METODY GENERACJI I SELEKCJI CECH GRAFU W ROZPOZNAWANIU ZDJĘĆ SATELITARNYCH *)

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "METODY GENERACJI I SELEKCJI CECH GRAFU W ROZPOZNAWANIU ZDJĘĆ SATELITARNYCH *)"

Transkrypt

1 Wojciech CZECH METODY GENERACJI I SELEKCJI CECH GRAFU W ROZPOZNAWANIU ZDJĘĆ SATELITARNYCH *) STRESZCZENIE W pracy tej przedstawiona została nowa metoda rozpoznawania zdjęć satelitarnych i lotniczych w oparciu o ich reprezentację w postaci grafów ważonych przeształcanych następnie na wetory cech za pomocą desryptorów taich ja ważony współczynni gronowania lub rozziew wag. Porównanie nowej metody z algorytmami bazującymi na czysto topologicznej reprezentacji cech obrazu poazuje jej więszą suteczność w procesie rozpoznawania. Testy zostały przeprowadzone na zbiorach zdjęć satelitarnych uzysanych przy pomocy programu Google Earth oraz z bazy CMU/VASC. Słowa luczowe: grafy ważone, porównywanie grafów, grafowa reprezentacja obrazu 1. WSTĘP Szeroi wachlarz zastosowań grafowych strutur danych, pozwalających na wygodną reprezentację relacji pomiędzy obietami, spowodował widoczny w ostatnich latach rozwój nowych metod ich analizy. Badania występujących w przyrodzie sieci złożonych, taich ja np. sieci wewnątrzomórowych lub *) Praca ta powstała przy wsparciu Ministerstwa Naui i Szolnictwa Wyższego, projet nr 3 T11F mgr inż. Wojciech CZECH Aademia Górniczo-Hutnicza Wydział Eletrotechnii, Automatyi, Informatyi i Eletronii, Katedra Informatyi PRACE INSTYTUTU ELEKTROTECHNIKI, zeszyt 243, 2009

2 44 W. Czech socjologicznych, przyniosły szereg znaczących rezultatów pozwalających na zrozumienie natury procesów rządzących ich powstawaniem [1]. Wymienić tutaj należy odrycie taich własności sieci rzeczywistych, ja potęgowy rozład stopni wierzchołów (scale-freeness), własność małego świata (small-worldiness), wysoi współczynni gronowania (clustering coefficient) i wiele innych wpływających na odporność sieci na uszodzenia lub efetywność propagacji np. informacji [2]. Wynii te posiadają szereg pratycznych zastosowań, taich ja projetowanie nowych leów w oparciu o sieci metaboliczne [3, 4], przewidywanie strutury trzeciorzędowej białe z wyorzystaniem sieci fałdowania protein [5], przewidywanie funcji genów za pomocą sieci oespresji genów [6] lub oreślanie tosyczności związów chemicznych wyorzystujące grafową reprezentację moleuł [7]. Równocześnie można zaobserwować wzrost zainteresowania grafami w rozpoznawaniu wzorców. W szczególności grafowa reprezentacja zdjęć bądź ształtów znalazła szereg zastosowań pratycznych [8]. Używając grafu jao reprezentacji części informacji zawartej w obrazie zysujemy niezmienność względem salowania, rotacji i translacji własność pożądaną w procesach rozpoznawania. Taa ombinatoryczna reprezentacja pośrednia wymaga jedna użycia metod porównywania grafów w celu wyznaczenia odległości pomiędzy obietami, potrzebnej w standardowych metodach lasteryzacji i lasyfiacji. Spora ilość dostępnych algorytmów porównywania grafów wynia ze stosowania różnych typów grafów i różnych ryteriów oceny ich podobieństwa. Grafy reprezentujące obiety świata rzeczywistego mogą być ważone, sierowane, z etyietami przypisanymi do rawędzi lub wierzchołów, spójne bądź niespójne. W zależności od dziedziny problemu możemy być zainteresowani porównaniem oreślonej cechy struturalnej grafu, wielu cech lub ogólnie całości jego strutury, ja np. w przypadu grafowej reprezentacji zdjęć. Metody porównywania grafów można podzielić na dwie grupy: metody wyorzystujące reprezentację pośrednią w postaci np. wetora cech lub na algorytmy doonujące bezpośredniego porównania dwóch obietów, np. oparte na pojęciu grafowej odległości edycyjnej. Pierwsza z grup jest przydatna przy tworzeniu baz danych grafów, w tórych oszt obliczeniowy zapytania jest zreduowany dzięi możliwości wcześniejszego utworzenia wetorowych reprezentacji. Reprezentacja ta pozwala również na łatwe wyorzystanie lasycznych metod sztucznej inteligencji, taich ja osadzanie grafów w przestrzeni o małym wymiarze za pomocą metod MDS (Multidimensional Scaling), PCA (Principal Component Analysis), LLE (Locally Linear Embedding) oraz algorytmów lasteryzacji i lasyfiacji. Po zastosowaniu grafowych funcji ernela możliwe jest również wyorzystanie nieliniowych metod typu ernel, taich ja lasyfiatory z rodziny SVM (Support Vector Machines) lub Kernel PCA [8].

3 Metody generacji i selecji cech grafu w rozpoznawaniu zdjęć satelitarnych 45 Transformacja obietu ombinatorycznego, jaim jest graf, do wetora cech jest operacją, w tórej część informacji o grafie zostaje utracona. Wynia to przede wszystim z trudności przejścia z obietu o struturze będącej niezmienniiem izomorfizmu do obietu, w tórym olejność elementów jest istotna, a tóry powinien pozostać niezmienniiem tego przeształcenia. Budowa wzajemnie jednoznacznego odwzorowania wetor graf jest cieawym, otwartym problemem związanym z zagadnieniem poszuiwania izomorfizmu. W niniejszej pracy opisana zostanie nowa metoda porównywania zdjęć lotniczych w oparciu o ich grafową reprezentację, wyorzystująca ilościowe metody oceny własności strutury sieci złożonych jao metodę generacji cech dla grafu. W następnym rozdziale przedstawiona zostanie metoda transformacji obrazu w graf ważony, wyorzystująca wyrywanie rogów [9] oraz triangulację Delaunaya [10]. Następnie w rozdziale 3 omówiona zostanie generacja wetorów cech dla grafu. Rozdział 4 prezentuje przyładowe wynii lasteryzacji danych testowych. Praca zaończona będzie rótim podsumowaniem. 2. GRAFOWA REPREZENTACJA OBRAZU Transformacja obrazu zapisanego w postaci macierzy piseli do ombinatorycznej danej, jaą jest graf, wymaga wsazania charaterystycznych elementów obrazu odpowiadających wierzchołom, a następnie oreślenia relacji pomiędzy tymi elementami, co jest równoznaczne z dodaniem rawędzi w grafie. Taimi elementami mogą być np. rogi, zdefiniowane jao przecięcie dwóch rawędzi [10] lub obszary obrazu charateryzujące się podobną jasnością, będące rezultatem segmentacji obrazu. Praca ta wyorzystuje grafy budowane na podstawie rogów. Współrzędne rogu wsazują obszar obrazu, w tórym jego intensywność zmienia się gwałtownie w dwóch prostopadłych do siebie ierunach. Załóżmy więc, że rogi będą odpowiadać wierzchołom grafu. W celu zdefiniowania powiązań przestrzennych między rogami stosujemy triangulację Delaunaya. Metoda ta tworzy rawędź między puntami, tórych omóri Voronoi sąsiadują, dlatego obszarom o dużym zagęszczeniu rogów odpowiadać będą wierzchołi o wysoim stopniu. Położenie rogów jest istotną cechą obrazu, wyorzystywaną często w zagadnieniach typu computer vision, szczególnie przy poszuiwaniu transformacji jednego obrazu w drugi (np. dwie olejne lati w filmie). Triangulacja Delaunaya [11] doonuje generalizacji informacji zawartej w rogach, a własności trójątów będących jej rezultatem, np. rozład prawdopodobieństwa ich pól powierzchni, dobrze odzwierciedlają ogólne cechy obrazu

4 46 W. Czech źródła. Na rysunu 1 przedstawiono przyładową transformację obrazu w graf dla lotniczego zdjęcia zamu. Rys. 1. Wyrywanie rogów oraz triangulacja Delaunaya: A) detecja rogów metoda Harrisa, zdjęcie lotnicze zamu (baza danych CSM/VASC); B) triangulacja Delaunaua algorytm Watsona Opisana wyżej metoda stosowana jest z powodzeniem przy testowaniu metod porównywania grafów [12, 13]. W niniejszej pracy proponujemy jej rozszerzenie poprzez dodanie wag do rawędzi grafu. Wagi taie powinny zawierać dodatową informację na temat przestrzennych relacji pomiędzy rogami. Reprezentacja taa może być przydatna szczególnie w przypadu zdjęć lotniczych lub satelitarnych, w tórym przestrzenne relacje pomiędzy obietami, np. budynami w mieście, nie ulegają dużym zmianom. W celu wyznaczenia wagi rawędzi bierzemy pod uwagę graf Delaunaya dla zbioru rogów obrazów. Każda rawędź grafu związana jest z dwoma leżącymi naprzeciw niej ątami (rys. 2C), tóre pozostają stałe dla różnych zdjęć tego samego obszaru, np. powierzchni ziemi. Słuszność tego założenia warunowana jest czułością metody wyrywania rogów i jej wrażliwością na szum. W szczególności, izolowane punty typu sól i pieprz mogą zostać potratowane jao rogi, co pogorszy jaość taiej reprezentacji. Uninąć tego efetu możemy poprzez wstępną filtrację obrazu za pomocą filtra mediany oraz manipulując parametrami algorytmu wyrywającego rogi, ta, aby rogi z mniejszą ilością głosów zostały odrzucone. Waga rawędzi będzie funcją f(α,β) dwóch leżących naprzeciw niej ątów. W przypadu rawędzi leżących bezpośrednio na wypułej otoczce zbioru rogów (brzeg), drugi z ątów tatujemy jao równy zero wierzchołe trójąta, tóry mu odpowiada, znajduje się w niesończoności (nieograniczona omóra Voronoi). Przyładowo wybierając jao f masimum z dwóch ątów, więszą wagę przyładać będziemy do rawędzi łączącej punty, tórych odległość jest dużo więsza od trzeciego puntu znajdującego się bliżej rawędzi. Uzysane w ten sposób wagi są w dalszej olejności normalizowane ta, aby zwierały się w przedziale [0, 1]. Na rysunu 2 przedstawiono schemat opisywanej metody przeształcenia zdjęcia w ważony graf.

5 Metody generacji i selecji cech grafu w rozpoznawaniu zdjęć satelitarnych 47 Rys. 2. Schemat przeształcenia obrazu w graf ważony: A) oryginalne zdjęcie; B) wyrywanie rogów detetor Harrisa; C) triangulacja Delaunaya, obliczenie wag rawędzi jao masimum z dwóch ątów leżących naprzeciw rawędzi, normalizacja wag 3. WEKTORY CECH GRAFU Porównania grafów doonujemy w oparciu o wetory cech wygenerowane z zastosowaniem ilościowych metod analizy sieci złożonych. Spośród wielu desryptorów grafowych mierzących struturalne własności sieci do generacji wetora cech zdecydowaliśmy się wyorzystać te, tóre można obliczyć w rótim czasie dla grafów o rozmiarze rzędu wierzchołów (złożoność obliczeniowa O ( n ) lub mniejsza). Aby umożliwić porównanie wyniów 2 dla reprezentacji ważonej i bez wag, wybrany został podzbiór desryptorów obliczalnych dla obu typów grafów. Krótie omówienie testowanego zbioru desryptorów przedstawione jest poniżej. We wszystich definicjach przyjmujemy następujące oznaczenia: W = w jest wagą rawędzi W oznacza macierz wag grafu taą, że: ( ) ij ij ( i, j), w przypadu grafów bez wag W odpowiada macierzy adiacencji i słada się wyłącznie z elementów 0 i 1, w jest -tą olumną lub -tym wierszem macierzy W, N jest zbiorem wierzchołów grafu, e jest wetorem o wszystich elementach równych 1, n jest liczbą wierzchołów grafu, N oznacza zbiór sąsiadów wierzchoła, d ij to długość najrótszej ścieżi pomiędzy wierzchołiem i oraz j, dla grafów bez wag jest liczbą całowitą.

6 48 W. Czech Moc wierzchoła s = wj (1) j N Miara ta jest prostym rozszerzeniem stopnia wierzchoła dla grafów ważonych. Ponieważ desryptor ten jest sojarzony z wierzchołiem grafu, do generacji wetora cech wyorzystujemy statystyczne własności zbioru miar s dla wszystich wierzchołów, taie ja wartość średnia, odchylenie standardowe, sośność i urtoza. Podobnie postępujemy dla pozostałych desryptorów sojarzonych z wierzchołami grafu. Współczynni gronowania WCC 3 ( W ) T 2 2 ( e w ) w = (2) 2 Ważony współczynni gronowania, zdefiniowany w pracy [7], jest loalną miarą pozwalającą stwierdzić, jaa jest gęstość wzajemnych połączeń między sąsiadami wierzchoła. W przypadu gafów bez wag, wzór (2) daje ten sam wyni, co lasyczna definicja oreślająca prawdopodobieństwo istnienia rawędzi pomiędzy dwoma sąsiadami wierzchoła [2]. Ponieważ wartość tego desryptora sorelowana jest z liczbą trójątów w sieci, możemy oczeiwać, że będzie on dobrze opisywał grafy będące rezultatem triangulacji. Rozziew wag Y = j N w s j 2 (3) Desryptor ten, opisany m.in. w pracy [2], pozwala stwierdzić, czy wagi rawędzi incydentnych z wierzchołiem są tego samego rzędu, czy może ila rawędzi dominuje, a pozostałe mają małe wagi. Jest to loalna miara, tórej rozład prawdopodobieństwa niesie sporo informacji o grafie ważonym. Jest to jedyny omówiony w tej pracy desryptor, tóry ma sens jedynie dla grafów z wagami.

7 Metody generacji i selecji cech grafu w rozpoznawaniu zdjęć satelitarnych 49 Centralność wierzchoła b i = j, N, j n j n () i j (4) n oznacza liczbę najrótszych ścieże łączących wierzchołi j oraz, a ( i) j liczbę najrótszych ścieże łączących j oraz, przechodzących przez wierzchołe i. Miara ta wywodzi się z obszaru sieci socjologicznych i oreśla ważność danego wierzchoła z puntu widzenia propagacji informacji (po najrótszych ścieżach) [2]. Niejednorodne wagi rawędzi zmieniają najrótsze ścieżi, zarówno pod względem ich długości, ja sewencji wierzchołów, z tórych się sładają. Desryptor ten może być obliczany dla grafów z wagami i bez. n j Efetywność E = 1 n( n 1) d ij i, j N, i j (5) Efetywność sieci [2] to średnia harmoniczna długości najrótszych ścieże pomiędzy parami wierzchołów. Zgodnie ze swoją nazwą, mierzy ona pojemność informacyjną sieci i jej zdolność do przeazywania informacji. Zawiera się w przedziale [0, 1], osiągając najwięszą wartość dla grafu pełnego. Efetywność loalna 1 E = E( ) loc n G i i N (6) Desryptor ten jest średnią arytmetyczną efetywności [patrz równanie (5)] grafów utworzonych z sąsiadów ażdego z wierzchoła i oraz istniejących pomiędzy nimi rawędzi. Jego zadanie jest podobne, ja współczynnia gronowania (1) jest nim ocena gęstości loalnych połączeń między sąsiadami wierzchołów.

8 50 W. Czech Spectrum macierzy Laplace a grafu Niech D będzie diagonalną macierzą sum wag, tzn. ( D ) = ii w ij j. Macierzą Laplace a grafu nazywamy macierz L = D W [16]. W przypadu grafów niesierowanych, z jaimi mamy do czynienia w tej pracy, macierz Laplace a jest dodatnio półoreślona, a tym samym wszystie jej wartości własne są rzeczywiste i więsze lub równe 0. Własność tę możemy wyorzystać do uporządowania spectrum macierzy Laplace a i stworzenia (n-1)-wymiarowego wetora cech. Niech λ1 λ2 λn będą wartościami własnymi macierzy Laplace a ( λ = 1 0 ). Definiujemy desryptor spetralny grafu jao wetor: SPEC = λ, λ,, λ ] (7) [ 2 3 n Istnieje szereg powiązań między struturą grafu a algebraicznymi własnościami reprezentujących go macierzy, dlatego wartości i wetory własne pozwalają na onstrucję wetorów cech zwierających znaczną część informacji o grafie. Przyładem taich związów jest np. powiązanie stałej Cheegera i λ 2 [16]. Desryptory budowane w oparciu o deompozycję spetralną macierzy Laplace a mają dobrą suteczność w rozpoznawaniu obrazów [13]. Przydatność wetorów cech tworzonych na podstawie wyżej wymienionych miar oceniana została poprzez badanie jaości lasteryzacji testowych zbiorów zdjęć osadzonych w przestrzeni 2D (Principal Component Analysis, Isomaps, Locally Linear Embedding, Multidimensional Scaling, Kernel PCA) za pomocą indesów walidacyjnych lasteryzacji, taich ja C Index i Davies Bouldin Index [8]. 4. WYNIKI Poniżej przedstawiono dwa przyładowe esperymenty na zbiorach danych sładających się ze zdjęć satelitarnych i lotniczych Zdjęcia z Google Earth Testy opisane w tym podrozdziale przeprowadzone zostały na zbiorze czterech grup zdjęć satelitarnych zebranych z pomocą programu Google Earth. Każda

9 Metody generacji i selecji cech grafu w rozpoznawaniu zdjęć satelitarnych 51 grupa zawiera zdjęcia tych samych fragmentów czterech miast, ale zrobionych z różnej wysoości (różnice rzędu 100 m) oraz poprzesuwanych i obróconych względem siebie. Przyładowe zdjęcia ze zbioru testowego poazane zostały na rysunu 3. Kraów, ryne, 50 zdjęć Bochnia, ryne, 20 zdjęć Wielicza, obwodnica, 20 zdjęć Wrocław, ryne, 50 zdjęć Rys. 3. Przyładowe zdjęcia ażdej z 4 grup: Kraów, Bochnia, Wielicza, Wrocław Zdjęcia przeształcone zostały na dwa rodzaje grafów: bez wag oraz z wagami wyznaczonymi w sposób opisany w rozdziale 2, przy czym grafy reprezentujące pojedyncze zdjęcia mogą różnić się rozmiarem w zależności od liczby wyrytych rogów (wyorzystanie stałej odcinającej słabsze rogi). Następnie obliczone zostały desryptory grafowe w dwóch wariantach dla dwóch rodzajów reprezentacji. Przetestowano wetory cech budowane oparciu o te desryptory, oceniając stopień rozdzielenia grup zdjęć po osadzeniu wetorów cech w przestrzeni 2D. Przyładowe wynii przedstawione zostały na rysunu 4. Wetory cech budowane w oparciu o grafy ważone z wyorzystaniem desryptorów wymienionych w rozdziale 3 pozwalają na lepsze rozdzielenie zbiorów testowych za pomocą wetora cech o mniejszym wymiarze. Dla reprezentacji bez wag wartości indesów walidacyjnych lasteryzacji (patrz rozdział 3) wynoszą: C index = 0,290, DB index = 1,705, a dla reprezentacji z wagami odpowiednio 0,143 oraz 0,945. Im mniejsza wartość tych wsaźniów, tym lepsze rozdzielenie zbiorów.

10 52 W. Czech Rys. 4. Rezultat osadzenia wetorów cech grafów reprezentujących zdjęcia satelitarne miast: Wielicza (WI), Bochnia (BO), Kraów (KR), Wrocław (WR) w przestrzeni 2D. U góry najlepszy wyni dla reprezentacji w postaci grafu bez wag, 4D wetor cech złożony z następujących desryptorów: średnia średniego stopnia najbliższego sąsiada, średnia centralność wierzchoła, średni współczynni gronowania, średni stopień wierzchoła. Reducja wymiaru za pomocą Principal Component Analysis. Na dole najlepszy wyni dla grafów ważonych, 2D wetor cech złożony z desryptorów: średnia wartość loalnej efetywności, średnia wartość mocy wierzchoła

11 Metody generacji i selecji cech grafu w rozpoznawaniu zdjęć satelitarnych Zdjęcia z bazy CMU/VASC W tym podrozdziale zaprezentowane zostały testy rozpoznawania w oparciu o zdjęcia z bazy danych CMU/VASC (http://vasc.ri.cmu.edu/idb). Baza ta zawiera szereg obrazów służących do badania algorytmów typu computer vision. Ze zbioru Motion data wybrane zostały cztery grupy zdjęć lotniczych. Przyładowe dane z tego zbioru poazane są na rysunu 5. Warto zwrócić uwagę na to, że grupa TB przedstawia podobny obszar, ja grupa TC (różnica w sali i rotacji). TA TB TC TE Rys. 5. Przyładowe zdjęcia ażdej z 4 grup testowych Zdjęcia zostały przeształcone na dwa rodzaje grafów (z wagami i bez nich), ale w tym przypadu wygenerowano grafy o stałym rozmiarze 100. W tym celu w algorytmie Harrisa wzięto pod uwagę 100 najwyraźniej zaznaczonych rogów. Następnie, dla obu rodzajów reprezentacji obliczone zostały spetralne, 99- -wymiarowe wetory cech (7). Wetory te osadzone zostały w przestrzeni 2D za pomocą Kernel PCA z Gaussowsą funcją ernela daną wzorem: 2 ( x, y) exp( x y ) = σ (8) Wynii lasteryzacji dla reprezentacji bez wag przedstawione są na rysunu 6. Wartości indesów walidacyjnych wynoszą C index = 0,23, DB index = 1,23. Rysune 7 przedstawia wyni dla wprowadzonej w tej pracy reprezentacji ważonej (C index = 0,108, DB index = 0,743). Również w tym przypadu reprezentacja ważona oazała się lepsza. W obu przypadach reducji za pomocą Kernel PCA wartość parametru σ wynosiła 0,03. Nieznaczne wahania tego parametru nie wpływały na pogorszenie separacji w obu przypadach, natomiast więsze zmiany, np. zwięszenie do 0,05, dawały gorszy wyni. Dlatego wybrana wartość 0,03 pozwala na wiarygodne porównanie obu wyniów. Zdjęcia z grup TB i TC znajdują się bliso siebie ponieważ poazują one ten sam obszar miasta, prawidłowość ta widoczna jest na obydwu wyresach.

12 54 W. Czech Algorytm opisany w tej pracy został zaimplementowany w języu Java. Czas obliczeń zdominowany jest częścią generującą wetory cech i zależy od rozmiaru grafu oraz wybranych desryptorów grafowych. W przedstawionych wyżej esperymentach dla rozmiaru grafu rzędu 100 wierzchołów i najcięższego obliczeniowo desryptora spetralnego, czas generacji pojedynczego wetora cech jest mniejszy od 0,02 s (laptop, Intel Core Duo 1,87 GHz). Rys. 6. Wyni osadzenia 99-wymiarowych wetorów cech zbudowanych w oparciu o reprezentację bez wag. Zastosowano Kernel PCA z Gaussowsą funcją ernela (C index = 0,23, DB index = 1,23)

13 Metody generacji i selecji cech grafu w rozpoznawaniu zdjęć satelitarnych 55 Rys. 7. Wyni osadzenia 99-wymiarowych wetorów cech zbudowanych w oparciu o reprezentację z wagami. Zastosowano Kernel PCA z Gaussowsą funcją ernela (C index = 0,108, DB index = 0,743) 5. PODSUMOWANIE Wyorzystanie ważonych grafów jao reprezentacji obrazu pozwala na projetowanie bardziej efetywnych algorytmów lasteryzacji i lasyfiacji. Relacje pomiędzy obietami świata rzeczywistego są na ogół heterogeniczne, dlatego stosując wagi rawędzi można przechować w grafie specyficzne informacje, np. relacje przestrzenne między obietami. Waga rawędzi odzwier-

14 56 W. Czech ciedla siłę relacji między obietami, a tym samym pozwala na doładniejszy opis, niż w binarnym przypadu grafów bez wag. Wadą taiego podejścia jest mniej intuicyjna interpretacja desryptorów. Ilościowe metody analizy sieci złożonych mogą posłużyć go efetywnej obliczeniowo generacji cech grafu i wyorzystania ich w lasycznych algorytmach rozpoznawania. Ze względu na rozsądny czas obliczeń, na szczególną uwagę zasługują tutaj desryptory opisujące loalną topologię połączeń. Złożoność obliczeniowa wyznaczania wetorów cech grafu ma szczególne znaczenie w przypadu dużych baz danych, np. przechowujących dane o budowie związów chemicznych. Przyszłe prace związane z tematem niniejszego artyułu będą polegały na testowaniu innych typów desryptorów dla grafów ważonych i funcji f służących do obliczania wag rawędzi. Planowane jest również wyorzystanie desryptorów grafowych do budowy funcji ernela dla grafów, pozwalającej na efetywne użycie lasyfiatora SVM. LITERATURA 1. R. Albert, A. L. Barabasi: Statistical mechanics of complex networs. Reviews of modern physics, nr 1, vol. 74, 47 97, S. Boccaletti, V. Latora, Y. Moreno, M. Chavez, D. U. Hwang: Complex networs: Structure and dynamics. Physics Reports, nr 4-5, vol. 424, , P. Csemely, V. Agoston, S.Pongor: The efficiency of multi-target drugs: the networ approach might help drug design. Trends in Pharmacological Sciences, vol. 26, , M. A. Yildirim, K. I. Goh, M. E. Cusic, A. L. Barabasi, M. Vidal: Drug-target networ. Nat Biotechnol, , D. Gfeller, P. De Los Rios, A. Caflisch, F. Rao: Complex networ analysis of free-energy landscapes. Proceedings of the National Academy of Sciences, nr 6, vol. 104, 1817, F. Luo, Y. Yang, J. Zhong, H. Gao, L. Khan, D. K. Thompson, J. Zhou: Constructing gene co-expression networs and predicting functions of unnown genes by random matrix theory. BMC bioinformatics, nr 1, vol. 8, 299, L. Ralaivola, S. J. Swamidass, H. Saigo, P. Baldi: Graph ernels for chemical informatics. Neural networs, nr 8, vol. 18, Graph-Based Representations in Pattern Recognition. Proc. Of 6 th IAPR-TC-15 International Worshop, LNCS 4538, K. R. Müller, S. Mia, G. Rätsh, K. Tsuda, B. Schölopf: An Introduction to Kernel-Based Learning Algorithms. IEEE Transactions on neural networs, nr 2, vol. 12, Harris C., Stephens M.: A combined corner and edge detector. Alvey vision conference, vol. 15, 50, D. J. Marchette: Random Graphs for Statistical Pattern Recognition. Wiley-Interscience, 2004.

15 Metody generacji i selecji cech grafu w rozpoznawaniu zdjęć satelitarnych R. C. Wilson, E. R. Hancoc, B. Luo: Pattern Vectors from Algebraic Graph Theory. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, nr 7, vol. 27, , R. C. Wilson, E. R. Hancoc, B. Luo: Spectral embedding of graphs. Pattern recognition, nr 10, vol. 36, , G. Kalna, D. J. Higham: Clustering coefficients for weighted networs. University of Strathclyde Mathematics Research report 3., S. Gunter, H. Bune: Validation indices for graph clustering. Pattern Recognition Letters, nr 8, vol. 24, , F. R. K Chung: Spectral Graph Theory. CBMS Regional Conference Series in Mathematics, nr 92. Ręopis dostarczono dnia r. Opiniował: dr hab. inż. Jace Starzyńsi METHODS FOR GRAPH FEATURE EXTRACTION IN SATELLITE PHOTO RECOGNITION W. CZECH ABSTRACT This paper presents a new method for satellite photos recognition using weighted-graph-based representation and graph feature extraction taing advantage of such graph descriptors as weighted clustering coefficient and weight disparity. The tests were performed on groups of satellite photos of cities obtained via Google Earth. The comparison of the new method with pure topological approach proves its higher efficiency in recognition process. Mgr inż. Wojciech CZECH student II rou studiów dotorancich Wydziału Eletrotechnii, Automatyi, Informatyi i Eletronii AGH, ierune Informatya. W 2007 r. uończył studia magistersie z informatyi na tym samym wydziale. Laureat I nagrody w XXIV Konursie PTI na najlepszą pracę magistersą z Informatyi. Jego zainteresowania nauowe to teoria sieci złożonych i zastosowania grafów w rozpoznawaniu obrazów.

16 58 W. Czech

MODYFIKACJA KOSZTOWA ALGORYTMU JOHNSONA DO SZEREGOWANIA ZADAŃ BUDOWLANYCH

MODYFIKACJA KOSZTOWA ALGORYTMU JOHNSONA DO SZEREGOWANIA ZADAŃ BUDOWLANYCH MODYFICJ OSZTOW LGORYTMU JOHNSON DO SZEREGOWNI ZDŃ UDOWLNYCH Michał RZEMIŃSI, Paweł NOW a a Wydział Inżynierii Lądowej, Załad Inżynierii Producji i Zarządzania w udownictwie, ul. rmii Ludowej 6, -67 Warszawa

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ LISTA ZADAŃ 1 1 Napisać w formie rozwiniętej następujące wyrażenia: 4 (a 2 + b +1 =0 5 a i b j =1 n a i b j =1 n =0 (a nb 4 3 (! + ib i=3 =1 2 Wyorzystując twierdzenie o

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Wykład 2: Kombinatoryka. Gniewomir Sarbicki

Matematyka dyskretna. Wykład 2: Kombinatoryka. Gniewomir Sarbicki Matematya dysretna Wyład 2: Kombinatorya Gniewomir Sarbici Kombinatorya Definicja Kombinatorya zajmuje się oreślaniem mocy zbiorów sończonych, w szczególności mocy zbiorów odwzorowań jednego zbioru w drugi

Bardziej szczegółowo

Wykorzystanie metody DEA w przestrzenno-czasowej analizie efektywności inwestycji

Wykorzystanie metody DEA w przestrzenno-czasowej analizie efektywności inwestycji Wyorzystanie metody DEA w przestrzenno-czasowej analizie... 49 Nierówności Społeczne a Wzrost Gospodarczy, nr 39 (3/04) ISSN 898-5084 dr Bogdan Ludwicza Katedra Finansów Uniwersytet Rzeszowsi Wyorzystanie

Bardziej szczegółowo

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM EORI OBWODÓW I SYGNŁÓW LBORORIUM KDEMI MORSK Katedra eleomuniacji Morsiej Ćwiczenie nr 2: eoria obwodów i sygnałów laboratorium ĆWICZENIE 2 BDNIE WIDM SYGNŁÓW OKRESOWYCH. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia

Bardziej szczegółowo

DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH

DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH Część 5. DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH... 5. 5. DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH 5.. Wprowadzenie Rozwiązywanie zadań z zaresu dynamii budowli sprowadza

Bardziej szczegółowo

PLAN WYKŁADU OPTYMALIZACJA GLOBALNA ALGORYTM MRÓWKOWY (ANT SYSTEM) ALGORYTM MRÓWKOWY. Algorytm mrówkowy

PLAN WYKŁADU OPTYMALIZACJA GLOBALNA ALGORYTM MRÓWKOWY (ANT SYSTEM) ALGORYTM MRÓWKOWY. Algorytm mrówkowy PLAN WYKŁADU Algorytm mrówowy OPTYMALIZACJA GLOBALNA Wyład 8 dr inż. Agniesza Bołtuć (ANT SYSTEM) Inspiracja: Zachowanie mrówe podczas poszuiwania żywności, Zachowanie to polega na tym, że jeśli do żywności

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 4 Badanie wpływu asymetrii obciążenia na pracę sieci

Ćwiczenie 4 Badanie wpływu asymetrii obciążenia na pracę sieci Ćwiczenie 4 - Badanie wpływu asymetrii obciążenia na pracę sieci Strona 1/13 Ćwiczenie 4 Badanie wpływu asymetrii obciążenia na pracę sieci Spis treści 1.Cel ćwiczenia...2 2.Wstęp...2 2.1.Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

PROCENTY, PROPORCJE, WYRAŻENIA POTEGOWE

PROCENTY, PROPORCJE, WYRAŻENIA POTEGOWE PROCENTY, PROPORCJE, WYRAŻENIA POTEGOWE ORAZ ŚREDNIE 1. Procenty i proporcje DEFINICJA 1. Jeden procent (1%) pewnej liczby a to setna część tej liczby, tórą oznacza się: 1% a, przy czym 1% a = 1 p a, zaś

Bardziej szczegółowo

Zofia MIECHOWICZ, Zielona Góra. v 1. v 2

Zofia MIECHOWICZ, Zielona Góra. v 1. v 2 Jest to zapis odczytu wygłoszonego na XLVIII Szole atematyi Poglądowej, Sojarzenia i analogie, Otwoc Śródborów, styczeń 22. W przestrzeni Zofia IECHOWICZ, Zielona Góra Naturalna analogia? Nie mylił się,

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja harmonogramów budowlanych - problem szeregowania zadań

Optymalizacja harmonogramów budowlanych - problem szeregowania zadań Mieczysław OŁOŃSI Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowisa, Szoła Główna Gospodarstwa Wiejsiego, Warszawa, ul. Nowoursynowsa 159 e-mail: mieczyslaw_polonsi@sggw.pl Założenia Optymalizacja harmonogramów

Bardziej szczegółowo

Ćw. 5. Badanie ruchu wahadła sprężynowego sprawdzenie wzoru na okres drgań

Ćw. 5. Badanie ruchu wahadła sprężynowego sprawdzenie wzoru na okres drgań KAEDRA FIZYKI SOSOWANEJ PRACOWNIA 5 FIZYKI Ćw. 5. Badanie ruchu wahadła sprężynowego sprawdzenie wzoru na ores drgań Wprowadzenie Ruch drgający naeży do najbardziej rozpowszechnionych ruchów w przyrodzie.

Bardziej szczegółowo

Prognozowanie notowań pakietów akcji poprzez ortogonalizację szeregów czasowych 1

Prognozowanie notowań pakietów akcji poprzez ortogonalizację szeregów czasowych 1 Prognozowanie notowań paietów acji poprzez ortogonalizację szeregów czasowych Andrzej Kasprzyci. WSĘP Dynamię rynu finansowego opisuje się indesami agregatowymi: cen, ilości i wartości. Indes giełdowy

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 10 METODA KOMPONOWANIA ZESPOŁU CZYNNIKI EFEKTYWNOŚCI SKŁADU ZESPOŁU

ROZDZIAŁ 10 METODA KOMPONOWANIA ZESPOŁU CZYNNIKI EFEKTYWNOŚCI SKŁADU ZESPOŁU Agniesza Dziurzańsa ROZDZIAŁ 10 METODA KOMPONOWANIA ZESPOŁU 10.1. CZYNNIKI EFEKTYWNOŚCI SKŁADU ZESPOŁU Przeprowadzona analiza formacji, jaą jest zespół (zobacz rozdział 5), wyazała, że cechy tóre powstają

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA PRZEPUSTOWOŚCI SIECI KOMPUTEROWYCH ZA POMOCĄ ALGORYTMÓW GENETYCZNYCH

OPTYMALIZACJA PRZEPUSTOWOŚCI SIECI KOMPUTEROWYCH ZA POMOCĄ ALGORYTMÓW GENETYCZNYCH OPTYMALIZACJA PRZEPUSTOWOŚCI SIECI KOMPUTEROWYCH ZA POMOCĄ ALGORYTMÓW GENETYCZNYCH Andrzej SZYMONIK, Krzysztof PYTEL Streszczenie: W złożonych sieciach omputerowych istnieje problem doboru przepustowości

Bardziej szczegółowo

RANKING ZAWODÓW DEFICYTOWYCH I NADWYŻKOWYCH W POWIECIE MIASTA ŚWIĘTOCHŁOWICE

RANKING ZAWODÓW DEFICYTOWYCH I NADWYŻKOWYCH W POWIECIE MIASTA ŚWIĘTOCHŁOWICE POWIATOWY URZĄD PRACY W ŚWIĘTOCHŁOWICACH RANKING ZAWODÓW DEFICYTOWYCH I NADWYŻKOWYCH W POWIECIE MIASTA ŚWIĘTOCHŁOWICE Stan na 2010 ro ŚWIĘTOCHŁOWICE 2011 1 SPIS TREŚCI I. WSTĘP II. ANALIZA ZAWODÓW OSÓB

Bardziej szczegółowo

Wykres linii ciśnień i linii energii (wykres Ancony)

Wykres linii ciśnień i linii energii (wykres Ancony) Wyres linii ciśnień i linii energii (wyres Ancony) W wyorzystywanej przez nas do rozwiązywania problemów inżyniersich postaci równania Bernoulliego występuje wysoość prędości (= /g), wysoość ciśnienia

Bardziej szczegółowo

Modelowanie przez zjawiska przybliżone. Modelowanie poprzez zjawiska uproszczone. Modelowanie przez analogie. Modelowanie matematyczne

Modelowanie przez zjawiska przybliżone. Modelowanie poprzez zjawiska uproszczone. Modelowanie przez analogie. Modelowanie matematyczne Modelowanie rzeczywistości- JAK? Modelowanie przez zjawisa przybliżone Modelowanie poprzez zjawisa uproszczone Modelowanie przez analogie Modelowanie matematyczne Przyłady modelowania Modelowanie przez

Bardziej szczegółowo

WSPOMAGANIE DECYZJI W OBSZARZE WYZNACZANIA TRAS POJAZDÓW

WSPOMAGANIE DECYZJI W OBSZARZE WYZNACZANIA TRAS POJAZDÓW DECYZJE nr 13 czerwiec 2010 WSPOMAGANIE DECYZJI W OBSZARZE WYZNACZANIA TRAS POJAZDÓW Paweł Hanczar* Uniwersytet Eonomiczny we Wrocławiu Streszczenie: Problem wyznaczania tras pojazdów jest znany już od

Bardziej szczegółowo

A i A j lub A j A i. Operator γ : 2 X 2 X jest ciągły gdy

A i A j lub A j A i. Operator γ : 2 X 2 X jest ciągły gdy 3. Wyład 7: Inducja i reursja struturalna. Termy i podstawianie termów. Dla uninięcia nieporozumień notacyjnych wprowadzimy rozróżnienie między funcjami i operatorami. Operatorem γ w zbiorze X jest funcja

Bardziej szczegółowo

Komputerowa reprezentacja oraz prezentacja i graficzna edycja krzywoliniowych obiektów 3d

Komputerowa reprezentacja oraz prezentacja i graficzna edycja krzywoliniowych obiektów 3d Komputerowa reprezentacja oraz prezentacja i graficzna edycja rzywoliniowych obietów 3d Jan Prusaowsi 1), Ryszard Winiarczy 1,2), Krzysztof Sabe 2) 1) Politechnia Śląsa w Gliwicach, 2) Instytut Informatyi

Bardziej szczegółowo

P k k (n k) = k {O O O} = ; {O O R} =

P k k (n k) = k {O O O} = ; {O O R} = Definicja.5 (Kombinacje bez powtórzeń). Każdy -elementowy podzbiór zbioru A wybrany (w dowolnej olejności) bez zwracania nazywamy ombinacją bez powtórzeń. Twierdzenie.5 (Kombinacje bez powtórzeń). Liczba

Bardziej szczegółowo

HIERARCHICZNY SYSTEM ZARZĄDZANIA RUCHEM LOTNICZYM - ASPEKTY OCENY BEZPIECZEŃSTWA

HIERARCHICZNY SYSTEM ZARZĄDZANIA RUCHEM LOTNICZYM - ASPEKTY OCENY BEZPIECZEŃSTWA Jace Sorupsi Hierarchiczny system Zarządzania ruchem lotniczym aspety oceny bezpieczeństwa, Logistya (ISSN 1231-5478) No 6, Instytut Logistyi i HIERARCHICZNY SYSTEM ZARZĄDZANIA RUCHEM LOTNICZYM - ASPEKTY

Bardziej szczegółowo

WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII.

WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII. ĆWICZENIE 3. WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII. 1. Oscylator harmoniczny. Wprowadzenie Oscylatorem harmonicznym nazywamy punt materialny, na tóry,działa siła sierowana do pewnego centrum,

Bardziej szczegółowo

AiSD zadanie trzecie

AiSD zadanie trzecie AiSD zadanie trzecie Gliwiński Jarosław Marek Kruczyński Konrad Marek Grupa dziekańska I5 5 czerwca 2008 1 Wstęp Celem postawionym przez zadanie trzecie było tzw. sortowanie topologiczne. Jest to typ sortowania

Bardziej szczegółowo

Metody optymalizacji nieliniowej (metody programowania nieliniowego) Ewa Niewiadomska-Szynkiewicz Instytut Automatyki i Informatyki Stosowanej

Metody optymalizacji nieliniowej (metody programowania nieliniowego) Ewa Niewiadomska-Szynkiewicz Instytut Automatyki i Informatyki Stosowanej Metody optymalizacji nieliniowej metody programowania nieliniowego Ewa Niewiadomsa-Szyniewicz Instytut Automatyi i Inormatyi Stosowanej Ewa Niewiadomsa-Szyniewicz ens@ia.pw.edu.pl Instytut Automatyi i

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Informacje podstawowe 1. Konsultacje: pokój

Bardziej szczegółowo

Analiza korespondencji

Analiza korespondencji Analiza korespondencji Kiedy stosujemy? 2 W wielu badaniach mamy do czynienia ze zmiennymi jakościowymi (nominalne i porządkowe) typu np.: płeć, wykształcenie, status palenia. Punktem wyjścia do analizy

Bardziej szczegółowo

Data Mining Wykład 9. Analiza skupień (grupowanie) Grupowanie hierarchiczne O-Cluster. Plan wykładu. Sformułowanie problemu

Data Mining Wykład 9. Analiza skupień (grupowanie) Grupowanie hierarchiczne O-Cluster. Plan wykładu. Sformułowanie problemu Data Mining Wykład 9 Analiza skupień (grupowanie) Grupowanie hierarchiczne O-Cluster Plan wykładu Wprowadzanie Definicja problemu Klasyfikacja metod grupowania Grupowanie hierarchiczne Sformułowanie problemu

Bardziej szczegółowo

METODY INŻYNIERII WIEDZY

METODY INŻYNIERII WIEDZY METODY INŻYNIERII WIEDZY WALIDACJA KRZYŻOWA dla ZAAWANSOWANEGO KLASYFIKATORA KNN ĆWICZENIA Adrian Horzyk Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej

Bardziej szczegółowo

13. 13. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

13. 13. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3. 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3.. Metoda trzech momentów Rozwiązanie wieloprzęsłowych bele statycznie niewyznaczalnych można ułatwić w znaczącym

Bardziej szczegółowo

Sieci złożone: definicje i przykłady

Sieci złożone: definicje i przykłady Anna Chmiel Sieci złożone: definicje i przyłady Świat sieci złożonych Od fizyi do Internetu Agata Froncza, Piotr Froncza Statistical mechanics of complex networs Réa Albert and Albert-László Barabási Rev.

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM 4: Wpływ operatorów mutacji na skuteczność poszukiwań AE

LABORATORIUM 4: Wpływ operatorów mutacji na skuteczność poszukiwań AE Instytut Mechanii i Inżynierii Obliczeniowej Wydział Mechaniczny Technologiczny, Politechnia Śląsa www.imio.polsl.pl OBLICZENIA EWOLUCYJNE LABORATORIUM 4: Wpływ operatorów mutacji na suteczność poszuiwań

Bardziej szczegółowo

METODY CHEMOMETRYCZNE W IDENTYFIKACJI ŹRÓDEŁ POCHODZENIA

METODY CHEMOMETRYCZNE W IDENTYFIKACJI ŹRÓDEŁ POCHODZENIA METODY CHEMOMETRYCZNE W IDENTYFIKACJI ŹRÓDEŁ POCHODZENIA AMFETAMINY Waldemar S. Krawczyk Centralne Laboratorium Kryminalistyczne Komendy Głównej Policji, Warszawa (praca obroniona na Wydziale Chemii Uniwersytetu

Bardziej szczegółowo

Michał Kozielski Łukasz Warchał. Instytut Informatyki, Politechnika Śląska

Michał Kozielski Łukasz Warchał. Instytut Informatyki, Politechnika Śląska Michał Kozielski Łukasz Warchał Instytut Informatyki, Politechnika Śląska Algorytm DBSCAN Algorytm OPTICS Analiza gęstego sąsiedztwa w grafie Wstępne eksperymenty Podsumowanie Algorytm DBSCAN Analiza gęstości

Bardziej szczegółowo

σ-ciało zdarzeń Niech Ω będzie niepustym zbiorem zdarzeń elementarnych, a zbiór F rodziną podzbiorów zbioru Ω spełniającą warunki: jeśli A F, to A F;

σ-ciało zdarzeń Niech Ω będzie niepustym zbiorem zdarzeń elementarnych, a zbiór F rodziną podzbiorów zbioru Ω spełniającą warunki: jeśli A F, to A F; Zdarzenie losowe i zdarzenie elementarne Zdarzenie (zdarzenie losowe) - wyni pewnej obserwacji lub doświadczenia; może być ilościowy lub jaościowy. Zdarzenie elementarne - najprostszy wyni doświadczenia

Bardziej szczegółowo

koszt kapitału D/S L dźwignia finansowa σ EBIT zysku operacyjnego EBIT firmy. Firmy Modele struktury kapitału Rys. 8.3. Krzywa kosztów kapitału.

koszt kapitału D/S L dźwignia finansowa σ EBIT zysku operacyjnego EBIT firmy. Firmy Modele struktury kapitału Rys. 8.3. Krzywa kosztów kapitału. Modele strutury apitału oszt apitału Optymalna strutura apitału dźwignia finansowa / Rys. 8.3. Krzywa osztów apitału. Założenia wspólne modeli MM Modigliani i Miller w swoich rozważaniach ograniczyli się

Bardziej szczegółowo

ZASADY WYZNACZANIA BEZPIECZNYCH ODSTĘPÓW IZOLACYJNYCH WEDŁUG NORMY PN-EN 62305

ZASADY WYZNACZANIA BEZPIECZNYCH ODSTĘPÓW IZOLACYJNYCH WEDŁUG NORMY PN-EN 62305 ZASADY WYZNACZANIA BEZPIECZNYCH ODSTĘPÓW IZOLACYJNYCH WEDŁUG NORMY PN-EN 62305 Henry Boryń Politechnia Gdańsa ODSTĘPY IZOLACYJNE BEZPIECZNE Zadania bezpiecznego odstępu izolacyjnego to: ochrona przed bezpośrednim

Bardziej szczegółowo

(U.3) Podstawy formalizmu mechaniki kwantowej

(U.3) Podstawy formalizmu mechaniki kwantowej 3.10.2004 24. (U.3) Podstawy formalizmu mechanii wantowej 33 Rozdział 24 (U.3) Podstawy formalizmu mechanii wantowej 24.1 Wartości oczeiwane i dyspersje dla stanu superponowanego 24.1.1 Założenia wstępne

Bardziej szczegółowo

Agnieszka Nowak Brzezińska

Agnieszka Nowak Brzezińska Agnieszka Nowak Brzezińska jeden z algorytmów regresji nieparametrycznej używanych w statystyce do prognozowania wartości pewnej zmiennej losowej. Może również byd używany do klasyfikacji. - Założenia

Bardziej szczegółowo

ZADANIE 52 INTERFERENCYJNY POMIAR KRZYWIZNY SOCZEWKI (pierścienie Newtona) Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest wyznaczenie, przy znanej długości fali

ZADANIE 52 INTERFERENCYJNY POMIAR KRZYWIZNY SOCZEWKI (pierścienie Newtona) Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest wyznaczenie, przy znanej długości fali ZADANIE 52 INTERFERENCYJNY POMIAR KRZYWIZNY SOCZEWKI (pierścienie Newtona) Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest wyznaczenie, przy znanej długości fali świetlnej, promienia rzywizny soczewi płaso-wypułej

Bardziej szczegółowo

RMSD - Ocena jakości wybranych molekularnych struktur przestrzennych

RMSD - Ocena jakości wybranych molekularnych struktur przestrzennych RMSD - Ocena jakości wybranych molekularnych struktur przestrzennych Joanna Wiśniewska Promotor: dr inż. P. Łukasiak Spis treści 1. Zakres pracy magisterskiej 2. Struktura białka 3. Struktura kwasów nukleionowych

Bardziej szczegółowo

jednoznacznie wyznaczają wymiary wszystkich reprezentacji grup punktowych, a związki ortogonalności jednoznacznie wyznaczają ich charaktery

jednoznacznie wyznaczają wymiary wszystkich reprezentacji grup punktowych, a związki ortogonalności jednoznacznie wyznaczają ich charaktery Reprezentacje grup puntowych związi pomiędzy h i n a jednoznacznie wyznaczają wymiary wszystich reprezentacji grup puntowych, a związi ortogonalności jednoznacznie wyznaczają ich charatery oznaczenia:

Bardziej szczegółowo

IDZ DO KATALOG KSI EK TWÓJ KOSZYK CENNIK I INFORMACJE CZYTELNIA PRZYK ADOWY ROZDZIA SPIS TRE CI KATALOG ONLINE ZAMÓW DRUKOWANY KATALOG

IDZ DO KATALOG KSI EK TWÓJ KOSZYK CENNIK I INFORMACJE CZYTELNIA PRZYK ADOWY ROZDZIA SPIS TRE CI KATALOG ONLINE ZAMÓW DRUKOWANY KATALOG IDZ DO PRZYK ADOWY ROZDZIA KATALOG KSI EK ZAMÓW DRUKOWANY KATALOG Wydawnictwo Helion ul. Chopina 6 44-100 Gliwice tel. (32)230-98-63 e-mail: helion@helion.pl TWÓJ KOSZYK CENNIK I INFORMACJE ZAMÓW INFORMACJE

Bardziej szczegółowo

Wpływ zamiany typów elektrowni wiatrowych o porównywalnych parametrach na współpracę z węzłem sieciowym

Wpływ zamiany typów elektrowni wiatrowych o porównywalnych parametrach na współpracę z węzłem sieciowym Wpływ zamiany typów eletrowni wiatrowych o porównywalnych parametrach na współpracę z węzłem sieciowym Grzegorz Barzy Paweł Szwed Instytut Eletrotechnii Politechnia Szczecińsa 1. Wstęp Ostatnie ila lat,

Bardziej szczegółowo

Klasyfikator. ˆp(k x) = 1 K. I(ρ(x,x i ) ρ(x,x (K) ))I(y i =k),k =1,...,L,

Klasyfikator. ˆp(k x) = 1 K. I(ρ(x,x i ) ρ(x,x (K) ))I(y i =k),k =1,...,L, Klasyfikator Jedną z najistotniejszych nieparametrycznych metod klasyfikacji jest metoda K-najbliższych sąsiadów, oznaczana przez K-NN. W metodzie tej zaliczamy rozpoznawany obiekt do tej klasy, do której

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNO-PRZYRODNICZY W BYDGOSZCZY WYDZIŁ INŻYNIERII MECHNICZNEJ INSTYTUT EKSPLOTCJI MSZYN I TRNSPORTU ZKŁD STEROWNI ELEKTROTECHNIK I ELEKTRONIK ĆWICZENIE: E2 POMIRY PRĄDÓW I NPIĘĆ W

Bardziej szczegółowo

Metody komputerowe i obliczeniowe Metoda Elementów Skoczonych. Element jednowymiarowy i jednoparametrowy : spryna

Metody komputerowe i obliczeniowe Metoda Elementów Skoczonych. Element jednowymiarowy i jednoparametrowy : spryna Metody omputerowe i obliczeniowe Metoda Elementów Soczonych Element jednowymiarowy i jednoparametrowy : spryna Jest to najprostszy element: współrzdne loalne i globalne jego wzłów s taie same nie potrzeba

Bardziej szczegółowo

(x j x)(y j ȳ) r xy =

(x j x)(y j ȳ) r xy = KORELACJA. WSPÓŁCZYNNIKI KORELACJI Gdy w badaniu mamy kilka cech, często interesujemy się stopniem powiązania tych cech między sobą. Pod słowem korelacja rozumiemy współzależność. Mówimy np. o korelacji

Bardziej szczegółowo

Wykład 9. Fizyka 1 (Informatyka - EEIiA 2006/07)

Wykład 9. Fizyka 1 (Informatyka - EEIiA 2006/07) Wyład 9 Fizya 1 (Informatya - EEIiA 006/07) 9 11 006 c Mariusz Krasińsi 006 Spis treści 1 Ruch drgający. Dlaczego właśnie harmoniczny? 1 Drgania harmoniczne proste 1.1 Zależność między wychyleniem, prędością

Bardziej szczegółowo

1. RACHUNEK WEKTOROWY

1. RACHUNEK WEKTOROWY 1 RACHUNEK WEKTOROWY 1 Rozstrzygnąć, czy możliwe jest y wartość sumy dwóch wetorów yła równa długości ażdego z nich 2 Dane są wetory: a i 3 j 2 ; 4 j = + = Oliczyć: a+, a, oraz a 3 Jai ąt tworzą dwa jednaowe

Bardziej szczegółowo

WPŁYW SZUMÓW KOLOROWYCH NA DZIAŁANIE FILTRU CZĄSTECZKOWEGO

WPŁYW SZUMÓW KOLOROWYCH NA DZIAŁANIE FILTRU CZĄSTECZKOWEGO ELEKTRYKA 2012 Zeszyt 3-4 (223-224) Ro LVIII Piotr KOZIERSKI Instytut Automatyi i Inżynierii Informatycznej, Politechnia Poznańsa Marcin LIS Instytut Eletrotechnii i Eletronii Przemysłowej, Politechnia

Bardziej szczegółowo

METODA PROJEKTOWANIA REJONU ZMIANY KIERUNKU TRASY KOLEJOWEJ

METODA PROJEKTOWANIA REJONU ZMIANY KIERUNKU TRASY KOLEJOWEJ Problemy Kolejnictwa Zeszyt 5 97 Prof. dr hab. inż. Władysław Koc Politechnia Gdańsa METODA PROJEKTOWANIA REJONU ZMIANY KIERUNKU TRASY KOLEJOWEJ SPIS TREŚCI. Wprowadzenie. Ogólna ocena sytuacji geometrycznej

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne

Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne Wydział PRACOWNA FZYCZNA WFi AGH mię i nazwiso 1.. Temat: Ro Grupa Zespół Nr ćwiczenia Data wyonania Data oddania Zwrot do popr. Data oddania Data zaliczenia OCENA Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne Cel

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE ALGORYTMÓW GENETYCZNYCH DO OPTYMALIZACJI SIECI KOMPUTEROWYCH

ZASTOSOWANIE ALGORYTMÓW GENETYCZNYCH DO OPTYMALIZACJI SIECI KOMPUTEROWYCH Algorytmy genetyczne, optymalizacja sieci omputerowych Krzysztof Pytel Grzegorz Klua Jerzy Kisilewicz*** ZASTOSOWANIE ALGORYTMÓW GENETYCZNYCH DO OPTYMALIZACJI SIECI KOMPUTEROWYCH W artyule zaproponowano

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład XII: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 12 maja 2014 Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie. Standaryzacją zmiennej X nazywamy zmienną losową Z = X EX Var (X ). Definicja

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA? /9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

Colloquium 3, Grupa A

Colloquium 3, Grupa A Colloquium 3, Grupa A 1. Z zasobów obliczeniowych pewnego serwera orzysta dwóch użytowniów. Każdy z nich wysyła do serwera zawsze trzy programy naraz. Użytowni czea, aż serwer wyona obliczenia dotyczące

Bardziej szczegółowo

Pattern Classification

Pattern Classification Pattern Classification All materials in these slides were taken from Pattern Classification (2nd ed) by R. O. Duda, P. E. Hart and D. G. Stork, John Wiley & Sons, 2000 with the permission of the authors

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 1 Opracowanie danych pomiarowych 1

ROZDZIAŁ 1 Opracowanie danych pomiarowych 1 ROZDZIAŁ 1 Opracowanie danych pomiarowych 1 Andrzej Zięba Pomiary wielości fizycznych mogą być doonywane tylo ze sończoną doładnością. Powodem tego jest niedosonałość przyrządów pomiarowych i nieprecyzyjność

Bardziej szczegółowo

REFERAT PRACY MAGISTERSKIEJ Symulacja estymacji stanu zanieczyszczeń rzeki z wykorzystaniem sztucznych sieci neuronowych.

REFERAT PRACY MAGISTERSKIEJ Symulacja estymacji stanu zanieczyszczeń rzeki z wykorzystaniem sztucznych sieci neuronowych. REFERAT PRACY MAGISTERSKIEJ Symulacja estymacji stanu zanieczyszczeń rzei z wyorzystaniem sztucznych sieci neuronowych. Godło autora pracy: EwGron. Wprowadzenie. O poziomie cywilizacyjnym raju, obo wielu

Bardziej szczegółowo

Statystyki teoriografowe grafów funkcjonalnych w sieciach neuronowych

Statystyki teoriografowe grafów funkcjonalnych w sieciach neuronowych Statystyki teoriografowe grafów funkcjonalnych w sieciach neuronowych Wydział Matematyki i Informatyki, UMK 2011-12-21 1 Wstęp Motywacja 2 Model 3 4 Dalsze plany Referencje Motywacja 1 Wstęp Motywacja

Bardziej szczegółowo

166 Wstęp do statystyki matematycznej

166 Wstęp do statystyki matematycznej 166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Analiza rozkładu sił reakcji podłoża podczas dynamicznie stabilnego chodu robota dwunożnego

Analiza rozkładu sił reakcji podłoża podczas dynamicznie stabilnego chodu robota dwunożnego Pomiary Automatya obotya 7-8/2009 Analiza rozładu sił reacji podłoża podczas dynamicznie stabilnego chodu robota dwunożnego Teresa Zielińsa Maciej T. Trojnaci Praca stanowi ontynuację badań opisanych w

Bardziej szczegółowo

Metoda rozwiązywania układu równań liniowych z symetryczną, nieokreśloną macierzą współczynników ( 0 )

Metoda rozwiązywania układu równań liniowych z symetryczną, nieokreśloną macierzą współczynników ( 0 ) MATEMATYKA STOSOWANA 7, 2006 Izabella Czochralsa (Warszawa) Metoda rozwiązywania uładu równań liniowych z symetryczną, nieoreśloną macierzą współczynniów ( 0 ) Streszczenie. W pracy zaadaptowano opracowaną

Bardziej szczegółowo

Adrian Horzyk

Adrian Horzyk Metody Inteligencji Obliczeniowej Metoda K Najbliższych Sąsiadów (KNN) Adrian Horzyk horzyk@agh.edu.pl AGH Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej

Bardziej szczegółowo

Temat: Prawo Hooke a. Oscylacje harmoniczne. Zagadnienia: prawa dynamiki Newtona, siła sprężysta, prawo Hooke a, oscylacje harmoniczne,

Temat: Prawo Hooke a. Oscylacje harmoniczne. Zagadnienia: prawa dynamiki Newtona, siła sprężysta, prawo Hooke a, oscylacje harmoniczne, sg M 6-1 - Teat: Prawo Hooe a. Oscylacje haroniczne. Zagadnienia: prawa dynaii Newtona, siła sprężysta, prawo Hooe a, oscylacje haroniczne, ores oscylacji. Koncepcja: Sprężyna obciążana różnyi asai wydłuża

Bardziej szczegółowo

Relaksacja. Chem. Fiz. TCH II/19 1

Relaksacja. Chem. Fiz. TCH II/19 1 Relasaja Relasaja oznaza powrót uładu do stanu równowagi po zaburzeniu równowagi pierwotnej jaimś bodźem (wielośią zewnętrzną zmieniająą swoją wartość soowo, np. stężenie jednego z reagentów, iśnienie

Bardziej szczegółowo

FOLIA POMERANAE UNIVERSITATIS TECHNOLOGIAE STETINENSIS TURYSTYKA W SZCZECINIE W ODNIESIENIU DO BADAŃ ANKIETOWYCH

FOLIA POMERANAE UNIVERSITATIS TECHNOLOGIAE STETINENSIS TURYSTYKA W SZCZECINIE W ODNIESIENIU DO BADAŃ ANKIETOWYCH FOLIA POMERANAE UNIVERSITATIS TECHNOLOGIAE STETINENSIS Folia Pomer. Univ. Technol. Stetin., Oeconomica 2014, 308(74)1, 17 28 Iwona Bą, Beata Szczecińsa* TURYSTYKA W SZCZECINIE W ODNIESIENIU DO BADAŃ ANKIETOWYCH

Bardziej szczegółowo

Pomiary napięć przemiennych

Pomiary napięć przemiennych LABORAORIUM Z MEROLOGII Ćwiczenie 7 Pomiary napięć przemiennych . Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest poznanie sposobów pomiarów wielości charaterystycznych i współczynniów, stosowanych do opisu oresowych

Bardziej szczegółowo

Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego 2013 r. Test matematyczno-przyrodniczy (matematyka) Test GM-M1-132

Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego 2013 r. Test matematyczno-przyrodniczy (matematyka) Test GM-M1-132 Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego 2013 r. Test matematyczno-przyrodniczy (matematyka) Test GM-M1-132 Zestaw zadań z zakresu matematyki posłużył w dniu 24 kwietnia 2013 roku do sprawdzenia u uczniów

Bardziej szczegółowo

Ochrona odgromowa obiektów budowlanych. Nowe wymagania wprowadzane przez normy

Ochrona odgromowa obiektów budowlanych. Nowe wymagania wprowadzane przez normy Ochrona odgromowa obietów budowlanych. Nowe wymagania wprowadzane przez normy serii PN-EN 62305 Andrzej Sowa Politechnia Białostoca Podstawowym zadaniem urządzenia piorunochronnego jest przejęcie i odprowadzenie

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Badanie stacjonarności szeregów czasowych w programie GRETL

Badanie stacjonarności szeregów czasowych w programie GRETL Badanie stacjonarności szeregów czasowych w programie GRETL Program proponuje następujące rodzaje testów stacjonarności zmiennych:. Funcję autoorelacji i autoorelacji cząstowej 2. Test Diceya-Fullera na

Bardziej szczegółowo

WYODRĘBNIANIE ZAWODÓW DEFICYTOWYCH I NADWYŻKOWYCH INSTRUMENTEM DOSTOSOWANIA KIERUNKÓW KSZTAŁCENIA DO POTRZEB RYNKU PRACY? REFLEKSJA KRYTYCZNA

WYODRĘBNIANIE ZAWODÓW DEFICYTOWYCH I NADWYŻKOWYCH INSTRUMENTEM DOSTOSOWANIA KIERUNKÓW KSZTAŁCENIA DO POTRZEB RYNKU PRACY? REFLEKSJA KRYTYCZNA Rafał Muster Uniwersytet Śląsi w Katowicach WYODRĘBNIANIE ZAWODÓW DEFICYTOWYCH I NADWYŻKOWYCH INSTRUMENTEM DOSTOSOWANIA KIERUNKÓW KSZTAŁCENIA DO POTRZEB RYNKU PRACY? REFLEKSJA KRYTYCZNA Wprowadzenie Na

Bardziej szczegółowo

Koła rowerowe kreślą fraktale

Koła rowerowe kreślą fraktale 26 FOTON 114, Jesień 2011 Koła rowerowe reślą fratale Mare Berezowsi Politechnia Śląsa Od Redacji: Fratalom poświęcamy ostatnio dużo uwagi. W Fotonach 111 i 112 uazały się na ten temat artyuły Marcina

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

Algorytmy decyzyjne będące alternatywą dla sieci neuronowych

Algorytmy decyzyjne będące alternatywą dla sieci neuronowych Algorytmy decyzyjne będące alternatywą dla sieci neuronowych Piotr Dalka Przykładowe algorytmy decyzyjne Sztuczne sieci neuronowe Algorytm k najbliższych sąsiadów Kaskada klasyfikatorów AdaBoost Naiwny

Bardziej szczegółowo

Ocena siły przetargowej w negocjacjach. Evaluation of Bargaining Power JEL: M19. Andrzej Kozina 1. Abstrakt. Abstract

Ocena siły przetargowej w negocjacjach. Evaluation of Bargaining Power JEL: M19. Andrzej Kozina 1. Abstrakt. Abstract Management and Business Administration. Central Europe Vol. 22, No. 3(126): p. 72 84, ISSN 2084 3356, Copyright by Kozminsi University Ocena siły przetargowej w negocjacjach Andrzej Kozina 1 Nadesłany:

Bardziej szczegółowo

Równania rekurencyjne 1 RÓWNANIA REKURENCYJNE

Równania rekurencyjne 1 RÓWNANIA REKURENCYJNE Równania reurencyjne 1 RÓWNANIA REKURENCYJNE 1 Ciągi arytmetyczne i geometryczne Z najprostszymi równaniami reurencyjnymi zetnęliśmy się już w szole Zacznijmy od przypomnienia definicji ciągu arytmetycznego

Bardziej szczegółowo

Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów

Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów Wykład 3. Własności grafów 1 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2). 2 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2).

Bardziej szczegółowo

Metody wielokryterialnego wyboru i konstrukcji rankingów uwzględniających cele regionalne związane z realizacją Narodowej Strategii Spójności

Metody wielokryterialnego wyboru i konstrukcji rankingów uwzględniających cele regionalne związane z realizacją Narodowej Strategii Spójności Metody wieloryterialnego wyboru i onstrucji raningów uwzględniających cele regionalne związane z realizacją Narodowej Strategii Spójności Materiały opracowane w ramach umowy nr DKS/DEF-VIII/POPT/04/273/09

Bardziej szczegółowo

Grafowy model bazy danych na przykładzie GOOD

Grafowy model bazy danych na przykładzie GOOD GOOD p. 1/1 Grafowy model bazy danych na przykładzie GOOD (Graph-Oriented Object Database Model) Marcin Jakubek GOOD p. 2/1 Plan prezentacji Przykłady modeli danych Zastosowania Inne modele grafowe Wizualizacja

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE METODY MONTE CARLO DO WYZNACZANIA KRZYWYCH KINETYCZNYCH ZŁOŻONYCH REAKCJI CHEMICZNYCH

ZASTOSOWANIE METODY MONTE CARLO DO WYZNACZANIA KRZYWYCH KINETYCZNYCH ZŁOŻONYCH REAKCJI CHEMICZNYCH MONIKA GWADERA, KRZYSZTOF KUPIEC ZASTOSOWANIE METODY MONTE CARLO DO WYZNACZANIA KRZYWYCH KINETYCZNYCH ZŁOŻONYCH REAKCJI CHEMICZNYCH APPLICATION OF MONTE CARLO METHOD FOR DETERMINATION OF MULTIPLE REACTIONS

Bardziej szczegółowo

ANALIZA LOGARYTMICZNYCH STÓP ZWROTU DLA WYBRANYCH SPÓŁEK INDEKSU WIG20

ANALIZA LOGARYTMICZNYCH STÓP ZWROTU DLA WYBRANYCH SPÓŁEK INDEKSU WIG20 Agniesza Surowiec Politechnia Lubelsa Wydział Zarządzania Katedra Metod Ilościowych w Zarządzaniu a.surowiec@pollub.pl Witold Rzymowsi Politechnia Lubelsa Wydział Podstaw Technii Katedra Matematyi Stosowanej

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 4. Zagadnienia: spektroskopia emisyjna, budowa i działanie spektrofluorymetru, widma. Wstęp. Część teoretyczna.

Ćwiczenie 4. Zagadnienia: spektroskopia emisyjna, budowa i działanie spektrofluorymetru, widma. Wstęp. Część teoretyczna. Ćwiczenie 4 Wyznaczanie wydajności wantowej emisji. Wpływ długości fali wzbudzenia oraz ształtu uweti i jej ustawienia na intensywność emisji i na udział filtru wewnętrznego. Zagadnienia: spetrosopia emisyjna,

Bardziej szczegółowo

Porównanie wybranych miar kontrastu obrazów achromatycznych

Porównanie wybranych miar kontrastu obrazów achromatycznych KWS 00 87 Porównanie wybranych miar ontrastu obrazów achromatycznych Artur Ba Streszczenie: W artyue poruszono zagadnienie oceny ontrastu achromatycznych obrazów cyfrowych. W pracy przedstawiono porównanie

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Twierdzenie 2.1 Niech G będzie grafem prostym

Bardziej szczegółowo

SCENARIUSZ LEKCJI. TEMAT LEKCJI: Zastosowanie średnich w statystyce i matematyce. Podstawowe pojęcia statystyczne. Streszczenie.

SCENARIUSZ LEKCJI. TEMAT LEKCJI: Zastosowanie średnich w statystyce i matematyce. Podstawowe pojęcia statystyczne. Streszczenie. SCENARIUSZ LEKCJI OPRACOWANY W RAMACH PROJEKTU: INFORMATYKA MÓJ SPOSÓB NA POZNANIE I OPISANIE ŚWIATA. PROGRAM NAUCZANIA INFORMATYKI Z ELEMENTAMI PRZEDMIOTÓW MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZYCH Autorzy scenariusza:

Bardziej szczegółowo

METODY SKALOWANIA WIELOWYMIAROWEGO OBIEKTÓW SYMBOLICZNYCH

METODY SKALOWANIA WIELOWYMIAROWEGO OBIEKTÓW SYMBOLICZNYCH Marcin Pełka Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu METODY SKALOWANIA WIELOWYMIAROWEGO OBIEKTÓW SYMBOLICZNYCH 1. Wprowadzenie Metody skalowania wielowymiarowego obiektów symbolicznych, podobnie jak w przypadku

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie rozmiaro w przeszko d i szczelin za pomocą s wiatła laserowego

Wyznaczanie rozmiaro w przeszko d i szczelin za pomocą s wiatła laserowego Ćwiczenie v.x3.1.16 Wyznaczanie rozmiaro w przeszo d i szczelin za pomocą s wiatła laserowego 1 Wstęp teoretyczny Wyznaczanie rozmiarów szczelin i przeszód za pomocą światła oparte jest o zjawisa dyfracji

Bardziej szczegółowo

1 Macierze i wyznaczniki

1 Macierze i wyznaczniki 1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)

Bardziej szczegółowo

RANKING ZAWODÓW DEFICYTOWYCH I NADWYŻKOWYCH W ZABRZU ZA ROK 2008

RANKING ZAWODÓW DEFICYTOWYCH I NADWYŻKOWYCH W ZABRZU ZA ROK 2008 P o w i a t o w y U r z ą d P r a c y w Z a b r z u RANKING ZAWODÓW DEFICYTOWYCH I NADWYŻKOWYCH W ZABRZU ZA ROK 2008 POWIATOWY RAPORT ROCZNY II/P/2008 CZĘŚĆ DIAGNOSTYCZNA Zabrze 2009 Raning zawodów deficytowych

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja wielokryterialna

Optymalizacja wielokryterialna Optymalizacja wielokryterialna Optymalizacja wielokryterialna Dział badań operacyjnych zajmujący się wyznaczaniem optymalnej decyzji w przypadku, gdy występuje więcej niż jedno kryterium Problem wielokryterialny

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna Zadania

Matematyka Dyskretna Zadania Matematya Dysretna Zadania Jace Cichoń Politechnia Wrocławsa, WPPT Wrocław 015 1 Wstęp 11 Oznaczenia [n] = {1,, n} [] = {X P ( : X = } (x = 1 j=0 (x j, (x = 1 (x + j Zadanie 1 j=0 Poaż za pomocą inducji

Bardziej szczegółowo

Dwufazowy system monitorowania obiektów. Karina Murawko, Michał Wiśniewski

Dwufazowy system monitorowania obiektów. Karina Murawko, Michał Wiśniewski Dwufazowy system monitorowania obiektów Karina Murawko, Michał Wiśniewski Instytut Grafiki Komputerowej i Systemów Multimedialnych Wydziału Informatyki Politechniki Szczecińskiej Streszczenie W artykule

Bardziej szczegółowo

AUTOREFERAT ROZPRAWY DOKTORSKIEJ

AUTOREFERAT ROZPRAWY DOKTORSKIEJ POLITECHNIKA OPOLSKA WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI AUTOREFERAT ROZPRAWY DOKTORSKIEJ Reducja modeli obietów sterowania z zastosowaniem obliczeń równoległych na przyładzie modelu otła

Bardziej szczegółowo

Deep Learning na przykładzie Deep Belief Networks

Deep Learning na przykładzie Deep Belief Networks Deep Learning na przykładzie Deep Belief Networks Jan Karwowski Zakład Sztucznej Inteligencji i Metod Obliczeniowych Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych PW 20 V 2014 Jan Karwowski (MiNI) Deep Learning

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie zespołów prądotwórczych do awaryjnego zasilania obiektów budowlanych mgr inż. Julian Wiatr CKSI i UE SEP

Zastosowanie zespołów prądotwórczych do awaryjnego zasilania obiektów budowlanych mgr inż. Julian Wiatr CKSI i UE SEP astosowanie zespołów prądotwórczych do awaryjnego zasilania obietów budowlanych mgr inż. Julian Wiatr CKSI i UE SE 1. odział odbiorniów energii eletrycznej na ategorie zasilania i ułady zasilania obietu

Bardziej szczegółowo