Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego

Transkrypt

1 Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego część III Analiza rozwiązania uzyskanego metodą simpleksową 7. Analiza rozwiązania zadania programowania liniowego uzyskanego metodą simpleksową Dla rozwiązujacego zadanie programowania liniowego istotne znaczenie ma możliwość interpretacji i analizy wyników uzyskanych przy stosowaniu metody simpleksowej. Warunkiem istotnym poprawnego przeprowadzenia takich analiz jest zrozumienie dlaczego i jak "działa" metoda simpleksowa. Z tablicy obliczeniowej metody simpleksowej, bądź bezpośrednio, bądź przy pomocy prostych obliczeń uzupełniających można uzyskać informację o: rozwiązaniu optymalnym, statusie poszczególnych zasobów, cenności każdego z zasobów, wrażliwości rozwiązania optymalnego na zmiany wielkości zasobów, wrażliwości rozwiązania optymalnego na zmiany współczynników funkcji celu, Informację odnoszące się do pierwszych trzech punktów można uzyskać bezpośrednio z tablicy obliczeniowej metody simpleksowej. Uzyskanie informacji odnoszącej się do następnych punktów wymaga dodatkowych obliczeń. Dla ilustracji możliwości uzyskania wymienionych wyżej informacji posłużymy się rozważanym już zadaniem optymalizacji planu produkcji firmy produkującej farby. Przypomnijmy to zadanie. Przykład. Pewna firma produkuje dwa rodzaje farb: dla prac wewnętrznych (I) i zewnętrznych (E). Wyprodukowane farby kierowane są do sprzedaży hurtowej. Do produkcji farb stosuje się dwa surowce A i B. Maksymalne dostępne dziennie ilości tych surowców Kazimierz Duzinkiewicz

2 wynoszą odpowiednio 6 i 8 t. Zużycie surowców A i B na jedną tonę odpowiedniej farby podaje tabela. Surowiec Zużycie surowca w tonach Maksymalna na tonę farby dostępna dziennie Farba E Farba I ilość surowca A 6 B 8 Badanie rynku pokazało, że dzienny popyt na farbę I nigdy nie przewyższa popytu na farbę E o więcej niż tonę. Poza tym ustalono, że popyt na farbę I nigdy nie przekracza ton na dobę. Ceny hurtowe jednej tony farb są równe: 3j.p. dla farby E, i j.p. dla farby I. Jakie ilości farby E i I powinna produkować firma, aby dochód z produkcji był maksymalny? Rozwiązując to zadanie można wyróżnic dwie działalności: produkcja farby E i produkcja farby I. Jako zmienne decyzyjne dla tych działalności dogodnie jest przyjąć: - dzienna produkcja farby E w tonach; - dzienna produkcja farby I w tonach. Funkcja celu: Ograniczenia: Zmaksymalizować z 3 Zasoby dzienne surowca A 6 Zasoby dzienne surowca B 8 Różnica popytu na farbę I i E Popyt na farbę I Warunki nieujemności, Kazimierz Duzinkiewicz

3 Zadanie to zapisane w postaci standardowej wygląda następująco: Ma z 3 przy ograniczeniach: ,,..., 6 Tablice obliczeniowe dla kolejnych kroków metody simpleksowej przedstawione są na rys.7.. Rys.7.. Przykład. Tablice obliczeniowe kolejnych kroków metody simpleksowej Interpretacja geometryczna realizacji tych kroków przedstawiona jest na rys.7.. Kazimierz Duzinkiewicz 3

4 Rys.7.. Przykład. Interpretacja geometryczna kolejnych kroków metody simpleksowej 7.. Rozwiązanie optymalne Z punktu widzenia praktycznego wykorzystania wyników rozwiązania zadania programowania liniowego podział zmiennych na bazowe i niebazowe nie jest istotny i przy przedstawianiu rozwiązania optymalnego nie musi być uwzględniany. Zmienne nie występujące w kolumnie "Zmienna bazowa" tablicy obliczeniowej mają wartość zero. Wartości pozostałych zmiennych znajdują się w kolumnie "Rozwiązanie". Wykorzystując dane zawarte w tablicy obliczeniowej rozwiązanie optymalne zadania planowania produkcji dla firmy produkującej farby można przedstawić w następującej tabeli: Kazimierz Duzinkiewicz 4

5 Zmienne decyzyjne Wartości optymalne Decyzja z Wielkość produkcji farby E powinna być równa 3 3 t na dobę Wielkość produkcji farby I powinna być równa 3 t na dobę Dochód z realizacji produkcji będzie wynosić 3 j.p. na dobę 7.. Status zasobu Rozwiązując graficznie nasze przykładowe zadanie wprowadziliśmy podział zasobów na deficytowe i niedeficytowe, w zależności od tego, czy dla punktu rozwiązania optymalnego odpowiadające danemu zasobowi ograniczenie było aktywne czy nieaktywne. Teraz informację o tym, czy dany zasób jest deficytowy czy nie, chcielibyśmy uzyskać z tablicy obliczeniowej. Musimy jednak najpierw uczynić pewną uwagę. Mówiąc o zasobach występujących w zadaniu programowania liniowego, rozumiemy pod tym terminem składniki dla których określone są pewne maksymalne wielkości tych składników. Dla zasobów zatem, w tym rozumieniu, w pierwotnym sformułowaniu zadania programowania liniowego występować będą ograniczenia ze znakiem. Wynika z tego, że ograniczenia ze znakiem lub nie mogą być uważane za ograniczenia na zasoby. Ograniczenia ze znakiem wyrażają zwykle warunek, że rozwiązanie powinno spełniać pewne wymagania np. zapewniać pewną minimalną podaż. Ograniczenia ze znakiem wyrażają zwykle warunki bilansowania się określonego składnika. W przykładowym zadaniu występują cztery ograniczenia ze znakiem. Pierwsze dwa warunki określają "istotne" ograniczenia na wielkości zasobów. Dwa następne odnoszą się do popytu. Warunki te można rozważać jak ograniczenia na odpowiadające im "zasoby", ponieważ zwiększenie popytu na produkcję jest równoważne poszerzeniu "obecności" firmy na rynku. Z punktu widzenia środków finansowych sytuacja taka powoduje takie same skutki, jak zwiększenie wielkości określonych zasobów (surowców) - wymaga podziału dodatkowych nakładów. Kazimierz Duzinkiewicz 5

6 Status zasobu (czy jest on deficytowy czy niedeficytowy) dla zadania programowania liniowego można okreslić zwracając uwagę na wartości zmiennych uzupełniających w końcowej tablicy obliczeniowej, które odpowiadają określonym zasobom. W zadaniu przykładowym mamy: Zasób Zmienna uzupełniająca Status zasobu Surowiec A Surowiec B Nadwyżka popytu na farbę I nad popytem na farbę E Popyt na farbę I Deficytowy Deficytowy Niedeficytowy Niedeficytowy Ilustracja graficzna odpowiadająca odpowiadająca tym danym przedstawiona jest na rys.7.3. Dodatnia wartość zmiennej uzupełniającej wskazuje na niepełne wykorzystanie określonego zasobu, co oznacza, że jest on niedeficytowy. Jeżeli zmienna uzupełniająca odpowiadająca określonemu zasobowi jest równa zeru, to świadczy to o pełnym wykorzystaniu dostępnej ilości tego zasobu, a zatem zasób ten jest deficytowy. Z przedstawionej tablicy wynika, że zasoby, trzeci i czwarty, związane z możliwościami zbytu produktów, są niedeficytowe. Dowolne powiększenie wielkości tych zasobów powyżej aktualnych wartości spowoduje jedynie, że staną się one jeszcze bardziej niedeficytowe. Rozwiązanie optymalne zadania pozostanie przy tym niezmienione. Zasoby, pierwszy i drugi, związane z dostępnymi ilościami surowców A i B, są deficytowe. Powiększenie wielkości tych zasobów pozwoli poprawić otrzymane rozwiązanie - zwiekszyć dochód. W związku z tym uzasadnione jest postawienie pytania: ilość którego z zasobów deficytowych należy powiększać w pierwszej kolejności, aby uzyskać największy przyrost dochodu? Kazimierz Duzinkiewicz 6

7 Rys.7.3. Przykład. Status zasobów dla rozwiązania optymalnego 7.3. Cenność zasobu Cenność zasobu charakteryzuje się wielkością poprawienia aktualnej optymalnej wartości funkcji celu z przypadającą na jednostkę przyrostu ilości określonego zasobu. Graficzna metoda określania cenności zasobu dla rozważanego przykładowego zadania została podana w rozdziale (drugie zadanie analizy wrażliwości). Otrzymaliśmy wówczas następujące wyniki zawarte w tabeli: Zasób Rodzaj zasobu Wartość i j.p./t Deficytowy 3 Deficytowy Niedeficytowy 3 4 Niedeficytowy 4 Kazimierz Duzinkiewicz 7

8 Informacja ta zawarta jest również w końcowej tablicy obliczeniowej przykładowego zadania. Zwroćmy uwagę na wartości współczynników wiersza przekształconej funkcji celu z odpowiadające zmiennym uzupełniającym niedoboru,, i Zmienne z 0 Wiersz przekształconej funkcji celu Wartości tych współczynników (, 4 3 3, 0, 0 ) odpowiadają dokładnie wartościom,, i. Nie jest to zbieżność przypadkowa. Weźmy z-równanie tablicy 3 4 obliczeniowej dla rozwiązania optymalnego: z Wzrost w kierunku wartości dodatnich zmiennej np. 3 od jej aktualnej wartości ( 3 ) prowadzi do proporcjonalnego zmniejszenia wartości funkcji celu z, przy czym współczynnik proporcjonalności wynosi 3 j.p./t. Jak wynika jednak z pierwszego ograniczenia przykładowego zadania 6 3 zwiększenie wartości 3 powoduje zmniejszenie wykorzystania zasobu (surowca A). Ponieważ operujemy zależnościami liniowymi, możemy twierdzić, że zwiększenie wykorzystania zasobu (zmniejszenie wartości zmiennej 3 ) będzie prowadzić do proporcjonalnego zwiększenia wartości funkcji celu z, ze współczynnikiem proporcjonalności 3 j.p./t. Analogiczne rozważania można oczywiście przeprowadzić dla zasobu (surowiec B). Cenność zasobów 3 i 4 wynosi zero, czego należało się spodziewać ponieważ są to zasoby niedeficytowe. Wynik taki uzyska się zawsze, kiedy odpowiadające zasobowi, zmienne uzupełniające niedoboru przyjmują w rozwiązaniu optymalnym wartości dodatnie. Kazimierz Duzinkiewicz 8

9 Podsumowanie: Cenność zasobów zadania programowania liniowego odpowiada współczynnikom przy zmiennych początkowej bazy, które znajdują się w wierszu przekształconej funkcji celu. Ponieważ poszczególne zmienne uzupełniające niedoboru związane są zawsze z jednym zasobem (ograniczeniem na ten zasób) identyfikacja odpowiedniości zasób - współczynnik nie powinna sprawiać trudności. Cennościom zasobów ze względu na ich wyraźnie ekonomiczną naturę nadaje się często specjalne nazwy: ceny fikcyjne, ceny przetargowe itp. W teorii programowania liniowego mają one nazwę: oceny dualne. Ceność zasobu charakteryzuje jedynie intensywność poprawienia aktualnej optymalnej wartości funkcji celu z. Nie określony jest jednak przedział zmian wielkości zasobów przy którym ta intensywność pozostaje stała. Dla większości praktycznych zadań należy spodziewać się istnienia górnej granicy takiego przedziału, po przekroczeniu której odpowiednie ograniczenie staje się zbędne, co oczywiście prowadzi do nowego rozwiązania bazowego i nowych wartości cenności zasobów Maksymalne zmiany wielkości zasobu Przy podejmowaniu decyzji, wielkość którego z zasobów należy powiększać, kierujemy się wartościami cenności zasobów (cenami dualnymi). Aby określić przedział zmian wielkości określonego zasobu, dla którego cena dualna tego zasobu, występująca w końcowej tablicy obliczeniowej metody simpleksowej, nie ulegnie zmianie, należy wykonać pewne dodatkowe obliczenia. Omówimy najpierw odpowiednie procedury obliczeniowe, a potem pokażemy, w jaki sposób potrzebna informacja może być uzyskana z tablicy obliczeniowej. Załóżmy, że w przykładowym zadaniu wielkość zasobu (surowca A) zmienia się o, to znaczy zasób tego surowca wynosi 6. Przy dodatniej wartości wielkość zasobu wzrasta, przy ujemnej - maleje. Zwykle bada się sytuację wzrostu wielkości zasobu ( ). Dla uzyskania ogólnego wyniku rozważymy obydwa przypadki. Jak zmieni się tablica obliczeniowa metody simpleksowej przy zmianie wielkości zasobu o? Najprościej odpowiedzieć na to pytanie wprowadzając do wektora współczynników prawej strony ograniczeń i następnie wykonać wszystkie przekształcenia algebraiczne odpowiadające poszczególnym krokom prowadzącym Kazimierz Duzinkiewicz 9

10 do rozwiązania optymalnego. Ponieważ elementy wektora prawych stron nigdy nie są wykorzystywane w charakterze elementów centralnych (wektor prawej strony ograniczeń nigdy nie jest kolumną centralną), to w każdej iteracji będzie wpływać tylko na elementy występujące w kolumnie "Rozwiązanie" tablicy obliczeniowej. Dla przykładowego zadania otrzymamy (sprawdzić!): Wartości elementów kolumny "Rozwiązanie" w kolejnych krokach Ograniczeni e Krok Krok Krok z Wszystkie informacje niezbędne do zestawienia powyższej tabeli zawarte są w tablicach obliczeniowych kolejnych kroków. Zauważmy, że w każdym kroku nowa wartość elementu prawej strony składa się z dwóch wielkości: (i) stałej i (ii) składnika liniowo zależnego od. Stałe odpowiadają wartościom, które w kolejnych krokach występują w kolumnie "Rozwiązania" przed wprowadzeniem. Współczynniki przy równe są współczynnikom występującym w kolumnie zmiennej uzupełniającej niedoboru związanej z danym zasobem, czyli w rozważanym przypadku w kolumnie zmiennej 3. Dla rozważanego przypadku (zmiana wielkości zasobu - surowiec A) i końcowej tablicy obliczeniowej, współczynniki w kolumnie "Rozwiązania" wynoszą ( 4, 0 3 3, 3, 3, 3 ) zaś w kolumnie odpowiadającej zmiennej 3, ( 3, 3,, 3, 3 ). Przy analizie wpływu zmian wielkości zasobów, 3 i 4 należałoby wykorzystać współczynniki występujące w kolumnach odpowiadających zmiennym, i. Ponieważ wprowadzenie zmiany powoduje zmiany jedynie w kolumnie "Rozwiązania", to wynika z tego, że zmiana wielkości zasobu może wpłynąć jedynie Kazimierz Duzinkiewicz 0

11 na dopuszczalność rozwiązania. Dlatego też nie może przyjmować wartości, dla których którakolwiek ze zmiennych bazowych przyjmie wartość ujemną. Wartość powinna być ograniczona takim przedziałem zmian, dla którego spełniony będzie warunek nieujemności zmiennych bazowych aktualnego rozwiązania optymalnego. Innymi słowy muszą być, dla rozważanego przypadku, spełnione wyrunki: (7.) (7.) 5 3 (7.3) (7.4) Wartość funkcji celu w tak wyznaczonym przedziale będzie zmieniać się według zależności: z 3 3 (7.5) Dla określenia dopuszczalnego przedziału zmian należy rozpatrzyć dwa przypadki: Przypadek :. Warunek () spełniony jest zawsze; warunek () spełniony jest dla ; warunek (3) dla 3; warunek (4) dla - wszystkie cztery warunki spełnione są przy. Przypadek :. Warunek () spełniony jest dla ; warunki (), (3) i (4) spełnione są zawsze. Łącząc wyniki dla tych dwóch przypadków, otrzymamy warunek. Dla zmienna uzupełniająca niedoboru 6 przyjmie wartość zero - nastąpi zmiana rozwiązania bazowego. Podobnie dla zmienna przyjmie wartość zero - nastąpi zmiana rozwiązania bazowego. Ilustracja graficzna przeprowadzonej analizy przedstawiona jest na rys.7.4. Kazimierz Duzinkiewicz

12 Rys.7.4. Przykład. Maksymalne zmiany wielkości zasobów deficytowych Podobną analizę można przeprowadzić dla drugiego zasobu deficytowego - surowca B. Oznaczając zmianę wielkości tego zasobu przez otrzymamy następujące warunki na określenie dopuszczalnego przedziału zmian : (7.6) (7.7) 5 3 (7.8) (7.9) Wartość funkcji celu w tak wyznaczonym przedziale będzie zmieniać się według zależności: z (7.0) Kazimierz Duzinkiewicz

13 Dopuszczalny przedział zmian dla wynosi: 4. Ilustracja graficzna przeprowadzonej analizy przedstawiona jest na rys.7.4. Można również przeprowadzić podobną analizę dla zasobów niedeficytowych. O ile jednak w przypadku zasobów deficytowych interesuje nas odpowiedź na pytanie: o ile można zwiększyć wielkość zasobu deficytowego nie zmieniając rozwiązania bazowego (zbioru zmiennych bazowych), o tyle w przypadku zasobu niedeficytowego pytanie brzmi: o ile można zmniejszyć wielkość zasobu niedeficytowego nie zmieniając rozwiązania bazowego (zbioru zmiennych bazowych). Oznaczmy zmianę wielkości zasobu niedeficytowego odpowiadającego zmiennej niedoboru 5 przez 3, otrzymamy wówczas następujące warunki na określenie dopuszczalnego przedziału zmian 3 : 4 3 (7.) 0 3 (7.) (7.3) 6 3 (7.4) Wartość funkcji celu w tak wyznaczonym przedziale nie będzie ulegać zmienie, czyli: z 3 (7.5) 3 Dopuszczalny przedział zmian dla 3 wynosi:. Ilustracja graficzna przeprowadzonej analizy przedstawiona jest na rys.7.5. Podobnie, oznaczmy zmianę wielkości zasobu niedeficytowego odpowiadającego zmiennej niedoboru 6 przez 4, otrzymamy wówczas następujące warunki na określenie dopuszczalnego przedziału zmian 4 : 4 3 (7.6) 0 3 (7.7) Kazimierz Duzinkiewicz 3

14 5 3 (7.8) (7.9) Wartość funkcji celu w tak wyznaczonym przedziale nie będzie ulegać zmienie, czyli: z 3 (7.0) Dopuszczalny przedział zmian dla 4 wynosi:. Ilustracja graficzna przeprowadzonej analizy przedstawiona jest na rys Rys.7.5. Przykład. Maksymalne zmiany wielkości zasobów niedeficytowych 7.5. Maksymalne zmiany współczynników funkcji celu Rozważymy teraz możliwości określenia zakresu zmian współczynników funkcji celu dla których aktualne optymalne rozwiązanie nie będzie ulegać zmianie (zmiana zbioru zmiennych bazowych). Zagadnienie to w sposób graficzny rozwiązaliśmy w rozdziale (trzecie zadanie analizy wrażliwości). Teraz pokażemy w jaki sposób Kazimierz Duzinkiewicz 4

15 zagadnienie to można rozwiązać korzystając z danych zawartych w tablicy obliczeniowej metody simpleksowej. Załóżmy, że w przykładowym zadaniu współczynnik funkcji celu (wartość dochodu na jednostkę produktu) związany ze zmienną zmienia się o, to znaczy wynosi on 3. Wielkość może być zarówno dodatnia jak i ujemna. Jak zmieni się tablica obliczeniowa metody simpleksowej przy zmianie współczynnika funkcji celu przy zmiennej o? Znowu, najprościej odpowiedzieć na to pytanie wprowadzając do wiersza współczynników funkcji celu i następnie wykonując wszystkie przekształcenia algebraiczne odpowiadające poszczególnym krokom prowadzącym do rozwiązania optymalnego. Ponieważ elementy wiersza przekształconej funkcji celu, podobnie jak elementy kolumny współczynników prawej strony ograniczeń, nigdy nie są wykorzystywane jako elementy centralne przekształceń mających miejsce przy obliczeniach za pomocą metody simpleksowej (wiersz przekształconej funkcji celu nigdy nie jest wierszem centralnym), dlatego też jakiekolwiek zmiany współczynników funkcji celu wpłyną jedynie na wartości współczynników występujących w wierszu przekształconej funkcji celu. Przypominamy sobie, że współczynniki tego wiersza służą do stwierdzenia czy aktualnie posiadane rozwiązanie jest optymalne, czy też nie. Oznacza to, że zmiany te mogą uczynić otrzymane rozwiązanie nieoptymalnym. Określimy przedział zmian współczynników funkcji celu (rozważając każdy ze współczynników oddzielnie) dla którego, uzyskane dla aktualnego rozwiązania optymalnego, wartości zmiennych nie ulegną zmianie. Dla rozważanego przykładu zmieniona postać funkcji celu będzie następująca: z ( ) (7.) 3 Po wykonaniu przekształceń tablicy obliczeniowej odpowiadających kolejnym krokom metody simpleksowej, dla tak zmienionej postaci funkcji celu, wiersz przekształconej funkcji celu w tablicy końcowej będzie miał postać (sprawdzić!): Kazimierz Duzinkiewicz 5

16 Zmienne z 0 Przekształcona funkcja celu W otrzymanej tablicy współczynniki przy zmiennych bazowych w wierszu przekształconej funkcji celu, pozostają równe zeru. Wiersz ten różni się od wiersza przekształconej funkcji celu przed wprowadzeniem zaburzenia na pozycjach odpowiadających zmiennym niebazowym. Wartości współczynników przy zmiennych niebazowych składają się z dwóch członów: (i) stałej i (ii) składnika liniowo zależnego od. Stałe odpowiadają wartościom przed wprowadzeniem zaburzenia. Współczynniki przy równe są współczynnikom przy odpowiednich zmiennych niebazowych w wierszu końcowej tablicy obliczeniowej odpowiadającym zmiennej bazowej : Zmienne z 0 Wiersz zmiennej bazowej Bierzemy pod uwagę wiersz odpowiadający zmiennej bazowej, ponieważ współczynnik funkcji celu przy tej zmiennej zmienia się o. Otrzymane przed wprowadzeniem zaburzenia rozwiązanie optymalne nie ulegnie zmianie po wprowadzeniu tego zaburzenia dopóki współczynniki w wierszu przekształconej funkcji celu pozostaną niedodatnie (patrz: warunek optymalności rozwiązania), czyli dopóki spełnione będą warunki: ( ) czyli (7.) ( ) czyli (7.3) Rozważymy dwa przypadki: Przypadek :. Warunek () spełniony jest dla ; warunek (3) spełniony jest zawsze. Przypadek :. Warunek () spełniony jest zawsze; warunek (3) spełniony jest dla. Kazimierz Duzinkiewicz 6

17 Łącząc wyniki dla tych dwóch przypadków, otrzymamy warunek. Zatem przy zmniejszeniu współczynnika funkcji celu przy zmiennej do wartości równej 3 + (-) =, lub przy jego zwiększeniu do wartości 3 + = 4 optymalne wartości zmiennych pozostaną niezmienione. Wartość funkcji celu z będzie się jednak zmieniać zgodnie z wyrażeniem Ilustracja graficzna przeprowadzonej analizy przedstawiona jest na rys.7.6. Rys.7.6. Przykład. Maksymalne zmiany współczynników funkcji celu W podobny sposób można przeprowadzić analizę dla wszystkich zmiennych bazowych, którym odpowiadają, jak widzieliśmy określone wiersze tablicy obliczeniowej metody simpleksowej. Przeprowadźmy jeszcze analizę dla zmiany współczynników funkcji celu przy zmiennej. Wiersz współczynników związanych z tą zmienną ma postać: Kazimierz Duzinkiewicz 7

18 Zmienne z 0 Wiersz zmiennej bazowej Załóżmy, że współczynnik funkcji celu (wartość dochodu na jednostkę produktu) związany ze zmienną zmienia się o, to znaczy wynosi on. Wielkość może być zarówno dodatnia jak i ujemna. Wiersz przekształconej funkcji celu po wprowadzeniu zaburzenia będzie miał postać: Zmienne z 0 Przekształcona funkcja celu Otrzymamy następujące warunki dla określenia przedziału zmian zaburzenia : 3 3 (7.4) (7.5) Otrzymamy stąd warunek 4. Ilustracja graficzna otrzymanego wyniku przedstawiona jest na rys.7.6. Przedstawiona metoda analizy dotyczyła zmiennych bazowych, którym odpowiadają, jak widzieliśmy określone wiersze tablicy obliczeniowej metody simpleksowej. Jeżeli zmienna jest zmienną niebazową to nie wystąpi ona w kolumnie "Zmienna bazowa" tablicy obliczeniowej. Postępując jednak podobnie jak przy wyprowadzaniu metody opisanej powyżej (zaburzenie współczynnika funkcji celu przy zmiennej niebazowej i wykonanie przekształceń tablicy obliczeniowej odpowiadających kolejnym krokom metody simpleksowej) stwierdzimy (sprawdzić!), że w wierszu przekształconej funkcji celu zmianie ulegnie jedynie współczynnik przy interesującej nas zmiennej niebazowej. Dla przykładu rozważymy przypadek, kiedy zmienia się współczynnik przy zmiennej niebazowej 3, a wielkość tej zmiany oznaczona jest 3. Wykonując przekształcenia tablicy obliczeniowej otrzymamy: Kazimierz Duzinkiewicz 8

19 Zmienne z 0 Przekształcona funkcja celu Współczynnik przy zmiennej niebazowej w wierszu przekształconej funkcji celu zmniejsza się o wartość wprowadzonego zaburzenia współczynnika oryginalnej funkcji celu przy tej zmiennej. Rozwiązanie optymalne nie ulegnie zatem zmianie, jeżeli spełniony będzie warunek: 3 3 (7.6) czyli jeżeli Zakończenie Teoretyczną podstawą na której opiera się metoda simpleksowa jest stwierdzenie, że punkt wierzchołkowy zbioru rozwiązań dopuszczalnych zadania programowania liniowego odpowiada bazowemu rozwiązaniu tego zadania zapisanego w postaci standardowej. Zasady wprowadzania nowej zmiennej do zbioru zmiennych bazowych i usuwania jednej ze zmiennych bazowych z tego zbioru, stanowiące zasadniczy składnik metody simpleksowej, zapewniają przejście od początkowego rozwiązania wierzchołkowego do rozwiązania optymalnego w skończonej liczbie kroków. Tablica obliczeniowa metody simpleksowej zawiera, poza wartościami optymalnymi zmiennych, szereg danych, które można wykorzystać do analizy otrzymanego rozwiązania. Bezpośrednio w tej tablicy znajdują się informacje określające status poszczególnych zasobów oraz ich cenności (oceny dualne). Wykorzystując dane zawarte w tej tablicy, przy pomocy prostych dodatkowych obliczeń, można określić przedziały zmian wielkości zasobów dla których zbiór zmiennych bazowych pozostanie niezmieniony, przy zmianach wartości poszczególnych zmiennych. Cenności zasobów wraz z wynikami takiej analizy mogą stanowić podstawę decyzji o zwiększeniu lub zmniejszeniu wielkości odpowiednich zasobów oraz o uzasadnionej wielkości tych zmian. Podobnie, korzystając z danych zawartych w tablicy obliczeniowej możemy określić przedziały zmian współczynników funkcji celu dla których otrzymane rozwiązanie optymalne nie ulegnie zmianie. Kazimierz Duzinkiewicz 9

20 Objęty niniejszym kursem zakres zagadnień związanych z zadaniami programowania liniowego oraz metodą simpleksową stanowi podstawy programowania liniowego. Nie wyczerpał on oczywiście wszystkich zagadnień teoretycznych i technik obliczeniowych związanych z programowaniem liniowym, umożliwia jednak samodzielne przeprowadzanie analiz rozwiązania zadania programowania liniowego. Kazimierz Duzinkiewicz 0