Wykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks."

Transkrypt

1 Wykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks. 1

2 Programowanie matematyczne jest to zbiór metod poszukiwania punktu optymalizującego (minimalizującego lub maksymalizującego) wartość funkcji rzeczywistej w podzbiorze przestrzeni R n. Jednym z działów programowania matematycznego jest programowanie liniowe, w którym optymalizuje się wartość funkcji liniowej na zbiorze określonym przez układ warunków (równań i nierówności) liniowych. Metoda sympleks opracowana przez Georga Dantziga jest iteracyjną metodą rozwiązywania zadań programowania liniowego za pomocą kolejnego polepszania (optymalizacji) rozwiązania. Nazwa metody pochodzi od sympleksu, czyli otoczki wypukłej zbioru (n + 1)-elementowego w przestrzeni n wymiarowej. Polega na sprawdzaniu kolejnych wierzchołków wielościanów, w ten sposób, że przechodzi się od wierzchołka do sąsiedniego wierzchołka w pewnym sympleksie optymalizując (zwiększając lub zmniejszając) wartość funkcji. 1 Podstawowe pojęcia i oznaczenia Oznaczenia: Z p,q := {t Z : p t q}, N p,q := {t N : p t q}. Dla A M m,n : A k oznacza k-tą kolumnę macierzy A, A k oznacza k-ty wiersz macierzy A. Zatem A = (A 1... A n ) lub A = (A 1... A n ) T. Dla A M m,n, m n, B N 1,n (B - zbiór m-elementowy): B := N 1,n \ B, A B := (A j1... A jm ), gdzie j 1 <... < j m, j 1,..., j m B. Definicja 1 Problemem programowania liniowego (problemem PL) nazywamy następujący problem: dla dowolnie ustalonych m, n N oraz macierzy A M m,n, b M m,1, c M 1,n, zminimalizować funkcjonał M n,1 x cx (1) przy warunkach oraz Ax = b (2) x 0. (3) Warunki (2)-(3) nazywamy warunkami ograniczającymi, zaś funkcjonał (1) nazywamy funkcją celu.. Definicja 2 Rozwiązaniem dopuszczalnym problemu PL nazywamy wektor x spełniający warunki ograniczające (2)-(3). Zbiór nazywamy zbiorem rozwiązań dopuszczalnych. D := {x M n,1 : Ax = b, x 0} (4) 2

3 Definicja 3 Rozwiązaniem optymalnym nazywamy rozwiązanie dopuszczalne minimalizujące funkcję celu (1), tj. wektor ẋ D spełniający warunek cẋ = min cx. Zbiór rozwiązań optymalnych x D oznaczamy symbolem D opt. Zadanie PL polega więc na tym, aby ze zbioru rozwiązań układu m równań, spełniających warunki nieujemności, wyznaczyć takie rozwiązanie, przy którym funkcja celu osiąga wartość minimalną. W postaci skalarnej problem PL możemy zapisać następująco: zminimalizować wyrażenie przy warunkach c 1 x c n x n a 11 x a 1n x n = b 1. a m1 x a mn x n = b m x 1 0. x n 0. Problem (1) - (3) nazywany jest problemem programowania liniowego w postaci standardowej (dla odróżnienia od innych postaci). Inne postacie problemu PL można sprowadzić do postaci (1) - (3). Wyróżniamy trzy sytuacje: (i) Funkcja cx ma być zmaksymalizowana. Wtedy minimalizujemy funkcję cx. (ii) Niektóre z warunków (2) mają postać nierówności liniowych. Rozpatrzmy na przykład warunek postaci a 11 x a 1n x n b 1. Warunek ten zastępujemy warunkami a 11 x a 1n x n + x n+1 = b 1 oraz x n+1 0, czyli do problemu PL wprowadzamy nową zmienną x n+1 := b 1 (a 11 x a 1n x n ), która na podstawie początkowego warunku daje nierówność x n+1 0. (iii) Niektóre zmienne przyjmują dowolne wartości rzeczywiste (mogą być ujemne). Niech na przykład x 1 R, czyli może przyjmować wartości ujemne. Wówczas do problemu wyjściowego podstawiamy: x 1 = x 1 x 1 gdzie x 1, x 1 0, otrzymując równoważny problem. Definicja 4 Problem PL nazywamy sprzecznym, jeśli zbiór rozwiązań dopuszczalnych D określony w (4) jest zbiorem pustym. Uwaga 1 W dalszym ciągu rozważać będziemy wyłącznie problem PL, w którym macierz A jest rzędu m, czyli problem PL, który nie zawiera równań liniowo zależnych (można je wyeliminować i nie zmieni to zbioru rozwiązań). Załóżmy teraz, że X := M n,1 dla dowolnie ustalonego n N. Definicja 5 Niech a M 1,n, x X, b R. Jeśli a 0, to zbiór nazywamy półprzestrzenią domkniętą, zaś zbiór nazywamy hiperpłaszczyzną. P b a := {x : ax b} (5) H b a := {x : ax = b} (6) 3

4 Definicja 6 Wielościennym zbiorem wypukłym nazywamy zbiór M X będący przecięciem skończonej liczby półprzestrzeni domkniętych: P b 1 a 1,..., P b m a m, gdzie b i R, a i M 1,n, i N 1,m, czyli m M = P b i a i = {x X : a i x b i }. (7) Definicja 7 Rozwiązaniem dopuszczalnym równania i=1 Ax = b z niewiadomą x M n,1 (8) nazywamy każdą macierz x M n,1 spełniającą warunki Ax = b i x 0. Definicja 8 Rozwiązanie dopuszczalne x nazywamy bazowym rozwiązaniem dopuszczalnym względem macierzy bazowej A B, jeśli x j = 0 dla każdego j B. Twierdzenie 1 Dla każdej macierzy bazowej A B istnieje dokładnie jedno rozwiązanie bazowe A 1 B b, j B x[b] j = 0, j B. (9) Dowód. Bez zmniejszenia ogólności rozważań, przyjmijmy, że B = N 1,m. Wtedy B = N 1,n \B = N m+1,n. Przyjmijmy następujący zapis a a 1m a 1m+1... a 1n A =. = [ A B A B ], x = a m1... a mm a mm+1... a mn Z warunku Ax = b mamy więc [ ] [ ] x AB A B B x B = b, czyli A B x B + A B x B = b. x 1. x m x m+1 Ponieważ macierz A B jest nieosobliwa więc istnieje macierz odwrotna A 1 B. Wówczas Przyjmując x B = 0, otrzymujemy a stąd, x B = A 1 B (b A B x B ). x =. x n = [ ] xb x B x B = A 1 B b, (10) [ ] xb x B jest jedynym bazowym rozwiązaniem względem A B. [ ] A 1 B b = 0 Wniosek 1 Dla każdej macierzy bazowej A B istnieje co najwyżej jedno bazowe rozwiązanie dopuszczalne. Wniosek 2 Macierz bazowa A B jest dopuszczalna wtedy i tylko wtedy, gdy A 1 B b 0. Twierdzenie 2 Rozwiązanie dopuszczalne x równania (8) jest bazowym rozwiązaniem dopuszczalnym wtedy i tylko wtedy, gdy jest wierzchołkiem zbioru rozwiązań dopuszczalnych tego równania. 4.

5 2 Postać bazowa problemu programowania liniowego Definicja 9 Mówimy, że problem (1)-(3) jest problemem w postaci bazowej względem m-elementowego zbioru B N 1,n, jeśli: (i) macierz A B jest macierzą jednostkową z dokładnością do kolejności wierszy; (ii) b 0; (iii) c j = 0 dla każdego j B. Twierdzenie 3 Dla niesprzecznego problemu PL (1)-(3) istnieje równoważny mu problem PL w postaci bazowej względem ustalonego zbioru B, tzn. oba problemy mają ten sam zbiór rozwiązań dopuszczalnych i optymalnych. Dowód. Wykażemy, że dla dowolnej macierzy bazowej dopuszczalnej A B istnieje problem PL w postaci bazowej względem zbioru B równoważny problemowi (1)-(3). Niech A B będzie macierzą bazową dopuszczalną, a więc istnieje macierz odwrotna A 1 B. Z wniosku 2 mamy A 1 B b 0. (11) Rozpatrzmy funkcję celu określoną w (1) na zbiorze D danym przez (4). Dla każdego x D zachodzi Ax = b. Stąd A 1 B Ax = A 1 B b, (12) co daje c B A 1 B Ax + c B A 1 B b = 0. Wówczas cx = cx c B A 1 B Ax + c B A 1 B b, x D (13) Zauważmy, że c B A 1 B b jest wielkością stałą. Rozpatrzmy teraz problem zminimalizowania funkcjonału M n,1 x dx (14) przy warunkach w którym Hx = h 0 oraz x 0, (15) gdzie Oznaczmy H :=A 1 B A, (16) h 0 :=A 1 B b, (17) d :=c z, (18) z := c B A 1 B A = c B H M 1,n. (19) z o := c B A 1 B b = c B h 0. (20) Na mocy (12) warunki ograniczające (2) i (15) są równoważne. Z (13) i z (18)-(20) otrzymujemy cx = (c z)x + z 0 = dx + z 0, (21) gdzie z 0 jest wielkością stałą. Zatem minimalizacja funkcji celu x cx określonej w (1) jest równoważna minimalizacji funkcji x dx określonej w (14). Zatem problemy (1)-(3) i (14)-(15) są równoważne. 5

6 Należy jeszcze wykazać, że drugi z nich jest problemem w postaci bazowej. Bez zmniejszenia ogólności rozważań przyjmijmy, że B = N 1,m. Z (16) mamy H = [ H B H B ] [ ] = A 1 B AB A B, a stąd Ponadto z (17) i (11) mamy Natomiast z (18) i (19) mamy H B = A 1 B A B = I. (22) h 0 = A 1 B b 0. (23) d = c z = c c B H, (24) czyli [ ] [ ] [ ] [ ] db d B = cb c B cb HB H B = cb c B H B c B c B H B. (25) Z (25) i (22) otrzymujemy d B = c B c B H B = c B c B I = 0. (26) Warunki (22), (23) i (26) oznaczają, że problem (14)-(15) określony przez (16)-(19) jest problemem w postaci bazowej, co kończy dowód. Z (16) wynika, że gdzie a więc a j = A B h j, j N 1,n. A B H = A, czyli A B [ h1... h n ] = [ a1... a n ], a j := A j i h j := H j dla j N 1,n, Wniosek 3 Liczba z 0 określona wzorem (20) jest wartością funkcji celu (1) odpowiadającą bazowemu rozwiązaniu dopuszczalnemu względem macierzy bazowej A B. Stosowanie metody sympleks polega na kolejnym przekształcaniu problemu PL (1)-(3) do odpowiednich postaci bazowych. Załóżmy, że zadany jest problem PL (1)-(3) oraz zbiór B N 1,n jest dowolnie ustalonym zbiorem takim, że A B jest macierzą bazową dopuszczalaną. Z dowodu twierdzenia 3 wynika, że macierze H, h 0 i d określone wzorami (16)-(19), wyznaczają problem PL w postaci bazowej względem zbioru B równoważny problemowi PL (1)-(3). Istotną rolę odgrywają elementy d j = c j z j, j B macierzy d = c z (c j := c(1, j), d j := d(1, j), z j := z(1, j) dla j N 1,n ). Elementy te pozwalają stwierdzić, czy bazowe rozwiązanie dopuszczalne x[b] względem macierzy bazowej A B jest rozwiązaniem optymalnym i dlatego nazywamy je wskaźnikami optymalności. Wynika to z następującego twierdzenia. Twierdzenie 4 Jeżeli c z 0, to x[b] jest rozwiązaniem optymalnym problemu PL (1)-(3). Dowód. Dla każdego x D mamy x 0. Ponadto z założeń twierdzenia wiemy, że c z 0. Zatem dla każdego x D mamy (c z)x 0. (27) 6

7 Ponieważ problem PL jest w postaci bazowej względem zbioru B więc d j = c j z j = 0 dla każdego j B, zaś dla bazowego rozwiązania dopuszczalnego x[b] względem macierzy bazowej A B z definicji 8 mamy x[b] j = 0 dla każdego j B (x[b] j := x[b](j, 1), j N 1,n ). Zatem n (c z)x[b] = j z j )x[b] j = j=1(c (c j z j )x[b] j + (28) j B + (c j z j )x[b] j = 0 x[b] j + (c j z j ) 0 = 0. j B j B j B Stąd oraz z (27) i (18) wynika, że x[b] jest rozwiązaniem optymalnym problemu PL. Twierdzenie 5 Jeżeli istnieje k B takie, że c k z k < 0 oraz h k celu problemu PL postaci (1)-(3) jest nieograniczona od dołu. = A 1 B a k 0, to funkcja Uwaga 2 Często postać bazową uzyskuje się doprowadzając problem do postaci standardowej przez wprowadzenie tzw. zmiennych dodatkowych. Często jednak to nie wystarcza. Najprostszym sposobem wyznaczania początkowej postaci bazowej jest wprowadzenie tzw. zmiennych sztucznych. Rozpatrzmy problem PL w postaci (1)-(3). Przyjmijmy, że dla uzyskania postaci bazowej do każdego równania układu (2) należy wprowadzić zmienną sztuczną. Rozpatrzmy następujący problem: zminimalizować funkcjonał m M n,1 x cx + M x s i (29) przy warunkach oraz i=1 Ax + x s = b (30) x 0, x s 0, (31) gdzie A M m,n, c M 1,n i b, x s M m,1, zaś M oznacza wystarczająco dużą liczbą (np. bardzo wysokie koszty jednostkowe). Jeśli w rozwiązaniu optymalnym (ẋ, x s ) problemu (29)-(31) zachodzi mi=1 ẋ s i = 0, to ẋ jest rozwiązaniem optymalnym problemu (1)-(3). W przeciwnym przypadku problem ten jest sprzeczny. 3 Schemat metody sympleks Wniosek 4 W każdym problemie PL zachodzi dokładnie jedna z trzech poniższych sytuacji: (i) problem PL jest sprzeczny, tj. nie istnieje jego rozwiązanie dopuszczalne, (ii) funkcja celu nie jest ograniczona od dołu, (iii) istnieje rozwiązanie optymalne. Praktyka wskazuje, że zazwyczaj rozwiązaniem problemu PL jest pojedynczy wierzchołek albo rozwiązań nie ma. Dlatego podczas rozwiązywania zadań posługiwać się można uproszczonym schematem metody sympleks: 1. Wyznaczamy początkową macierz bazową dopuszczalną A B oraz równoważną postać bazową problemu PL (1)-(3) względem zbioru B. 7

8 2. Jeśli c z = c c B A 1 B A 0, to na mocy twierdzenia 4, x[b] jest rozwiązaniem optymalnym problemu PL (1)-(3). koniec działania algorytmu! 3. Jeśli istnieje takie k B, że c k z k < 0, to wybieramy k B, dla którego c k z k jest najmniejszym wyrazem macierzy c z (kryterium wejścia). 4. Jeśli h k 0 (k wyznaczone przez kryterium z punktu 3), to na mocy twierdzenia 5 funkcja celu problemu PL (1)-(3) jest nieograniczona od dołu i tym samym problem ten nie ma rozwiązania optymalnego. 5. Jeśli h k posiada wyraz dodatni, to wybieramy l B, dla którego iloraz wyrazów macierzy h 0 przez dodatnie wyrazy macierzy h k jest najmniejszy h l0 h lk (kryterium wyjścia). 6. Tworzymy zbiór B k,l = (B \ {l}) {k} numerów kolumn nowej macierzy bazowej i wracamy do punktu 1 (początek następnej iteracji). Postępowanie zwykle (o ile jest to możliwe) zaczynamy od takiej postaci bazowej, w której A B = I, dzięki czemu wyznaczenie H, h 0, c z ze wzorów (16)-(19) jest natychmiastowe. Jeśli c z jest wektorem nieujemnym, to rozwiązaniem optymalnym jest x[b]. W przeciwnym przypadku, istnieje wyraz c k z k, który jest ujemny. Wybór najmniejszego wyrazu macierzy c z zapewnia największy jednostkowy spadek wartości minimalizowanej funkcji celu x cx. Wyraz c k z k jest bowiem zmianą wartości funkcji celu spowodowaną przez powiększenie wartości x k o 1 w stosunku do wartości funkcji celu odpowiadającej x[b]. Kryterium z punktu 3 określające macierz a k, która wejdzie do nowej macierzy bazowej (jeśli h k ma wyraz dodatni) nazywamy kryterium wejścia metody sympleks. Kryterium z punktu 5, nazwane kryterium wyjścia metody sympleks określa, która macierz a l zostanie usunięta z macierzy bazowej A B. Definicja 10 Bazowe rozwiązanie dopuszczalne x[b] nazywamy niezdegenerowanym, jeśli x[b] j > 0 dla każdego j B. W przeciwnym przypadku tzn. gdy x[b] j = 0 dla pewnego j B, rozwiązanie x[b] nazywamy zdegenerowanym. Definicja 11 Problem programowania liniowego nazywamy niezdegenerowanym, jeśli każde jego bazowe rozwiązanie dopuszczalne jest niezdegenerowane. Twierdzenie 6 W niezdegenerowanym problemie programowania liniowego metoda sympleks kończy się w skończonej liczbie iteracji. Przy rozwiązywaniu problemów PL metodą sympleks możemy stosować bardzo wygodny zapis z wykorzystaniem tablic sympleksowych. Pierwszą tablicę sympleksową można przedstawić jak w tabeli 1, natomiast każdą następną - jak w tabeli 2. Tablica 1: Zapis macierzowy pierwszej tablicy sympleksowej c c B x[b] B A b z j 0 c j z j c 8

9 Tablica 2: Zapis macierzowy tablicy sympleksowej c c B x[b] B H = A 1 B A h 0 = A 1 B b z j z = c B H z 0 = c B h 0 c j z j c z 4 Przykłady zastosowań metody sympleks w ekonomii 4.1 Optymalny wybór asortymentu produkcji Przedsiębiorstwa przemysłowe stają przed koniecznością opracowania planów produkcyjnych. Muszą podjąć decyzję co do rodzaju oraz ilości wytwarzania różnych wyrobów, uwzględniając przy tym istniejące warunki produkcji. Jednocześnie chcą osiągnąć możliwie najkorzystniejszy w danych warunkach wynik finansowy. Załóżmy, że przedsiębiorstwo może produkować n wyrobów: W 1,..., W n. Do ich produkcji zużywane jest m środków produkcji: S 1,..., S m. Dane są normy zużycia poszczególnych środków produkcji na jednostkę każdego wyrobu, zasoby środków produkcji, ceny lub zyski jednostkowe ze sprzedaży wyrobów. Należy określić, które wyroby i w jakich ilościach produkować, aby nie przekraczając posiadanych zasobów środków produkcji, zmaksymalizować zysk z ich sprzedaży. Oznaczmy a ij - zużycie i-tego środka produkcji na wytworzenie jednostki j-tego wyrobu, b i - posiadany zasób i-tego środka produkcji, c j - cena lub zysk jednostkowy ze sprzedaży j-tego wyrobu, x j - szukana wielkość produkcji j-tego wyrobu, gdzie i N 1,m, j N 1,n. Ogólny model zagadnienia można zapisać następująco c 1 x c n x n max (32) a 11 x a 1n x n b 1. (33) a m1 x a mn x n b m x 1,..., x n 0. (34) Układ nierówności (33) przedstawia ograniczenia wynikające z limitów poszczególnych środków produkcji. Lewa strona każdej z tych nierówności oznacza łączne zużycie danego środka produkcji przy wytwarzaniu wszystkich wyrobów. Zużycie to nie może być większe od zasobu. Ograniczenia (34) oznaczają, że wielkości produkcji wyrobów nie mogą być ujemne. Funkcja celu (32) jest to globalny zysk osiągnięty ze sprzedaży wszystkich wytwarzanych wyrobów. Przykład 1 Zaplanować produkcję zakładu w pewnym tygodniu w taki sposób, aby osiągnięty zysk był maksymalny. Zakład może wytwarzać dwa produkty: P 1 i P 2. Ich produkcja jest limitowana dostępnymi zasobami trzech środków: S 1, S 2 i S 3. Zasoby tych środków, zyski jednostkowe z poszczególnych produktów i nakłady jednostkowe poszczególnych środków na poszczególne produkty są podane w tabeli 3. Z danych wynika, że zysk uzyskany z wytworzenia 1 jednostki produktu P 1 wynosi 2, zaś zysk uzyskany z wytworzenia 1 jednostki produktu P 2 wynosi 3. Do produkcji tych produktów zakład może 9

10 Tablica 3: Parametry przykładowego zadania wyboru asortymentu produkcji P 1 P 2 zasoby S S S zyski 2 3 użyć 14 jednostek środka S 1, 8 jednostek środka S 2 i 16 jednostek środka S 3. Liczba 4 znajdująca się na przecięciu wiersza S 3 i kolumny P 1 oznacza, że wytworzenie 1 jednostki produktu P 1 wymaga zużycia 4 jednostek środka S 3. W podobny sposób należy interpretować pozostałe liczby zamieszczone w tabeli 3. Oznaczając przez x 1 i x 2 planowane ilości produktów P 1 i P 2, otrzymamy problem 2x 1 + 3x 2 max 2x 1 + 2x 2 14 x 1 + 2x 2 8 (35) 4x 1 16 x 1, x 2 0. Funkcja (x 1, x 2 ) 2x 1 +3x 2 oznacza łączny zysk przedsiębiorstwa. Lewa strona pierwszej nierówności określa ilość zużytego środka S 1. Wytworzenie x 1 jednostek P 1 wymaga zużycia 2x 1 jednostek S 1, zaś wytworzenie x 2 jednostek P 2 wymaga zużycia 2x 2 jednostek S 1. Łącznie zużycie środka S 1 na oba produkty wynosi 2x 1 + 2x 2 i nie może przekroczyć dostępnej ilości S 1 wynoszącej 14. Interpretacja pozostałych nierówności dotyczących środków S 2 i S 3 jest podobna. Problem (35) rozwiążemy metodą sympleks w rozdziale Wybór technologii produkcji Wiele wyrobów może być wytwarzanych przy zastosowaniu różnych sposobów produkcji - różnych procesów technologicznych, odmiennych sposobów organizacji produkcji. W warunkach ograniczonych, głównie ze względu na koszty, zasobów środków produkcji poszukiwanie optymalnego procesu technologicznego jest bardzo ważne. Wariant I. Przyjmijmy, że dany wyrób może być wytwarzany przy zastosowaniu n różnych procesów technologicznych. Przy produkcji tego wyrobu ponoszone są nakłady m czynników produkcji, których zasoby są ograniczone i wynoszą odpowiednio b 1,..., b m. Technologiczne współczynniki zużycia czynników produkcji na jednostkę wyrobu wykonywanego przy zastosowaniu j-tej technologii oznaczmy przez a ij, i N 1,m, j N 1,m. Niech c j oznacza zysk na jednostce wyrobu osiągnięty z zastosowania j-tej technologii. Należy wyznaczyć takie wielkości produkcji wyrobu przy zastosowaniu poszczególnych technologii, by łączny zysk był maksymalny. Model matematyczny takiego problemu jest postaci (32)-(34), gdzie x 1,..., x n oznaczają szukane wielkości produkcji wyrobu otrzymane przy zastosowaniu poszczególnych procesów technologicznych. Przykład 2 Zakład produkcyjny ma możliwość stosowania trzech różnych procesów technologicznych produkcji pewnego detalu. W procesie wytwarzania ponoszone są nakłady trzech czynników produkcji (surowca, energii i pracy ludzkiej), których zasoby są ograniczone. Jednostkowe nakłady 10

11 poszczególnych czynników produkcji oraz ich zasoby są podane w tabeli 4. Zysk uzyskany na jednostce wyrobu wytwarzanego przy zastosowaniu poszczególnych procesów technologicznych wynosi odpowiednio 700 zł, 600 zł i 720 zł. Tablica 4: Współczynniki nakładów dla różnych procesów technologicznych w przykładowym zadaniu proces technologiczny czynniki produkcji zasoby surowiec energia 0,5 0,4 0,5 60 praca Oznaczmy przez x 1, x 2, x 3 wielkości produkcji wyrobu otrzymane przy zastosowaniu poszczególnych procesów technologicznych. Otrzymujemy problem 700x x x 3 max 18x x x , 5x 1 + 0, 4x 2 + 0, 5x 3 60 (36) 10x x x x 1, x 2, x 3 0. Rozwiązaniem tego zadania jest x 1 = 20, x 2 = 0, x 3 = 100, wartość funkcji celu wynosi Interpretując ten wynik stwierdzamy, że zakład powinien produkować 20 jednostek detalu przy użyciu pierwszego procesu technologicznego i przy użyciu trzeciego procesu technologicznego. Maksymalny zysk wyniesie zł. Wariant II. Przyjmijmy, że przedsiębiorstwo ma wytwarzać m wyrobów w ilościach b 1,..., b m. Do ich wytwarzania może stosować n procesów technologicznych. Stosując j-ty proces w skali jednostkowej (jeden raz) uzyskuje i-ty wyrób w ilości a ij i ponosi koszty c j, i N 1,m, j N 1,n. Należy tak dobrać procesy technologiczne, by wytworzyć potrzebne ilości poszczególnych wyrobów przy najmniejszych kosztach. Model matematyczny przedstawia się następująco c 1 x c n x n min a 11 x a 1n x n = b 1 a m1 x a mn x n = b m x 1,..., x n 0.. (37) gdzie x 1,..., x n oznaczają odpowiednie ilości jednostek, w jakich należy prowadzić poszczególne procesy technologiczne, np. kilowaty energii, tony surowca, godziny pracy maszyny. Przykład 3 Przedsiębiorstwo ma dostarczyć 3 różne detale w ilościach b 1 =2000, b 2 =1000, b 3 =4000. Ma możliwość zastosowania 4 różnych procesów technologicznych obróbki tych detali. Ilość detali uzyskiwanych w wyniku zastosowania poszczególnych sposobów obróbki detali w jednostce czasu oraz jednostkowe koszty obróbki podane są w tabeli 5. 11

12 Tablica 5: Parametry technologiczne obróbki detali przy zastosowaniu różnych procesów technologicznych proces technologiczny detale plan produkcji koszt obróbki Jeśli przez x 1, x 2, x 3, x 4 oznaczymy czas pracy maszyny w danym procesie technologicznym to otrzymamy następujący problem 420x x x x 4 min 25x x x x 4 = x 1 + 8x x 3 + 5x 4 = 1000 (38) 40x x x x 4 = 4000 x 1,..., x 4 0. Rozwiązaniem tego zadania jest x 1 = x 2 = 0, x 3 = 21, 05, x 4 = 115, 79 (wyniki zaokrąglone do dwóch miejsc po przecinku), wartość funkcji celu wynosi , 57. Zatem aby dostarczyć detale w wymaganej ilości, przedsiębiorstwo powinno zastosować proces technologiczny trzeci i czwarty, a minimalne koszty wyniosą wtedy , 57 zł. 4.3 Optymalizacja składu mieszanin W przedsiębiorstwach takich branż, jak metalurgiczna, chemiczna, petrochemiczna, spożywcza, pewne wyroby są często mieszaninami, które otrzymuje się w wyniku łączenia różnych surowców. Składniki zazwyczaj są wzajemnie zastępowalne i mają niejednakowy koszt, przez co koszt mieszanin o odmiennym składzie jest różny, zaś jakość mieszanin musi być taka sama. Zadanie polega na tym, aby znaleźć takie proporcje (ilości) poszczególnych składników mieszaniny, aby otrzymać wyrób o pożądanych właściwościach przy możliwie najniższych kosztach zakupu surowców. Przykłady zagadnień: ustalenie najtańszego zestawu wsadu różnych metali do stopu, wyznaczenie optymalnego składu komponentów w celu wytworzenia benzyny, zestawienie optymalnego składu zużycia różnych paliw z zachowaniem norm dotyczących zanieczyszczeń środowiska, wyznaczenia najtańszego zestawu dawek nawozów mineralnych. Załóżmy, że mieszanina składa się z n materiałów wsadowych. Gotowy wyrób powinien zawierać m składników, przy czym powinien mieć ściśle ustalony skład chemiczny określony wielkością b i, i N 1,m, oznaczającą procentowy udział i-tego składnika w gotowym wyrobie. Znane są wielkości a ij, i N 1,m, j N 1,n oznaczające procentową zawartość i-tego składnika w j-tym materiale 12

13 wsadowym. Ponadto znane są ceny c j, j N 1,n jednostki każdego materiału wsadowego. Model możemy zapisać w postaci (37) z dodatkowym warunkiem n x i = 1. i=1 Przykład 4 W celu otrzymania stopu ołowiu, cyny i cynku wykorzystuje się surowiec będący mieszaniną pięciu stopów tych metali. Stopy te różnią się zawartością poszczególnych metali i kosztem uzyskania 1 kg stopu. Dane przedstawia tabela 6. Należy określić, jaki powinien być udział stopu każdego rodzaju w mieszaninie stanowiącej gotowy wyrób, aby otrzymać po minimalnym koszcie mieszaninę zawierającą 20% ołowiu, 30% cynku i 50% cyny. Tablica 6: Procentowy udział ołowiu, cyny i cynku w różnych stopach stopy metale I II III IV V ołów cyna cynk koszt 1 kg 4 4,5 5,8 6 7,5 Oznaczmy przez x 1,..., x 5 udziały poszczególnych rodzajów stopów w mieszaninie stanowiącej gotowy wyrób. Otrzymujemy model 4x 1 + 4, 5x 2 + 5, 8x 3 + 6x 4 + 7, 5x 5 min 10x x x x x 5 = 20 10x x x x x 5 = 30 (39) 80x x x x x 5 = 50 5 x i = 1, x 1,..., x 5 0. i=1 Rozwiązaniem tego zadania jest x 1 = x 2 = x 3 = 1, x 3 4 = x 5 = 0, wartość funkcji celu wynosi Należy więc wziąć pierwsze trzy stopy w równej ilości, tj. po 1, a pozostałych stopów nie 3 wykorzystywać. Zapewni to minimalny koszt gotowej mieszaniny wynoszący zł. Przykład 5 Sporządzić najtańszą mieszankę zawierającą co najmniej 2 jednostki składnika A, co najmniej 4 jednostki składnika B i co najmniej 3 jednostki składnika C. Mieszankę tę można sporządzić z trzech produktów: P 1, P 2 i P 3, których ceny jednostkowe wynoszą odpowiednio 240, 300 i 200. Na przecięciu odpowiednich wierszy i kolumn w tabeli 7 podane są zawartości odpowiednich składników w jednostkach poszczególnych produktów, np. w jednej jednostce produktu P 1 zawarte są 4 jednostki składnika B. Oznaczając przez x 1, x 2 i x 3 ilości odpowiednich produktów P 1, P 2 i P 3 użytych do sporządzenia mieszanki, otrzymujemy problem 240x x x 3 min x 1 + 2x 2 + x 3 2 4x 1 + x 2 + x 3 4 (40) 3x 1 + 5x 2 + x 3 3 x 1, x 2, x

14 Tablica 7: Zawartość składników w poszczególnych produktach oraz minimalne ilości P 1 P 2 P 3 minimalne ilości A B C ceny Problem ten rozwiążemy metodą sympleks w rozdziale Problem najtańszej diety Zadanie sprowadza się do określenia, jakie ilości różnych produktów żywnościowych należy spożyć, aby przy pełnym zaspokojeniu potrzeb organizmu na podstawowe składniki odżywcze i kalorie, koszt wyżywienia był możliwie najniższy. Problem ten może być stawiany w odniesieniu do ludzi (stołówek, pojedynczego człowieka) oraz zwierząt domowych czy hodowlanych. Aby zaspokoić potrzeby organizmu należy spożyć odpowiednie ilości różnych składników odżywczych - białka, węglowodanów, tłuszczów, soli mineralnych, witamin, które są zawarte w różnych produktach żywnościowych. Te pożądane ilości składników pokarmowych podane są w tzw. normach żywieniowych. Załóżmy, że jest m składników odżywczych oraz b 1,..., b m norm żywieniowych. Mamy do dyspozycji n produktów. Przez a ij, i N 1,m, j N 1,n, oznaczmy zawartość i-tego składnika w jednostce j-tego produktu. Znamy też ceny poszczególnych produktów c 1,..., c n. Należy wybrać taki skład mieszanki żywieniowej, która ze wszystkich dopuszczalnych byłaby najtańsza. Jeśli szukane ilości poszczególnych produktów oznaczmy przez x 1,..., x n, to otrzymamy model c 1 x c n x n min a 11 x a 1n x n b 1 a m1 x a mn x n b m x 1,..., x n 0.. (41) W problemie tym mogą występować jeszcze ograniczenia określające górne granice spożycia niektórych produktów, np. aby dieta nie była zbyt monotonna. Oznaczmy d j - minimalna ilość j-tego produktu, jaką powinno się spożyć, g j - maksymalna ilość j-tego produktu, jaką organizm może otrzymać i dołączmy do modelu nierówności d j x j g j, j N 1,n. (42) Przykład 6 Ustalić optymalną rację żywnościową dla bydła w gospodarstwie. W skład racji wchodzą 3 produkty: kiszonka, siano i pasza treściwa. Produkty te zawierają następujące składniki odżywcze istotne ze względu na zapotrzebowanie organizmu zwierzęcego: białko, wapno i witaminy. Zawartość tych składników w 1 kg poszczególnych produktów wyrażona w gramach oraz minimalne dobowe normy zapotrzebowania na nie przedstawia tabela 8. Górne granice spożycia poszczególnych produktów wynikające z dostępności pasz wynoszą: kiszonki - 20 kg, siana - 10 kg, pasz treściwych - 15 kg. Ceny 1 kg poszczególnych produktów: kiszonka 200, siano 300, pasze treściwe

15 Tablica 8: Zawartość składników odżywczych w paszach oraz normy żywieniowe składniki odżywcze w g produkty w kg białko wapno witaminy kiszonka siano pasze treściwe normy żywieniowe Oznaczmy przez x 1, x 2 i x 3 dobowe spożycie odpowiednio kiszonki, siana i pasz treściwych. Otrzymamy model 200x x x 3 min 0, 020x 1 + 0, 050x 2 + 0, 180x 3 0, 100 0, 004x 1 + 0, 006x 2 + 0, 003x 3 0, 120 (43) 0, 001x 1 + 0, 002x 2 + 0, 001x 3 0, 004 x 1 20, x 2 10, x 3 15 x 1, x 2, x 3 0. Rozwiązaniem tego zadania jest x 1 = 15, x 2 = 10, x 3 = 07, wartość funkcji celu wynosi Interpretując ten wynik stwierdzamy, że dzienna racja żywnościowa bydła wymagająca poniesienia najmniejszego kosztu obejmuje spożycie 15 kg kiszonki i 10 kg siana. Minimalny koszt racji żywnościowej wynosi zł. 5 Rozwiązania wybranych przykładów Przykład 1. Zaplanować produkcję zakładu w pewnym tygodniu w taki sposób, aby osiągnięty zysk był maksymalny. Zakład może wytwarzać dwa produkty: P 1 i P 2. Ich produkcja jest limitowana dostępnymi zasobami trzech środków: S 1, S 2 i S 3. Zasoby tych środków, zyski jednostkowe z poszczególnych produktów i nakłady jednostkowe poszczególnych środków na poszczególne produkty są podane w poniższej tabeli. P 1 P 2 zasoby S S S zyski 2 3 Oznaczając przez x 1 i x 2 planowane ilości produktów P 1 i P 2, problem przyjmuje postać 2x 1 + 3x 2 max 2x 1 + 2x 2 14 x 1 + 2x 2 8 4x 1 16 x 1, x

16 Po wprowadzeniu dodatkowych zmiennych x 3, x 4 i x 5 oraz pomnożeniu funkcji celu przez 1, otrzymamy problem PL w postaci standardowej (równoważny problemowi (35)) 2x 1 3x 2 min 2x 1 +2x 2 +x 3 = 14 x 1 +2x 2 +x 4 = 8 4x 1 +x 5 = 16 x j 0, j N 1,5. Problem ten można zapisać także w postaci (1)-(3), przyjmując A = [ ] a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 = , b = x 1 x 2 x = x 3 x 4 x 5, c = [ c 1 c 2 c 3 c 4 c 5 ] = [ ]. Jest to postać bazowa problemu względem zbioru B = {3, 4, 5}, A B = (a 3 a 4 a 5 ) = I. Zatem zmiennymi bazowymi są zmienne dodatkowe x 3, x 4, x 5, natomiast zmienne x 1, x 2 przyjmują wartość 0. Mamy więc B = {3, 4, 5}, B = {1, 2}. Wartości z j obliczymy ze wzoru z j = c B h j, j N 1,5. Ponieważ c B = 0, więc z j = 0 dla j N 1,5 i macierz c z nie jest nieujemna. Tablica sympleksowa dla początkowego rozwiązania bazowego ma zatem postać tabeli 9. (44) Tablica 9: Pierwsza tablica sympleksowa c j c B zmienne bazowe h 1 h 2 h 3 h 4 h 5 h 0 0 x x x z j c j z j Kryterium wejścia: wyznaczamy indeks k B, dla którego c k z k jest najmniejszym wyrazem macierzy c z. Jest nim c 2 z 2 = 3. Tak więc k = 2, czyli w drugiej iteracji wprowadzimy zmienną bazową x 2. Aby ustalić, w miejsce której z dotychczasowych zmiennych bazowych ją wprowadzić, należy podzielić wyrazy macierzy h 0 przez dodatnie wyrazy macierzy h 2 i wybrać indeks l B, dla którego ten iloraz jest najmniejszy (kryterium wyjścia). W tym przypadku spośród dwóch (nie należy obliczać h 30 h 32, gdyż h 32 = 0) ilorazów 14 i 8 najmniejszy odpowiada zmiennej x A zatem l = 4, czyli w drugiej iteracji w tablicy sympleksowej zmiennymi bazowymi są x 3, x 2, x 5, a B 2,4 = (B \ {4}) {2} = {3, 2, 5}. Poszczególne elementy tej tablicy można obliczyć stosując przekształcenia (16)-(20). Druga tablica sympleksowa ma zatem postać tabeli 10. Macierz c z wciąż nie jest nieujemna. Z kryterium wejścia: k = 1. 16

17 Tablica 10: Druga tablica sympleksowa c j c B zmienne bazowe h 1 h 2 h 3 h 4 h 5 h 0 0 x x x z j c j z j Z kryterium wyjścia: l = 5, gdyż min{ h 30 h 31, h 20 h 21, h 50, 16 4 } = 4 = h 50 h 51. Zatem w trzeciej h 51 } = min{ 6, iteracji w tablicy sympleksowej zmiennymi bazowymi są x 3, x 2, x 1, a B 1,5 = (B \ {5}) {1} = {3, 2, 1}. Trzecia tablica sympleksowa ma zatem postać tabeli 11. Macierz c z jest nieujemna, koniec działania algorytmu sympleks. Tablica 11: Trzecia tablica sympleksowa c j c B zmienne bazowe h 1 h 2 h 3 h 4 h 5 h 0 0 x x x z j c j z j Przykład 5 Sporządzić najtańszą mieszankę zawierającą co najmniej 2 jednostki składnika A, co najmniej 4 jednostki składnika B i co najmniej 3 jednostki składnika C. Mieszankę tę można sporządzić z trzech produktów: P 1, P 2 i P 3, których ceny jednostkowe wynoszą odpowiednio 240, 300 i 200. W poniższej tabeli na przecięciu odpowiednich wierszy i kolumn podane są zawartości odpowiednich składników w jednostkach poszczególnych produktów. P 1 P 2 P 3 minimalne ilości A B C ceny Oznaczając symbolami x 1, x 2 i x 3 ilości odpowiednich produktów P 1, P 2 i P 3 użytych do 17

18 sporządzenia mieszanki, otrzymujemy problem 240x x x 3 min x 1 + 2x 2 + x 3 2 4x 1 + x 2 + x 3 4 3x 1 + 5x 2 + x 3 3 x 1, x 2, x 3 0. Odejmując od lewych stron nierówności nieujemne zmienne dodatkowe x 4, x 5 problem PL w postaci standardowej i x 6, otrzymamy 240x x x 3 min x 1 +2x 2 +x 3 x 4 = 2 4x 1 +x 2 +x 3 x 5 = 4 3x 1 +5x 2 +x 3 x 6 = 3 x j 0, j = 1,..., 6. Zwróćmy uwagę na interpretację zmiennych dodatkowych. Mamy np. x 4 = x 1 + 2x 2 + x 3 2, gdzie x 1 + 2x 2 + x 3 oznacza ilość składnika A w mieszance, zaś 2 jest minimalną ilością tego składnika. Zatem x 4 oznacza nadwyżkę (ponad minimalną ilość) zawartości składnika A w mieszance. Otrzymana postać standardowa nie jest postacią bazową, gdyż macierz współczynników w układzie równań nie zawiera macierzy jednostkowej. Możemy stworzyć macierz jednostkową w macierzy współczynników układu równań, dodając do lewych stron tych równań odpowiednie zmienne nieujemne x 7, x 8 i x 9. Jednak pisząc np. pierwsze równanie w postaci x 1 + 2x 2 + x 3 x 4 + x 7 = 2 naruszamy równanie x 1 + 2x 2 + x 3 x 4 = 2 o ile x 7 > 0. Musimy więc zagwarantować, aby w rozwiązaniu optymalnym zmienne x 7, x 8 i x 9 przyjęły wartości 0. Możemy to zrobić, przyporządkowując im bardzo wysokie koszty jednostkowe. Oznaczmy te koszty przez M, gdzie M oznacza wystarczająco dużą liczbę. Otrzymamy problem PL w postaci bazowej względem zbioru B = {7, 8, 9}, A B = (a 7 a 8 a 9 ) = I 240x x x 3 + Mx 7 + Mx 8 + Mx 9 min x 1 +2x 2 +x 3 x 4 +x 7 = 2 4x 1 +x 2 +x 3 x 5 +x 8 = 4 3x 1 +5x 2 +x 3 x 6 +x 9 = 3 x j 0, j N 1,9. Teraz zadanie to możemy rozwiązać za pomocą algorytmu sympleks. Mamy B = {7, 8, 9}, więc c B = {M, M, M}. Wartości z j obliczymy ze wzoru z j = c B h j, j N 1,9. Tablica sympleksowa dla początkowego rozwiązania bazowego ma zatem postać tabeli 12. Macierz c z nie jest nieujemna. Kryterium wejścia: wyznaczamy indeks k B, dla którego c k z k jest najmniejszym wyrazem macierzy c z. Jest nim c 1 z 1 = 8M Tak więc k = 1, czyli w drugiej iteracji wprowadzimy zmienną bazową x 1. Aby ustalić, w miejsce której z dotychczasowych zmiennych bazowych ją wprowadzić, należy podzielić wyrazy macierzy h 0 przez dodatnie wyrazy macierzy h 1 i wybrać indeks l B, dla którego ten iloraz jest najmniejszy (kryterium wyjścia). Ponieważ min{ h 70 h 71, h 80 h 81, h 90 h 91 } = min{ 2, 4, 3} = 1 = h h 81 = h 90 h 91, więc kryterium wyjścia nie rozstrzyga jednoznacznie, która zmienna opuszcza bazę. Wybierzmy jedną z nich, np. x 9. Otrzymaliśmy zdegenerowane bazowe rozwiązanie dopuszczalne, gdyż x 8 = 0. Mamy 18 (45) (46)

19 Tablica 12: Pierwsza tablica sympleksowa c j M M M c B x[b] B h 1 h 2 h 3 h 4 h 5 h 6 h 7 h 8 h 9 h 0 M x M x M x z j 8M 8M 3M -M -M -M M M M 9M c j z j -8M -8M -3M M M M Tablica 13: Druga tablica sympleksowa c j M M M c B x[b] B h 1 h 2 h 3 h 4 h 5 h 6 h 7 h 8 h 9 h M x M x x z j M 1M -M -M 5M M M 5M M c j z j 0 M M 5M l = 9, k = 1 oraz B 1,9 = {7, 8, 1}. Pozostałe elementy drugiej tablicy sympleksowej (tabela 13) obliczymy stosując przekształcenia (16)-(20). Macierz c z wciąż nie jest nieujemna. Z kryterium wejścia k = 6. Z kryterium wyjścia mamy l = 8 ponieważ min{ h 70 h 76, h 80 0 = h 80 h 86 } = min{ 1 1, 0 4 } = 3 3 h 16, gdyż h 16 < 0. A zatem B 6,8 = {7, 6, 1} i otrzymujemy tabelę 14. h 86, a nie należy obliczać h 10 Macierz c z wciąż nie jest nieujemna. W kolejnej iteracji wprowadzamy zmienną x 2 w miejsce x 7, gdyż najmniejszym wyrazem macierzy c z jest c 2 z 2 = 7M + 240, min{ h 70 4 h 72, h 10 h 12 } = min{ 1 7 } = 4 = h 10 h 17 (nie należy obliczać h 10 h 62, gdyż h 62 < 0). Otrzymujemy B 2,7 = {2, 6, 1}. Stosujemy przekształcenia elementarne i otrzymujemy tabelę 15. Macierz c z jest nieujemna, koniec działania algorytmu sympleks. Otrzymaliśmy zatem rozwiązanie optymalne problemu x 1 = 6, x 7 2 = 4, x 7 3 = x 4 = x 5 = 0, x 6 = 17, x 7 7 = x 8 = x 9 = 0. Do sporządzenia mieszanki należy użyć 6 jednostki produktu P 7 1 i 4 jednostki produktu P 7 2. Mieszanka zawiera minimalne ilości składników A i B wynoszące odpowiednio 2 i 4 oraz zawiera 17 jednostki składnika C ponad minimalną ilość wynoszącą 3. Koszt takiej mieszanki wynosi = zł. 7 4,

20 Tablica 14: Trzecia tablica sympleksowa c j M M M c B x[b] B h 1 h 2 h 3 h 4 h 5 h 6 h 7 h 8 h 9 h M x x x z j c j z j 0 7M 3 M 1M Tablica 15: Czwarta tablica sympleksowa c j M M M c B x[b] B h 1 h 2 h 3 h 4 h 5 h 6 h 7 h 8 h 9 h x x x z j c j z j M M M

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP często spotykane w życiu codziennym wybór asortymentu produkcji jakie wyroby i w jakich ilościach powinno produkować przedsiębiorstwo

Bardziej szczegółowo

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski METODA SYMPLEKS Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP Algorytm Sympleks najpotężniejsza metoda rozwiązywania programów liniowych Metoda generuje ciąg dopuszczalnych rozwiązań x k w taki sposób,

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2015 1 / 16 Homo oeconomicus=

Bardziej szczegółowo

( 1) ( ) 16 Warunki brzegowe [WB] Funkcja celu [FC] Ograniczenia [O] b i ( 2) ( ) ( ) 14. FC max. Kompletna postać bazowa

( 1) ( ) 16 Warunki brzegowe [WB] Funkcja celu [FC] Ograniczenia [O] b i ( 2) ( ) ( ) 14. FC max. Kompletna postać bazowa Standardowe zadanie PL () Należy zaplanować produkcję zakładu w pewnym tygodniu w taki sposób, aby osiągnięty zysk był maksymalny. akład może wytwarzać dwa wyroby: P i P. Ich produkcja jest limitowana

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Metoda simpleks. Gliwice

Metoda simpleks. Gliwice Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Przykład 4 Model matematyczny z Przykładu 1 sprowadzić do postaci bazowej. FC: ( ) Z x, x = 6x + 5x MAX 1 2 1 2 O: WB: 1 2

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 1.1 Wykorzystując

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.

Bardziej szczegółowo

Metoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład):

Metoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): 1 Narysuj na płaszczyźnie zbiór dopuszczalnych rozwiazań. 2 Narysuj funkcję

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe metoda sympleks

Programowanie liniowe metoda sympleks Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 13

Bardziej szczegółowo

Rozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący:

Rozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący: Przykład. Hodowca drobiu musi uzupełnić zawartość dwóch składników odżywczych (A i B) w produktach, które kupuje. Rozważa cztery mieszanki: M : M, M i M. Zawartość składników odżywczych w poszczególnych

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA? /9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe metoda sympleks

Programowanie liniowe metoda sympleks Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2012 1 / 12

Bardziej szczegółowo

Ekonometria - ćwiczenia 10

Ekonometria - ćwiczenia 10 Ekonometria - ćwiczenia 10 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 14 grudnia 2012 Wprowadzenie Optymalizacja liniowa Na

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

13 Układy równań liniowych

13 Układy równań liniowych 13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...

Bardziej szczegółowo

Metody Ilościowe w Socjologii

Metody Ilościowe w Socjologii Metody Ilościowe w Socjologii wykład 4 BADANIA OPERACYJNE dr inż. Maciej Wolny AGENDA I. Badania operacyjne podstawowe definicje II. Metodologia badań operacyjnych III. Wybrane zagadnienia badań operacyjnych

Bardziej szczegółowo

doc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505.

doc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. doc. dr Beata Pułska-Turyna Zakład Badań Operacyjnych Zarządzanie B506 mail: turynab@wz.uw.edu.pl mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. Tel.: (22)55 34 144 Mail: student@pgadecki.pl

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.1 Opis programów Do rozwiązania zadań programowania

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia laboratoryjne - 7. Problem (diety) mieszanek w hutnictwie programowanie liniowe. Logistyka w Hutnictwie Ćw. L. 7

Ćwiczenia laboratoryjne - 7. Problem (diety) mieszanek w hutnictwie programowanie liniowe. Logistyka w Hutnictwie Ćw. L. 7 Ćwiczenia laboratoryjne - 7 Problem (diety) mieszanek w hutnictwie programowanie liniowe Ćw. L. 7 Konstrukcja modelu matematycznego Model matematyczny składa się z: Funkcji celu będącej matematycznym zapisem

Bardziej szczegółowo

Standardowe zadanie programowania liniowego. Gliwice 1

Standardowe zadanie programowania liniowego. Gliwice 1 Standardowe zadanie programowania liniowego 1 Standardowe zadanie programowania liniowego Rozważamy proces, w którym zmiennymi są x 1, x 2,, x n. Proces poddany jest m ograniczeniom, zapisanymi w postaci

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI

ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI Wstęp ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI Problem podejmowania decyzji jest jednym z zagadnień sterowania nadrzędnego. Proces podejmowania decyzji

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązywanie układów równań liniowych Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie transportowe

Zagadnienie transportowe 9//9 Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 1

A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 1 A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe ZAGADNIENIE DUALNE Z każdym zagadnieniem liniowym związane jest inne zagadnienie nazywane dualnym. Podamy teraz teraz jak budować zagadnienie

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ... Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE

Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE 6. Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 6.1

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3

Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3 Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3 Hanna Furmańczyk 14 listopada 2008 Programowanie liniowe (PL) - wszystkie ograniczenia muszą być liniowe - wszystkie zmienne muszą być ciągłe n j=1 c j

Bardziej szczegółowo

PROGRAMOWANIE KWADRATOWE

PROGRAMOWANIE KWADRATOWE PROGRAMOWANIE KWADRATOWE Programowanie kwadratowe Zadanie programowania kwadratowego: Funkcja celu lub/i co najmniej jedno z ograniczeń jest funkcją kwadratową. 2 Programowanie kwadratowe Nie ma uniwersalnej

Bardziej szczegółowo

3. Macierze i Układy Równań Liniowych

3. Macierze i Układy Równań Liniowych 3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie

Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie OPIS ZAGADNIENIA Zagadnienie transportowe służy głównie do obliczania najkorzystniejszego

Bardziej szczegółowo

Zadania 1. Czas pracy przypadający na jednostkę wyrobu (w godz.) M 1. Wyroby

Zadania 1. Czas pracy przypadający na jednostkę wyrobu (w godz.) M 1. Wyroby Zadania 1 Przedsiębiorstwo wytwarza cztery rodzaje wyrobów: A, B, C, D, które są obrabiane na dwóch maszynach M 1 i M 2. Czas pracy maszyn przypadający na obróbkę jednostki poszczególnych wyrobów podany

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego

Elementy Modelowania Matematycznego Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 8 Programowanie nieliniowe Spis treści Programowanie nieliniowe Zadanie programowania nieliniowego Zadanie programowania nieliniowego jest identyczne jak dla

Bardziej szczegółowo

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory; Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia

Bardziej szczegółowo

Model przepływów międzygałęziowych (model Leontiewa)

Model przepływów międzygałęziowych (model Leontiewa) Model przepływów międzygałęziowych (model Leontiewa) Maciej Grzesiak Przedstawimy tzw. analizę wejścia-wyjścia jako narzędzie do badań ekonomicznych. Stworzymy matematyczny model gospodarki, w którym można

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych. Ax = b (1)

Układy równań liniowych. Ax = b (1) Układy równań liniowych Dany jest układ m równań z n niewiadomymi. Liczba równań m nie musi być równa liczbie niewiadomych n, tj. mn. a a... a b n n a a... a b n n... a a... a b m m mn n m

Bardziej szczegółowo

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 2 (Materiały)

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 2 (Materiały) Zbiór rozwiązań dopuszczalnych programu liniowego Zbiór rozwiązań dopuszczalnych programu linowego to taki zbiór, który spełnia warunki ograniczające (funkcyjne oraz brzegowe) programu liniowego. Przy

Bardziej szczegółowo

A. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe1

A. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe1 A. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) Danychjest pdostawców,którychpodażwynosi a,a 2,...,a p i qodbiorców, którychpopytwynosi b,b 2,...,b

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Optymalizacja Dla podanych niżej problemów decyzyjnych (zad.1 zad.5) należy sformułować zadania optymalizacji, tj.: określić postać zmiennych

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 Programowanie nieliniowe i całkowitoliczbowe

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 Programowanie nieliniowe i całkowitoliczbowe Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 i całkowitoliczbowe Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp 2 3 Spis treści Spis treści 1 Wstęp

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT)

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 1 ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) Danychjest pdostawców,którychpodażwynosi a 1, a 2,...,a p i q odbiorców,którychpopytwynosi b 1, b 2,...,b q.zakładamy,że

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz

Bardziej szczegółowo

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania KOMPUTEROWE SYSTEMY STEROWANIA I WSPOMAGANIA DECYZJI Rozproszone programowanie produkcji z wykorzystaniem

Bardziej szczegółowo

Zad.1. Microsoft Excel - Raport wyników Komórka Nazwa Warto pocz tkowa Warto cowa Komórka Nazwa Warto pocz tkowa Warto cowa Komórka Nazwa Warto

Zad.1. Microsoft Excel - Raport wyników Komórka Nazwa Warto pocz tkowa Warto cowa Komórka Nazwa Warto pocz tkowa Warto cowa Komórka Nazwa Warto Zad.1. Przedsiębiorstwo może wytwarzać trzy typy maszyn: tokarki, piły, frezarki zużywając dwa ograniczone zasoby: energię elektryczną i siłę roboczą w następujących proporcjach: energia (KWH / jedn.)

Bardziej szczegółowo

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na

Bardziej szczegółowo

Wydział Matematyki Programowanie liniowe Ćwiczenia. Zestaw 1. Modelowanie zadań programowania liniowego.

Wydział Matematyki Programowanie liniowe Ćwiczenia. Zestaw 1. Modelowanie zadań programowania liniowego. Wydział Matematyki Programowanie liniowe Ćwiczenia Zestaw. Modelowanie zadań programowania liniowego. Zadania dotyczące zagadnienia planowania produkcji Zadanie.. Zapisać następujące zadanie w postaci

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Badania operacyjne Ćwiczenia 4 Programowanie liniowe Dualizm w programowaniu liniowym Plan zajęć Dualizm w programowaniu liniowym Projektowanie programu dualnego Postać programu dualnego Przykład 1 Rozwiązania

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K

Bardziej szczegółowo

Elementy modelowania matematycznego

Elementy modelowania matematycznego Elementy modelowania matematycznego Programowanie liniowe. Metoda Simplex. Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ ZADANIE LINIOWE Tortilla z ziemniaków i cebuli (4 porcje) 300

Bardziej szczegółowo

TOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu

TOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu TOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu Wykład dla studentów II roku studiów II stopnia na kierunku Zarządzanie Semestr zimowy 2009/2010 Wykładowca: prof. dr hab. inż. Michał Inkielman Wykład 2 Optymalizacja

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 1. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 1

Bardziej szczegółowo

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Przedmiot: Nr ćwiczenia: 1 Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Temat: Programowanie liniowe Cel ćwiczenia: Opanowanie umiejętności modelowania i rozwiązywania problemów

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)

Bardziej szczegółowo

Zbiory wypukłe i stożki

Zbiory wypukłe i stożki Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 28 kwietnia 2016 Hiperpłaszczyzna i półprzestrzeń Definicja Niech a R n, a 0, b R. Zbiór H(a, b) = {x R n : (a x) = b} nazywamy hiperpłaszczyzną, zbiory {x R

Bardziej szczegółowo

Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej

Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej Przygotowanie: Dariusz Pazderski Liniowe przekształcenie równania stanu Rozważmy liniowe równanie stanu i równanie wyjścia układu niesingularnego

Bardziej szczegółowo

1 Układy równań liniowych

1 Układy równań liniowych II Metoda Gaussa-Jordana Na wykładzie zajmujemy się układami równań liniowych, pojawi się też po raz pierwszy macierz Formalną (i porządną) teorią macierzy zajmiemy się na kolejnych wykładach Na razie

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne. Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie:

Badania operacyjne. Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie: Badania operacyjne Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie: www.ioz.pwr.wroc.pl/pracownicy/kasperski Forma zaliczenia

Bardziej szczegółowo

Wykład z równań różnicowych

Wykład z równań różnicowych Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.

Bardziej szczegółowo

Algorytm simplex i dualność

Algorytm simplex i dualność Algorytm simplex i dualność Łukasz Kowalik Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski April 15, 2016 Łukasz Kowalik (UW) LP April 15, 2016 1 / 35 Przypomnienie 1 Wierzchołkiem wielościanu P nazywamy

Bardziej szczegółowo

Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi Układy równań Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca 2014 1 Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi 1.1 Pojęcie układu i rozwiązania układu Układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia:

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne Temat ćwiczenia: Programowanie liniowe, metoda geometryczna, dobór struktury asortymentowej produkcji Zachodniopomorski Uniwersytet

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE]

Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE] Spis treści 1 Metoda geometryczna... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Przykładowe zadanie... 2 2 Metoda simpleks... 6 2.1 Wstęp... 6 2.2 Przykładowe zadanie... 6 1 Metoda geometryczna Anna Tomkowska 1 Metoda geometryczna

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Zagadnienie transportowe 1 dr Zbigniew Karwacki Katedra Badań Operacyjnych UŁ Klasyczne zagadnienie transportowe 1 Klasyczne zadanie transportowe problem najtańszego przewozu

Bardziej szczegółowo

= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4 " 5 3$ 7&=0 5$+7&=4

= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4  5 3$ 7&=0 5$+7&=4 17. Układ równań 17.1 Co nazywamy układem równań liniowych? Jak zapisać układ w postaci macierzowej (pokazać również na przykładzie) Co to jest rozwiązanie układu? Jaki układ nazywamy jednorodnym, sprzecznym,

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Rozdział 10

Formy kwadratowe. Rozdział 10 Rozdział 10 Formy kwadratowe Rozważmy rzeczywistą macierz symetryczną A R n n Definicja 101 Funkcję h : R n R postaci h (x) = x T Ax (101) nazywamy formą kwadratową Macierz symetryczną A występującą w

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Metod Optymalizacji

Laboratorium Metod Optymalizacji Laboratorium Metod Optymalizacji Grupa nr... Sekcja nr... Ćwiczenie nr 4 Temat: Programowanie liniowe (dwufazowa metoda sympleksu). Lp. 1 Nazwisko i imię Leszek Zaczyński Obecność ocena Sprawozdani e ocena

Bardziej szczegółowo

cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5

cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5 Matematyka ZLic - 07 Wektory i macierze Wektorem rzeczywistym n-wymiarowym x x 1, x 2,,x n nazwiemy ciąg n liczb rzeczywistych (tzn odwzorowanie 1, 2,,n R) Zbiór wszystkich rzeczywistych n-wymiarowych

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA DYNAMICZNYCH LOKAT KAPITAŁOWYCH Krzysztof Gąsior Uniwersytet Rzeszowski Streszczenie Celem referatu jest zaprezentowanie praktycznego zastosowania

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIA TRANSPORTOWE ZAGADNIENIA TRANSPORTOWE Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WPROWADZENIE opracowano w 1941 r. (F.L. Hitchcock) Jest to problem opracowania planu przewozu pewnego jednorodnego produktu z kilku różnych

Bardziej szczegółowo

Ekonometria - ćwiczenia 11

Ekonometria - ćwiczenia 11 Ekonometria - ćwiczenia 11 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 21 grudnia 2012 Na poprzednich zajęciach zajmowaliśmy

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej 15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)

Bardziej szczegółowo

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 1 (Materiały)

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 1 (Materiały) Wprowadzenie Badania operacyjne (BO) to stosunkowo młoda dyscyplina naukowa, która powstała w czasie II Wojny Światowej, w związku z utworzeniem przy niektórych sztabach sił zbrojnych specjalnych grup

Bardziej szczegółowo

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Ćwiczenia lista zadań nr 3 autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Zbiory i funkcje wypukłe Zad. 1 Pokazać, że następujące zbiory są wypukłe: a) płaszczyzna S = {x

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

KADD Minimalizacja funkcji

KADD Minimalizacja funkcji Minimalizacja funkcji Poszukiwanie minimum funkcji Foma kwadratowa Metody przybliżania minimum minimalizacja Minimalizacja w n wymiarach Metody poszukiwania minimum Otaczanie minimum Podział obszaru zawierającego

Bardziej szczegółowo

Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne/stacjonarne Model Przepływów Międzygałęziowych

Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne/stacjonarne Model Przepływów Międzygałęziowych dr inż. Ryszard Rębowski 1 OPIS ZJAWISKA Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne/stacjonarne Model Przepływów Międzygałęziowych 8 listopada 2015 1 Opis zjawiska Będziemy obserwowali proces tworzenia

Bardziej szczegółowo

1 Macierze i wyznaczniki

1 Macierze i wyznaczniki 1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)

Bardziej szczegółowo

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu 1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie

Bardziej szczegółowo

1.UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

1.UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH UKŁADY RÓWNAŃ 1.UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Układ: a1x + b1y = c1 a x + by = c nazywamy układem równań liniowych. Rozwiązaniem układu jest kaŝda para liczb spełniająca kaŝde z równań. Przy rozwiązywaniu układów

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA DYSKRETNA

OPTYMALIZACJA DYSKRETNA Temat nr a: odelowanie problemów decyzyjnych, c.d. OPTYALIZACJA DYSKRETA Zagadnienia decyzyjne, w których chociaż jedna zmienna decyzyjna przyjmuje wartości dyskretne (całkowitoliczbowe), nazywamy dyskretnymi

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Badania operacyjne Ćwiczenia 2 Programowanie liniowe Metoda geometryczna Plan zajęć Programowanie liniowe metoda geometryczna Przykład 1 Zbiór rozwiązań dopuszczalnych Zamknięty zbiór rozwiązań dopuszczalnych

Bardziej szczegółowo

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

Programowanie nieliniowe. Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a

Programowanie nieliniowe. Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a Programowanie nieliniowe Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a Plan wykładu Przykład problemu z nieliniową funkcją celu Sformułowanie problemu programowania matematycznego Podstawowe definicje

Bardziej szczegółowo

Programowanie matematyczne

Programowanie matematyczne dr Adam Sojda Badania Operacyjne Wykład Politechnika Śląska Programowanie matematyczne Programowanie matematyczne, to problem optymalizacyjny w postaci: f ( x) max przy warunkach g( x) 0 h( x) = 0 x X

Bardziej szczegółowo