersja ułamków z systemu binarnego do systemu dziesiętnego Wartość ułamka binarnego można obliczyć w sposób następujący m i1 X F x i 2 i Wagi w powyższym wzorze są ujemne i wynoszą kolejno 2-1, 2-2, 2-3,.., 2 -m. Przykładowo, ułamkowi binarnemu (0.11) 2 odpowiada ułamek dziesiętny 0.75, a (0.011)
37 Konwersja ułamków z systemu dziesiętnego do systemu binarnego Przykład. Dla danego ułamka dziesiętnego należy wyznaczyć jego reprezentację binarną x x x x x x
38 Konwersja z systemu oktalnego do systemu dziesiętnego n 1 X 8 i0 x i Konwersja z systemu dziesiętnego do systemu oktalnego i X R reszta 701 : : : : 8 1 0
39 Konwersja z systemu heksadecymalnego do systemu dziesiętnego n 1 X 16 i0 x i i Przykłady obliczeń są przy opisie systemu heksadecymalnego
40 Konwersja z systemu dziesiętnego do systemu heksadecymalnego Przykład. Zamienić liczbę dziesiętną X=3625 na postać heksadecymalną X R reszta 3627 : 16 11=B 226 : : 16 14=E Wartość liczby w postaci heksadecymalnej równa jest 0 E2B.
41 Konwersja z systemu binarnego do systemu oktalnego (cz.1) Przykład. Konwersja liczby binarnej 12-bitowej na postać oktalną (d 3, d 2, d 1, d 0 ) x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 0 d 3 =x x x 6 d 0 =x x x 0 d 4 =x x x 9 d 1 =x x x 3
42 Konwersja z systemu binarnego do systemu oktalnego (cz.2) Konwersja, przedstawiona powyżej, ta polega na podziale liczby binarnej na segmenty 3-cyfrowe i przypisaniu każdemu segmentowi cyfry oktalnej równej jego wartości. Przykład. Zrealizować konwersję liczby binarnej na postać oktalną (liczba oktalna)
43 Konwersja z systemu binarnego do systemu heksadecymalnego (cz.1) Przykład. Konwersja liczby binarnej 12-bitowej na postać heksadecymalną (d 2, d 1, d 0 ) x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 0 d 2 = x x x x 8 d 1 = x x x x 4 d 0 = x x x x 0
44 F 7 B (liczba heksadecymalna) Konwersja z systemu binarnego do systemu heksadecymalnego (cz.2) Konwersja ta, przedstawiona powyżej, polega na podziale liczby binarnej na segmenty 4-cyfrowe i przypisaniu każdemu segmentowi cyfry heksadecymalnej równej jego wartości. Przykład. Zrealizować konwersję liczby binarnej na postać heksadecymalną
45 Konwersja z systemu oktalnego do systemu binarnego (cz.1) Przykład. Konwersja liczby oktalnej 4 - cyfrowej na postać binarną (d 3, d 2, d 1, d 0 ) d 3 d 2 d 1 d 0 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 0 d 4 =x x x 9 d 3 =x x x 6 d 1 =x x x 3 d 0 =x x x 0
46 Konwersja z systemu oktalnego do systemu binarnego (cz.2) Konwersja ta polega na przypisaniu poszczególnym cyfrom oktalnym ich 3-cyfrowych reprezentacji binarnych. Przykład. Zrealizować konwersję liczby oktalnej 5061 na postać binarną (liczba oktalna) (liczba binarna)
47 Przesunięcie binarne w rejestrze Rejestr jest urządzeniem cyfrowym mogącym przechować pewną liczbę bitów. Rejestr przechowuje poszczególne bity w swoich komórkach. Bit może być do takiej komórki zapisany lub z niej odczytany. Typowe długości rejestrów to 8-, 16-, 24-, 32 lub 64 bity, jednak rejestr może mieć dowolną długość. Przesunięcie binarne polega na przepisaniu pewnych komórek rejestru do innych komórek lub poza rejestr.
48 Wyróżniamy następujące rodzaje przesunięć binarnych a) przesunięcie logiczne w lewo Przy przesunięciu tym na puste pozycje rejestru z prawej strony wchodzą zera. Rejestr przed przesunięciem logicznym w lewo Rejestr po przesunięciu o jedną pozycję w lewo
49 Wartość liczby Y uzyskanej po przesunięciu liczby X o k pozycji w lewo w rejestrze n - bitowym wyraża się wzorem Y X 2 k 2 n Przykład. Obliczyć wartość liczby uzyskanej w wyniku przesunięcia liczby 6 o trzy pozycje w lewo w rejestrze 5-bitowym.
50 b) przesunięcie logiczne w prawo Przy przesunięciu tym na puste pozycje rejestru z lewej strony wchodzą zera, skrajne bity z prawej strony wychodzą poza rejestr. Rejestr przed przesunięciem logicznym w prawo Rejestr po przesunięciu o jedną pozycję w prawo.
51 Wartość liczby Y uzyskanej po przesunięciu w rejestrze liczby X o k pozycji w prawo w rejestrze n-bitowym wyraża się wzorem Y X k 2 Przykład. Obliczyć wartość liczby uzyskanej w wyniku przesunięcia liczby 23 o trzy pozycje w prawo w rejestrze 5-bitowym.
52 Rejestr po przesunięciu arytmetycznym o jedną pozycję w prawo. c1) przesunięcie arytmetyczne w prawo przypadek 1 Przy przesunięciu tym do kolejnych bitów rejestru z lewej strony wchodzą wartości równe bitowi o najwyższej wadze (skrajnemu bitowi z lewej strony, bit znaku) Rejestr przed przesunięciem arytmetycznym w prawo. 2 4 Bit o najwyższej wadze ( 2 4 ) równy
53 Rejestr po przesunięciu arytmetycznym o jedną pozycję w prawo. c2) przesunięcie arytmetyczne w prawo przypadek 2 W tym przypadku bit o najwyższej wadze( 2 4 ) jest równy 0. Rejestr przed przesunięciem arytmetycznym w prawo. 2 4 Bit o najwyższej wadze ( 2 4 ) równy
54 d) przesunięcie cykliczne w lewo W tym przypadku najstarszy bit wchodzi na najmłodszą pozycję, a pozostałe bity są przesuwane o jedną pozycję w lewo Rejestr przed przesunięciem cyklicznym w lewo Rejestr po przesunięciu cyklicznym o jedną pozycję w lewo
55 f) przesunięcie cykliczne w prawo W tym przypadku najmłodszy bit wchodzi na najstarszą pozycję, a pozostałe bity są przesuwane o jedną pozycję w prawo. Rejestr przed przesunięciem cyklicznym w prawo Rejestr po przesunięciu cyklicznym o jedną pozycję w prawo
56 Dodawanie binarne w naturalnym kodzie binarnym (1) Dodawanie dwóch liczb binarnych n -bitowych A+B można przedstawić następująco: a n-1 a n-2 a n-3... a 0 liczba A. b n-1 b n-2 b n-3... b 0 liczba B s n s n-1 s n-2 s n-3... s 0 suma A+B Dodawanie takie odbywa się poprzez dodawanie kolejnych cyfr obu liczb (bitów) począwszy od najmłodszej pary bitów przy uwzględnieniu przy każdym dodawaniu przeniesienia z poprzedniej pozycji. Zwykle zakłada się, że przeniesienie do najmłodszej pozycji ( o wadze 2 0 ) jest
57 Dodawanie binarne w naturalnym kodzie binarnym (2) Reguły dodawania binarnego na jednej pozycji Dodawane liczby Suma Przeniesienie
58 Dodawanie binarne w naturalnym kodzie binarnym (3) Reguły dodawania binarnego na jednej pozycji z uwzględnieniem przeniesienia a i b i c i s i c i
59 Dodawanie binarne w naturalnym kodzie binarnym (4) W powyższej tabeli a i, b i oznaczają cyfry na i - tej pozycji, c i oznacza przeniesienie wchodzące do i-tej pozycji, a c i+1 przeniesienie wychodzące z i- tej pozycji. Warto zauważyć, że suma dwóch liczb binarnych może wymagać n+1- bitów. Długość binarną sumy, n s dla sumowania m składników binarnych n - bitowych można obliczyć w sposób następujący: n s = log 2 m(2 n -1)+1
60 Dodawanie binarne w naturalnym kodzie binarnym (5) Przykład. Obliczyć sumę liczb binarnych A =10111 i B = przeniesienia A B A+B
61 // Symulator dodawania binarnego liczb 8 bitowych #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #define N 8 int main(int argc, char *argv[]) { int A[8]={1,1,1,1,0,0,0,0}, B[8]={1,1,1,1,0,0,0,0}; int suma[n+1],s,i, przeniesienie=0; for(i=0;i<n;i++) { s=a[i]+b[i]+przeniesienie; suma[i]=s%2; przeniesienie= s/2; } suma[n]=przeniesienie; for (i=n;i>=0;i--) printf("%d ", suma[i]); printf("\n"); system("pause"); Wynik działania programu:
62 Odejmowanie binarne (1) Odejmowanie A - B dwóch liczb binarnych n - bitowych nieujemnych można przedstawić następująco: a n-1 a n-2 a n-3... a 0. + b n-1 b n-2 b n-3... b 0 B A n n-1 n-2 n A-B Odejmowania takie odbywa się poprzez odejmowanie kolejnych cyfr obu liczb(bitów) począwszy od najmłodszej pary bitów przy uwzględnieniu przy każdym odejmowaniu pożyczki (przeniesienia o wartości ujemnej) z poprzedniej pozycji. Różnica może być ujemna, stąd pojawia się problem dodatkowego bitu reprezentującego znak różnicy.
63 Odejmowanie binarne (2) Zwykle się przyjmuje, że znak minus jest reprezentowany przez liczbę 1, a znak plus przez 0. Wartość liczby uzyskanej w wyniku odejmowania można więc określić następująco: A - B = - n 2 n n-1 i0 i 2 i -1 * = Poniżej w tabeli podano reguły odejmowania binarnego.
64 Odejmowanie binarne (3) Reguły odejmowania binarnego na jednej pozycji z uwzględnieniem przeniesienia (pożyczki) a i b i c i,in i c i,out
65 Odejmowanie binarne (4) Przykład. Obliczyć różnicę liczb binarnych a) A 1 =10000 i B 1 =1011, b) A 2 =101010, B 2 = a) przeniesienia (pożyczki) A B A 1 -B 1 b) przeniesienia (pożyczki) A B A 2 - B 2
66 // Symulator odejmowania binarnego liczb 8-bitowych #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #define N 8 int main(int argc, char *argv[]) { int A[8]={0,0,0,0,1,0,0,0}, B[8]={1,1,0,1,0,0,0,0}; int roznica[n+1],s;i; int pozyczka=0; for(i=0;i<n;i++) { s=a[i]-b[i]+pozyczka; switch (s) { case 0: roznica[i]=0; pozyczka=0; break; case 1: roznica[i]=1; pozyczka=0; break; case -1: roznica[i]=1; pozyczka=-1; break; case -2: roznica[i]=0; pozyczka=-1; break; } } roznica[n]=pozyczka; for (i=n;i>=0;i--) printf("%d ", roznica[i]); printf("\n"); system("pause"); return 0; }
67 Mnożenie binarne (1) Mnożenie liczb binarnych może być wykonywane w różny sposób. Przykładowo, dla krótkich operandów można stosować odczyt iloczynu z pamięci adresowanej słowem binarnym będącym połączeniem mnożnika i mnożnej. Istnieją też specjalne układy zwane mnożnikami. Najprostszy jednak sposób polega na wielokrotnym przesunięciu mnożnej i warunkowym sumowaniu przesuniętej mnożnej w zależności od wartości bitu mnożnika.
68 Algorytm mnożenia metodą dodaj-przesuń (ang, shift-add) a a a a p p p b 3 b 2 1 b b (1) (1) (1) (1) 3 p2 p1 p0 (2) (2) (2) (2) p3 p2 p1 p0 (3) (3) (3) (3) p3 p2 p1 p0 (4) (4) (4) (4) 3 p2 p1 p0 7 p6 p5 p4 p3 p2 p1 p0 0 Przykład X
69 Algorytm mnożenia liczb k-bitowych metodą dodaj-przesuń (ang, shift-add) Mnożenie P = AB, b i jest i - tym bitem mnożnika P 0 = 0, P i+1 = P i + b i A2 i, i = 0, 1, 2,...,k-1. Algorytm 1. Krok 0. Ładuj mnożną A do rejestru X i mnożnik B do rejestru Y. Krok 1. Ładuj 0 do rejestru I Krok 2. Powtarzaj kroki 2a i 2b dla i = 0,1,2,...,k-1. Krok 2a. Jeżeli Y i =1 wtedy // (sprawdzanie i-tego bitu mnożnika) I I + X Krok 2b. X 2X - przesuwanie rejestru X o 1 bit w lewo
70 Algorytm mnożenia liczb metodą rosyjskich wieśniaków (ang, Russian Peasants, RP) Przykład. Zrealizować mnożenie liczb A=24 i B=25 metodą RP. A B
71 Wybrane reprezentacje liczb ze znakiem (1) Przy odejmowaniu pojawia się problem reprezentacji liczb ze znakiem. Forma reprezentacji powinna być taka, aby w możliwie dużym stopniu ułatwiała układową realizację liczb ze znakiem. Trzy najczęściej stosowane reprezentacje to: -reprezentacja znak-moduł ( kod znak-moduł, sign-magnitude representation) - reprezentacja z uzupełnieniem do 1 (kod U1, ang. one s complement representation) - reprezentacja z uzupełnieniem do 2 ( kod U2, ang. two s complement representation)
72 Cyfry x n-2 x n-3... x 0 reprezentują moduł liczby. Elementy arytmetyki komputerowej Wybrane reprezentacje liczb ze znakiem (2) Reprezentacja stałoprzecinkowa liczb ze znakiem ma postać: X x x... x n1 n2 0 Zwykle cyfrę x n-1 rezerwuje się na znak. Znak liczby przyjmuje wartość x n 1 0 r 1 dla dla X X 0 0
73 Wybrane reprezentacje liczb ze znakiem (2) Reprezentacja znak-moduł Liczby nieujemne dla podstawy r=2 (system binarny) są przedstawiane następująco: X 0 x x x, a liczby ujemne :... n2 n3 0 X 1 x x x... n2 n3 0.
74 Wybrane reprezentacje liczb ze znakiem (2) Reprezentacja z uzupełnieniem do 1 Liczby nieujemne dla r=2 są przedstawiane następująco: X 0 x x x... n2 n3 0 a liczby ujemne : X 1 x x x... n2 n3 0 x 1 dla 0 n 2 i x i i są cyframi liczby dodatniej o tej samej wartości bezwzględnej, co dana liczba ujemna.
75 Elementy systemów uzupełnieniowych (1) Celem stosowania systemów uzupełnieniowych jest uproszczenie realizacji odejmowania, poprzez zastąpienie odejmowania prostszymi operacjami arytmetycznymi. Podstawowe pojęcia w tych systemach to dopełnienie i uzupełnienie. Def. (dopełnienie) Dla systemu ze stałą podstawą r dopełnieniem nieujemnej liczby n - cyfrowej X nazywamy liczbę X określoną w następujący sposób Liczba r n - 1 ma postać X = r n - 1- X (r -1, r -1, r -1, r - 1,...,r -1)
76 Elementy systemów uzupełnieniowych (2) Przykład. Obliczyć dopełnienie dla danej liczby dziesiętnej X = dopełnienie liczby Jak można zauważyć, odejmowanie jest tutaj dużo prostsze, gdyż nie są wymagane pożyczki ze starszych pozycji, z uwagi na to, że 9 jest największą cyfrą w systemie dziesiętnym. W systemie binarnym przy obliczaniu dopełnienia nie jest konieczne odejmowanie. Może być ono zastąpione negacją (zamianą zera na 1 lub 1 na zero).
77 Elementy systemów uzupełnieniowych (3) Def. (uzupełnienie) Dla systemu ze stałą podstawą r uzupełnieniem nieujemnej liczby n - cyfrowej X nazywamy liczbę X * określoną w następujący sposób X * = r n - X Reprezentacja liczby r n ma postać (1,0, 0,0,0,...,0) n zer
78 Elementy systemów uzupełnieniowych (5) Przydatność uzupełnienia wynika z faktu, że odejmowanie może, przy spełnieniu pewnych warunków, być zastąpione dodawaniem uzupełnienia X + X * = X +(r n - X)=r n Dodawanie liczby i jej uzupełnienia daje r n, jednak reprezentacja liczby r n na n pozycjach ma zera, czyli reprezentuje zero. A więc dodawanie X + X * daje ten sam wynik co X - X = 0, a przeniesienie, czyli r n, należy odrzucić.
79 Przykład. Obliczyć różnicę X - Y = przy zastosowaniu uzupełnienia dla danej liczby dziesiętnej. Obliczenie dopełnienia Y Obliczenie uzupełnienia Y Obliczenie różnicy Elementy systemów uzupełnieniowych (6) Y * =8764+1=
80 Reprezentacja z uzupełnieniem do 2 (kod U2) Liczby nieujemne dla r = 2 są przedstawiane następująco: X 0 x x x... n2 n3 0 a liczby ujemne : X ~ 1 x x... x n2 n3 0 1 Wyznaczenie reprezentacji danej liczby ujemnej w kodzie U2 wymaga wyznaczenia reprezentacji w kodzie U1, dodania 1 i odrzucenia przeniesienia z najwyższego bitu ( bit MSB).
81 Dodawanie w kodzie U2 Algorytm (dodawanie X +Y w U2) Dane: n - bitowe reprezentacje X i Y w U2 Krok 1. Wykonaj dodawanie bitów obu reprezentacji łącznie z bitami znaku. Krok 2. Porównaj przeniesienie do bitu znaku c MSB z przeniesieniem z bitu znaku c S. Jeśli są one równe rezultat jest w poprawnej formie U2, w przeciwnym przypadku wystąpił nadmiar X Y c s c MSB X+Y
82 Przykład. Zrealizować dodawanie liczb , 13+(-11), (-11)+(-13) w kodzie U2 dla 6-bitowych reprezentacji. a) 13 (13) 10 = (001101) (11) 10 = (001011) c msb =c s =
83 b) Przykład cz. 2 Dodawanie w U2 13 (13) 10 = (001101) 2 +(- 11) (-11) 10 =(110101) 2, -11 w U c msb =c s =
84 c) Przykład cz. 3 Dodawanie w U2 (-13) (-13) 10 = (110011) 2 +(- 11) (-11) 10 = (110101) 2, -11 w U c msb = c s = w U2
85 Odejmowanie w kodzie U2 Algorytm (odejmowanie X +Y w U2) Dane: n - bitowe reprezentacje X i Y w U2 Krok 1. Utwórz uzupełnienie do 2 odjemnika Krok 2. Wykonaj dodawanie odjemnej i uzupełnienia do 2 odjemnika Krok 3. Porównaj przeniesienie do bitu znaku c MSB z przeniesieniem z bitu znaku c S. Jeśli są one równe rezultat jest w poprawnej formie U2, w przeciwnym przypadku wystąpił nadmiar.
86 Przykład. Zrealizować odejmowania liczb 13 - (+11), 13- (-11), (-11)-(-13) w kodzie U2 dla 6-bitowych reprezentacji. a) 13 (13) 10 = (001101) 2 -(+11) (-11) 10 = (110101) 2, -11 w U c msb = c s =
87 b) Przykład cz. 2 Odejmowanie w U2 (-13) (-13) 10 = (110011) 2 - ( -11) (-11) 10 = (110101) 2, -11 w U2-24 uzupełnienie (-11) c msb =c s = w U2
88 Dzielenie binarne w formie pisemnej może być zrealizowane przy użyciu algorytmu dzielenia stosowanego dla innych podstaw systemu liczbowego( np. r =10). Przykład. Zrealizować dzielenie :101, odpowiada ono dzieleniu 59:5 w systemie dziesiętnym. (dzielna) 1011 (iloraz) : 101(dzielnik) Dzielenie binarne (1) (reszta z dzielenia)
89 Dzielenie binarne (2) Dzielenie binarne realizowane maszynowo (układowo lub programowo) jest działaniem znacznie trudniejszym niż mnożenie binarne. W przypadku mnożenia binarnego operandów k-bitowych, otrzymywany wynik jest w ogólnym przypadku 2k-bitowy. Natomiast przy dzieleniu binarnym długość ilorazu w bitach jest znacznie trudniejsza do przewidzenia.
90 Dzielenie binarne (3) Przykładowo, rozważmy dzielenie całkowite liczby 2kbitowej przez k - bitową. Aby dzielenie takie było wykonalne, reprezentacja binarna reszty otrzymywanej w trakcie procesu dzielenia nie może przekraczać 2k bitów, gdyż w przeciwnym przypadku nie byłoby możliwe jej odjęcie od dzielnej reprezentowanej na 2k-bitach.
91 Dzielenie binarne (4) Jednak przy dzielniku k - bitowym iloraz może być dłuższy niż k bitów, a więc reszta mogłaby w ogólnym przypadku przekraczać 2k bitów. Stąd dzielenie przy takich długościach rejestrów nie jest bezpośrednio wykonalne. Przyjmując więc, że reszta ma być co najwyżej 2k-bitowa, przy k-bitowym dzielniku, iloraz nie może mieć długości większej niż k bitów. Jeżeli jednak okazuje się, że iloraz wymaga więcej niż k bitów, sytuacja taka traktowana jest jako nadmiar.
92 z (dzielna) d (dzielnik) q (iloraz) s reszta z z z z k k Oznaczenia: d d d d k k q q q q k k s s s s k k
93 Dzielenie binarne (6) Podstawowe równanie dla dzielenia ma postać: z d q s Nadmiar nie wystąpi, jeżeli liczba reprezentowana przez k pierwszych bitów dzielnej (licząc od bitu o najwyższej wadze) jest mniejsza od dzielnika. Warunek ten można to zapisać następująco: z 2 k Rezultatem dzielenia jest liczba reprezentowana przez najstarsze k bitów dzielnej. Jeżeli liczba ta jest mniejsza od dzielnika d, to jej iloraz przez d będzie równy zeru czyli iloraz d
94 Dzielenie binarne (7) Przykład. Zrealizować dzielenie :111, odpowiada ono dzieleniu 44:7 w systemie dziesiętnym : W tym przypadku spełniony jest warunek, że najstarsze k bitów dzielnej reprezentuje liczbę mniejszą od dzielnika.
95 Dzielenie binarne (7) Dzielenie binarne liczb całkowitych, przedstawione powyżej, może być zrealizowane przy zastosowaniu następującego algorytmu s ( j) przy ( j1) s q d 2 s (0). z k j k j j =1,2,..,k, Cyfry dzielnika są dobierane w taki sposób, aby kolejna reszta była nieujemna.
96 Przykład. Stosując powyższy k=3 algorytm obliczyć iloraz 44:7. (1) (0) 2 (0) s s s (2) (3) s s s (1) (2) q 2 q q s z 44 d=7 q 1 1 (1) s 1 d 2 0 d 2 d q 2 1 (2) s q 0 0 Dzielenie binarne (8) s (3)
Systemy zapisu liczb.
Systemy zapisu liczb. Cele kształcenia: Zapoznanie z systemami zapisu liczb: dziesiętny, dwójkowy, ósemkowy, szesnastkowy. Zdobycie umiejętności wykonywania działań na liczbach w różnych systemach. Zagadnienia:
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA BINARNA. Dziesiątkowy system pozycyjny nie jest jedynym sposobem kodowania liczb z jakim mamy na co dzień do czynienia.
ARYTMETYKA BINARNA ROZWINIĘCIE DWÓJKOWE Jednym z najlepiej znanych sposobów kodowania informacji zawartej w liczbach jest kodowanie w dziesiątkowym systemie pozycyjnym, w którym dla przedstawienia liczb
Bardziej szczegółowoPrzedmiot: Urządzenia techniki komputerowej Nauczyciel: Mirosław Ruciński
Przedmiot: Urządzenia techniki komputerowej Nauczyciel: Mirosław Ruciński Temat: Systemy zapisu liczb. Cele kształcenia: Zapoznanie z systemami zapisu liczb: dziesiętny, dwójkowy, ósemkowy, szesnastkowy.
Bardziej szczegółowoSystemy liczbowe. 1. Przedstawić w postaci sumy wag poszczególnych cyfr liczbę rzeczywistą R = (10).
Wprowadzenie do inżynierii przetwarzania informacji. Ćwiczenie 1. Systemy liczbowe Cel dydaktyczny: Poznanie zasad reprezentacji liczb w systemach pozycyjnych o różnych podstawach. Kodowanie liczb dziesiętnych
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM PROCESORY SYGNAŁOWE W AUTOMATYCE PRZEMYSŁOWEJ. Zasady arytmetyki stałoprzecinkowej oraz operacji arytmetycznych w formatach Q
LABORAORIUM PROCESORY SYGAŁOWE W AUOMAYCE PRZEMYSŁOWEJ Zasady arytmetyki stałoprzecinkowej oraz operacji arytmetycznych w formatach Q 1. Zasady arytmetyki stałoprzecinkowej. Kody stałopozycyjne mają ustalone
Bardziej szczegółowoARCHITEKTURA SYSTEMÓW KOMPUTEROWYCH
ARCHITEKTURA SYSTEMÓW KOMPUTEROWYCH reprezentacja danych ASK.RD.01 c Dr inż. Ignacy Pardyka UNIWERSYTET JANA KOCHANOWSKIEGO w Kielcach Rok akad. 2011/2012 c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok
Bardziej szczegółowoArytmetyka komputera. Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka. Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI
Arytmetyka komputera Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI Spis treści 1. Jednostki informacyjne 2. Systemy liczbowe 2.1. System
Bardziej szczegółowoStan wysoki (H) i stan niski (L)
PODSTAWY Przez układy cyfrowe rozumiemy układy, w których w każdej chwili występują tylko dwa (zwykle) możliwe stany, np. tranzystor, jako element układu cyfrowego, może być albo w stanie nasycenia, albo
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do architektury komputerów systemy liczbowe, operacje arytmetyczne i logiczne
Wprowadzenie do architektury komputerów systemy liczbowe, operacje arytmetyczne i logiczne 1. Bit Pozycja rejestru lub komórki pamięci służąca do przedstawiania (pamiętania) cyfry w systemie (liczbowym)
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki. Inżynieria Ciepła, I rok. Wykład 5 Liczby w komputerze
Podstawy Informatyki Inżynieria Ciepła, I rok Wykład 5 Liczby w komputerze Jednostki informacji Bit (ang. bit) (Shannon, 948) Najmniejsza ilość informacji potrzebna do określenia, który z dwóch równie
Bardziej szczegółowo1.1. Pozycyjne systemy liczbowe
1.1. Pozycyjne systemy liczbowe Systemami liczenia nazywa się sposób tworzenia liczb ze znaków cyfrowych oraz zbiór reguł umożliwiających wykonywanie operacji arytmetycznych na liczbach. Dla dowolnego
Bardziej szczegółowoArytmetyka stałopozycyjna
Wprowadzenie do inżynierii przetwarzania informacji. Ćwiczenie 3. Arytmetyka stałopozycyjna Cel dydaktyczny: Nabycie umiejętności wykonywania podstawowych operacji arytmetycznych na liczbach stałopozycyjnych.
Bardziej szczegółowo3.3.1. Metoda znak-moduł (ZM)
3.3. Zapis liczb binarnych ze znakiem 1 0-1 0 1 : 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 reszta 0 0 0 0 0 0 0 1 3.3. Zapis liczb binarnych ze znakiem W systemie dziesiętnym liczby ujemne opatrzone są specjalnym
Bardziej szczegółowoSamodzielnie wykonaj następujące operacje: 13 / 2 = 30 / 5 = 73 / 15 = 15 / 23 = 13 % 2 = 30 % 5 = 73 % 15 = 15 % 23 =
Systemy liczbowe Dla każdej liczby naturalnej x Î N oraz liczby naturalnej p >= 2 istnieją jednoznacznie wyznaczone: liczba n Î N oraz ciąg cyfr c 0, c 1,..., c n-1 (gdzie ck Î {0, 1,..., p - 1}) taki,
Bardziej szczegółowoSystem liczbowy jest zbiorem reguł określających jednolity sposób zapisu i nazewnictwa liczb.
2. Arytmetyka komputera. Systemy zapisu liczb: dziesietny, dwójkowy (binarny), ósemkowy, szesnatskowy. Podstawowe operacje arytmetyczne na liczbach binarnych. Zapis liczby binarnej ze znakiem. Reprezentacja
Bardziej szczegółowoSYSTEMY LICZBOWE. SYSTEMY POZYCYJNE: dziesiętny (arabski): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 rzymski: I, II, III, V, C, M
SYSTEMY LICZBOWE SYSTEMY POZYCYJNE: dziesiętny (arabski):,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 rzymski: I, II, III, V, C, M System pozycyjno wagowy: na przykład liczba 444 4 4 4 4 4 4 Wagi systemu dziesiętnego:,,,,...
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki
Podstawy Informatyki Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 5 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Podstawy Informatyki Wykład 5 1 / 23 LICZBY RZECZYWISTE - Algorytm Hornera
Bardziej szczegółowoWstęp do informatyki- wykład 1 Systemy liczbowe
1 Wstęp do informatyki- wykład 1 Systemy liczbowe Treści prezentowane w wykładzie zostały oparte o: S. Prata, Język C++. Szkoła programowania. Wydanie VI, Helion, 2012 www.cplusplus.com Jerzy Grębosz,
Bardziej szczegółowoTeoretyczne Podstawy Informatyki
Teoretyczne Podstawy Informatyki cel zajęć Celem kształcenia jest uzyskanie umiejętności i kompetencji w zakresie budowy schematów blokowych algor ytmów oraz ocenę ich złożoności obliczeniowej w celu optymizacji
Bardziej szczegółowoKodowanie liczb całkowitych w systemach komputerowych
Kodowanie liczb całkowitych w systemach komputerowych System pozycyjny Systemy addytywne znaczenie historyczne Systemy pozycyjne r podstawa systemu liczbowego (radix) A wartość liczby a - cyfra i pozycja
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015
Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 1 Metody numeryczne Dział matematyki Metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane
Bardziej szczegółowo2 Arytmetyka. d r 2 r + d r 1 2 r 1...d d 0 2 0,
2 Arytmetyka Niech b = d r d r 1 d 1 d 0 będzie zapisem liczby w systemie dwójkowym Zamiana zapisu liczby b na system dziesiętny odbywa się poprzez wykonanie dodawania d r 2 r + d r 1 2 r 1 d 1 2 1 + d
Bardziej szczegółowoKod uzupełnień do dwóch jest najczęściej stosowanym systemem zapisu liczb ujemnych wśród systemów binarnych.
Kod uzupełnień do dwóch jest najczęściej stosowanym systemem zapisu liczb ujemnych wśród systemów binarnych. Jeśli bit znaku przyjmie wartość 0 to liczba jest dodatnia lub posiada wartość 0. Jeśli bit
Bardziej szczegółowoArytmetyka binarna - wykład 6
SWB - Arytmetyka binarna - wykład 6 asz 1 Arytmetyka binarna - wykład 6 Adam Szmigielski aszmigie@pjwstk.edu.pl SWB - Arytmetyka binarna - wykład 6 asz 2 Naturalny kod binarny (NKB) pozycja 7 6 5 4 3 2
Bardziej szczegółowoRODZAJE INFORMACJI. Informacje analogowe. Informacje cyfrowe. U(t) U(t) Umax. Umax. R=(0,Umax) nieskończony zbiór możliwych wartości. Umax.
RODZAJE INFORMACJI Informacje analogowe U(t) Umax Umax 0 0 R=(0,Umax) nieskończony zbiór możliwych wartości WE MASZYNA ANALOGOWA WY Informacje cyfrowe U(t) Umaxq Umax R=(U, 2U, 3U, 4U) # # MASZYNA # CYFROWA
Bardziej szczegółowoKod znak-moduł. Wartość liczby wynosi. Reprezentacja liczb w kodzie ZM w 8-bitowym formacie:
Wykład 3 3-1 Reprezentacja liczb całkowitych ze znakiem Do przedstawienia liczb całkowitych ze znakiem stosowane są następujące kody: - ZM (znak-moduł) - U1 (uzupełnienie do 1) - U2 (uzupełnienie do 2)
Bardziej szczegółowo1259 (10) = 1 * * * * 100 = 1 * * * *1
Zamiana liczba zapisanych w dowolnym systemie na system dziesiętny: W systemie pozycyjnym o podstawie 10 wartości kolejnych cyfr odpowiadają kolejnym potęgom liczby 10 licząc od strony prawej i numerując
Bardziej szczegółowoDane, informacja, programy. Kodowanie danych, kompresja stratna i bezstratna
Dane, informacja, programy Kodowanie danych, kompresja stratna i bezstratna DANE Uporządkowane, zorganizowane fakty. Główne grupy danych: tekstowe (znaki alfanumeryczne, znaki specjalne) graficzne (ilustracje,
Bardziej szczegółowoTechnologie Informacyjne
System binarny Szkoła Główna Służby Pożarniczej Zakład Informatyki i Łączności October 7, 26 Pojęcie bitu 2 Systemy liczbowe 3 Potęgi dwójki 4 System szesnastkowy 5 Kodowanie informacji 6 Liczby ujemne
Bardziej szczegółowoNaturalny kod binarny (NKB)
SWB - Arytmetyka binarna - wykład 6 asz 1 Naturalny kod binarny (NKB) pozycja 7 6 5 4 3 2 1 0 wartość 2 7 2 6 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0 wartość 128 64 32 16 8 4 2 1 bity b 7 b 6 b 5 b 4 b 3 b 2 b 1 b 0 System
Bardziej szczegółowoDYDAKTYKA ZAGADNIENIA CYFROWE ZAGADNIENIA CYFROWE
ZAGADNIENIA CYFROWE ZAGADNIENIA CYFROWE @KEMOR SPIS TREŚCI. SYSTEMY LICZBOWE...3.. SYSTEM DZIESIĘTNY...3.2. SYSTEM DWÓJKOWY...3.3. SYSTEM SZESNASTKOWY...4 2. PODSTAWOWE OPERACJE NA LICZBACH BINARNYCH...5
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki
Podstawy Informatyki Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 3 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Podstawy Informatyki Wykład 3 1 / 42 Reprezentacja liczb całkowitych
Bardziej szczegółowoKod U2 Opracował: Andrzej Nowak
PODSTAWY TEORII UKŁADÓW CYFROWYCH Kod U2 Opracował: Andrzej Nowak Bibliografia: Urządzenia techniki komputerowej, K. Wojtuszkiewicz http://pl.wikipedia.org/ System zapisu liczb ze znakiem opisany w poprzednim
Bardziej szczegółowoWielkości liczbowe. Wykład z Podstaw Informatyki dla I roku BO. Piotr Mika
Wielkości liczbowe Wykład z Podstaw Informatyki dla I roku BO Piotr Mika Wprowadzenie, liczby naturalne Komputer to podstawowe narzędzie do wykonywania obliczeń Jeden bajt reprezentuje 0 oraz liczby naturalne
Bardziej szczegółowoWstęp do programowania. Reprezentacje liczb. Liczby naturalne, całkowite i rzeczywiste w układzie binarnym
Wstęp do programowania Reprezentacje liczb Liczby naturalne, całkowite i rzeczywiste w układzie binarnym System dwójkowy W komputerach stosuje się dwójkowy system pozycyjny do reprezentowania zarówno liczb
Bardziej szczegółowoWstęp do Informatyki
Wstęp do Informatyki Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 4 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Wstęp do Informatyki Wykład 4 1 / 1 DZIELENIE LICZB BINARNYCH Dzielenie
Bardziej szczegółowoSYSTEMY LICZBOWE. Zapis w systemie dziesiętnym
SYSTEMY LICZBOWE 1. Systemy liczbowe Najpopularniejszym systemem liczenia jest system dziesiętny, który doskonale sprawdza się w życiu codziennym. Jednak jego praktyczna realizacja w elektronice cyfrowej
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki dla Nauczyciela
Podstawy Informatyki dla Nauczyciela Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 2 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Podstawy Informatyki dla Nauczyciela Wykład 2 1 / 1 Informacja
Bardziej szczegółowoSYSTEMY LICZBOWE 275,538 =
SYSTEMY LICZBOWE 1. Systemy liczbowe Najpopularniejszym systemem liczenia jest system dziesiętny, który doskonale sprawdza się w życiu codziennym. Jednak jego praktyczna realizacja w elektronice cyfrowej
Bardziej szczegółowoWstęp do informatyki- wykład 2
MATEMATYKA 1 Wstęp do informatyki- wykład 2 Systemy liczbowe Treści prezentowane w wykładzie zostały oparte o: S. Prata, Język C++. Szkoła programowania. Wydanie VI, Helion, 2012 www.cplusplus.com Jerzy
Bardziej szczegółowoWstęp do informatyki. Pojęcie liczebności. Zapis liczb. Liczenie bez liczebników. Podstawy arytmetyki komputerowej. Cezary Bolek
Pojęcie liczebności Wstęp do informatyki Podstawy arytmetyki komputerowej Cezary Bolek cbolek@ki.uni.lodz.pl Uniwersytet Łódzki Wydział Zarządzania Katedra Informatyki Naturalna zdolność człowieka do postrzegania
Bardziej szczegółowoSystem Liczbowe. Szesnastkowy ( heksadecymalny)
SYSTEMY LICZBOWE 1 System Liczbowe Dwójkowy ( binarny) Szesnastkowy ( heksadecymalny) Ósemkowy ( oktalny) Dziesiętny ( decymalny) 2 System dziesiętny Symbol Wartość w systemie Liczba 6 6 *10 0 sześć 65
Bardziej szczegółowoSystemem liczenia systemach addytywnych !!" Pozycyjny system liczbowy podstawą systemu pozycyjnego
Systemem liczenia nazywa się sposób tworzenia liczb ze znaków cyfrowych oraz zbiór reguł umożliwiających wykonywanie operacji arytmetycznych na liczbach. Podstawą systemów liczenia są systemy liczbowe
Bardziej szczegółowoWielkości liczbowe. Wykład z Podstaw Informatyki. Piotr Mika
Wielkości liczbowe Wykład z Podstaw Informatyki Piotr Mika Wprowadzenie, liczby naturalne Komputer to podstawowe narzędzie do wykonywania obliczeń Jeden bajt reprezentuje oraz liczby naturalne od do 255
Bardziej szczegółowoZapis liczb binarnych ze znakiem
Zapis liczb binarnych ze znakiem W tej prezentacji: Zapis Znak-Moduł (ZM) Zapis uzupełnień do 1 (U1) Zapis uzupełnień do 2 (U2) Zapis Znak-Moduł (ZM) Koncepcyjnie zapis znak - moduł (w skrócie ZM - ang.
Bardziej szczegółowoPracownia Komputerowa wykład VI
Pracownia Komputerowa wykład VI dr Magdalena Posiadała-Zezula http://www.fuw.edu.pl/~mposiada 1 Przypomnienie 125 (10) =? (2) Liczby całkowite : Operacja modulo % reszta z dzielenia: 125%2=62 reszta 1
Bardziej szczegółowoOperacje arytmetyczne
PODSTAWY TEORII UKŁADÓW CYFROWYCH Operacje arytmetyczne Bibliografia: Urządzenia techniki komputerowej, K. Wojtuszkiewicz http://pl.wikipedia.org/ Dodawanie dwójkowe Opracował: Andrzej Nowak Ostatni wynik
Bardziej szczegółowoPozycyjny system liczbowy
Arytmetyka binarna Pozycyjny system liczbowy w pozycyjnych systemach liczbowych wkład danego symbolu do wartości liczby jest określony zarówno przez sam symbol, jak i jego pozycję w liczbie i tak np. w
Bardziej szczegółowoZestaw 3. - Zapis liczb binarnych ze znakiem 1
Zestaw 3. - Zapis liczb binarnych ze znakiem 1 Zapis znak - moduł (ZM) Zapis liczb w systemie Znak - moduł Znak liczby o n bitach zależy od najstarszego bitu b n 1 (tzn. cyfry o najwyższej pozycji): b
Bardziej szczegółowoArchitektura komputerów
Architektura komputerów Wykład 4 Jan Kazimirski 1 Reprezentacja danych 2 Plan wykładu Systemy liczbowe Zapis dwójkowy liczb całkowitych Działania arytmetyczne Liczby rzeczywiste Znaki i łańcuchy znaków
Bardziej szczegółowoSystemy liczbowe używane w technice komputerowej
Systemy liczbowe używane w technice komputerowej Systemem liczenia nazywa się sposób tworzenia liczb ze znaków cyfrowych oraz zbiór reguł umożliwiających wykonywanie operacji arytmetycznych na liczbach.
Bardziej szczegółowoInformatyka kodowanie liczb. dr hab. inż. Mikołaj Morzy
Informatyka kodowanie liczb dr hab. inż. Mikołaj Morzy plan wykładu definicja informacji sposoby kodowania reprezentacja liczb naturalnych i całkowitych arytmetyka binarna arytmetyka oktalna arytmetyka
Bardziej szczegółowoKodowanie informacji. Kody liczbowe
Wykład 2 2-1 Kodowanie informacji PoniewaŜ komputer jest urządzeniem zbudowanym z układów cyfrowych, informacja przetwarzana przez niego musi być reprezentowana przy pomocy dwóch stanów - wysokiego i niskiego,
Bardziej szczegółowoArytmetyka liczb binarnych
Wartość dwójkowej liczby stałoprzecinkowej Wartość dziesiętna stałoprzecinkowej liczby binarnej Arytmetyka liczb binarnych b n-1...b 1 b 0,b -1 b -2...b -m = b n-1 2 n-1 +... + b 1 2 1 + b 0 2 0 + b -1
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do informatyki - ć wiczenia
Kod uzupełnień do 2 (U2) dr inż. Izabela Szczęch WSNHiD Ćwiczenia z wprowadzenia do informatyki Reprezentacja liczb całkowitych Jak kodowany jest znak liczby? Omó wimy dwa sposoby kodowania liczb ze znakiem:
Bardziej szczegółowoPodstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych
1 Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych 1. Podstawowe operacje logiczne dla cyfr binarnych Jeśli cyfry 0 i 1 potraktujemy tak, jak wartości logiczne fałsz i prawda, to działanie
Bardziej szczegółowoSystemem liczenia systemach addytywnych !!" Pozycyjny system liczbowy podstawą systemu pozycyjnego
Systemem liczenia nazywa się sposób tworzenia liczb ze znaków cyfrowych oraz zbiór reguł umożliwiających wykonywanie operacji arytmetycznych na liczbach. Podstawą systemów liczenia są systemy liczbowe
Bardziej szczegółowoWstęp do informatyki. Pojęcie liczebności. Liczenie bez liczebników. Podstawy arytmetyki komputerowej. Cezary Bolek
Wstęp do informatyki Podstawy arytmetyki komputerowej Cezary Bolek cbolek@ki.uni.lodz.pl Uniwersytet Łódzki Wydział Zarządzania Katedra Informatyki Pojęcie liczebności Naturalna zdolność człowieka do postrzegania
Bardziej szczegółowoCyfrowy zapis informacji
F1-1 Cyfrowy zapis informacji Alfabet: uporządkowany zbiór znaków, np. A = {a,b,..., z} Słowa (ciągi) informacyjne: łańcuchy znakowe, np. A i = gdtr Długość słowa n : liczba znaków słowa, np. n(sbdy) =
Bardziej szczegółowoReprezentacja stałoprzecinkowa. Reprezentacja zmiennoprzecinkowa zapis zmiennoprzecinkowy liczby rzeczywistej
Informatyka, studia niestacjonarne I stopnia Rok akademicki /, Wykład nr 4 /6 Plan wykładu nr 4 Informatyka Politechnika Białostocka - Wydział lektryczny lektrotechnika, semestr II, studia niestacjonarne
Bardziej szczegółowoTechniki multimedialne
Techniki multimedialne Digitalizacja podstawą rozwoju systemów multimedialnych. Digitalizacja czyli obróbka cyfrowa oznacza przetwarzanie wszystkich typów informacji - słów, dźwięków, ilustracji, wideo
Bardziej szczegółowodr inż. Jarosław Forenc
Informatyka Politechnika Białostocka - Wydział Elektryczny Elektrotechnika, semestr II, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 8/9 Wykład nr 4 (.3.9) Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 /33 Plan wykładu
Bardziej szczegółowoDodawanie liczb binarnych
1.2. Działania na liczbach binarnych Liczby binarne umożliwiają wykonywanie operacji arytmetycznych (ang. arithmetic operations on binary numbers), takich jak suma, różnica, iloczyn i iloraz. Arytmetyką
Bardziej szczegółowoDane, informacja, programy. Kodowanie danych, kompresja stratna i bezstratna
Dane, informacja, programy Kodowanie danych, kompresja stratna i bezstratna DANE Uporządkowane, zorganizowane fakty. Główne grupy danych: tekstowe (znaki alfanumeryczne, znaki specjalne) graficzne (ilustracje,
Bardziej szczegółowo12. Wprowadzenie Sygnały techniki cyfrowej Systemy liczbowe. Matematyka: Elektronika:
PRZYPOMNIJ SOBIE! Matematyka: Dodawanie i odejmowanie "pod kreską". Elektronika: Sygnały cyfrowe. Zasadę pracy tranzystorów bipolarnych i unipolarnych. 12. Wprowadzenie 12.1. Sygnały techniki cyfrowej
Bardziej szczegółowoProgramowanie w C++ Wykład 2. Katarzyna Grzelak. 4 marca K.Grzelak (Wykład 1) Programowanie w C++ 1 / 44
Programowanie w C++ Wykład 2 Katarzyna Grzelak 4 marca 2019 K.Grzelak (Wykład 1) Programowanie w C++ 1 / 44 Na poprzednim wykładzie podstawy C++ Każdy program w C++ musi mieć funkcję o nazwie main Wcięcia
Bardziej szczegółowoWstęp do informatyki- wykład 1
MATEMATYKA 1 Wstęp do informatyki- wykład 1 Systemy liczbowe Treści prezentowane w wykładzie zostały oparte o: S. Prata, Język C++. Szkoła programowania. Wydanie VI, Helion, 2012 www.cplusplus.com Jerzy
Bardziej szczegółowoSystemy liczbowe. Bibliografia: Urządzenia techniki komputerowej, K. Wojtuszkiewicz
PODSTAWY TEORII UKŁADÓW CYFROWYCH Systemy liczbowe Opracował: Andrzej Nowak Bibliografia: Urządzenia techniki komputerowej, K. Wojtuszkiewicz http://pl.wikipedia.org/ System liczbowy zbiór reguł jednolitego
Bardziej szczegółowoDZIESIĘTNY SYSTEM LICZBOWY
DZIESIĘTNY SYSTEM LICZBOWY Do zapisu dowolnej liczby system wykorzystuje dziesięć symboli (cyfr): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Dowolną liczbę w systemie dziesiętnym możemy przedstawić jako następująca
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki. Metalurgia, I rok. Wykład 3 Liczby w komputerze
Podstawy Informatyki Metalurgia, I rok Wykład 3 Liczby w komputerze Jednostki informacji Bit (ang. bit) (Shannon, 1948) Najmniejsza ilość informacji potrzebna do określenia, który z dwóch równie prawdopodobnych
Bardziej szczegółowoArchitektura komputerów
Wykład jest przygotowany dla IV semestru kierunku Elektronika i Telekomunikacja. Studia I stopnia Dr inż. Małgorzata Langer Architektura komputerów Prezentacja multimedialna współfinansowana przez Unię
Bardziej szczegółowoZnaki w tym systemie odpowiadają następującym liczbom: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000
SYSTEMY LICZBOWE I. PODZIAŁ SYSTEMÓW LICZBOWYCH: systemy liczbowe: pozycyjne (wartośd cyfry zależy od tego jaką pozycję zajmuje ona w liczbie): niepozycyjne (addytywne) (wartośd liczby jest sumą wartości
Bardziej szczegółowoUrządzenia Techniki. Klasa I TI. System dwójkowy (binarny) -> BIN. Przykład zamiany liczby dziesiętnej na binarną (DEC -> BIN):
1. SYSTEMY LICZBOWE UŻYWANE W TECHNICE KOMPUTEROWEJ System liczenia - sposób tworzenia liczb ze znaków cyfrowych oraz zbiór reguł umożliwiających wykonywanie operacji arytmetycznych na liczbach. Do zapisu
Bardziej szczegółowoB.B. 2. Sumowanie rozpoczynamy od ostatniej kolumny. Sumujemy cyfry w kolumnie zgodnie z podaną tabelką zapisując wynik pod kreską:
Dodawanie dwójkowe Do wykonywania dodawania niezbędna jest znajomość tabliczki dodawania, czyli wyników sumowania każdej cyfry z każdą inną. W systemie binarnym mamy tylko dwie cyfry 0 i 1, zatem tabliczka
Bardziej szczegółowoProgramowanie w C++ Wykład 2. Katarzyna Grzelak. 5 marca K.Grzelak (Wykład 1) Programowanie w C++ 1 / 41
Programowanie w C++ Wykład 2 Katarzyna Grzelak 5 marca 2018 K.Grzelak (Wykład 1) Programowanie w C++ 1 / 41 Reprezentacje liczb w komputerze K.Grzelak (Wykład 1) Programowanie w C++ 2 / 41 Reprezentacje
Bardziej szczegółowoJednostki informacji. Bajt moŝna podzielić na dwie połówki 4-bitowe nazywane tetradami (ang. nibbles).
Wykład 1 1-1 Informatyka nauka zajmująca się zbieraniem, przechowywaniem i przetwarzaniem informacji. Informacja obiekt abstrakcyjny, który w postaci zakodowanej moŝe być przechowywany, przesyłany, przetwarzany
Bardziej szczegółowoInstrukcja do ćwiczeń nr 4 typy i rodzaje zmiennych w języku C dla AVR, oraz ich deklarowanie, oraz podstawowe operatory
Instrukcja do ćwiczeń nr 4 typy i rodzaje zmiennych w języku C dla AVR, oraz ich deklarowanie, oraz podstawowe operatory Poniżej pozwoliłem sobie za cytować za wikipedią definicję zmiennej w informatyce.
Bardziej szczegółowoPracownia Komputerowa wykład IV
Pracownia Komputerowa wykład IV dr Magdalena Posiadała-Zezula http://www.fuw.edu.pl/~mposiada/pk16 1 Reprezentacje liczb i znaków! Liczby:! Reprezentacja naturalna nieujemne liczby całkowite naturalny
Bardziej szczegółowoPracownia Komputerowa wyk ad VI
Pracownia Komputerowa wyk ad VI dr Magdalena Posiada a-zezula Magdalena.Posiadala@fuw.edu.pl http://www.fuw.edu.pl/~mposiada Magdalena.Posiadala@fuw.edu.pl 1 Przypomnienie 125 (10) =? (2) Liczby ca kowite
Bardziej szczegółowoCyfrowy zapis informacji. 5 grudnia 2013 Wojciech Kucewicz 2
Cyfrowy zapis informacji 5 grudnia 2013 Wojciech Kucewicz 2 Bit, Bajt, Słowo 5 grudnia 2013 Wojciech Kucewicz 3 Cyfrowy zapis informacji Bit [ang. binary digit] jest elementem zbioru dwuelementowego używanym
Bardziej szczegółowo1. Operacje logiczne A B A OR B
1. Operacje logiczne OR Operacje logiczne są operacjami działającymi na poszczególnych bitach, dzięki czemu można je całkowicie opisać przedstawiając jak oddziałują ze sobą dwa bity. Takie operacje logiczne
Bardziej szczegółowoDla człowieka naturalnym sposobem liczenia jest korzystanie z systemu dziesiętnego, dla komputera natomiast korzystanie z zapisu dwójkowego
Arytmetyka cyfrowa Dla człowieka naturalnym sposobem liczenia jest korzystanie z systemu dziesiętnego, dla komputera natomiast korzystanie z zapisu dwójkowego (binarnego). Zapis binarny - to system liczenia
Bardziej szczegółowoO systemach liczbowych
O systemach liczbowych 1. Systemy liczbowe Literatura:Turski,Propedeutyka...;Skomorowski,... 1.1. Dwójkowy system pozycyjny W dziesiętnym systemie pozycyjnym ciąg cyfr 321.23 oznacza liczbę 3 10 2 +2 10
Bardziej szczegółowoJęzyki i metodyka programowania. Reprezentacja danych w systemach komputerowych
Reprezentacja danych w systemach komputerowych Kod (łac. codex - spis), ciąg składników sygnału (kombinacji sygnałów elementarnych, np. kropek i kresek, impulsów prądu, symboli) oraz reguła ich przyporządkowania
Bardziej szczegółowoWykład I: Kodowanie liczb w systemach binarnych. Studia Podyplomowe INFORMATYKA Podstawy Informatyki
Studia Podyplomowe INFORMATYKA Podstawy Informatyki Wykład I: Kodowanie liczb w systemach binarnych 1 Część 1 Dlaczego system binarny? 2 I. Dlaczego system binarny? Pojęcie bitu Bit jednostka informacji
Bardziej szczegółowoPowtórzenie podstawowych zagadnień. związanych ze sprawnością rachunkową *
Powtórzenie podstawowych zagadnień związanych ze sprawnością rachunkową * (Materiały dydaktyczne do laboratorium fizyki) Politechnika Koszalińska październik 2010 Spis treści 1. Zbiory liczb..................................................
Bardziej szczegółowoDr inż. Grażyna KRUPIŃSKA. D-10 pokój 227 WYKŁAD 2 WSTĘP DO INFORMATYKI
Dr inż. Grażyna KRUPIŃSKA Grazyna.Krupinska@fis.agh.edu.pl D-10 pokój 227 WYKŁAD 2 WSTĘP DO INFORMATYKI Ćwiczenia i laboratorium 2 Kolokwia zaliczeniowe - 1 termin - poniedziałek, 29 stycznia 2018 11:30
Bardziej szczegółowoPracownia Komputerowa wykład V
Pracownia Komputerowa wykład V dr Magdalena Posiadała-Zezula http://www.fuw.edu.pl/~mposiada/pk16 1 Reprezentacje liczb i znaków! Liczby:! Reprezentacja naturalna nieujemne liczby całkowite naturalny system
Bardziej szczegółowoTechnologie Informacyjne Wykład 4
Technologie Informacyjne Wykład 4 Arytmetyka komputerów Wojciech Myszka Jakub Słowiński Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej Wydział Mechaniczny Politechnika Wrocławska 30 października 2014 Część
Bardziej szczegółowoLICZBY ZMIENNOPRZECINKOWE
LICZBY ZMIENNOPRZECINKOWE Liczby zmiennoprzecinkowe są komputerową reprezentacją liczb rzeczywistych zapisanych w formie wykładniczej (naukowej). Aby uprościć arytmetykę na nich, przyjęto ograniczenia
Bardziej szczegółowoArchitektura systemów komputerowych. Arytmetyka maszyn cyfrowych
Architektura systemów komputerowych Plan wykładu. Typy danych w komputerach. 2. Układ arytmetyczno-logiczny. 3. Instrukcje zależne od ALU. 4. Superskalarność. Cele Wiedza na temat arytmetyki maszyn cyfrowych.
Bardziej szczegółowo2.3. Wyznaczanie wartości wielomianu, pozycyjne systemy liczbowe i reprezentacja danych liczbowych w komputerze
23 Wyznaczanie wartości wielomianu pozycyjne systemy liczbowe i reprezentacja danych liczbowych w komputerze 231 Systemy liczbowe Definicja Systemem liczbowym nazywamy zbiór zasad określających sposób
Bardziej szczegółowoModuł 2 Zastosowanie systemów liczbowych w informacji cyfrowej
Moduł 2 Zastosowanie systemów liczbowych w informacji cyfrowej 1. Pozycyjne systemy liczbowe 2. Zasady zapisu liczb w pozycyjnych systemach liczbowych 3. Podstawowe działania na liczbach binarnych 4. Liczby
Bardziej szczegółowoL6.1 Systemy liczenia stosowane w informatyce
L6.1 Systemy liczenia stosowane w informatyce Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Publikacja jest dystrybuowana bezpłatnie Program Operacyjny Kapitał
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr 3. Wyświetlanie i wczytywanie danych
Ćwiczenie nr 3 Wyświetlanie i wczytywanie danych 3.1 Wstęp Współczesne komputery przetwarzają dane zakodowane za pomocą ciągów zerojedynkowych. W szczególności przetwarzane liczby kodowane są w systemie
Bardziej szczegółowoLiczby rzeczywiste są reprezentowane w komputerze przez liczby zmiennopozycyjne. Liczbę k można przedstawid w postaci:
Reprezentacja liczb rzeczywistych w komputerze. Liczby rzeczywiste są reprezentowane w komputerze przez liczby zmiennopozycyjne. Liczbę k można przedstawid w postaci: k = m * 2 c gdzie: m częśd ułamkowa,
Bardziej szczegółowoprzeniesienie pożyczka
1.4. Działania arytmetycznie 33 liter i znaków (jest tzw. kodem alfanumerycznym). Większość kombinacji kodowych może mieć dwa różne znaczenia; o wyborze właściwego decyduje to, który z symboli Litery",
Bardziej szczegółowo4 Standardy reprezentacji znaków. 5 Przechowywanie danych w pamięci. 6 Literatura
ARCHITEKTURA SYSTEMÓW KOMPUTEROWYCH reprezentacja danych ASK.RD.01 c Dr inż. Ignacy Pardyka UNIWERSYTET JANA KOCHANOWSKIEGO w Kielcach Rok akad. 2011/2012 1 2 Standardy reprezentacji wartości całkowitoliczbowych
Bardziej szczegółowoArchitektura systemów komputerowych. Poziom układów logicznych. Układy mnoŝące i dzielące
Architektura systemów komputerowych Poziom układów logicznych. Układy mnoŝące i dzielące Cezary Bolek Katedra Informatyki Plan wykładu Układy mnoŝące liczby całkowite MnoŜenie liczb bez znaku MnoŜarka
Bardziej szczegółowo...o. 2. ZARYS ORGANIZACJI MASZYNY TYPOWEJ
24 2 Zarys organizacji maszyny typowej 2 ZARYS ORGANIZACJI MASZYNY TYPOWEJ [2 Arytmetyka uzupełnieniowa; 22 Krótki opis maszyny typowcjj 23 Kod rozkazowy] 2 ARYTMETYKA UZUPEŁNIENIOWA 2 Zajmiemy się obecnie
Bardziej szczegółowo