Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE

Transkrypt

1 Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.1 Opis programów Do rozwiązania zadań programowania liniowego metodą simpleks (wraz z analizą wrażliwości) wykorzystujemy program SIMP.EXE. Implementacją komputerową dualnej metody simpleks jest program DUAL.EXE. Zagadnienia programowania parametrycznego rozwiązujemy za pomocą programu PARAM.EXE Opis programu SIMP.EXE Wprowadzanie nowego zadania Wprowadzając nowe zadanie, podajemy kolejno: - rodzaj zadania (maksymalizacja lub minimalizacja), - liczbę zmiennych (maksymalnie 20), - liczbę ograniczeń (maksymalnie 20), - współczynniki funkcji celu. Dla kolejno wprowadzanych ograniczeń podajemy: - współczynniki stojące przy niewiadomych, - rodzaj ograniczenia (,, =), - wartość prawej strony. W programie SIMP.EXE zakłada się, że wszystkie występujące w zadaniu zmienne spełniają warunki nieujemności. Edycja zadania W fazie edycji możemy dokonać następujących zmian: - zamienić zadanie minimalizacji na zadanie maksymalizacji oraz zadanie maksymalizacji na zadanie minimalizacji, - zmniejszyć lub zwiększyć liczbę zmiennych, - zmniejszyć lub zwiększyć liczbę warunków ograniczających, - zmienić współczynniki funkcji celu, macierzy warunków ograniczających oraz prawych stron. W przypadku zwiększenia rozmiarów zadania należy uzupełnić brakujące dane. Tryb konwersacyjny Możliwości stosowania Tryb konwersacyjny programu SIMP.EXE może być wykorzystany wówczas, gdy liczba wszystkich zmiennych występujących w rozwiązywanym zadaniu (a więc zmiennych zadania początkowego oraz zmiennych wprowadzonych dodatkowo)pomniejszona o liczbę warunków ograniczających (bez warunków nieujemności) jest nie większa od 7, a liczba warunków ograniczających - nie większa od 9. Ograniczenie to pozwala wyświetlić na

2 ekranie monitora kolejne tablice simpleksowe. Jeżeli łączna liczba wszystkich zmiennych występujących w zadaniu nie przekroczy 7, to wówczas na ekranie monitora pojawiają się pełne tablice simpleksowe, jeżeli natomiast ten dodatkowy warunek nie jest spełniony, możemy obserwować jedynie tablice uproszczone, w których pominięto kolumny bazowe. Sprowadzanie zadania do postaci bazowej Układ warunków ograniczających jest w dopuszczalnej postaci bazowej, gdy wszystkie występujące ograniczenia są równościami, z macierzy utworzonej ze współczynników lewych stron warunków ograniczających można wybrać kolumny w taki sposób, by po ewentualnej zmianie kolejności tworzyły one macierz jednostkową, oraz wszystkie współczynniki prawych stron są nieujemne. Zazwyczaj zadanie początkowe nie jest w dopuszczalnej postaci bazowej i wymaga przekształcenia. Gdy rozpatrywane ograniczenie jest nierównością typu, dodajemy do lewej strony zmienną bilansującą, natomiast, gdy jest typu, odejmujemy od lewej strony zmienną bilansującą. Często niezbędne jest również dodatnie do warunków w postaci równości zmiennych sztucznych i wprowadzenie tych zmiennych do funkcji celu z odpowiednio dużymi współczynnikami. Omówione powyżej przekształcenia realizowane są przez użytkownika programu. Na ekranie monitora pojawia się zadanie w postaci symbolicznej, w której wykorzystano symbole +,, l, 0, M, M, odpowiadające kolejno liczbie dodatniej (z wyjątkiem jedynki), liczbie ujemnej, jedynce, zeru oraz nieokreślonemu chwilowo co do wielkości współczynnikowi M lub M przy zmiennej sztucznej w funkcji celu. Po stwierdzeniu, że zadanie nie jest w postaci bazowej użytkownik wybiera ograniczenie i podaje, w jaki sposób należy przekształcić to ograniczenie. Dodanie lub odjęcie zmiennej bilansującej oraz dodanie zmiennej sztucznej powodują rozszerzenie obserwowanej na ekranie symbolicznej postaci zadania. W przypadku wprowadzenia zmiennych sztucznych istnieje możliwość określenia przez użytkownika wartości współczynnika M. W programie SIMP.EXE, dla zadania maksymalizacji przyjęto, że jest ona nie mniejsza niż stukrotna wartość największego dodatniego współczynnika funkcji celu lub wynosi 100 w przypadku, gdy żaden nie jest dodatni. W zadaniu minimalizacji wartość M. jest nie większa niż stukrotna wartość najmniejszego ujemnego współczynnika funkcji celu lub wynosi 100 w przypadku, gdy żaden nie jest ujemny. Kolejne iteracje Na ekranie monitora pojawia się (w zależności od liczby zmiennych i ograniczeń) pełna lub skrócona tablica simpleksowa. Znajdujemy w niej informacje dotyczące kierunku optymalizacji, wartości współczynników funkcji celu, współczynników warunków ograniczających, prawych stron warunków ograniczających oraz współczynników optymalności. Dodatkowo (już poza tablicą simpleksową) znajdują się informacje o wartości funkcji celu odpowiadającej aktualnie rozpatrywanemu rozwiązaniu oraz dokładne wartości współczynników optymalności. Jeżeli liczba nie mieści się w przeznaczonej dla niej polu, wyświetlana jest ona w postaci symbolicznej z wykorzystaniem symboli > dla dużej liczby dodatniej lub < dla dużej co do wartości bezwzględnej liczby ujemnej. W przypadku konieczności porównania ze sobą dwóch lub więcej liczb zapisanych symbolicznie dla wygody użytkownika największa z nich przedstawiona jest symbolem >> (w przypadku zadania maksymalizacji), a najmniejsza symbolem << (dla zadania minimalizacji). W kolejnych iteracjach użytkownik: - analizując wartości współczynników optymalności, rozstrzyga, czy aktualnie rozpatrywane rozwiązanie jest optymalne, czy też nie, - przeglądając wartości wskaźników optymalności, wybiera zmienną, która zostaje wprowadzona do bazy, - obserwując współczynniki wybranej kolumny, stwierdza, czy funkcja celu jest ograniczona, czy też nie, - wykorzystując pomocniczą planszę, zawierającą ilorazy wartości prawych stron podzielonych przez współczynniki wybranej uprzednio kolumny, określa zmienną, która ma opuścić bazę.

3 Program oblicza nową tablicę simpleksową i przechodzi do wykonania następnej iteracji. Postępowanie to kontynuujemy aż do otrzymania rozwiązania optymalnego lub stwierdzenia, że funkcja celu nie jest ograniczona. W przypadku gdy do zadania zostały dołączone zmienne sztuczne, użytkownik sprawdza, czy otrzymane rozwiązanie optymalne zadania rozszerzonego jest również rozwiązaniem zadania wyjściowego. Zadanie wyjściowe jest sprzeczne wtedy, kiedy w bazie otrzymanej w ostatniej iteracji znajduje się choć jedna zmienna sztuczna i ma wartość dodatnią. Dokładne rozwiązanie W celu zapoznania się z dokładnymi wynikami użytkownik podaje interesującą go liczbę miejsc po przecinku (od 0 do 9). Tablica wynikowa zawiera również wartości wskaźników optymalności oraz informację o tym, czy dana zmienna jest zmienną decyzyjną oraz o tym, czy jest zmienną bazową. Analiza wrażliwości Możemy prześledzić analizę wrażliwości rozwiązania na zmiany współczynników funkcji celu oraz warunków ograniczających. Użytkownik odczytuje przedziały zmienności dla poszczególnych współczynników funkcji celu i prawych stron warunków ograniczających oraz ich aktualną wartość w zadaniu. Alternatywne rozwiązania optymalne O ile istnieją bazowe rozwiązania alternatywne, można wygenerować je kolejno, stosując odpowiednią strategię postępowania. Chcąc otrzymać kolejne optymalne bazowe rozwiązanie alternatywne, użytkownik wybiera zmienną wprowadzaną do bazy oraz zmienną usuwaną z bazy (wykorzystując zerowe współczynniki dla zmiennych niebazowych oraz kryterium wyjścia prymalnej metody simpleks). Dla każdego otrzymanego w ten sposób rozwiązania może odczytać wyniki z ustaloną dokładnością, a także przeprowadzić analizę wrażliwości. Tryb rozwiązania końcowego Program wybiera opcję przejścia do rozwiązania końcowego wówczas, gdy ze względu na rozmiary zadania nie jest możliwe wykorzystanie trybu konwersacyjnego. Opcja ta może zostać również włączona w każdym momencie rozwiązywania zadania w trybie konwersacyjnym na życzenie użytkownika programu. W przypadku gdy rozmiary zadania pozwalają na wyświetlenie ostatniej tablicy simpleksowej, pojawia się ona na ekranie i użytkownik (podobnie jak w trybie konwersacyjnym) może zapoznać się z dokładnym rozwiązaniem, przeprowadzić analizę wrażliwości oraz przyjść do alternatywnego bazowego rozwiązania optymalnego (o ile takie istnieje). Jeżeli rozmiary zadania nie pozwalają na wyświetlenie ostatniej tablicy simpleksowej, na ekranie monitora pojawia się plansza końcowa, na której znajduje się zestawienie wartości wszystkich zmiennych, pojawiających się w zadaniu, odpowiadające im wartości wskaźników optymalności, optymalna wartość funkcji celu oraz informacja o tym, czy występują alternatywne bazowe rozwiązania optymalne. Jeżeli zadanie jest sprzeczne, na ekranie monitora pojawia się odpowiednia informacja. Przeglądanie (wydrukowanie) rozwiązania Zestawienie skrócone Zawiera dane wejściowe zadania oraz wyniki końcowe, obejmujące optymalne wartości zmiennych, odpowiadające im wskaźniki optymalności, optymalną wartość funkcji celu, a także analizę wrażliwości dla kolejnych współczynników funkcji celu oraz składowych wektora wyrazów wolnych. Ponadto w zbiorze tym umieszczone są alternatywne

4 bazowe rozwiązania optymalne wyznaczone przez użytkownika w trakcie wykorzystania programu wraz z analizą wrażliwości. Zestawienie pełne Zawiera dla zadań, które można rozwiązać w trybie konwersacyjnym, tablice simpleksowe dla kolejnych iteracji. Dla zadań o większych rozmiarach zestawienie pełne jest takie samo jak zestawienie skrócone Opis programu DUAL.EXE Wprowadzanie nowego zadania Wprowadzając nowe zadanie, podajemy kolejno: - rodzaj zadania (maksymalizacja lub minimalizacja), - liczbę zmiennych (maksymalnie 20), - liczbę ograniczeń (maksymalnie 20), - współczynniki funkcji celu. Dla kolejno wprowadzanych ograniczeń podajemy: - współczynniki stojące przy niewiadomych, - rodzaj ograniczenia (,, =), - wartość prawej strony. W programie DUAL.EXE zakłada się, że wszystkie występujące w zadaniu zmienne spełniają warunki nieujemności. Edycja zadania W fazie edycji możemy dokonać następujących zmian: - zamienić zadanie minimalizacji na zadanie maksymalizacji oraz zadanie maksymalizacji na zadanie minimalizacji, - zmniejszyć lub zwiększyć liczbę zmiennych, - zmniejszyć lub zwiększyć liczbę warunków ograniczających, - zmienić współczynniki funkcji celu, macierzy warunków ograniczających oraz prawych stron. W przypadku zwiększenia rozmiarów zadania należy uzupełnić brakujące dane. Tryb konwersacyjny Możliwości stosowania Tryb konwersacyjny programu DUAL.EXE może być wykorzystany wówczas, gdy liczba wszystkich zmiennych występujących w rozwiązywanym zadaniu (a więc zmiennych zadania początkowego oraz zmiennych wprowadzonych dodatkowo), pomniejszona o liczbę warunków ograniczających (bez warunków nieujemności), jest nie większa od 7, a liczba warunków ograniczających - nie większa od 9. Ograniczenie to pozwala wyświetlić na ekranie monitora kolejne tablice simpleksowe. Jeżeli łączna liczba wszystkich zmiennych występujących w zadaniu nie przekroczy 7, to wówczas na ekranie monitora pojawiają się pełne tablice simpleksowe, jeżeli natomiast ten dodatkowy warunek nie jest spełniony, możemy obserwować jedynie tablice uproszczone, w których pominięto kolumny bazowe. Generowanie pierwszego rozwiązania bazowego Układ warunków ograniczających jest w postaci bazowej, gdy wszystkie występujące ograniczenia są równościami, z macierzy utworzonej ze współczynników lewych stron warunków ograniczających można wybrać kolumny w taki sposób, by po ewentualnej zmianie kolejności tworzyły one macierz jednostkową. Nie jest przy tym wymagane, aby prawe strony warunków ograniczających były liczbami nieujemnymi.

5 Zazwyczaj zadanie początkowe nie jest w postaci bazowej i wymaga przekształcenia. Gdy rozpatrywane ograniczenie jest nierównością, odpowiednio dodajemy do lewej strony lub odejmujemy zmienna bilansującą. W warunku ograniczającym w postaci równości staramy się uzyskać zmienną bazową przez podzielenie współczynników tego równania przez niezerowy współczynnik stojący przy wybranej zmiennej. Jeżeli to postępowanie byłoby nieskuteczne, zamieniamy równanie na dwie nierówności, po czym do każda z nich uzupełniana jest w odpowiedni sposób zmienną bilansującą. Omówione powyżej przekształcenia realizowane są przez użytkownika. Na ekranie monitora pojawia się zadanie w postaci symbolicznej, w której wykorzystano symbole +,, l, odpowiadające liczbie dodatniej (z wyjątkiem jedynki), liczbie ujemnej, jedynce i zeru. Wybieramy przekształcane ograniczenie i wprowadzamy zmienną bilansującą, dzielimy równanie przez liczbę różną od zera lub zamieniamy równanie na dwie nierówności. Podejmowanym decyzjom o wprowadzeniu dodatkowych zmiennych odpowiada rozszerzenie obserwowanej na ekranie symbolicznej postaci zadania. Pierwsze rozwiązanie bazowe powinno być rozwiązaniem bazowym optymalnym (niekoniecznie dopuszczalnym). Jeżeli nie ma ono tej własności, do zbioru warunków ograniczających dołączamy sztuczne ograniczenie. Użytkownik podaje współczynniki sztucznego ograniczenia oraz jego prawą stronę w postaci symbolicznej, wpisując symbol M, oznaczający dużą liczbę dodatnią (będącą przynajmniej stukrotnie większą od największej dodatniej wartości prawej strony lub wynosi 100, jeżeli żadna wartość wyrazu wolnego nie jest dodatnia). Aby otrzymać pierwszą bazę optymalną, należy usunąć z bazy zmienną bilansującą sztucznego ograniczenia i na to miejsce wprowadzić zmienną niebazową o największej wartości współczynnika funkcji celu. Kolejne iteracje Na ekranie monitora pojawia się pełna lub skrócona tablica simpleksowa. Znajdujemy w niej informacje dotyczące kierunku optymalizacji, wartości współczynników funkcji celu, współczynników warunków ograniczających, prawych stron warunków ograniczających oraz współczynników optymalności. Dodatkowo (już poza tablicą simpleksową) znajdują się informacje o wartości funkcji celu odpowiadającej aktualnie rozpatrywanemu rozwiązaniu oraz dokładne wartości współczynników optymalności. Jeżeli liczba nie mieści się w przeznaczonej dla niej polu, wyświetlana jest ona w postaci symbolicznej z wykorzystaniem symboli > dla dużej liczby dodatniej lub < dla dużej co do wartości bezwzględnej liczby ujemnej. W przypadku konieczności porównania ze sobą dwóch lub więcej małych liczb zapisanych symbolicznie dla wygody użytkownika najmniejsza z nich przedstawiona jest symbolem <<. W kolejnych iteracjach użytkownik: - analizując wartości prawych stron, rozstrzyga, czy aktualnie rozpatrywane rozwiązanie jest dopuszczalne, czy też nie, - przeglądając wartości prawych stron, wybiera zmienną usuwaną z bazy, - obserwując współczynniki wybranego wiersza, stwierdza, czy rozpatrywane zadanie jest sprzeczne, czy też nie, - wykorzystując pomocniczą planszę, zawierającą ilorazy wartości współczynników optymalności podzielonych przez współczynniki wybranego uprzednio wiersza, określa zmienną wprowadzaną do bazy. Program oblicza nową tablicę simpleksową i przechodzi do wykonania następnej iteracji. Postępowanie to kontynuujemy aż do otrzymania rozwiązania optymalnego lub stwierdzenia, że zadanie jest sprzeczne. W przypadku gdy do zadania zostało dołączone sztuczne ograniczenie, należy upewnić się, czy funkcja celu jest ograniczona. Będzie tak wówczas, gdy w ostatniej bazie znajdzie się zmienna bazowa sztucznego ograniczenia.

6 Dokładne rozwiązanie W celu zapoznania się z dokładnymi wynikami użytkownik podaje interesującą go liczbę miejsc po przecinku (od 0 do 9). Tablica wynikowa zawiera również wartości wskaźników optymalności oraz informację o tym, czy dana zmienna jest zmienną decyzyjną oraz czy jest zmienna bazową. Analiza wrażliwości Na ekranie monitora odczytujemy przedziały zmienności dla poszczególnych współczynników funkcji celu oraz ich aktualną wartość w zadaniu. Alternatywne rozwiązania optymalne O ile istnieją bazowe rozwiązania alternatywne, można wygenerować je kolejno, stosując odpowiednią strategię postępowania. Chcąc otrzymać kolejne optymalne bazowe rozwiązanie alternatywne, użytkownik wybiera zmienną wprowadzaną do bazy oraz zmienną usuwaną z bazy (wykorzystując zerowe współczynniki dla zmiennych niebazowych oraz kryterium wyjścia prymalnej metody simpleks). Dla każdego otrzymanego w ten sposób rozwiązania może odczytać wyniki z ustaloną dokładnością, a także przeprowadzić analizę wrażliwości. Tryb rozwiązania końcowego Program wybiera opcję przejścia do rozwiązania końcowego wówczas, gdy ze względu na rozmiary zadania nie jest możliwe wykorzystanie trybu konwersacyjnego. Opcja ta może zostać również włączona w każdym momencie rozwiązywania zadania w trybie konwersacyjnym na życzenie użytkownika programu. W przypadku gdy rozmiary zadania pozwalają na wyświetlenie ostatniej tablicy simpleksowej, pojawia się ona na ekranie i użytkownik (podobnie jak w trybie konwersacyjnym) może zapoznać się z dokładnym rozwiązaniem, przeprowadzić analizę wrażliwości oraz przejść do alternatywnego bazowego rozwiązania optymalnego (o ile takie istnieje). Jeżeli rozmiary zadania nie pozwalają na wyświetlenie ostatniej tablicy simpleksowej, na ekranie monitora pojawia się plansza końcowa, na której znajduje się zestawienie wartości wszystkich zmiennych, pojawiających się w zadaniu, odpowiadające im wartości wskaźników optymalności, optymalna wartość funkcji celu oraz informacja o tym, czy występują alternatywne bazowe rozwiązania optymalne. Jeżeli funkcja celu nie jest ograniczona, na ekranie monitora pojawia się odpowiednia informacja. Przeglądanie (wydrukowanie) rozwiązania Zestawienie skrócone Zawiera dane wejściowe zadania oraz wyniki końcowe, obejmujące optymalne wartości zmiennych, odpowiadające im wskaźniki optymalności, optymalną wartość funkcji celu, a także analizę wrażliwości dla kolejnych współczynników funkcji celu. Ponadto w zbiorze tym umieszczone są alternatywne bazowe rozwiązania optymalne wyznaczone przez użytkownika w trakcie wykorzystania programu wraz z analizą wrażliwości. Zestawienie pełne Zawiera dla zadań, które można rozwiązać w trybie konwersacyjnym, tablice simpleksowe dla kolejnych iteracji. Dla zadań o większych rozmiarach zestawienie pełne jest takie samo jak zestawienie skrócone.

7 1.1.3 Opis programu PARAM.EXE Wprowadzanie nowego zadania Wprowadzając nowe zadanie, podajemy kolejno: - rodzaj zadania (maksymalizacja lub minimalizacja), - liczbę zmiennych (maksymalnie 20), - liczbę ograniczeń (maksymalnie 20), - rodzaj parametryzacji (parametryzacja funkcji celu lub wyrazu wolnego). W przypadku parametryzacji funkcji celu użytkownik podaje współczynniki funkcji celu niezależne i zależne od parametru. Dla kolejno wprowadzanych ograniczeń użytkownik wprowadza: - współczynniki stojące przy niewiadomych, - rodzaj ograniczenia (,, =), - wartość prawej strony ograniczenia. W przypadku parametryzacji wyrazu wolnego użytkownik podaje współczynniki funkcji celu, a następnie dla kolejnych ograniczeń wprowadza: - współczynniki stojące przy niewiadomych, - rodzaj ograniczenia (,, =), - wartości prawej strony ograniczenia niezależne i zależne od parametru. W programie PARAM.EXE zakłada się, że wszystkie występujące w zadaniu zmienne spełniają warunki nieujemności. Edycja zadania W fazie edycji możemy dokonać następujących zmian: - zamienić zadanie minimalizacji na zadanie maksymalizacji oraz zadanie maksymalizacji na zadanie minimalizacji, - zamienić parametryzację funkcji celu na parametryzację wyrazu wolnego oraz parametryzację wyrazu wolnego na parametryzację funkcji celu, - zmniejszyć lub zwiększyć liczbę warunków ograniczających, - zmienić współczynniki funkcji celu, macierzy warunków ograniczających oraz prawych stron. W przypadku zmiany rodzaju parametryzacji zadania oraz/lub zwiększenia jego rozmiarów należy uzupełnić brakujące dane. Tryb konwersacyjny Możliwości stosowania Oznaczymy przez n liczbę zmiennych w zadaniu, a przez m. liczbę warunków ograniczających. Tryb konwersacyjny może być zastosowany wówczas, gdy n m. 6 i m. 6 w przypadku parametryzacji funkcji celu n m. 6 i m. 8 w przypadku parametryzacji wektora wyrazów wolnych oraz liczba przedziałów, na które podzielony zostanie zbiór parametrów nie przekracza 20. Początkowa wartość parametru Użytkownik podaje początkową wartość parametru. Może nią być dowolna liczba rzeczywista, dla której istnieje rozwiązanie. Wartością proponowaną przez program jest zero. Kolejne iteracje W kolejnych iteracjach na podstawie obserwacji tablic simpleksowych, uwzględniających sparametryzowane współczynniki optymalności (sparametryzowane prawe strony), użytkownik formułuje układ nierówności, dla których rozwiązanie pozostanie optymalne (w przypadku parametryzacji funkcji celu) lub dopuszczalne (w przypadku parametryzacji wyrazu wolnego). Program podaje rozwiązanie tego układu nierówności. Na

8 końcu znalezionego przedziału może istnieć alternatywne rozwiązanie optymalne (w przypadku parametryzacji funkcji celu) lub alternatywne rozwiązanie dopuszczalne (w przypadku parametryzacji wyrazu wolnego). Zadaniem użytkownika jest zastosowanie kryterium wejścia i wyjścia zgodnie z prymalną (dualną) metodą simpleks. Po zidentyfikowaniu i przeanalizowaniu wszystkich przedziałów zmienności parametru na prawo od wartości początkowej przechodzimy do wartości znajdujących się po lewej stronie tej wartości i identyfikujemy oraz analizujemy kolejne przedziały (o ile takie przedziały istnieją). Tryb rozwiązania końcowego Program wybiera opcję przejścia do rozwiązania końcowego wówczas, gdy ze względu na rozmiary zadania nie jest możliwe wykorzystanie trybu konwersacyjnego, przy czym liczba przedziałów, na które zostaje podzielony zbiór parametrów nie może przekraczać 50. Opcja ta może zostać również włączona w każdym momencie rozwiązywania zadania w trybie konwersacyjnym na życzenie użytkownika programu. Na ekranie monitora pojawia się plansza wynikowa, na której znajduje się zestawienie znalezionych przedziałów zmienności dla parametru. Naciskając klawisz F2, użytkownik może zidentyfikować rozwiązanie (optymalne i dopuszczalne) dla każdego z tych przedziałów. Zbiory wynikowe Zestawienie skrócone Zawiera dane wejściowe zadania i wyniki końcowe, obejmujące informacje o kolejnych przedziałach parametru t oraz rozwiązania (optymalne i dopuszczalne) w każdym z tych przedziałów. Rozwiązanie pełne Zawiera ponadto wszystkie pojawiające się kolejno tablice simpleksowe i układy nierówności, rozpatrywane w celu identyfikacji kolejnych przedziałów wartości parametru t.