Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych ( )
|
|
- Julian Kowalik
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych Równanie różniczkowe jest to równanie, w którym występuje pochodna (czyli różniczka). Przykładem najprostszego równania różniczkowego może być: y ' = 2x które można też zapisać jako: dy 2x dx = Powyższa forma zapisu jest o tyle lepsza, że informuje względem jakiej zmiennej zachodzi różniczkowanie, co jest istotne w przypadku równań zawierających wiele zmiennych. Oczywiście, jak wiadomo, funkcją pierwotną do 2x jest x 2, czyli (x 2 ) =2x. W rzeczywistości pełne rozwiązanie ma postać: y = 2x + C, gdzie C jest nieznaną stałą, której pochodna po prostu jest równa 0. Aby dowiedzieć się, jaka jest wartość C, musimy, oprócz samej różniczki, znać również tzw. warunek brzegowy (zwany niekiedy warunkiem początkowym), czyli rozwiązanie równania dla określonej wartości x, np. jeżeli wiemy, że dla x = 0 y = 8 (czyli y(0) = 8), to oczywiście C = 8. Pełny zapis powyższego równania różniczkowego będzie miał w takim razie postać: dy = 2x dx y(0) = 8 Rozwiązaniem tego równania będzie funkcja y = x Pamiętajmy, że w treści zadania zawsze musi być podany warunek brzegowy, w przeciwnym przypadku zadanie jest nierozwiązywalne. Ogólna postać równania różniczkowego (do której zawsze należy dążyć, odpowiednio przekształcając badane równanie) jest następująca: dy = f ( x, y) dx y ( x0 ) = y0 Jak więc widzimy, rozwiązaniem równania różniczkowego nie jest pojedyncza liczba (jak było w przypadku całkowania) lecz funkcja y(x). Istnieją metody analitycznego rozwiązywania równań różniczkowych, jednak jest to zwykle dosyć złożone, a niekiedy niemożliwe. Przy pomocy arkusza kalkulacyjnego możemy numerycznie wyznaczyć rozwiązanie równania różniczkowego w postaci tabeli x, y oraz wykresu y(x). Metody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych oparte są na interpretacji geometrycznej równania różniczkowego. Najprostszą z nich jest metoda Eulera. Zakładamy, że kolejne punkty rozwiązania oddalone są od siebie na osi x co krok h, a na osi y co y: x = n 1 x + + n h Z definicji pochodnej (jako tangens kąta nachylenia stycznej) wiemy, że: y y = h czyli: y f ( xn, yn ) = y = h Po przekształceniu: y = h f x, y ( ) Ponieważ szukamy wzoru na następne y, to do wzoru yn+ 1 = yn + y podstawiamy wyżej wyliczone y i otrzymujemy ostatecznie: yn+ 1 = yn + h f ( xn, yn ) Zauważmy, że dla bardzo małych wartości h (odpowiadającej różniczce dx) równanie to jest równoważne równaniu, będącego efektem całkowania równania podstawowego: n n
2 xn+ 1 = + n+ 1 n n, n xn ( ) y y f x y dx Oczywiście widoczna w tym równaniu całka jest równa polu pod wykresem funkcji, przy założeniu h = dx będącego polem prostokąta ograniczonego wartościami x n i x n+1. Jest to powód, dla którego niekiedy metodę Eulera nazywa się metodą prostokątów. Wyżej opisaną metodę Eulera zaimplementujemy w arkuszu kalkulacyjnym. Rozwiążemy przy jej pomocy przykładowe równanie: dy = xy dx y ( 0) = 1 Równanie to ma tę zaletę, że posiada rozwiązanie analityczne i jest ono równe: sprawdzenie wyniku, otrzymanego metodą numeryczną. 2 x 2 y = e, co umożliwi Przede wszystkim należy sporządzić tabelę wartości x, gdzie pierwszą wartością będzie wartość początkowa x (w naszym przykładzie 0), a kolejne będą następowały co krok h. Ilość kroków nie jest określona od nas zależy, jak długo chcemy badać analizowane równanie. Należy jednak pamiętać, że krok ten musi być możliwie jak najmniejszy (oczywiście w granicach rozsądku). Jeżeli np. rozwiązywane równanie różniczkowe opisuje zjawisko trwające godzinę, to narzucającą się wartością h jest 1 sekunda (czyli co sekundę nadamy stan zjawiska). W naszym przykładzie wybieramy krok h = 0,1, natomiast zbadamy rozwiązanie do wartości x = 1 (nie zapomnijmy o nadaniu wartości zmiennej h). Często jako pierwsza kolumnę podaje się tzw. iterację (i), czyli numerację kolejnych kroków rozwiązania, przy czym pierwsza iteracja jest to tzw. iteracja zerowa obejmuje ona opis podanych w problemie warunków początkowych (brzegowych).
3 Następnie wpisujemy, znaną z warunku brzegowego, wartość rozwiązania y w iteracji zerowej (dla x=0 jest ona równa 1, gdyż y(0)=1): W kolejnej kolumnie (nazwijmy ją Euler) wpisujemy wartość członu Eulera, czyli iloczyn kroku h i funkcji, a w tym przykładzie f(x,y)=x y, czyli w zerowej iteracji: Następnie, zgodnie z wzorem Eulera, obliczamy kolejną wartość y (w pierwszej iteracji), równą sumie poprzedniej wartości y i odpowiadającego jej członu Eulera:
4 W efekcie otrzymujemy: Musimy teraz policzyć człon Eulera dla pierwszej iteracji. Można oczywiście wpisać formułę =h*c7*d7, jednak można zastosować tutaj adresowanie względne, czyli skopiować formułę z komórki E6 do komórki E7 będzie ona teraz dotyczyła wartości x i y z pierwszej iteracji: Jedyne, co nam teraz pozostało, to powielić parę komórek y,euler dla wszystkich iteracji:
5 Rozwiązaniem jest oczywiście kolumna y, tak więc graficznym rozwiązaniem będzie wykres y(x): Metoda Eulera nie jest jednak metodą dokładną, co wynika chociażby z przybliżania pola całkowania prostokątami. Znacznie dokładniejsze są metody, gdzie kolejna wartość y przewidywana jest na podstawie ekstrapolacji stycznej do aktualnie analizowanego odcinka krzywej y(x). Metody te nazywamy metodami Rungego-Kutty. Poniżej zostanie opisana implementacja metody Rungego-Kutty czwartego rzędu (RK4). W metodzie RK4 kolejna wartość y podana jest wzorem: 1 y = n 1 y + + n ( k1 2 k2 2 k3 k4 ) gdzie czlony k 1, k 2, k 3 i k 4 (tzw. współczynniki Rungego-Kutty) dane są wzorami: k = h f x, y 1 ( ) 1 1 k2 = h f xn + h, yn + k k3 = h f xn + h, yn + k2 2 2 k4 = h f ( xn + h, yn + k3 ) Argumenty funkcji f należy rozumieć w sensie jej parametryzacji, np. f x, y = sin x cos y gdy: ( ) to: k = sin x cos y k2 = sin x + h cos y + k k3 = sin x + h cos y + k2 2 2 k = sin x + h y + k ( ) cos( ) 4 3 n n
6 Poniżej zostanie ponownie wyznaczone rozwiązanie równania (tego samego, które rozwiązałem wcześniej metodą Eulera): dy = xy dx y ( 0) = 1 tym razem metodą Rungego-Kutty. Aby móc porównać rozwiązania, wyznaczone obiema metodami, wykorzystam uprzednią tabelę danych, w szczególności kolumnę x. Kolumnę y, wyznaczoną metodą Eulera, nazwę y E, kolumnę y, wyznaczoną metodą Rungego-Kutty, nazwę y RK. Oczywiście w iteracji zerowej y RK wpisujemy warunek brzegowy wartości y w tym zadaniu, czyli 1. Następnie kolejno wyliczamy wartości współczynników RK w iteracji zerowej dla f(x,y)=x y. Wartość k 1 :
7 Wartość k 2 : Wartość k 3 : Wartość k 4 :
8 W efekcie otrzymujemy wypełnioną iterację zerową: W kolejnym kroku wyliczamy wartość y RK dla pierwszej iteracji: i w rezultacie:
9 Teraz oczywiście należałoby policzyć współczynniki RK dla pierwszej iteracji. Skorzystajmy jednak po prostu z adresowania względnego i powielmy komórki G6:J6 w wierszu 7, wyrównując szereg a potem już pozostaje tylko powielić cały szereg F7:J7 do wszystkich iteracji i w kolumnie y RK znajdziemy rozwiązanie analizowanego równania różniczkowego.
10 Jak widać, wyniki otrzymane metodą Eulera i metodą Rungego-Kutty są do siebie podobne, aby jednak podobieństwo to stało się wyraźniejsze (i aby dokończyć rozwiązywania równania), do poprzedniego wykresu, przedstawiającego y E (x) dodamy serię y RH (x): Wyraźnie widoczne jest podobieństwo obu krzywych. Wiemy, że metoda Eulera jest bardzo przybliżona. Na ile jednak dokładna jest metoda Rungego-Kutty? Jak już wspomniałem, przykładowe równanie ma dokładne rozwiązanie analityczne, które można porównać z rozwiązaniami otrzymanymi metodą numeryczną: Jak widać, wartości otrzymane metodą RK są praktycznie identyczne z wartościami otrzymanymi metodą analityczną. Oznacza to, że jeśli chcemy zależy nam na dokładności obliczeń, powinniśmy używać metody Rungego-Kutty, jeśli natomiast chcemy np. jedynie określić trend zjawiska, wtedy można otrzymać szybkie rozwiązanie metodą Eulera, oczywiście przy odpowiednio małym kroku h. Zalecam rozwiązywanie równań różniczkowych obiema metodami wyniki muszą być podobne, co pozwala na ich wzajemną samokontrolę. Z przykładem rozwiązania równania różniczkowego można zapoznać się na stronie:
11 Numeryczne rozwiązywanie układów równań różniczkowych i równań różniczkowych drugiego rzędu Jak dotąd opisałem metody rozwiązywania równań różniczkowych pierwszego rzędu, czyli równań zawierających pierwszą pochodną zmiennej. Często jednak trzeba rozwiązać układ równań różniczkowych lub równanie różniczkowe drugiego rzędu (czyli zawierające drugą pochodną zmiennej). W rzeczywistości te dwa zagadnienia stanowią ten sam problem, gdyż każde równanie różniczkowe drugiego rzędu można sprowadzić do układu dwóch równań różniczkowych pierwszego rzędu. W przypadku, gdy mamy układ równań różniczkowych pierwszego rzędu: y = g ( x, y, z) u = f ( x, y, z) formuły Rungego-Kutty mają następującą postać: gdzie: k1 = h g x, y, u q1 = h f x, y, u ( n n n ) ( ) n n n k2 = h g xn + h, yn + k1, un + q q2 = h f xn + h, yn + k1, un + q k3 = h g xn + h, yn + k2, un + q q3 = h f xn + h, yn + k2, un + q ( n, n, n ) (,, ) k4 = h g x + h y + k3 u + q3 q = h f x + h y + k u + q 4 n n 3 n 3 1 y = y + k + k + k + k 6 1 u = u + q + q + q + q 6 ( 2 2 ) n+ 1 n ( 2 2 ) n+ 1 n W przypadku równań różniczkowych drugiego rzędu dokonujemy podstawienia y =u, dzięki któremu równanie różniczkowe drugiego rzędu staje się układem równań różniczkowych pierwszego rzędu: y = u u = a u + b y + c W tym przypadku powyższe wzory na współczynniki k upraszczają się i przyjmują postać (współczynniki q wylicza się, niestety, z powyższych wzorów): k1 = h un 1 k2 = h un + q1 2 1 k3 = h un + q2 2 k4 = h ( un + q3 )
12 Przykład 1: y + y + y = sin x y ( 0) = 0 y ( 0) = 0 Zauważmy, że w przypadku równań różniczkowych drugiego rzędu podaje się dwa warunki brzegowe: jeden dotyczący samej wartości y, drugi dotyczący jej pierwszej pochodnej! Pamiętajmy również, że rozwiązaniem równania różniczkowego drugiego rzędu są dwie zależności: y(x) oraz y (x). Aby móc rozwiązać powyższe równanie, musimy poprzez wprowadzenie parametru u zamienić je na układ dwóch równań różniczkowych pierwszego rzędu: y = u u = sin x y u Układ ten rozwiążemy przy kroku hm równym 0,1 aż do wartości x równej 2: Jako wartości współczynników RK wpisujemy:
13 Dla k 1 : Dla q 1 :
14 Dla k 2 : Dla q 2 :
15 Dla k 3 : Dla q 3 :
16 Dla k 4 : Dla q 4 : Gdy mamy policzone już wszystkie współczynniki RK w zerowej iteracji, możemy przejść do wypełniania pierwszej iteracji.
17 Obliczamy kolejną wartość y oraz kolejną wartość y (czyli u):
18 Teraz obliczamy wartości współczynników RK dla pierwszej iteracji, oczywiście wykorzystując adresowanie względne (kopiujemy szereg komórek F5:M5 do wiersza 6): Na koniec powielamy cały szereg D5:M5 do wszystkich iteracji:
19 Powinniśmy jeszcze przedstawić otrzymane zależności y(x) i y (x) w postaci wykresów: Z opisywanym przykładem rozwiązania równania różniczkowego można zapoznać się na stronie: w zakładce Przykład 1 Przykład 2 (wahadło fizyczne): Poniższe równanie opisuje ruch wahadła fizycznego w czasie. 2 d θ g + sinθ = 0 2 dt L θ ( t = 0) = 0,8 θ ( t = 0) = 0 gdzie: θ kąt wychylenia wahadła [radiany] θ prędkość kątowa ruchu wahadła [radiany/s] t czas [s] L długość wahadła [m] = 0,75 m g przyspieszenie ziemskie = 9,81 m/s 2 Aby móc rozwiązać powyższe równanie, przekształcamy je w układ równań: θ = u g u = sinθ L
20 Po wykonaniu analogicznych, jak w Przykładzie 1 obliczeń, otrzymamy: Wychylenie wahadła w funkcji czasu: Prędkość kątowa wahadła w funkcji czasu: Tym razem nie podaję tu pełnej ścieżki rozwiązania proszę spróbować samemu. Z opisywanym przykładem rozwiązania równania różniczkowego można zapoznać się na stronie: w zakładce wahadło
21 Przykład 3 (drgania tłumione sprężyny) Poniższe równanie opisuje drgania tłumione sprężyny. 2 d x dx 2 + 2β + ω 2 0 x = 0 dt dt x( t = 0) = 1 x ( t = 0) = 0 gdzie: x rozciągnięcie sprężyny [m] x prędkość ruchu sprężyny [m/s] β współczynnik tłumienia = 1,8 ω 0 częstotliwość drgań własnych [1/s] = 10 Tym razem nie będzie podpowiedzi. Radzę rozwiązać poprawność rozwiązania każdy powinien rozpoznać na podstawie poniższych wykresów. Widać, że sprężyna przestanie drgać po ok. 4 s (radzę wziąć mały krok próbkowania: h=0,01).
Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych)
Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Funkcja uwikłana (równanie nieliniowe) jest to funkcja, która nie jest przedstawiona jawnym przepisem, wzorem wyrażającym zależność wartości
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowoMetody przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych
Metody przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych za pomocą szeregów metody dyskretne Metoda współczynników nieoznaczonych Metoda kolejnego
Bardziej szczegółowoCałkowanie numeryczne
Całkowanie numeryczne Nie zawsze możliwe jest wyznaczenie analitycznego wzoru będącego wynikiem całkowania danej funkcji f(x). Praktycznie zawsze możne jednak wyznaczyć całkę oznaczoną funkcji przy podanych
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/
Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro
Bardziej szczegółowoCałkowanie numeryczne
Całkowanie numeryczne Poniżej omówione zostanie kilka metod przybliżania operacji całkowania i różniczkowania w szczególności uzależnieniu pochodnej od jej różnic skończonych gdy równanie różniczkowe mamy
Bardziej szczegółowoI. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.
I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na
Bardziej szczegółowoElementy rachunku różniczkowego i całkowego
Elementy rachunku różniczkowego i całkowego W paragrafie tym podane zostaną elementarne wiadomości na temat rachunku różniczkowego i całkowego oraz przykłady jego zastosowania w fizyce. Małymi literami
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoPochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych
Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją
Bardziej szczegółowoPochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych
Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją symbolami:
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.
Bardziej szczegółowoObliczenia iteracyjne
Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej
Bardziej szczegółowolim Np. lim jest wyrażeniem typu /, a
Wykład 3 Pochodna funkcji złożonej, pochodne wyższych rzędów, reguła de l Hospitala, różniczka funkcji i jej zastosowanie, pochodna jako prędkość zmian 3. Pochodna funkcji złożonej. Jeżeli funkcja złożona
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne
Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur
Bardziej szczegółowoJAK PROSTO I SKUTECZNIE WYKORZYSTAĆ ARKUSZ KALKULACYJNY DO OBLICZENIA PARAMETRÓW PROSTEJ METODĄ NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW
JAK PROSTO I SKUTECZNIE WYKORZYSTAĆ ARKUSZ KALKULACYJNY DO OBLICZENIA PARAMETRÓW PROSTEJ METODĄ NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Z tego dokumentu dowiesz się jak wykorzystać wbudowane funkcje arkusza kalkulacyjnego
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe wyższych rzędów
Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1. Rozwiązanie ogólne............................... 1.3 Obniżanie rzędu
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych
Metody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych Marcin Orchel Spis treści Wstęp. Metody przybliżone dla równań pierwszego rzędu................ Metoda kolejnych przybliżeń Picarda...................2
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe II rzędu
Równania różniczkowe liniowe II rzędu Definicja równania różniczkowego liniowego II rzędu Warunki początkowe dla równania różniczkowego II rzędu Równania różniczkowe liniowe II rzędu jednorodne (krótko
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowoWyprowadzenie wzoru na krzywą łańcuchową
Wyprowadzenie wzoru na krzywą łańcuchową Daniel Pęcak 16 sierpnia 9 1 Wstęp Być może zastanawiałeś się kiedyś drogi czytelniku nad kształtem, jaki kształt przyjmuje zwisający swobodnie łańcuch lub sznur
Bardziej szczegółowoWstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2005/06 Wstęp
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na
Bardziej szczegółowo13. Równania różniczkowe - portrety fazowe
13. Równania różniczkowe - portrety fazowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - portrety fazowe 1 /
Bardziej szczegółowo27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE
27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych
Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych Definicja Spis treści: Wykres Ciągłość, granica iterowana i podwójna Pochodne cząstkowe Różniczka zupełna Gradient Pochodna kierunkowa Twierdzenie Schwarza
Bardziej szczegółowo3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Bardziej szczegółowoKinematyka: opis ruchu
Kinematyka: opis ruchu Fizyka I (B+C) Wykład IV: Ruch jednostajnie przyspieszony Ruch harmoniczny Ruch po okręgu Klasyfikacja ruchów Ze względu na tor wybrane przypadki szczególne prostoliniowy, odbywajacy
Bardziej szczegółowoZastosowanie Excela w obliczeniach inżynierskich.
Zastosowanie Excela w obliczeniach inżynierskich. Część I Różniczkowanie numeryczne. Cel ćwiczenia: Zapoznanie się z ilorazami różnicowymi do obliczania wartości pochodnych. Pochodna jest miarą szybkości
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna
Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem
Bardziej szczegółowoMETODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Jednym z zastosowań metod numerycznych jest wyznaczenie pierwiastka lub pierwiastków równania nieliniowego. W tym celu stosuje się szereg metod obliczeniowych np:
Bardziej szczegółowoZ52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.
Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne
Bardziej szczegółowoRuch jednostajnie zmienny prostoliniowy
Ruch jednostajnie zmienny prostoliniowy Przyspieszenie w ruchu jednostajnie zmiennym prostoliniowym Jest to taki ruch, w którym wektor przyspieszenia jest stały, co do wartości (niezerowej), kierunku i
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający
Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Ruch skutkiem działania
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań nieliniowych
Rozwiązywanie równań nieliniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Przykłady wyznaczania miejsc zerowych funkcji f : f(ξ) = 0. Wyszukiwanie miejsc zerowych wielomianu n-tego stopnia. Wymiar tej przestrzeni wektorowej
Bardziej szczegółowoLista zadań nr 2 z Matematyki II
Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2
Bardziej szczegółowoMECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej
MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/
Bardziej szczegółowoROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1)
ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL 1. Problem Rozważmy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi (x 1, x 2 ): 1 x1 sin x2 x2 cos x1 (1) Nie jest
Bardziej szczegółowoRóżniczkowanie numeryczne
Różniczkowanie numeryczne Przyjmijmy, że funkcja ciągła y = f(x) = 4sin(3x)e -x/2, gdzie x 0,2π, dana jest w postaci dyskretnej jako ciąg wartości y odpowiadających zmiennej niezależnej x, również danej
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2. Drgania punktu materialnego. Wykład Nr 8. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 8 Drgania punktu materialnego Prowadzący: dr Krzysztof Polko Wstęp Drgania Okresowe i nieokresowe Swobodne i wymuszone Tłumione i nietłumione Wstęp Drgania okresowe ruch powtarzający
Bardziej szczegółowo5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (I)
Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca
Bardziej szczegółowoWstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoFizyka 11. Janusz Andrzejewski
Fizyka 11 Ruch okresowy Każdy ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu nazywa się ruchem okresowym lub drganiami. Drgania tłumione ruch stopniowo zanika, a na skutek tarcia energia mechaniczna
Bardziej szczegółowoROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI
ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. =1+cos a) = =2cos( sin) = = sin2 = ln += =sin2 = ln 1+cos +. b) sin(+3)= =+3 = 3 =( 3) = sin= =( 6+9) sin= sin 6 sin+9sin. Obliczamy teraz pierwszą całkę: sin= ()=
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych 9a. Układy równań algebraicznych. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych 9a. Układy równań algebraicznych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Układy równań algebraicznych Niech g:r N równanie R N będzie funkcja klasy co najmniej
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12 Egzamin Termin: 28.01, godz. 10.15-11.45, sala 309 3 pytania teoretyczne 2 zadania wybór pytań i wybór zadań
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy - całka oznaczona
SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej
Bardziej szczegółowoMatematyka licea ogólnokształcące, technika
Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest
Bardziej szczegółowo5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu
5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ
KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ TREŚCI KSZTAŁCENIA WYMAGANIA PODSTAWOWE WYMAGANIA PONADPODSTAWOWE Liczby wymierne i
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to
Bardziej szczegółowoWYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą
1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe zwyczajne
Równania różniczkowe zwyczajne Zajmiemy się teraz problemem numerycznego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych o postaci: z warunkeim początkowym. Zauważmy że przykładowe równanie różniczkowe
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne równań różniczkowych zwyczajnych
Metody numeryczne równań różniczkowych zwyczajnych Marcin Jenczmyk m.jenczmyk@knm.katowice.pl 9 maja 2015 M. Jenczmyk XXX Sesja KNM Metody numeryczne R.R.Z. 1 / 18 Omawiany problem dotyczyć będzie numerycznego
Bardziej szczegółowoDRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu
Ćwiczenie 7 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Cel ćwiczenia Doświadczalne wyznaczenie częstości drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody, pokazanie postaci drgań odpowiadających
Bardziej szczegółowoMetoda rozdzielania zmiennych
Rozdział 12 Metoda rozdzielania zmiennych W tym rozdziale zajmiemy się metodą rozdzielania zmiennych, którą można zastosować, aby wyrazić jawnymi wzorami rozwiązania pewnych konkretnych równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoTydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com
Bardziej szczegółowoĆwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.
Ćwiczenie M- Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego. Cel ćwiczenia: pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego.. Przyrządy: wahadło rewersyjne, elektroniczny
Bardziej szczegółowoBiotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1
Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą
Bardziej szczegółowoFunkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska
Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska . Wprowadzenie pojęcia funkcji liniowej w nauczaniu matematyki w gimnazjum. W programie nauczania matematyki w
Bardziej szczegółowoNazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne. opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego
Nazwisko i imię: Zespół: Data: Cel ćwiczenia: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego wyznaczenie momentów bezwładności brył sztywnych Literatura
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne
Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem
Bardziej szczegółowo3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14
Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe wyższych rzędów
Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1.2 Rozwiązanie ogólne............................... 2 1.3 Obniżanie rzędu
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. dr Artur Woike. Ćwiczenia nr 2. Rozwiązywanie równań nieliniowych metody połowienia, regula falsi i siecznych.
Ćwiczenia nr 2 metody połowienia, regula falsi i siecznych. Sformułowanie zagadnienia Niech będzie dane równanie postaci f (x) = 0, gdzie f jest pewną funkcją nieliniową (jeżeli f jest liniowa to zagadnienie
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 2. CAŁKA PODWÓJNA Całka podwójna po prostokącie
Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem..1. Całka podwójna po prostokącie.. CAŁKA POWÓJNA.. Całka podwójna po obszarach normalnych..3. Całka podwójna po obszarach regularnych..4.
Bardziej szczegółowoWykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie
Wykład 14 i 15 Równania różniczkowe Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 (1) gdzie: y = y(x) niewiadoma funkcja zmiennej rzeczywistej
Bardziej szczegółowo- prędkość masy wynikająca z innych procesów, np. adwekcji, naprężeń itd.
4. Równania dyfuzji 4.1. Prawo zachowania masy cd. Równanie dyfuzji jest prostą konsekwencją prawa zachowania masy, a właściwie to jest to prawo zachowania masy zapisane dla procesu dyfuzji i uwzględniające
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowoCałki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,
Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,
Bardziej szczegółowoII. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski
II. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski 1 1 Różniczkowanie numeryczne Rozważmy funkcję f(x) określoną na sieci równoodległyc węzłów. Funkcja f(x) może być dana za pomocą wzoru analitycznego
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza zagadnień różniczkowych 10. Dwupunktowe problemy brzegowe (BVP, Boundary Value Problems)
Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 10. Dwupunktowe problemy brzegowe (BVP, Boundary Value Problems) P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2007/08 Wprowadzenie Rozważmy
Bardziej szczegółowo1. PODSTAWY TEORETYCZNE
1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych
Bardziej szczegółowoBADANIE DRGAŃ TŁUMIONYCH WAHADŁA FIZYCZNEGO
ĆWICZENIE 36 BADANIE DRGAŃ TŁUMIONYCH WAHADŁA FIZYCZNEGO Cel ćwiczenia: Wyznaczenie podstawowych parametrów drgań tłumionych: okresu (T), częstotliwości (f), częstotliwości kołowej (ω), współczynnika tłumienia
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM OCENA ŚRÓDROCZNA: NIEDOSTATECZNY ocenę niedostateczny otrzymuje uczeń, który
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA 8. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego (α < 90 ). Stosunki długości boków trójkąta prostokątnego nazywamy funkcjami trygonometrycznymi.
INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy do matury i rekrutacji na studia medyczne Rok 017/018 www.medicus.edu.pl tel. 501 38 39 55 MATEMATYKA 8 FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Prędkość i przyspieszenie... 5 Rozdział 2. Składanie ruchów Rozdział 3. Modelowanie zjawisk fizycznych...43 Numeryczne całkowanie,
Rozdział 1. Prędkość i przyspieszenie... 5 Rozdział. Składanie ruchów... 11 Rozdział 3. Modelowanie zjawisk fizycznych...43 Rozdział 4. Numeryczne całkowanie, czyli obliczanie pracy w polu grawitacyjnym
Bardziej szczegółowoy(t) = y 0 + R sin t, t R. z(t) = h 2π t
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowoNa podstawie informacji zdobytych na poprzednich zajęciach proszę wykonać następujące zadania:
Informatyka. I. Przypomnienie wiadomości z poprzednich zajęć: Na podstawie informacji zdobytych na poprzednich zajęciach proszę wykonać następujące zadania: 1. Proszę wygenerować wykresy funkcji sinus
Bardziej szczegółowoCHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE
CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE Do opisu członów i układów automatyki stosuje się, oprócz transmitancji operatorowej (), tzw. transmitancję widmową. Transmitancję widmową () wyznaczyć można na podstawie
Bardziej szczegółowo========================= Zapisujemy naszą funkcję kwadratową w postaci kanonicznej: 2
Leszek Sochański Arkusz przykładowy, poziom podstawowy (A1) Zadanie 1. Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku 5,7 Wówczas prawdziwa jest równość W. A. f 1 f 9 B. f 1 f 11 C. f 1 f 1
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-R_P-08 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 008 Czas pracy 80 minut Instrukcja
Bardziej szczegółowoExcel - użycie dodatku Solver
PWSZ w Głogowie Excel - użycie dodatku Solver Dodatek Solver jest narzędziem używanym do numerycznej optymalizacji nieliniowej (szukanie minimum funkcji) oraz rozwiązywania równań nieliniowych. Przed pierwszym
Bardziej szczegółowodr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE
dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoWykład 3 Równania rózniczkowe cd
7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy
Bardziej szczegółowoKINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury
KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury Funkcje wektorowe Jeśli wektor a jest określony dla parametru t (t należy do przedziału t (, t k )
Bardziej szczegółowo