Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE"

Transkrypt

1 Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.1 Opis programów Do rozwiązania zadań programowania liniowego metodą simpleks (wraz z analizą wrażliwości) wykorzystujemy program SIMP.EXE. Implementacją komputerową dualnej metody simpleks jest program DUAL.EXE. Zagadnienia programowania parametrycznego rozwiązujemy za pomocą programu PARAM.EXE Opis programu SIMP.EXE Wprowadzanie nowego zadania Wprowadzając nowe zadanie, podajemy kolejno: - rodzaj zadania (maksymalizacja lub minimalizacja), - liczbę zmiennych (maksymalnie 20), - liczbę ograniczeń (maksymalnie 20), - współczynniki funkcji celu. Dla kolejno wprowadzanych ograniczeń podajemy: - współczynniki stojące przy niewiadomych, - rodzaj ograniczenia (,, =), - wartość prawej strony. W programie SIMP.EXE zakłada się, że wszystkie występujące w zadaniu zmienne spełniają warunki nieujemności. Edycja zadania W fazie edycji możemy dokonać następujących zmian: - zamienić zadanie minimalizacji na zadanie maksymalizacji oraz zadanie maksymalizacji na zadanie minimalizacji, - zmniejszyć lub zwiększyć liczbę zmiennych, - zmniejszyć lub zwiększyć liczbę warunków ograniczających, - zmienić współczynniki funkcji celu, macierzy warunków ograniczających oraz prawych stron. W przypadku zwiększenia rozmiarów zadania należy uzupełnić brakujące dane. Tryb konwersacyjny Możliwości stosowania Tryb konwersacyjny programu SIMP.EXE może być wykorzystany wówczas, gdy liczba wszystkich zmiennych występujących w rozwiązywanym zadaniu (a więc zmiennych zadania początkowego oraz zmiennych wprowadzonych dodatkowo)pomniejszona o liczbę warunków ograniczających (bez warunków nieujemności) jest nie większa od 7, a liczba warunków ograniczających - nie większa od 9. Ograniczenie to pozwala wyświetlić na

2 ekranie monitora kolejne tablice simpleksowe. Jeżeli łączna liczba wszystkich zmiennych występujących w zadaniu nie przekroczy 7, to wówczas na ekranie monitora pojawiają się pełne tablice simpleksowe, jeżeli natomiast ten dodatkowy warunek nie jest spełniony, możemy obserwować jedynie tablice uproszczone, w których pominięto kolumny bazowe. Sprowadzanie zadania do postaci bazowej Układ warunków ograniczających jest w dopuszczalnej postaci bazowej, gdy wszystkie występujące ograniczenia są równościami, z macierzy utworzonej ze współczynników lewych stron warunków ograniczających można wybrać kolumny w taki sposób, by po ewentualnej zmianie kolejności tworzyły one macierz jednostkową, oraz wszystkie współczynniki prawych stron są nieujemne. Zazwyczaj zadanie początkowe nie jest w dopuszczalnej postaci bazowej i wymaga przekształcenia. Gdy rozpatrywane ograniczenie jest nierównością typu, dodajemy do lewej strony zmienną bilansującą, natomiast, gdy jest typu, odejmujemy od lewej strony zmienną bilansującą. Często niezbędne jest również dodatnie do warunków w postaci równości zmiennych sztucznych i wprowadzenie tych zmiennych do funkcji celu z odpowiednio dużymi współczynnikami. Omówione powyżej przekształcenia realizowane są przez użytkownika programu. Na ekranie monitora pojawia się zadanie w postaci symbolicznej, w której wykorzystano symbole +,, l, 0, M, M, odpowiadające kolejno liczbie dodatniej (z wyjątkiem jedynki), liczbie ujemnej, jedynce, zeru oraz nieokreślonemu chwilowo co do wielkości współczynnikowi M lub M przy zmiennej sztucznej w funkcji celu. Po stwierdzeniu, że zadanie nie jest w postaci bazowej użytkownik wybiera ograniczenie i podaje, w jaki sposób należy przekształcić to ograniczenie. Dodanie lub odjęcie zmiennej bilansującej oraz dodanie zmiennej sztucznej powodują rozszerzenie obserwowanej na ekranie symbolicznej postaci zadania. W przypadku wprowadzenia zmiennych sztucznych istnieje możliwość określenia przez użytkownika wartości współczynnika M. W programie SIMP.EXE, dla zadania maksymalizacji przyjęto, że jest ona nie mniejsza niż stukrotna wartość największego dodatniego współczynnika funkcji celu lub wynosi 100 w przypadku, gdy żaden nie jest dodatni. W zadaniu minimalizacji wartość M. jest nie większa niż stukrotna wartość najmniejszego ujemnego współczynnika funkcji celu lub wynosi 100 w przypadku, gdy żaden nie jest ujemny. Kolejne iteracje Na ekranie monitora pojawia się (w zależności od liczby zmiennych i ograniczeń) pełna lub skrócona tablica simpleksowa. Znajdujemy w niej informacje dotyczące kierunku optymalizacji, wartości współczynników funkcji celu, współczynników warunków ograniczających, prawych stron warunków ograniczających oraz współczynników optymalności. Dodatkowo (już poza tablicą simpleksową) znajdują się informacje o wartości funkcji celu odpowiadającej aktualnie rozpatrywanemu rozwiązaniu oraz dokładne wartości współczynników optymalności. Jeżeli liczba nie mieści się w przeznaczonej dla niej polu, wyświetlana jest ona w postaci symbolicznej z wykorzystaniem symboli > dla dużej liczby dodatniej lub < dla dużej co do wartości bezwzględnej liczby ujemnej. W przypadku konieczności porównania ze sobą dwóch lub więcej liczb zapisanych symbolicznie dla wygody użytkownika największa z nich przedstawiona jest symbolem >> (w przypadku zadania maksymalizacji), a najmniejsza symbolem << (dla zadania minimalizacji). W kolejnych iteracjach użytkownik: - analizując wartości współczynników optymalności, rozstrzyga, czy aktualnie rozpatrywane rozwiązanie jest optymalne, czy też nie, - przeglądając wartości wskaźników optymalności, wybiera zmienną, która zostaje wprowadzona do bazy, - obserwując współczynniki wybranej kolumny, stwierdza, czy funkcja celu jest ograniczona, czy też nie, - wykorzystując pomocniczą planszę, zawierającą ilorazy wartości prawych stron podzielonych przez współczynniki wybranej uprzednio kolumny, określa zmienną, która ma opuścić bazę.

3 Program oblicza nową tablicę simpleksową i przechodzi do wykonania następnej iteracji. Postępowanie to kontynuujemy aż do otrzymania rozwiązania optymalnego lub stwierdzenia, że funkcja celu nie jest ograniczona. W przypadku gdy do zadania zostały dołączone zmienne sztuczne, użytkownik sprawdza, czy otrzymane rozwiązanie optymalne zadania rozszerzonego jest również rozwiązaniem zadania wyjściowego. Zadanie wyjściowe jest sprzeczne wtedy, kiedy w bazie otrzymanej w ostatniej iteracji znajduje się choć jedna zmienna sztuczna i ma wartość dodatnią. Dokładne rozwiązanie W celu zapoznania się z dokładnymi wynikami użytkownik podaje interesującą go liczbę miejsc po przecinku (od 0 do 9). Tablica wynikowa zawiera również wartości wskaźników optymalności oraz informację o tym, czy dana zmienna jest zmienną decyzyjną oraz o tym, czy jest zmienną bazową. Analiza wrażliwości Możemy prześledzić analizę wrażliwości rozwiązania na zmiany współczynników funkcji celu oraz warunków ograniczających. Użytkownik odczytuje przedziały zmienności dla poszczególnych współczynników funkcji celu i prawych stron warunków ograniczających oraz ich aktualną wartość w zadaniu. Alternatywne rozwiązania optymalne O ile istnieją bazowe rozwiązania alternatywne, można wygenerować je kolejno, stosując odpowiednią strategię postępowania. Chcąc otrzymać kolejne optymalne bazowe rozwiązanie alternatywne, użytkownik wybiera zmienną wprowadzaną do bazy oraz zmienną usuwaną z bazy (wykorzystując zerowe współczynniki dla zmiennych niebazowych oraz kryterium wyjścia prymalnej metody simpleks). Dla każdego otrzymanego w ten sposób rozwiązania może odczytać wyniki z ustaloną dokładnością, a także przeprowadzić analizę wrażliwości. Tryb rozwiązania końcowego Program wybiera opcję przejścia do rozwiązania końcowego wówczas, gdy ze względu na rozmiary zadania nie jest możliwe wykorzystanie trybu konwersacyjnego. Opcja ta może zostać również włączona w każdym momencie rozwiązywania zadania w trybie konwersacyjnym na życzenie użytkownika programu. W przypadku gdy rozmiary zadania pozwalają na wyświetlenie ostatniej tablicy simpleksowej, pojawia się ona na ekranie i użytkownik (podobnie jak w trybie konwersacyjnym) może zapoznać się z dokładnym rozwiązaniem, przeprowadzić analizę wrażliwości oraz przyjść do alternatywnego bazowego rozwiązania optymalnego (o ile takie istnieje). Jeżeli rozmiary zadania nie pozwalają na wyświetlenie ostatniej tablicy simpleksowej, na ekranie monitora pojawia się plansza końcowa, na której znajduje się zestawienie wartości wszystkich zmiennych, pojawiających się w zadaniu, odpowiadające im wartości wskaźników optymalności, optymalna wartość funkcji celu oraz informacja o tym, czy występują alternatywne bazowe rozwiązania optymalne. Jeżeli zadanie jest sprzeczne, na ekranie monitora pojawia się odpowiednia informacja. Przeglądanie (wydrukowanie) rozwiązania Zestawienie skrócone Zawiera dane wejściowe zadania oraz wyniki końcowe, obejmujące optymalne wartości zmiennych, odpowiadające im wskaźniki optymalności, optymalną wartość funkcji celu, a także analizę wrażliwości dla kolejnych współczynników funkcji celu oraz składowych wektora wyrazów wolnych. Ponadto w zbiorze tym umieszczone są alternatywne

4 bazowe rozwiązania optymalne wyznaczone przez użytkownika w trakcie wykorzystania programu wraz z analizą wrażliwości. Zestawienie pełne Zawiera dla zadań, które można rozwiązać w trybie konwersacyjnym, tablice simpleksowe dla kolejnych iteracji. Dla zadań o większych rozmiarach zestawienie pełne jest takie samo jak zestawienie skrócone Opis programu DUAL.EXE Wprowadzanie nowego zadania Wprowadzając nowe zadanie, podajemy kolejno: - rodzaj zadania (maksymalizacja lub minimalizacja), - liczbę zmiennych (maksymalnie 20), - liczbę ograniczeń (maksymalnie 20), - współczynniki funkcji celu. Dla kolejno wprowadzanych ograniczeń podajemy: - współczynniki stojące przy niewiadomych, - rodzaj ograniczenia (,, =), - wartość prawej strony. W programie DUAL.EXE zakłada się, że wszystkie występujące w zadaniu zmienne spełniają warunki nieujemności. Edycja zadania W fazie edycji możemy dokonać następujących zmian: - zamienić zadanie minimalizacji na zadanie maksymalizacji oraz zadanie maksymalizacji na zadanie minimalizacji, - zmniejszyć lub zwiększyć liczbę zmiennych, - zmniejszyć lub zwiększyć liczbę warunków ograniczających, - zmienić współczynniki funkcji celu, macierzy warunków ograniczających oraz prawych stron. W przypadku zwiększenia rozmiarów zadania należy uzupełnić brakujące dane. Tryb konwersacyjny Możliwości stosowania Tryb konwersacyjny programu DUAL.EXE może być wykorzystany wówczas, gdy liczba wszystkich zmiennych występujących w rozwiązywanym zadaniu (a więc zmiennych zadania początkowego oraz zmiennych wprowadzonych dodatkowo), pomniejszona o liczbę warunków ograniczających (bez warunków nieujemności), jest nie większa od 7, a liczba warunków ograniczających - nie większa od 9. Ograniczenie to pozwala wyświetlić na ekranie monitora kolejne tablice simpleksowe. Jeżeli łączna liczba wszystkich zmiennych występujących w zadaniu nie przekroczy 7, to wówczas na ekranie monitora pojawiają się pełne tablice simpleksowe, jeżeli natomiast ten dodatkowy warunek nie jest spełniony, możemy obserwować jedynie tablice uproszczone, w których pominięto kolumny bazowe. Generowanie pierwszego rozwiązania bazowego Układ warunków ograniczających jest w postaci bazowej, gdy wszystkie występujące ograniczenia są równościami, z macierzy utworzonej ze współczynników lewych stron warunków ograniczających można wybrać kolumny w taki sposób, by po ewentualnej zmianie kolejności tworzyły one macierz jednostkową. Nie jest przy tym wymagane, aby prawe strony warunków ograniczających były liczbami nieujemnymi.

5 Zazwyczaj zadanie początkowe nie jest w postaci bazowej i wymaga przekształcenia. Gdy rozpatrywane ograniczenie jest nierównością, odpowiednio dodajemy do lewej strony lub odejmujemy zmienna bilansującą. W warunku ograniczającym w postaci równości staramy się uzyskać zmienną bazową przez podzielenie współczynników tego równania przez niezerowy współczynnik stojący przy wybranej zmiennej. Jeżeli to postępowanie byłoby nieskuteczne, zamieniamy równanie na dwie nierówności, po czym do każda z nich uzupełniana jest w odpowiedni sposób zmienną bilansującą. Omówione powyżej przekształcenia realizowane są przez użytkownika. Na ekranie monitora pojawia się zadanie w postaci symbolicznej, w której wykorzystano symbole +,, l, odpowiadające liczbie dodatniej (z wyjątkiem jedynki), liczbie ujemnej, jedynce i zeru. Wybieramy przekształcane ograniczenie i wprowadzamy zmienną bilansującą, dzielimy równanie przez liczbę różną od zera lub zamieniamy równanie na dwie nierówności. Podejmowanym decyzjom o wprowadzeniu dodatkowych zmiennych odpowiada rozszerzenie obserwowanej na ekranie symbolicznej postaci zadania. Pierwsze rozwiązanie bazowe powinno być rozwiązaniem bazowym optymalnym (niekoniecznie dopuszczalnym). Jeżeli nie ma ono tej własności, do zbioru warunków ograniczających dołączamy sztuczne ograniczenie. Użytkownik podaje współczynniki sztucznego ograniczenia oraz jego prawą stronę w postaci symbolicznej, wpisując symbol M, oznaczający dużą liczbę dodatnią (będącą przynajmniej stukrotnie większą od największej dodatniej wartości prawej strony lub wynosi 100, jeżeli żadna wartość wyrazu wolnego nie jest dodatnia). Aby otrzymać pierwszą bazę optymalną, należy usunąć z bazy zmienną bilansującą sztucznego ograniczenia i na to miejsce wprowadzić zmienną niebazową o największej wartości współczynnika funkcji celu. Kolejne iteracje Na ekranie monitora pojawia się pełna lub skrócona tablica simpleksowa. Znajdujemy w niej informacje dotyczące kierunku optymalizacji, wartości współczynników funkcji celu, współczynników warunków ograniczających, prawych stron warunków ograniczających oraz współczynników optymalności. Dodatkowo (już poza tablicą simpleksową) znajdują się informacje o wartości funkcji celu odpowiadającej aktualnie rozpatrywanemu rozwiązaniu oraz dokładne wartości współczynników optymalności. Jeżeli liczba nie mieści się w przeznaczonej dla niej polu, wyświetlana jest ona w postaci symbolicznej z wykorzystaniem symboli > dla dużej liczby dodatniej lub < dla dużej co do wartości bezwzględnej liczby ujemnej. W przypadku konieczności porównania ze sobą dwóch lub więcej małych liczb zapisanych symbolicznie dla wygody użytkownika najmniejsza z nich przedstawiona jest symbolem <<. W kolejnych iteracjach użytkownik: - analizując wartości prawych stron, rozstrzyga, czy aktualnie rozpatrywane rozwiązanie jest dopuszczalne, czy też nie, - przeglądając wartości prawych stron, wybiera zmienną usuwaną z bazy, - obserwując współczynniki wybranego wiersza, stwierdza, czy rozpatrywane zadanie jest sprzeczne, czy też nie, - wykorzystując pomocniczą planszę, zawierającą ilorazy wartości współczynników optymalności podzielonych przez współczynniki wybranego uprzednio wiersza, określa zmienną wprowadzaną do bazy. Program oblicza nową tablicę simpleksową i przechodzi do wykonania następnej iteracji. Postępowanie to kontynuujemy aż do otrzymania rozwiązania optymalnego lub stwierdzenia, że zadanie jest sprzeczne. W przypadku gdy do zadania zostało dołączone sztuczne ograniczenie, należy upewnić się, czy funkcja celu jest ograniczona. Będzie tak wówczas, gdy w ostatniej bazie znajdzie się zmienna bazowa sztucznego ograniczenia.

6 Dokładne rozwiązanie W celu zapoznania się z dokładnymi wynikami użytkownik podaje interesującą go liczbę miejsc po przecinku (od 0 do 9). Tablica wynikowa zawiera również wartości wskaźników optymalności oraz informację o tym, czy dana zmienna jest zmienną decyzyjną oraz czy jest zmienna bazową. Analiza wrażliwości Na ekranie monitora odczytujemy przedziały zmienności dla poszczególnych współczynników funkcji celu oraz ich aktualną wartość w zadaniu. Alternatywne rozwiązania optymalne O ile istnieją bazowe rozwiązania alternatywne, można wygenerować je kolejno, stosując odpowiednią strategię postępowania. Chcąc otrzymać kolejne optymalne bazowe rozwiązanie alternatywne, użytkownik wybiera zmienną wprowadzaną do bazy oraz zmienną usuwaną z bazy (wykorzystując zerowe współczynniki dla zmiennych niebazowych oraz kryterium wyjścia prymalnej metody simpleks). Dla każdego otrzymanego w ten sposób rozwiązania może odczytać wyniki z ustaloną dokładnością, a także przeprowadzić analizę wrażliwości. Tryb rozwiązania końcowego Program wybiera opcję przejścia do rozwiązania końcowego wówczas, gdy ze względu na rozmiary zadania nie jest możliwe wykorzystanie trybu konwersacyjnego. Opcja ta może zostać również włączona w każdym momencie rozwiązywania zadania w trybie konwersacyjnym na życzenie użytkownika programu. W przypadku gdy rozmiary zadania pozwalają na wyświetlenie ostatniej tablicy simpleksowej, pojawia się ona na ekranie i użytkownik (podobnie jak w trybie konwersacyjnym) może zapoznać się z dokładnym rozwiązaniem, przeprowadzić analizę wrażliwości oraz przejść do alternatywnego bazowego rozwiązania optymalnego (o ile takie istnieje). Jeżeli rozmiary zadania nie pozwalają na wyświetlenie ostatniej tablicy simpleksowej, na ekranie monitora pojawia się plansza końcowa, na której znajduje się zestawienie wartości wszystkich zmiennych, pojawiających się w zadaniu, odpowiadające im wartości wskaźników optymalności, optymalna wartość funkcji celu oraz informacja o tym, czy występują alternatywne bazowe rozwiązania optymalne. Jeżeli funkcja celu nie jest ograniczona, na ekranie monitora pojawia się odpowiednia informacja. Przeglądanie (wydrukowanie) rozwiązania Zestawienie skrócone Zawiera dane wejściowe zadania oraz wyniki końcowe, obejmujące optymalne wartości zmiennych, odpowiadające im wskaźniki optymalności, optymalną wartość funkcji celu, a także analizę wrażliwości dla kolejnych współczynników funkcji celu. Ponadto w zbiorze tym umieszczone są alternatywne bazowe rozwiązania optymalne wyznaczone przez użytkownika w trakcie wykorzystania programu wraz z analizą wrażliwości. Zestawienie pełne Zawiera dla zadań, które można rozwiązać w trybie konwersacyjnym, tablice simpleksowe dla kolejnych iteracji. Dla zadań o większych rozmiarach zestawienie pełne jest takie samo jak zestawienie skrócone.

7 1.1.3 Opis programu PARAM.EXE Wprowadzanie nowego zadania Wprowadzając nowe zadanie, podajemy kolejno: - rodzaj zadania (maksymalizacja lub minimalizacja), - liczbę zmiennych (maksymalnie 20), - liczbę ograniczeń (maksymalnie 20), - rodzaj parametryzacji (parametryzacja funkcji celu lub wyrazu wolnego). W przypadku parametryzacji funkcji celu użytkownik podaje współczynniki funkcji celu niezależne i zależne od parametru. Dla kolejno wprowadzanych ograniczeń użytkownik wprowadza: - współczynniki stojące przy niewiadomych, - rodzaj ograniczenia (,, =), - wartość prawej strony ograniczenia. W przypadku parametryzacji wyrazu wolnego użytkownik podaje współczynniki funkcji celu, a następnie dla kolejnych ograniczeń wprowadza: - współczynniki stojące przy niewiadomych, - rodzaj ograniczenia (,, =), - wartości prawej strony ograniczenia niezależne i zależne od parametru. W programie PARAM.EXE zakłada się, że wszystkie występujące w zadaniu zmienne spełniają warunki nieujemności. Edycja zadania W fazie edycji możemy dokonać następujących zmian: - zamienić zadanie minimalizacji na zadanie maksymalizacji oraz zadanie maksymalizacji na zadanie minimalizacji, - zamienić parametryzację funkcji celu na parametryzację wyrazu wolnego oraz parametryzację wyrazu wolnego na parametryzację funkcji celu, - zmniejszyć lub zwiększyć liczbę warunków ograniczających, - zmienić współczynniki funkcji celu, macierzy warunków ograniczających oraz prawych stron. W przypadku zmiany rodzaju parametryzacji zadania oraz/lub zwiększenia jego rozmiarów należy uzupełnić brakujące dane. Tryb konwersacyjny Możliwości stosowania Oznaczymy przez n liczbę zmiennych w zadaniu, a przez m. liczbę warunków ograniczających. Tryb konwersacyjny może być zastosowany wówczas, gdy n m. 6 i m. 6 w przypadku parametryzacji funkcji celu n m. 6 i m. 8 w przypadku parametryzacji wektora wyrazów wolnych oraz liczba przedziałów, na które podzielony zostanie zbiór parametrów nie przekracza 20. Początkowa wartość parametru Użytkownik podaje początkową wartość parametru. Może nią być dowolna liczba rzeczywista, dla której istnieje rozwiązanie. Wartością proponowaną przez program jest zero. Kolejne iteracje W kolejnych iteracjach na podstawie obserwacji tablic simpleksowych, uwzględniających sparametryzowane współczynniki optymalności (sparametryzowane prawe strony), użytkownik formułuje układ nierówności, dla których rozwiązanie pozostanie optymalne (w przypadku parametryzacji funkcji celu) lub dopuszczalne (w przypadku parametryzacji wyrazu wolnego). Program podaje rozwiązanie tego układu nierówności. Na

8 końcu znalezionego przedziału może istnieć alternatywne rozwiązanie optymalne (w przypadku parametryzacji funkcji celu) lub alternatywne rozwiązanie dopuszczalne (w przypadku parametryzacji wyrazu wolnego). Zadaniem użytkownika jest zastosowanie kryterium wejścia i wyjścia zgodnie z prymalną (dualną) metodą simpleks. Po zidentyfikowaniu i przeanalizowaniu wszystkich przedziałów zmienności parametru na prawo od wartości początkowej przechodzimy do wartości znajdujących się po lewej stronie tej wartości i identyfikujemy oraz analizujemy kolejne przedziały (o ile takie przedziały istnieją). Tryb rozwiązania końcowego Program wybiera opcję przejścia do rozwiązania końcowego wówczas, gdy ze względu na rozmiary zadania nie jest możliwe wykorzystanie trybu konwersacyjnego, przy czym liczba przedziałów, na które zostaje podzielony zbiór parametrów nie może przekraczać 50. Opcja ta może zostać również włączona w każdym momencie rozwiązywania zadania w trybie konwersacyjnym na życzenie użytkownika programu. Na ekranie monitora pojawia się plansza wynikowa, na której znajduje się zestawienie znalezionych przedziałów zmienności dla parametru. Naciskając klawisz F2, użytkownik może zidentyfikować rozwiązanie (optymalne i dopuszczalne) dla każdego z tych przedziałów. Zbiory wynikowe Zestawienie skrócone Zawiera dane wejściowe zadania i wyniki końcowe, obejmujące informacje o kolejnych przedziałach parametru t oraz rozwiązania (optymalne i dopuszczalne) w każdym z tych przedziałów. Rozwiązanie pełne Zawiera ponadto wszystkie pojawiające się kolejno tablice simpleksowe i układy nierówności, rozpatrywane w celu identyfikacji kolejnych przedziałów wartości parametru t.

Rozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący:

Rozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący: Przykład. Hodowca drobiu musi uzupełnić zawartość dwóch składników odżywczych (A i B) w produktach, które kupuje. Rozważa cztery mieszanki: M : M, M i M. Zawartość składników odżywczych w poszczególnych

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3

Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3 Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3 Hanna Furmańczyk 14 listopada 2008 Programowanie liniowe (PL) - wszystkie ograniczenia muszą być liniowe - wszystkie zmienne muszą być ciągłe n j=1 c j

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,

Bardziej szczegółowo

( 1) ( ) 16 Warunki brzegowe [WB] Funkcja celu [FC] Ograniczenia [O] b i ( 2) ( ) ( ) 14. FC max. Kompletna postać bazowa

( 1) ( ) 16 Warunki brzegowe [WB] Funkcja celu [FC] Ograniczenia [O] b i ( 2) ( ) ( ) 14. FC max. Kompletna postać bazowa Standardowe zadanie PL () Należy zaplanować produkcję zakładu w pewnym tygodniu w taki sposób, aby osiągnięty zysk był maksymalny. akład może wytwarzać dwa wyroby: P i P. Ich produkcja jest limitowana

Bardziej szczegółowo

Rozdział 7 ZARZĄDZANIE PROJEKTAMI

Rozdział 7 ZARZĄDZANIE PROJEKTAMI Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 7 ZARZĄDZANIE PROJEKTAMI 7.2. Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 7.1 Wykorzystując

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe metoda sympleks

Programowanie liniowe metoda sympleks Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 13

Bardziej szczegółowo

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 4 (Materiały)

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 4 (Materiały) Analiza wrażliwości Rozwiązanie programu liniowego jest dopiero początkiem analizy. Z punktu widzenia decydenta (menadżera) jest istotne, żeby wiedzieć jak na rozwiązanie optymalne wpływają zmiany parametrów

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja liniowa w liczbach całkowitych (PLC)

Optymalizacja liniowa w liczbach całkowitych (PLC) * ) && &&& % ( - &&(() n && - n% ( ' n!"#$ Optymalizacja liniowa w liczbach całkowitych (PLC) (( & ' nn nn Zadanie (-) nazywamy zadaniem regularnym Zadanie (-) nazywamy zadaniem PLC Stosownie do tego podziału

Bardziej szczegółowo

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski METODA SYMPLEKS Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP Algorytm Sympleks najpotężniejsza metoda rozwiązywania programów liniowych Metoda generuje ciąg dopuszczalnych rozwiązań x k w taki sposób,

Bardziej szczegółowo

Zadania 1. Czas pracy przypadający na jednostkę wyrobu (w godz.) M 1. Wyroby

Zadania 1. Czas pracy przypadający na jednostkę wyrobu (w godz.) M 1. Wyroby Zadania 1 Przedsiębiorstwo wytwarza cztery rodzaje wyrobów: A, B, C, D, które są obrabiane na dwóch maszynach M 1 i M 2. Czas pracy maszyn przypadający na obróbkę jednostki poszczególnych wyrobów podany

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE]

Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE] Spis treści 1 Metoda geometryczna... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Przykładowe zadanie... 2 2 Metoda simpleks... 6 2.1 Wstęp... 6 2.2 Przykładowe zadanie... 6 1 Metoda geometryczna Anna Tomkowska 1 Metoda geometryczna

Bardziej szczegółowo

Ekonometria - ćwiczenia 11

Ekonometria - ćwiczenia 11 Ekonometria - ćwiczenia 11 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 21 grudnia 2012 Na poprzednich zajęciach zajmowaliśmy

Bardziej szczegółowo

Rozwiązanie Powyższe zadanie możemy przedstawić jako następujące zagadnienie programowania liniowego:

Rozwiązanie Powyższe zadanie możemy przedstawić jako następujące zagadnienie programowania liniowego: Zadanie Rafineria naftowa otrzymała zamówienie na dwa rodzaje specjalnych paliw węglowodorowych X oraz Y. Zamówienie opiewa na minimum 4 000 galonów paliwa X i minimum 2 400 galonów paliwa Y. Paliwa te

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA? /9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT)

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 1 ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) Danychjest pdostawców,którychpodażwynosi a 1, a 2,...,a p i q odbiorców,którychpopytwynosi b 1, b 2,...,b q.zakładamy,że

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe metoda sympleks

Programowanie liniowe metoda sympleks Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2012 1 / 12

Bardziej szczegółowo

A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 1

A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 1 A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe ZAGADNIENIE DUALNE Z każdym zagadnieniem liniowym związane jest inne zagadnienie nazywane dualnym. Podamy teraz teraz jak budować zagadnienie

Bardziej szczegółowo

3. Macierze i Układy Równań Liniowych

3. Macierze i Układy Równań Liniowych 3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1)

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1) ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL 1. Problem Rozważmy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi (x 1, x 2 ): 1 x1 sin x2 x2 cos x1 (1) Nie jest

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązywanie układów równań liniowych Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM EKONOMIKA W ELEKTROTECHNICE INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA 6 Analiza decyzji

Bardziej szczegółowo

Instrukcja obsługi programu SWWS autorstwa Michała Krzemińskiego

Instrukcja obsługi programu SWWS autorstwa Michała Krzemińskiego Instrukcja obsługi programu SWWS autorstwa Michała Krzemińskiego Krótkie informacje o programie można znaleźć zarówno w pliku readme.txt zamieszczonym w podkatalogu DANE jak i w zakładce O programie znajdującej

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Programowanie liniowe w technice Linear programming in engineering problems Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy na kierunku matematyka przemysłowa Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium,

Bardziej szczegółowo

Microsoft EXCEL SOLVER

Microsoft EXCEL SOLVER Microsoft EXCEL SOLVER 1. Programowanie liniowe z wykorzystaniem dodatku Microsoft Excel Solver Cele Po ukończeniu tego laboratorium słuchacze potrafią korzystając z dodatku Solver: formułować funkcję

Bardziej szczegółowo

doc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505.

doc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. doc. dr Beata Pułska-Turyna Zakład Badań Operacyjnych Zarządzanie B506 mail: turynab@wz.uw.edu.pl mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. Tel.: (22)55 34 144 Mail: student@pgadecki.pl

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie

Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie OPIS ZAGADNIENIA Zagadnienie transportowe służy głównie do obliczania najkorzystniejszego

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013 Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 1. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 1

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +

Bardziej szczegółowo

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można

Bardziej szczegółowo

6. ANALIZA POST-OPTYMALIZACYJNA analiza wrażliwości rozwiązania optymalnego

6. ANALIZA POST-OPTYMALIZACYJNA analiza wrażliwości rozwiązania optymalnego 6. ANALIZA POST-OPTYMALIZACYJNA analiza wrażliwości rozwiązania optymalnego Analiza wrażliwości est studium analizy wpływu zmian wartości różnych parametrów modelu PL na rozwiązanie optymalne. Na optymalne

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie transportowe

Zagadnienie transportowe 9//9 Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIA TRANSPORTOWE ZAGADNIENIA TRANSPORTOWE Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WPROWADZENIE opracowano w 1941 r. (F.L. Hitchcock) Jest to problem opracowania planu przewozu pewnego jednorodnego produktu z kilku różnych

Bardziej szczegółowo

Instrukcja użytkowa programu INTERNET LAB-BIT

Instrukcja użytkowa programu INTERNET LAB-BIT Instrukcja użytkowa programu INTERNET LAB-BIT 1. Co to jest program INTERNET LAB-BIT i dla kogo jest przeznaczony? Program INTERNET LAB-BIT jest to program umożliwiający zdalne przeglądanie danych z laboratoriów

Bardziej szczegółowo

Dodatek Solver Teoria Dodatek Solver jest częścią zestawu poleceń czasami zwaną narzędziami analizy typu co-jśli (analiza typu co, jeśli?

Dodatek Solver Teoria Dodatek Solver jest częścią zestawu poleceń czasami zwaną narzędziami analizy typu co-jśli (analiza typu co, jeśli? Dodatek Solver Teoria Dodatek Solver jest częścią zestawu poleceń czasami zwaną narzędziami analizy typu co-jśli (analiza typu co, jeśli? : Proces zmieniania wartości w komórkach w celu sprawdzenia, jak

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza MATeMAtyka 1 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe

Bardziej szczegółowo

WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIENIA Problem przydziału

WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIENIA Problem przydziału WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIENIA Problem przydziału Problem przydziału Przykład Firma KARMA zamierza w okresie letnim przeprowadzić konserwację swoich urządzeń; mieszalników,

Bardziej szczegółowo

Programowanie w języku C++ Agnieszka Nowak Brzezińska Laboratorium nr 2

Programowanie w języku C++ Agnieszka Nowak Brzezińska Laboratorium nr 2 Programowanie w języku C++ Agnieszka Nowak Brzezińska Laboratorium nr 2 1 program Kontynuujemy program który wczytuje dystans i ilości paliwa zużytego na trasie, ale z kontrolą danych. A więc jeśli coś

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP często spotykane w życiu codziennym wybór asortymentu produkcji jakie wyroby i w jakich ilościach powinno produkować przedsiębiorstwo

Bardziej szczegółowo

1. Napisz program, który wyświetli Twoje dane jako napis Witaj, Imię Nazwisko. 2. Napisz program, który wyświetli wizytówkę postaci:

1. Napisz program, który wyświetli Twoje dane jako napis Witaj, Imię Nazwisko. 2. Napisz program, który wyświetli wizytówkę postaci: 1. Napisz program, który wyświetli Twoje dane jako napis Witaj, Imię Nazwisko. 2. Napisz program, który wyświetli wizytówkę postaci: * Jan Kowalski * * ul. Zana 31 * 3. Zadeklaruj zmienne przechowujące

Bardziej szczegółowo

Ekonometria - ćwiczenia 10

Ekonometria - ćwiczenia 10 Ekonometria - ćwiczenia 10 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 14 grudnia 2012 Wprowadzenie Optymalizacja liniowa Na

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie transportowe

Zagadnienie transportowe Zagadnienie transportowe Firma X zawarła kontrakt na dostarczenie trawnika do wykończenia terenów wokół trzech zakładów U, V i W. Trawnik ma być dostarczony z trzech farm A, B i C. Zapotrzebowanie zakładów

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik DOPUSZCZAJĄCY DOSTATECZNY DOBRY BARDZO DOBRY LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej. rozumie rozszerzenie

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2015 1 / 16 Homo oeconomicus=

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Metod Optymalizacji

Laboratorium Metod Optymalizacji Laboratorium Metod Optymalizacji Grupa nr... Sekcja nr... Ćwiczenie nr 4 Temat: Programowanie liniowe (dwufazowa metoda sympleksu). Lp. 1 Nazwisko i imię Leszek Zaczyński Obecność ocena Sprawozdani e ocena

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne Instrukcja do c wiczen laboratoryjnych Rozwiązywanie problemów programowania liniowego z użyciem MS Excel + Solver

Badania operacyjne Instrukcja do c wiczen laboratoryjnych Rozwiązywanie problemów programowania liniowego z użyciem MS Excel + Solver Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie Wydział Techniki Morskiej i Transportu Katedra Konstrukcji, Mechaniki i Technologii Okręto w Badania operacyjne Instrukcja do c wiczen laboratoryjnych

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego.

WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego. WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego. 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych,

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA DYSKRETNA

OPTYMALIZACJA DYSKRETNA Temat nr a: odelowanie problemów decyzyjnych, c.d. OPTYALIZACJA DYSKRETA Zagadnienia decyzyjne, w których chociaż jedna zmienna decyzyjna przyjmuje wartości dyskretne (całkowitoliczbowe), nazywamy dyskretnymi

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA 5 Planowanie

Bardziej szczegółowo

Scenariusz zajęć z matematyki dla klasy I gimnazjum z wykorzystaniem programu edurom Matematyka G1

Scenariusz zajęć z matematyki dla klasy I gimnazjum z wykorzystaniem programu edurom Matematyka G1 Scenariusz zajęć z matematyki dla klasy I gimnazjum z wykorzystaniem programu edurom Matematyka G1 Rozdział V: Równania i nierówności I stopnia z jedną niewiadomą Temat: Ćwiczenia utrwalające przekształcanie

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

ALGORYTMY. 1. Podstawowe definicje Schemat blokowy

ALGORYTMY. 1. Podstawowe definicje Schemat blokowy ALGORYTMY 1. Podstawowe definicje Algorytm (definicja nieformalna) to sposób postępowania (przepis) umożliwiający rozwiązanie określonego zadania (klasy zadań), podany w postaci skończonego zestawu czynności

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie programów matematycznych

Rozwiązywanie programów matematycznych Rozwiązywanie programów matematycznych Program matematyczny składa się z następujących elementów: 1. Zmiennych decyzyjnych:,,, 2. Funkcji celu, funkcji-kryterium, która informuje o jakości rozwiązania

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania

Przedmiotowy system oceniania Przedmiotowy system oceniania gimnazjum - matematyka Opracowała mgr Katarzyna Kukuła 1 MATEMATYKA KRYTERIA OCEN Kryteria oceniania zostały określone przez podanie listy umiejętności, którymi uczeń musi

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne. Hasło z podstawy programowej 1. Liczby naturalne 1 Liczby naturalne, cechy podzielności. Liczba godzin

Wymagania edukacyjne. Hasło z podstawy programowej 1. Liczby naturalne 1 Liczby naturalne, cechy podzielności. Liczba godzin . Liczby rzeczywiste (3 h) PRZEDMIOT: Matematyka KLASA: I zasadnicza szkoła zawodowa Dział programowy Temat Wymagania edukacyjne Liczba godzin Hasło z podstawy programowej. Liczby naturalne Liczby naturalne,

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA WYMAGAŃ Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY

KRYTERIA WYMAGAŃ Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY 1 KRYTERIA WYMAGAŃ Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY KLASA I LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie porównywać

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM 3 ALGORYTMY OBLICZENIOWE W ELEKTRONICE I TELEKOMUNIKACJI. Wprowadzenie do środowiska Matlab

LABORATORIUM 3 ALGORYTMY OBLICZENIOWE W ELEKTRONICE I TELEKOMUNIKACJI. Wprowadzenie do środowiska Matlab LABORATORIUM 3 ALGORYTMY OBLICZENIOWE W ELEKTRONICE I TELEKOMUNIKACJI Wprowadzenie do środowiska Matlab 1. Podstawowe informacje Przedstawione poniżej informacje maja wprowadzić i zapoznać ze środowiskiem

Bardziej szczegółowo

=B8*E8 ( F9:F11 F12 =SUMA(F8:F11)

=B8*E8 ( F9:F11 F12 =SUMA(F8:F11) Microsoft EXCEL - SOLVER 2. Elementy optymalizacji z wykorzystaniem dodatku Microsoft Excel Solver Cele Po ukończeniu tego laboratorium słuchacze potrafią korzystając z dodatku Solver: formułować funkcję

Bardziej szczegółowo

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Opracował: Zbigniew Rudnicki Powtórka z poprzedniego wykładu 2 1 Dokument, regiony, klawisze: Dokument Mathcada realizuje

Bardziej szczegółowo

Skrypt 2. Liczby wymierne dodatnie i niedodatnie. 3. Obliczanie odległości między dwiema liczbami na osi liczbowej

Skrypt 2. Liczby wymierne dodatnie i niedodatnie. 3. Obliczanie odległości między dwiema liczbami na osi liczbowej Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla gimnazjów współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 2 Liczby wymierne dodatnie i niedodatnie

Bardziej szczegółowo

Zadanie transportowe

Zadanie transportowe Zadanie transportowe Opracowanie planu przewozu jednorodnego produktu z różnych źródeł zaopatrzenia do punktów, które zgłaszają zapotrzebowanie na ten produkt. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii

Bardziej szczegółowo

P R Z E T W A R Z A N I E S Y G N A Ł Ó W B I O M E T R Y C Z N Y C H

P R Z E T W A R Z A N I E S Y G N A Ł Ó W B I O M E T R Y C Z N Y C H W O J S K O W A A K A D E M I A T E C H N I C Z N A W Y D Z I A Ł E L E K T R O N I K I Drukować dwustronnie P R Z E T W A R Z A N I E S Y G N A Ł Ó W B I O M E T R Y C Z N Y C H Grupa... Data wykonania

Bardziej szczegółowo

Jak Arabowie rozwiązywali równania?

Jak Arabowie rozwiązywali równania? Jak Arabowie rozwiązywali równania? Agnieszka Niemczynowicz Katedra Fizyki Relatywistycznej Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie Niezwykła Matematyka 2016 Co to jest równanie? Kilka dygresji z logiki.

Bardziej szczegółowo

1.2. Rozwiązywanie zadań programowania liniowego metodą geometryczną

1.2. Rozwiązywanie zadań programowania liniowego metodą geometryczną binarną są określane mianem zadania programowania binarnego. W stosunku do dyskretnych modeli decyzyjnych stosuje się odrębną klasę metod ich rozwiązywania. W dalszych częściach niniejszego rozdziału zostaną

Bardziej szczegółowo

Al. Akacjowa 16A 53-134 Wrocław

Al. Akacjowa 16A 53-134 Wrocław Instrukcja użytkownika programu Internet-Lab 1 Spis treści 1. Co to jest Internet- Lab i dla kogo jest przeznaczony?... 3 2. Jak uruchomić program Internet-Lab?... 3 3. Jak poruszać się ę po programie?...

Bardziej szczegółowo

12.Rozwiązywanie równań i nierówności liniowych oraz ich układów.

12.Rozwiązywanie równań i nierówności liniowych oraz ich układów. matematyka /.Rozwiązywanie równań i nierówności liniowych oraz ich układów. I. Przypomnij sobie:. Co to jest równanie /nierówność? Rodzaje nierówności. Ogólnie: Równaniem nazywamy dwa wyrażenia algebraiczne

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Algorytmika ćwiczenia

Zadanie 1. Algorytmika ćwiczenia Zadanie 1 Algorytmika ćwiczenia Zadanie 2 Zadanie 3 Zadanie 4 Zadanie 5 Zadanie 6 Zadanie 7 Wiązka zadań Ułamki dwójkowe W systemach pozycyjnych o podstawie innej niż 10 można zapisywać nie tylko liczby

Bardziej szczegółowo

Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO

Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO Dział programowy. Zakres realizacji 1. Liczby, działania i procenty Liczby wymierne i liczby niewymierne-działania, kolejność

Bardziej szczegółowo

Powtórzenie podstawowych zagadnień. związanych ze sprawnością rachunkową *

Powtórzenie podstawowych zagadnień. związanych ze sprawnością rachunkową * Powtórzenie podstawowych zagadnień związanych ze sprawnością rachunkową * (Materiały dydaktyczne do laboratorium fizyki) Politechnika Koszalińska październik 2010 Spis treści 1. Zbiory liczb..................................................

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny w klasie I gimnazjum do programu nauczania MATEMATYKA NA CZASIE

Wymagania na poszczególne oceny w klasie I gimnazjum do programu nauczania MATEMATYKA NA CZASIE Wymagania na poszczególne oceny w klasie I gimnazjum do programu nauczania MATEMATYKA NA CZASIE I.LICZBY - zaznacza na osi liczbowej punkty odpowiadające liczbom całkowitym, wymiernym(np. 1 2, 2 1 1 ),

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KLAS IV-VI

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KLAS IV-VI WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KLAS IV-VI Klasa IV Stopień dopuszczający otrzymuje uczeń, który potrafi: odejmować liczby w zakresie 100 z przekroczeniem progu dziesiątkowego,

Bardziej szczegółowo

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO Gra w sensie niżej przedstawionym to zasady którymi kierują się decydenci. Zakładamy, że rezultatem gry jest wypłata,

Bardziej szczegółowo

1 Moduł Modbus ASCII/RTU 3

1 Moduł Modbus ASCII/RTU 3 Spis treści 1 Moduł Modbus ASCII/RTU 3 1.1 Konfigurowanie Modułu Modbus ASCII/RTU............. 3 1.1.1 Lista elementów Modułu Modbus ASCII/RTU......... 3 1.1.2 Konfiguracja Modułu Modbus ASCII/RTU...........

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,

Bardziej szczegółowo

Szczegółowe wymagania edukacyjne na poszczególne oceny dla klasy I gimnazjum

Szczegółowe wymagania edukacyjne na poszczególne oceny dla klasy I gimnazjum Szczegółowe wymagania edukacyjne na poszczególne oceny dla klasy I gimnazjum POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K konieczny ocena dopuszczająca DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA pojęcie liczby naturalnej, całkowitej,

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY. (zakres podstawowy) klasa 2

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY. (zakres podstawowy) klasa 2 WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY (zakres podstawowy) klasa 2 1. Funkcja liniowa Tematyka zajęć: Proporcjonalność prosta Funkcja liniowa. Wykres funkcji liniowej Miejsce zerowe funkcji liniowej.

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA

Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA Szkoła: Liceum Ogólnokształcące Klasa: pierwsza Poziom nauczania: podstawowy Numer programu: DPN-5002-31/08 Podręcznik: MATEMATYKA Anna Jatczak, Monika Ciołkosz,

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z listy T.Koźniewskiego

Rozwiązania zadań z listy T.Koźniewskiego Rozwiązania zadań z listy T.Koźniewskiego 1. Podstawiamy do równań. Tylko czwarty wektor spełnia wszystkie trzy równania.. U 1 : ( + 0x 9x 4, 7x + 8x 4, x, x 4 ), U : ( x 4, 4 x 4, + x 4, x 4 ), U : (x

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja systemów

Optymalizacja systemów Optymalizacja systemów Laboratorium Zadanie nr 3 Sudoku autor: A. Gonczarek Cel zadania Celem zadania jest napisanie programu rozwiązującego Sudoku, formułując problem optymalizacji jako zadanie programowania

Bardziej szczegółowo

Wymagania eduka cyjne z matematyki

Wymagania eduka cyjne z matematyki Wymagania eduka cyjne z matematyki Klasa I - program Matematyka z plusem" Dział: LICZ B Y I DZIAŁANIA porównywać liczby wymierne, zaznaczać liczby wymierne na osi liczbowej, zamieniać ułamki zwykłe na

Bardziej szczegółowo

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 2010/11 Spis treści Rozdział 1. Modele liniowe.......................... 5 1.1.

Bardziej szczegółowo

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją

Bardziej szczegółowo

Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie:

Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie: Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, 6 11 6 11, tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Uprośćmy najpierw liczby dane w treści zadania: 8 2, 2 2 2 2 2 2 6 11 6 11 6 11 26 11 6 11

Bardziej szczegółowo

Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi Układy równań Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca 2014 1 Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi 1.1 Pojęcie układu i rozwiązania układu Układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału nauczania

Rozkład materiału nauczania Dział/l.p. Ilość godz. Typ szkoły: TECHNIKUM Zawód: TECHNIK USŁUG FRYZJERSKICH Rok szkolny 2016/2017 Przedmiot: MATEMATYKA Klasa: II 96 godzin numer programu T5/O/5/12 Rozkład materiału nauczania Temat

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

Analiza zależności liniowych

Analiza zależności liniowych Narzędzie do ustalenia, które zmienne są ważne dla Inwestora Analiza zależności liniowych Identyfikuje siłę i kierunek powiązania pomiędzy zmiennymi Umożliwia wybór zmiennych wpływających na giełdę Ustala

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III Program nauczania matematyki w gimnazjum Matematyka dla przyszłości DKW 4014 162/99 Opracowała: mgr Mariola Bagińska 1. Liczby i działania Podaje rozwinięcia

Bardziej szczegółowo

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Strona1 Napisz program, który czyta zdanie, a następnie wypisuje po kolei długości kolejnych jego wyrazów. Zakładamy, że zdanie zawiera litery alfabetu łacińskiego i spacje (po jednej pomiędzy dwoma dowolnymi

Bardziej szczegółowo