Sieci złożone: definicje i przykłady

Transkrypt

1 Anna Chmiel Sieci złożone: definicje i przyłady

2 Świat sieci złożonych Od fizyi do Internetu Agata Froncza, Piotr Froncza Statistical mechanics of complex networs Réa Albert and Albert-László Barabási Rev. Mod. Phys. 74, 47 (2002)

3 DEFINICJE (1) i =1 i =2 stopień węzła i liczba rawędzi połączona z węzłem i rawędzie i =3 i =2 p() prawdopodobieństwo, że losowo wybrany węzeł ma stopień <> średni stopień węzła w sieci i =2 i =2 p() 1 1/6 2 4/6 3 1/6 <>=2 węzły 1 N max min i N i 1 p i d

4 DEFINICJE (2) Macierz sąsiedztwa macierz połączeń pomiędzy węzłami. Jeżeli istnieje lin to pomiędzy węzłem i a węzłem j to A(i,j)= Dla sieci nie sierowanych macierz jest symetryczna.

5 DEFINICJE (3) droga l ij najmniejsza liczba rawędzi pomiędzy węzłami i oraz j <l> średnia droga l N i N 1 j N 2 l ij 1 i 1 j 1 N <l>=2.06(6)

6 DEFINICJE (4) 6 5 współczynni gronowania c i stosune liczby połączeń pomiędzy najbliższymi sąsiadami węzła i do masymalnej liczby taich połączeń c 3 =1/3 3 4 c i i 2Ei 1 i 2 1 czyli jest to również prawdopodobieństwo, że dowolna para sąsiadów jest połączona I C i 1 1 1/ c=0.33(3)

7 DEFINICJE (5) Korelacje dwuwęzłowe (ang degree-degree corelation) Sieci złożone: definicje i przyłady i P P P j j j i j i ) ( ), ( ) ( 2 2 j i j i j i r ) ( ) ( i j j i nn P j j Współczynni orelacji linowej Pearsona Średni stopień najbliższego sąsiada węzła i

8

9 DEFINICJE (6) Modularność sieci Community detection in graphs,s Fortunato Physics reports 486 (3),

10

11 Sieć chorób dla osób w wieu lat

12 Sieć dla osób w wieu lat I10 SAMOISTNE (PIERWOTNE) NADCIŚNIENIE F17 UZALEŻNIE OD PALENIA TYTONIU

13 MODELE (1) łańcuch p( ), 1 l ~ N D siata

14 MODELE (2) Erdos-Renyi (grafy przypadowe) N węzłów ażdą parę łączymy z prawdopodobieństwem p <>=2 * liczba rawędzi / liczba węzłów tzn. N N 1 2 p p 1 2N N pn p() rozład Poissona z masimum dla <> c N p l ~ 1 ln N

15 MODELS (3) Watts- Strogatz D. J. Watts,S. H. Strogatz, Collective dynamics of small-world networs Nature 393, (1998)

16 1999 Barabasi i jego grupa Dane dotyczące linów pomiędzy stronami WWW Rozład potęgowy p() Małe wartości <l> p ( ) ~

17 MODELS (4 ) BA model preferencyjnego dołączania Zaczynamy z m 0 węzłów połączonych ze sobą W ażdej chwili czasu t do sieci dochodzi jeden węzeł, tóry m rawędziami łączy się z pozostałymi Prawdopodobieństwo Π i, że nowy wierzchołe dołączy się do węzła i jest proporcjonalne do stopnia tego węzła i i j j t=0 t=1 t=2 t=3 t=4 t=5 Po przejściu do ciągłego czasu t i stopni można napisać równanie na zmianę wartości stopnia i i t 2t tóre prowadzi do wyznaczenia rozładu p() p( ) 2m 2 3

18 A.-L. Barabási, R. Albert, H. Jeong Mean-field theory for scale-free random networs Physica A 272, (1999) p( ) 3 Sieci rzeczywiste maja zróżnicowane wyładni salowanie Model BA daje bardzo nisi współczynni gronowanie (np. sieci społeczne maja bardzo wysoie współczynnii gronowania Model BA daje się sieci bez orelacji dwuwęzłowych.

19 Sieci rzeczywiste Potęgowy rozład p() jest charaterystyczny dla wielu różnych uładów: SIEĆ ROUTERÓW

20 Sieci rzeczywiste SIEĆ SPOŁECZNA WYNALZCÓW

21 Sieci rzeczywiste SIEĆ ODDZIAŁYWAŃ POMIĘDZY PROTEINAMI

22 J. Sieniewicz, J. A. Hołyst Statistical analysis of 22 public transport networs in Poland Phys. Rev. E 72, (2005)

23 POZA TYM sieci teleomuniacyjne połączenia telefoniczne; sieci transportowe; sieci cytowań i współautorstwa artyułów; sieci poarmowe; sieci lingwistyczne; sieci ontatów sesualnych... sieci spółe giełdowych.

24 1. Sieci ważone (ang weighted networ) s i =2 s i =1 W=1 s i =5 W=1 W=1 s i =4 s i =3 W=1 W=3 W=2 s i =3 j i j 1 s i w ij Waga linu Siła węzła Gdy nie ma orelacji pomiędzy wagi a stopniami węzła s( ) w Rozład wag Rozład siły p(w) prawdopodobieństwo, że losowo wybrana rawędź ma wagę w p(s) prawdopodobieństwo, że losowo wybrany węzeł ma siłę s

25 A.Chmiel, K. Kowalsa, J.A.Hołyst Scaling of human behavior during portal browsing Physical Review E 80, (2009). Dane pochodzą z dwóch polsich portali internetowych z dnia oraz z tygodnia Portale podzielone są na podstrony taie ja Sport, Giełda, Wiadomości gospodarcze it Ważona sieć przepływów użytowniów portali Węzły podstrony Sport, wiadomości itp. Lin przynajmniej jedna osoba obejrzała i a potem j Waga linu -

26 Rozład wag Rozład siły P ( w) w P ( s) s 1.5 1

27 Korelacje wag ze stopniami węzłów w sieciach ważonych A.Barrat, M. Barthelemy R.Pastor-Satorras and A.Vespignani,The archiecture of complex weighted networs, PNAS 101 no (2004)

28 Korelacje miedzy siła a stopniem węzła

29 Droga w sieciach ważonych Droga dająca minimalną bądź masymalną sumę wag w zależności od znaczenia wag Min (sum wij) - np. gdy wij czasem podróży Max (sum wij) - np. gdy wij woty transacji dij - odległość geograficzna pomiędzy miastami wij- liczba pasażerów podróżujących Vulnerability of weighted networs Luca Dall'Asta, Alain Barrat, Marc Barthélemy and Alessandro Vespignani Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment,Volume (2006)

30 Współczynni gronowania dla sieci ważonych a) Barrat et al PNAS b) Onnela et al. Physical Review E 2005 c) Zhang et al

31 2. Sieci Sierowane (directed networ) p(_in) prawdopodobieństwo, że losowo wybrany węzeł ma stopień _in _in=3 _out=0 p(_out) prawdopodobieństwo, że losowo wybrany węzeł ma stopień _out Motywy w sieciach sierowanych _in=1 _out=1 _in=0 _out=2

32 3. Sieci temporalne sieci czasowe Temporal networs Petter Holme Jari Saramäi Physics Reports Vol 519, Pages (2012)

33

34

35 4 Sieci wielopoziomowe a)mutilayer networ L-poziomów intra-layer lin and inter-layer lin. The structure and dynamics of multilayer networs S. Boccaletti, G. Bianconi, R. Criado, C.I. del Genio J. Gómez-Gardeñes, M. Romance, I. Sendiña-Nadal Z. Wang, M. Zanin Physics Reports Volume 544, Issue 1, 1 November 2014, Pages 1 122

36 4 Sieci wielopoziomowe b)multiplex Networs Sieć wielopoziomowa jest to sieć, w tórej występuje wiele poziomów (ażdy z nich charateryzuje się innym rodzajem połączeń), a połączenia pomiędzy poziomami występują dla tego samego węzła w różnych warstwach. Ten sam węzeł na różnych poziomach bywa również oreślany jao węzeł lustro/odbicie ( counterpart ). Nie ażdy węzeł musi posiadać swoje lustro na wszystich poziomach sieci.

37 Projecja aggregation operation L2 L1 Overlapping L3 Overlapping of levels multiplicative operation Przerycia (ang. overlapping); sieć utworzona za pomocą taiej operacji jest iloczynem poziomów rawędź występuje w niej tylo wtedy jeżeli pojawiała się jednocześnie na wszystich rozważanych poziomach sieci wielopoziomowej. Projecję sieci wielopoziomowej na sieć jednolitą, rawędź pomiędzy wierzchołami występuje, jeżeli choć na jednym poziome zaistniało połączenie między wierzchołami. Projecja ważona uwzględnia ilość połączeń na poziomach waga połączenia równa jest liczbie połączeń występujących w poziomach

38 Transport multiplex networs Level 1: flights Level 2: road connections Level 1: bus connections Level 2: subway connections

39 Social multiplex networs Level 1: Online contacts Level 2: calls Level 3: personal contacts Level 1: Faceboo Level 2: Twiter

40 Epidemic spreading in multiplex networs The upper layer (virtual contact) is supporting the spreading of awareness, nodes have two possible states: unaware (U) or aware (A). The lower layer (physical contact) corresponds to the networ where the epidemic spreading taes place. The nodes are the same actors, but here their state can be: susceptible (S) or infected (I) C. Granell, S. Gomez and A. Arenas Dynamical interplay between awareness and epidemic spreading in multiplex networs, Phys. Rev. Lett. 111, (2013).

41 CS-AARHUS 5 layers Multiplex Nodes: 61 Edges: 620 The multiplex social networ consists of five inds of online and offline relationships (Faceboo, Leisure, Wor, Co-authorship, Lunch) between the employees of Computer Science department at Aarhus Ref: Matteo Magnani, Barbora Micenova, Luca Rossi - Combinatorial Analysis of Multiple Networs. arxiv: (2013)

42 Jaccard index współczynni podobieństwa Jaccarda mierzy podobieństwo między dwoma zbiorami i jest zdefiniowany jao iloraz mocy części wspólnej zbiorów i mocy sumy tych zbiorów: Ref: Matte Magnani, Barbora Micenova, Luca Rossi - Combinatorial Analysis of Multiple Networs. arxiv: (2013) Jeśli współczynni Jaccarda przyjmuje wartości blisie zeru, zbiory są od siebie różne, natomiast przyjmując wartości blisie 1, zbiory są do siebie podobne.

43 Jaccard index for CS-AARHUS

44 Relacja pomiędzy stopniami węzłów w różnych poziomami Measuring and modeling correlations in multiplex networs Vincenzo Nicosia and Vito Latora Phys. Rev. E 92, (2015)

45 Person corrlation bettwen layer Measuring and modeling correlations in multiplex networs Vincenzo Nicosia and Vito Latora Phys. Rev. E 92, (2015)

46

47

48

49 Dzięuje za uwagę