METODA ANALITYCZNA Postać klasyczna: z = 5 x 1 + 6x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6x 2 < 48 x 1, x 2 > 0

Transkrypt

1 METODA ANALITYCZNA Postać klasyczna: z = 5 x 1 + 6x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6x 2 < 48 x 1, x 2 > 0 cx MAX Ax < b x > 0 Postać standardowa (kanoniczna): z = 5 x 1 + 6x 2 + 0x 3 + 0x 4 MAX 0,2 x 1 + 0,3x 2 = 18 - x 3 0,6 x 1 + 0,6x 2 = 48 - x 4 x 3, x 4 zmienne swobodne (niewykorzystane moce produkcyjne przy produkcji frytek x 3 oraz przy produkcji puree x 4 ) z = 5 x 1 + 6x 2 + 0x 3 + 0x 4 MAX 0,2 x 1 + 0,3x 2 + x 3 = 18 0,6 x 1 + 0,6x 2 + x 4 = 48 x 1, x 2, x 3, x 4 > 0 1

2 cx MAX Ax = b x > 0 A macierz współczynników o wymiarach (m n), x n-wymiarowy wektor zmiennych, b m-wymiarowy wektor wyrazów wolnych, c n-wymiarowy wektor wag funkcji celu. B macierz kwadratowa m-tego stopnia, składająca się z m liniowo niezależnych kolumn macierzy A. det (B) 0 Macierz B baza, kolumny macierzy B kolumny bazowe, pozostałe kolumny macierzy A kolumny niebazowe. Zmienne związane z kolumnami bazowymi zmienne bazowe, pozostałe zmienne zmienne niebazowe. 2

3 Z każdą bazą B układu Ax = b jest związane rozwiązanie bazowe. Jeżeli układ Ax = b jest niesprzeczny oraz n > m to układ ten ma nieskończenie wiele rozwiązań, ale skończoną liczbę rozwiązań bazowych. Układ m równań z n zmiennymi ma co najwyżej n m rozwiązań bazowych, czyli: n! m!(n m)! Rozwiązanie bazowe układu Ax = b: - wybieramy m liniowo niezależnych kolumn macierzy A, czyli bazę B, - zmienne niebazowe przyjmują wartości zerowe (x n = 0), - wartości zmiennych bazowych ustalamy rozwiązując układ m równań z m niewiadomymi: Bx b = b. 3

4 Jeżeli każda zmienna bazowa jest różna od zera, to takie rozwiązanie bazowe jest niezdegenerowane. Jeżeli zadanie programowania liniowego ma rozwiązanie optymalne, to ma także rozwiązanie optymalne bazowe. Rozwiązania optymalnego wystarczy szukać wśród rozwiązań bazowych, których liczba jest skończona. Można znaleźć rozwiązanie optymalne dokonując przeglądu zupełnego zbioru wszystkich rozwiązań bazowych. Przykład: z = 5 x 1 + 6x 2 + 0x 3 + 0x 4 MAX 0,2 x 1 + 0,3x 2 + x 3 = 18 0,6 x 1 + 0,6x 2 + x 4 = 48 Macierz A: x 1 x 2 x 3 x 4 0,2 0, ,6 0,

5 m=2, n=4 mamy zatem co najwyżej: n n! 4 4! = = = = m m!(n m)! 2 2!2! rozwiązań bazowych. 6 x 1, x 2 x 1, x 3 x 1, x 4 x 2, x 3 x 2, x 4 x 3, x 4 x 1, x 2: 0,2x 1 + 0,3x 2 = 18 0,6x 1 + 0,6x 2 = 48 x 1 = 60, x 2 = 20, z = 420 x 1, x 3: 0,2x 1 + x 3 = 18 0,6x 1 = 48 x 1 = 80, x 3 = 2, z = 400 5

6 x 1, x 4: 0,2x 1 = 18 0,6x 1 + x 4 = 48 x 1 = 90, x 4 = -6 rozw. sprzeczne x 2, x 3: 0,3x 2 + x 3 = 18 0,6x 2 = 48 x 2 = 80, x 3 = -6 rozw. sprzeczne x 2, x 4: 0,3x 2 = 18 0,6x 2 + x 4 = 48 x 2 = 60, x 4 = 12, z = 360 x 3, x 4: x 3 = 18 x 4 = 48 x 3 =18, x 4 = 48, z = 0 6

7 Zmienne Zmienne bazowe x 1, x 2 x 1, x 3 x 1, x 4 x 2, x 3 x 2, x 4 x 3 x 4 x x x x wartość sprz. sprz funkcji celu z D MAX B C E F A 7

8 Przykład: Firma produkująca 3 rodzaje soków owocowych (wieloowocowe, pomarańczowe i jabłkowe) dostała zamówienie na dokładnie 40 tys. kartonów 1-litrowych. Zleceniodawca miał określone preferencje co do struktury asortymentowej zamówienia. Soków wieloowocowych ma być w partii co najmniej 5 tys. kartonów, zaś soków jabłkowych nie więcej niż 16 tys. kartonów. Zysk netto przy produkcji każdego rodzaju z soków wynosi odpowiednio 8, 9 i 10 groszy/karton. Ile soków każdego rodzaju należy wyprodukować aby zmaksymalizować całkowity zysk netto ze sprzedaży? Jak kształtuje się struktura asortymentowa zrealizowanego zamówienia? Zastosować w rozwiązaniu metodę analityczną. x 1 wielkość dostawy soków wieloowocowych, x 2 wielkość dostawy soków pomarańczowych, x 3 wielkość dostawy soków jabłkowych. 8

9 Postać klasyczna: BADANIA OPERACYJNE CZ. III z = 8x 1 + 9x x 3 MAX x 1 + x 2 + x 3 = 40 x 1 > 5 x 3 < 16 x 1, x 2, x 3 > 0 Postać standardowa: z = 8x 1 + 9x 2 +10x 3 +0x 4 + 0x 5 MAX x 1 + x 2 + x 3 = 40 x 1 = 5 + x 4 x 3 = 16 - x 5 x 4 nadwyżka dostawy soków wieloowocowych ponad minimalny limit, x 5 niedobór dostawy soków jabłkowych w stosunku do maksymalnego limitu. z = 8x 1 + 9x 2 +10x 3 +0x 4 + 0x 5 MAX x 1 + x 2 + x 3 = 40 x 1 - x 4 = 5 x 3 + x 5 = 16 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 > 0 9

10 Macierz A: x 1 x 2 x 3 x 4 x m=3, n=5 mamy zatem co najwyżej: 5 5! = = !2! rozwiązań bazowych: 1) x 1, x 2, x 3 x 1 + x 2 + x 3 =40 x 1 =5 x 3 =16 x 1 =5, x 2 =19, x 3 =16, z=371 2) x 1, x 2, x 4 x 1 + x 2 =40 wektory x 1 - x 4 =5 liniowo zależne 10

11 x 1 x 2 x 4 x 1 x 2 x 4 suma mnożymy x przez (-1) ) x 1, x 2, x 5 x 1 + x 2 =40 x 1 =5 x 5 =16 x 1 =5, x 2 =35, x 5 =16, z=350 4) x 1, x 3, x 4 5) x 1, x 3, x 5 6) x 1, x 4, x 5 7) x 2, x 3, x 4 8) x 2, x 3, x 5 x 2 +x 3 =40 wektory x 3 + x 5 =16 liniowo zależne 11

12 x 2 x 3 x 5 x 2 x 3 x 5 suma mnożymy x przez (-1) ) x 2, x 4, x 5 10) x 3, x 4, x 5 mamy więc dokładnie 8 rozwiązań bazowych: Zmienne Zmienne bazowe x x x x x z 371 MAX sprz. 320 sprz. sprz. sprz. z = 8x 1 + 9x x 3 MAX x 1 + x 2 + x 3 = 40 x 1 > 5 x 3 < 16 x 1, x 2, x 3 > 0 12

13 Zadania do rozwiązania Zadanie 1: z= 1,2x 1 +1,8x 2 MIN 2 x 1 + x 2 > 40 x 1 +3x 2 > 60 x 1 +x 2 > 30 x 1, x 2 > 0 Rozwiązać przykład metodą graficzną i analityczną. Sprawdzić rozwiązanie w winqsb. Rozwiązanie: x 1 =15, x 2 =15, x 3 =5, x 4 =0, x 5 =0, z MIN =45 Zadanie 2: z= 2x 1 +3x 2 +0x 3 +0x 4 MAX x 1 +2x 2 +x 3 = 4 x 1 -x 4 = 2 x 1, x 2,x 3, x 4 > 0 Rozwiązać przykład metodą analityczną. Rozwiązanie: x 1 =4, x 2 =0, x 3 =0, x 4 =2, z MAX =8 13