Zofia MIECHOWICZ, Zielona Góra. v 1. v 2

Transkrypt

1 Jest to zapis odczytu wygłoszonego na XLVIII Szole atematyi Poglądowej, Sojarzenia i analogie, Otwoc Śródborów, styczeń 22. W przestrzeni Zofia IECHOWICZ, Zielona Góra Naturalna analogia? Nie mylił się, z pewnością, Stefan Banach, mówiąc, że dobry matematy potrafi dostrzegać analogie między twierdzeniami, matematy wybitny analogie między teoriami, zaś matematy genialny analogie między analogiami. Jeżeli jesteś Czytelniu, matematyiem wybitnym bądź genialnym i analogia, tórej chcemy poświęcić ten artyuł będzie wydawać Ci się oczywista, bardzo prosimy, żebyś mimo wszysto nie poprzestawał na leturze tego wstępu. Być może uda nam się przeonać Cię, że ma ona znacznie głębsze onsewencje, niż to się może na pierwszy rzut oa wydawać. Analogia między zwyłym zbiorem a przestrzenią liniową wydaje się być naturalna. Zbiór jest ze swej natury obietem prostszym do badania niż przestrzeń i wiemy o nim więcej. Soro już dostrzegliśmy więc tę naturalną analogię możemy spróbować pozbierać znane faty na temat zbiorów i brutalnie zastąpić słowo zbiór słowem przestrzeń, słowo podzbiór słowem podprzestrzeń a słowo moc słowem wymiar. Oazuje się, że w bardzo wielu przypadach faty i twierdzenia na temat zbiorów literalnie przeładają się na twierdzenia dotyczące przestrzeni liniowych (choć te drugie są zazwyczaj o wiele trudniejsze do udowodnienia)! Spróbujmy przyjrzeć się bliżej, ja mocno są związane ze sobą te dwa obiety matematyczne. Ile tego jest? Jedno z pierwszych pytań, tóre zadajemy sobie, iedy zaczynamy badać struturę zbiorów brzmi: Ile jest -elementowych podzbiorów n-elementowego zbioru? Już na wczesnym etapie przygody z matematyą dowiadujemy się, że liczba ta wraża się poprzez współczynni dwumianowy Newtona ( n ). Ja będzie wyglądało analogiczne pytanie w świecie przestrzeni? Soro moc zbioru ma być odpowiedniiem wymiaru, załóżmy, że poruszamy się po n-wymiarowej przestrzeni nad sończonym, -elementowym ciałem F. Pytanie zadane wcześniej będzie teraz brzmiało: Ile jest -wymiarowych podprzestrzeni przestrzeni n-wymiarowej? ożemy liczbę tę oznaczyć roboczo przez ( ) n. Podprzestrzeń -wymiarową jednoznacznie wyznacza wetorów niezależnych {v,..., v }. Ponieważ poruszamy się po przestrzeni nad ciałem sończonym, to wyznaczenie liczby taich -te sprowadza się do prostego przeliczenia. Wybierzmy najpierw wetor v. Jedyne, o co musimy się zatroszczyć, to żeby był on różny od wetora zerowego. Ze wszystich n wetorów, tóre są dostępne musimy wyluczyć tylo ten jeden. amy więc: v n Na wetor v 2 mamy już odrobinę mniej andydatów. Nie może on należeć do podprzestrzeni rozpinanej przez wetor v. Elementów tej podprzestrzeni jest tyle, na ile sposobów możemy pomnożyć ten wetor przez element ciała F, więc: v 2 n Wetor v 3 z olei nie może należeć do podprzestrzeni rozpiętej przez oba wcześniej wybrane. Wyluczamy więc doładnie 2 wetorów. v 3 n 2 Kiedy wybraliśmy już l wetorów, olejny po prostu nie może być ombinacją liniową poprzednich, w związu z czym mamy już tylo n l możliwości. v l+ n l 29

2 Różnych -te wetorów niezależnych mamy więc: ( n )( n )( n 2 )... ( n ) Oczywiście część z nich generuje te same podprzestrzenie. Każdą podprzestrzeń wymiaru możemy uzysać na tyle sposobów, ile różnych -te wetorów niezależnych w niej znajdziemy, a wiemy doładnie ile jest taich -te (przed chwilą właśnie to policzyliśmy!): ( )( )( 2 )... ( ) Zliczając różne zbiory wetorów niezależnych, ażdą podprzestrzeń dostaliśmy doładnie tyle razy. Ostatecznie szuana przez nas liczba -wymiarowych podprzestrzeni przestrzeni n-wymiarowej wyraża się następująco: ( n ) = (n )( n )... ( n ) ( )( )... ( ). Wzór ten nie jest nowy, a dobór oznaczenia nie jest przypadowy. Formuła ta nazywana jest współczynniiem dwumianowym Gaussa, a pierwszy raz została użyta przez tego słynnego matematya do znalezienia wzoru na ta zwane sumy Gaussa. Ale czy ma ona, oprócz nazwy, jaiś bliższy związe ze współczynniiem dwumianowym Newtona? Przyjrzyjmy się bliżej. Jeżeli potratujemy ( ) n ja funcję zmiennej rzeczywistej i zaczniemy ją badać, bardzo szybo, stosując chociażby regułę de l Hospitala, odryjemy, że ( ) ( n n lim = Widzimy więc wyraźnie, że coś jest na rzeczy. Tylo, po analitycznym podejściu do sprawy trudno nam powiedzieć coś oprócz tego, że zależność (tórej z resztą się spodziewaliśmy) istnieje. A gdybyśmy chcieli poczuć jej istotę? Zrozumieć charater? usimy się wtedy udać po pomoc do Donalda Knutha, tóry podszedł do sprawy z zupełnie innej strony. Spróbujmy jeszcze raz zliczyć podprzestrzenie wymiaru, tym razem innym sposobem. Po pierwsze umieśćmy wetory v,..., v w macierzy, jao jej wiersze. Taą macierz możemy, poprzez elementarne operacje na wierszach, sprowadzić do ta zwanej zreduowanej postaci schodowej (rysune ). ). æ ç ç è v ö... elementarne v ø operacje na wierszach æ ç ç è ö ø Rysune : Zreduowana postać schodowa Zreduowana postać schodowa ma następujące cechy charaterystyczne: pierwszy niezerowy element od lewej w ażdym wierszu to (będziemy nazywać ją wiodącą) wszystie pozostałe elementy w olumnie, w tórej jest jedyna wiodąca to zera w ażdym wierszu jedyna wiodąca pojawia się na prawo od jedyni wiodącej w poprzednim wierszu ożemy przyjąć, że jeżeli wiersze dwóch taich macierzy generują tę samą przestrzeń, to macierze te są sobie równe. Zliczenie wszystich interesujących nas podprzestrzeni sprowadza się więc do policzenia, ile jest różnych zreduowanych macierzy schodowych. Żeby to policzyć, spróbujmy usunąć z taiej macierzy wszysto, co zbędne. Z pewnością zbędne są wszystie zera, na lewo od jedyne wiodących. ożemy je więc bezarnie usunąć (rysune 2). 3

3 Rysune 2: Usunięcie elementów zerowych na lewo od jedyne wiodących Kolumny zawierające wiodące jedyni również nie będą miały dla nas znaczenia. Pozbądźmy się więc ich brutalnie (rysune 3) Rysune 3: Usunięcie olumn zawierających jedyni wiodące Została nam w tej chwili macierz zawierająca puste pola, oraz pewne liczby. Ta naprawdę nie interesuje nas jaie to są liczby. ożemy więc ażdą liczbę zastąpić gwiazdą. n- Rysune 4: Diagram λ Otrzymaliśmy pewien diagram o wymiarach na n (rysune 4). Oznaczmy pojedynczy diagram przez λ, a liczbę gwiazde w nim, przez λ i spróbujmy ten proces odwrócić. Kolumny z jedynami wiodącymi wstawiamy w sposób jednoznaczny. Ta samo możliwości manewru nie mamy, przy umieszczaniu zer po ich lewej stronie. Natomiast gwiazdi możemy zastąpić elementami ciała F na wszystie możliwe sposoby, tórych jest doładnie λ (rysune 5). dowolnie Rysune 5: Powrót do macierzy 3

4 I ta oto dochodzimy do wniosu, że różnych zreduowanych macierzy schodowych, a więc również podprzestrzeni -wymiarowych przestrzeni n-wymiarowej jest: ( ) n = λ λ n Pozostało nam jeszcze tylo policzyć ile jest różnych diagramów o λ gwiazdach. Jeżeli przyjrzymy się doładnie pojedynczemu diagramowi (i wyonamy obrót o 9 ), to zobaczymy, że w istocie jest to to samo co ta zwany diagram Ferrersa. Obiety te są znane matematyom od dawna i doładnie zbadane. Diagramy Ferrersa reprezentują podziały liczby naturalnej n na sładniów n = a + a a (przy czym liczby a i są nierozróżnialne) i służą do wyznaczania liczby taich podziałów (rysune 6). n a a 2 a 3 Rysune 6: Diagram Ferrersa dla n = 7 Ile jest taich diagramów, policzyć jest łatwo. ożemy diagram utożsamić z linią łamaną stanowiącą jego prawostronny obrys (rysune 6). Żeby dostać taą linię, z n rese, tóre musimy postawić musimy wybrać doładnie rese poziomych, możemy więc to zrobić na ( n ) sposobów. Soro już potrafimy policzyć ile jest różnych diagramów o mocy λ, to możemy śmiało przejść, do interesującej nas granicy. ( ) n lim = lim λ = ( ) n = Ramsey w przestrzeni λ n λ n Każdy, to pragnie zgłębiać tajemnice matematyi, iedy już przebrnie przez pierwsze ombinatoryczne ursy, natnie się z pewnością na doniosłe twierdzenie Ramseya. Żeby je dobrze zrozumieć zacznijmy od prostej obserwacji. Obserwacja. Kolorując dowolnie dwoma olorami rawędzie grafu pełnego K 6 zawsze znajdziemy jednoolorową induowaną lię K 3. Dowód. Przyjmijmy, że olory, tórych używamy, to czerwony i niebiesi. Popatrzmy na dowolny wierzchołe lii K 6. Ponieważ wychodzi z niego doładnie 5 rawędzi, co najmniej 3 z nich muszą otrzymać ten sam olor (powiedzmy czerwony). Ponieważ wszystie te rawędzie są czerwone, więc ich ońce nie mogą być połączone rawędzią w tym olorze, gdyż otrzymalibyśmy czerwony trójąt. Soro ta, trzy wierzchołi na drugich ońcach czerwonych rawędzi muszą być połączone rawędziami w olorze niebiesim, co daje nam trójąt niebiesi (rysune 7). 32

5 ? niebiesi czerwony Rysune 7: Kawałe grafu K 6 i częściowe olorowanie Z drugiej strony wiemy, że rawędzie lii K 5 możemy poolorować dwoma olorami ta, żeby nie otrzymać jednobarwnego trójąta (możesz to, Czytelniu, potratować jao proste ćwiczenie). Widzimy więc, że 6 jest najmniejszą taą liczbą, że przy dowolnym dwuolorowaniu rawędzi grafu pełnego na tyluż wierzchołach otrzymamy monochromatyczny trójąt. Stąd już bardzo bliso do twierdzenia Ramseya. Twierdzenie. Dla ażdego istnieje taa liczba n, że przy dowolnym dwuolorowaniu rawędzi grafu pełnego K n znajdziemy jednoolorową induowaną lię K. Najmniejsze taie n oznaczamy przez R() i nazywamy -tą liczbą Ramseya. Wbrew temu, co może się wydawać po prześledzeniu wcześniejszego, prostego przyładu znajdowanie liczb Ramseya nie jest wcale proste. Do tej pory matematyom udało się wyznaczyć doładne wartości jedynie dla trzech pierwszych. R(2) = 4 R(3) = 6 R(4) = 8 Problem pojawia się już przy R(5). Potrafimy obecnie jedynie podać wąsi przedział, w tórym się ona znajduje (43 R(5) 49) i nie zanosi się na to, żeby w najbliższym czasie ten stan rzeczy miał ulec zmianie. Tym co nas interesuje nie jest jedna samo twierdzenie Ramseya, a przeniesienie go w przestrzeń (zgodnie z obietnicą ja najbardziej dosłowne). żeby to zrobić musimy jedna twierdzenie przeformułować z języa grafów, na języ zbiorów. Twierdzenie 2. Dla ażdej liczby naturalnej s istnieje taa liczba naturalna n = R(s), że dla dowolnego dwuolorowania dwuelementowych podzbiorów zbioru {,..., n} istnieje s-elementowy podzbiór {,..., n}, tórego wszystie dwuelementowe podzbiory są w tym samym olorze. 33

6 Tym razem zamiast rawędzi grafu olorujemy dwuelementowe podzbiory raty podzbiorów zbioru n-elementowego (rysune 8). {,2,3,4} {,2,3} {,2,4} {,3,4} {2,3,4} {,2} {,3} {,4} {2,3} {2,4} {3,4} {} {2} {3} {4} { } Rysune 8: Krata podzbiorów zbioru {, 2, 3, 4} Ameryańsi matematy włosiego pochodzenia Gian-Carlo Rota wyraził przypuszczenie, że twierdzenie to pozostanie prawdziwe, jeżeli ratę podzbiorów zastąpimy przez ratę podprzestrzeni przestrzeni wetorowej. Twierdzenie przyjmie wtedy postać: Twierdzenie 3. Dla dowolnych liczb naturalnych s, t, istnieje taa liczba naturalna n, że dla dowolnego -olorowania t-wymiarowych podprzestrzeni przestrzeni n-wymiarowej znajdziemy s-wymiarową przestrzeń, tórej wszystie t-wymiarowe podprzestrzenie są jednobarwne. W 97 rou twierdzenie to udowodnili Ronald Graham i Bruce Rothschild (za co dostali nagrodę Polyi). Zgodnie z oczeiwaniami, mimo że twierdzenie Ramseya w oryginalnej wersji ma dowód, tóry bez problemu mogą przyswoić studenci na pierwszych ursach matematyi, twierdzenie w wersji przestrzennej jest dużo trudniejsze do udowodnienia. Wymaga zaawansowanego aparatu matematycznego, natomiast liczby Ramsey a-grahama (odpowiednii liczb Ramsey a) są pratycznie niemożliwe do wyznaczenia. Dość powiedzieć, że najlepsze w tej chwili znane oszacowanie najmniejszej z nich jest dane przez Liczbę Grahama, tóra została oficjalnie wpisana do sięgi reordów Guinnessa jao najwięsza liczba na świecie. nożąc przyłady Z pewnością ażdy matematy, niezależnie od specyfii dziedziny jaą się zajmuje, natnął się na tego typu przyłady. Twierdzenia i faty, tóre zupełnie dosłownie przenoszą się ze świata zbiorów w świat przestrzeni. Gdybyśmy chcieli szuać przyczyn taiego zachowania, prawdopodobnie winą za te faty obarczymy ratową struturę obu obietów. Gdyby toś jedna nie chciał poprzestawać na speulacjach i miał ochotę poznać dogłębnie istotę tego zjawisa, to pozostał jeszcze cały szereg podobnych twierdzeń do udowodnienia w przestrzeni (dla przyładu, hipoteza wymienionego wcześniej Gian Carlo Roty o bazach). O ile nie przeraża Cię, Czytelniu, domniemana sala trudności problemów w przestrzeni, zachęcamy do badań i poszuiwań. 34