Teoretyczne podstawy programowania liniowego

Transkrypt

1 Teoretyczne podstawy programowania liniowego

2 Elementy algebry liniowej Plan

3 Kombinacja liniowa Definicja Kombinacja liniowa wektorów (punktów) x 1, x 2,, x k R n to wektor x R n k taki, że x = i=1 λ i x i, gdzie λ i R, i = 1,2,, k. Kombinacja liniowa jest nieujemna wtedy i tylko wtedy, gdy i λ i 0, i = 1,2,, k. Kombinacja liniowa wektorów jest wypukła, gdy jest k nieujemna oraz λ i = 1 i=1

4 Liniowa zależność O wektorach x 1, x 2,, x k R n mówimy, że tworzą układ liniowo niezależny jeżeli k i=1 λ i x i = 0 (λ i R, i = 1,2,, k) wtedy i tylko wtedy, gdy λ i = 0 (i = 1,2,, k) i k Jeżeli implikacja i=1 λ i x i = 0 λ 1 = λ 2 = = λ k = 0 nie zachodzi, to wektory x 1, x 2,, x k nazywamy liniowo zależnymi, a zbiór tych wektorów układem liniowo zależnym

5 Wnioski Z poprzednich definicji wynika, że: Układ wektorów jest liniowo zależny, jeżeli chociaż jeden jest kombinacją liniową pozostałych W układzie wektorów liniowo niezależnych żadnego wektora nie można przedstawić jako kombinacji liniowej pozostałych Szczególnym przypadkiem są wersory przestrzeni R n

6 Twierdzenia 1 i 2 Twierdzenie Dowolny układ wektorów zawierający wektor zerowy jest układem liniowo zależnym Twierdzenie Maksymalna liczba liniowo niezależnych wektorów w przestrzeni R n wynosi n Wniosek Dowolny układ n + k (k 1) wektorów należących do R n jest liniowo zależny

7 Wektory rozpinające zbiór Definicja Niech S R n. Układ wektorów b 1, b 2,, b k S rozpina zbiór S, jeżeli dla każdego a S istnieją takie λ i R (i = 1,2,, k), że k a = i=1 λ i b i, tzn. każdy element a S można przedstawić jako kombinację liniową wektorów rozpinających b 1, b 2,, b k. Przykład S = 2 1, 0 1, 4 3, 0 5, 2 5, wektory 2 1 oraz 0 1 rozpinają zbiór S

8 Baza zbioru wektorów Definicja Bazą zbioru S nazywamy liniowo niezależny układ wektorów b 1, b 2,, b p S rozpinający zbiór S. Przykład a) S 1 = 2 1, 0 1, 4 3, 0 5, 2 5, wektory 2 1 oraz 0 1 rozpinają zbiór S 1 i są jego bazą (są liniowo niezależne). b) S 2 = 0 0, 1 1, 2,5 2,5, 2 2, wektory 2 2 oraz 1 1 rozpinają zbiór S 2, ale nie są jego bazą (są liniowo zależne).

9 Twierdzenie 3 Twierdzenie Liczba wektorów stanowiących bazę zbioru S jest równa maksymalnej liczbie liniowo niezależnych wektorów należących do S. Wniosek Dowolny zbiór n liniowo niezależnych wektorów należących do R n jest bazą przestrzeni R n. Każdy element przestrzeni R n można przedstawić za pomocą tych wektorów

10 Twierdzenie 4 Twierdzenie Dla ustalonej bazy B = b 1, b 2,, b p zbioru S dowolny wektor a S można w jednoznaczny sposób przedstawić jako kombinację liniową wektorów bazy.

11 Twierdzenie 5 Twierdzenie Niech B = b 1, b 2,, b p będzie bazą zbioru S. Jeżeli a S spełnia następujące warunki: 1) a 0 p 2) a = i=1 λ i b i, gdzie λ r 0 to zastąpienie wektora b r w bazie B wektorem a daje zbiór wektorów B = B b r a będący nową bazą zbioru S.

12 Przykład B = 2 1, 1 2 jest bazą w przestrzeni R2 wektor 3 0 jest następująca kombinacją liniową wektorów bazy: 3 0 = Ponieważ λ 1 = 2 0 to na podstawie twierdzenia 5 można stworzyć nową bazę B = 3 0, 1 lub ze 2 względu na λ 2 = 1 0 bazę B = 2 1, 3 0

13 Bazy sąsiednie Definicja Dwie bazy nazywamy sąsiednimi jeśli różnią się od siebie tylko jednym wektorem

14 Macierz A Jeżeli zbiór S R m zawiera skończoną liczbę n wektorów to można go przedstawić w postaci macierzy typu m n. Tj. jeśli S = a 1, a 2,, a n, to z wektorów a j S R m można utworzyć macierz A = a 1, a 2,, a n

15 Od macierzy A do rozwiązania układu Ax=b Dana macierz A = a 1, a 2,, a n typu m n, gdzie a j R m dla j = 1,2,, n. Jeżeli rząd macierzy r A = m, to macierz można podzielić na dwie części A = A B, A R, gdzie: A B jest macierzą typu m m i rzędu m złożoną z kolumn bazowych macierzy A, A R jest macierzą typu m (n m) złożoną z pozostałych kolumn.

16 Od macierzy A do rozwiązania układu Ax=b c.d. Niech B oznacza zbiór numerów kolumn macierzy A będących bazą tej macierzy B = j 1, j 2,, j m. Wówczas A B = a j1, a j2,, a jm k = 1,2,, m, gdzie j k B dla

17 Od macierzy A do rozwiązania układu Ax=b c.d. Załóżmy, że mamy następujący układ równań Ax = b, n który można przedstawić jako j=1 a j x j = b, gdzie x j R (j = 1,2,, n) i jest składową wektora x, co można przedstawić jako j B a j x B j + j B a j x R j = b, gdzie x j B są składowymi wektora x stojącymi przy kolumnach bazowych j B, a x j B są składowymi wektora x stojącymi przy kolumnach niebazowych j B

18 Od macierzy A do rozwiązania układu Ax=b c.d. Jeżeli wektor x podzielimy na dwie części, to otrzymamy wektor x = xb x R, gdzie xb R m, a x R R n m, przy czym x B = x 1 B x 2 B x m B, a x R = Wektor x B ma m składowych ponieważ r A R x 1 R x 2. xr n m = m.

19 Od macierzy A do rozwiązania układu Ax=b c.d. Układ sprowadza się więc do postaci: A B x B + A R x R = b gdzie: x j B to zmienne bazowe x j R to zmienne niebazowe (wtórne) x B wektor zmiennych bazowych x R wektor zmiennych bazowych

20 Od macierzy A do rozwiązania układu Ax=b c.d. Zatem: x B = A B 1 b A B 1 A R x R Jeśli w układzie Ax = b ustalimy dowolną bazę A B składającą się z kolumn macierzy A, to wektor zmiennych bazowych x B można przedstawić powyższą zależnością. Jeżeli x R ustalimy w dowolny sposób, a następnie wyznaczymy x B, to rozwiązanie x = xb R jest rozwiązaniem x układu Ax = b.

21 Przykład Układ: x 1 + x 2 + 2x 3 x 4 = 6 x 2 x 3 + 2x 4 = 2 Co jest równoważne zapisowi: 1 0 x x x x 4 = 6 2 Jedna z baz to A B = , zmienne x 1i x 2 będą zmiennymi bazowymi, czyli x B = x 1 x, natomiast A R = , a xr = x 3 x. 4

22 Przykład c.d. Układ można zapisać jako: Macierz odwrotna Stąd Czyli x 1 x 2 = x 1 x A 1 B = x 3 x 4 = 6 2 x 3 x 4 = x 3 x 4 x 1 = 4 3x 3 + 3x 4 x 2 = 2 + x 3 2x 4 Jeżeli teraz ustalimy dowolne x 3 i x 4 np. x 3 = 1 i x 4 = 2, to wówczas x 1 = 7 a x 2 = 1. Jest to jedno z wielu rozwiązań tego układu.

23 Rozwiązanie bazowe Definicja Rozwiązaniem bazowym układu równań Ax = b nazywamy takie rozwiązanie x B R n, w którym wszystkie zmienne wtórne są równe zero x R = 0, tj. x B = xb 0, gdzie x B R n, x B R m. Wniosek Rozwiązanie bazowe układu równań Ax = b można otrzymać podstawiając x R = 0

24 Rozwiązanie zdegenerowane Definicja Rozwiązanie bazowe nazywamy zdegenerowanym jeżeli choć jedna ze składowych wektora x B jest równa zeru. Uwaga Rozwiązania zdegenerowane, o ile występują w algorytmie simpleks, mogą prowadzić do zapętlenia algorytmu.

25 Liczba rozwiązań bazowych Każde rozwiązani bazowe odpowiada jednej ustalonej bazie A B. Każdej bazie A B odpowiada inne rozwiązanie bazowe. Zatem liczba różnych rozwiązań bazowych układu równań Ax = b wynosi tyle, ile różnych baz A B można wyodrębnić z macierzy A Prowadzi to do następującego wniosku: Maksymalna liczba rozwiązań bazowych układu Ax = b, w n którym A jest typu m n, r A = m oraz m n wynosi m

26 Twierdzenie 6 Twierdzenie Jeżeli układ równań Ax = b nie jest sprzeczny to ma co najmniej jedno rozwiązanie bazowe.

27 Zbiory wypukłe

28 Zbiór wypukły Definicja Zbiór C R n nazywamy wypukłym wtedy i tylko wtedy, gdy λx λ x 2 C, dla dowolnych x 1, x 2 C oraz λ 0,1. Przykład

29 Punkt wierzchołkowy Definicja Punkt x C nazywamy wierzchołkiem zbioru wypukłego C R n wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieją takie dwa punkty x 1, x 2 C (gdzie x 1 x 2 ) spełniajace warunek x = λx λ x 2 gdzie λ 0,1.

30 Twierdzenia 7, 8 i 9 Twierdzenie Zbiór rozwiązań układu równań liniowych postaci Ax = b (gdzie A jest typu m n, x R n oraz b R m ) jest zbiorem wypukłym. Twierdzenie Półprzestrzeń postaci a T x d, gdzie a, x R n jest zbiorem wypukłym. Twierdzenie Część wspólna dowolnej rodziny zbiorów wypukłych jest zbiorem wypukłym. Wniosek Zbiór nieujemnych rozwiązań układu równań Ax = b jest zbiorem wypukłym

31 Wielościenny zbiór wypukły i wielościan wypukły Definicja Wielościennym zbiorem wypukłym nazywamy iloczyn skończonej liczby półprzestrzeni Definicja Wielościanem wypukłym nazywamy wielościenny zbiór wypukły i ograniczony Przykład

32 Twierdzenia 10 i 11 Twierdzenie Jeżeli zbiór K jest wielościanem wypukłym, to każdy jego punkt da się przedstawić jako wypukłą kombinację liniową punktów wierzchołkowych tego wielościanu. Twierdzenie Zbiór rozwiązań układu Ax = b jest zbiorem wielościennym wypukłym. Wniosek Jeżeli zbiór rozwiązań układu Ax = b jest ograniczony, to jest on wielościanem wypukłym.

33 Rozwiązania problemu PL Niesprzeczny problem PL: ma skończone rozwiązanie optymalne (jedno lub nieskończenie wiele) nie ma skończonego rozwiązania optymalnego

34 Własności problemów PL

35 Twierdzenia 12 i 13 Twierdzenie Zbiór X (zbiór rozwiązań dopuszczalnych problemu PL) jest zbiorem wypukłym Twierdzenie Zbiór X jest zbiorem wielościennym wypukłym

36 Bazowe rozwiązanie dopuszczalne Definicja Bazowym rozwiązaniem dopuszczalnym nazywamy każde nieujemne rozwiązanie bazowe problemu

37 Twierdzenia 14 i 15 Twierdzenie Jeżeli wektor x B X jest dopuszczalnym rozwiązaniem bazowym układu równań Ax = b, to jest on również punktem wierzchołkowym zbioru X. Twierdzenie Jeżeli wektor x X jest punktem wierzchołkowym zbioru X, to jest on również dopuszczalnym rozwiązaniem bazowym układu równań Ax = b.

38 Twierdzenie 16 Twierdzenie Jeżeli problem PLS nie jest sprzeczny oraz funkcja celu jest ograniczona z góry (dołu) w zbiorze X rozwiązań dopuszczalnych problemu, to rozwiązanie optymalne zadania leży w co najmniej jednym punkcie wierzchołkowym zbioru X.

39 Twierdzenie 17 Twierdzenie Jeżeli problem PLS ma więcej niż jedno rozwiązanie optymalne, to każda kombinacja wypukła tych rozwiązań jest również rozwiązaniem optymalnym. Wniosek Rozwiązań optymalnych należy szukać wśród dopuszczalnych rozwiązań bazowych układu Ax = b i x 0