Wybrane elementy badań operacyjnych

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wybrane elementy badań operacyjnych"

Transkrypt

1 Wybrane elementy badań operacyjnych 1

2 Przykład 1. GWOŹDZIE. Pewna fabryczka może produkować dwa gatunki gwoździ II i I. Do wyprodukowania tony gwoździ II gatunku potrzeba 1,2 tony stali oraz 1 roboczogodzinę pracy, do wyprodukowania 1 tony I gatunku gwoździ potrzeba 1,3 tony stali oraz 1,2 roboczogodziny. Minimalne dostawy wynoszą dla drugiego gatunku 5 ton, a dla pierwszego 3 ton. Zysk z 1 tony II gatunku wynosi 2 złotych, a zysk z jednej tony I gatunku 25 złotych. Tygodniowe zasoby stali wynoszą 18 ton, a tygodniowa moc przerobowa 2 roboczogodzin. Ile ton gwoździ I i II gatunku należy wyprodukować w ciągu tygodnia, aby zysk był największy. MODEL MATEMATYCZNY x 1 - tygodniowa produkcja gwoździ I gatunku x 2 - tygodniowa produkcja gwoździ II gatunku FUNKCJA CELU (ZYSKU) OGRANICZENIA f = 25x 1 + 2x 2 x 1 3 x 2 5 1, 3x 1 + 1, 2x , 2x 1 + x 2 2. Przykład 2. POŚREDNIK (ZAGADNIENIE TRANS- PORTOWE) Pewien pośrednik kupuje ten sam towar u 2 dostawców i dostarcza go trzem odbiorcom. Znamy cenę zakupu u każdego dostawcy i cenę zbytu u każdego odbiorcy. Znamy też maksymalne i minimalne ilości towaru sprzedawanego przez poszczególnych dostawców i kupowanego przez poszczególnych odbiorców. Zbuduj model matematyczny. 2

3 MODEL 1, bardziej skomplikowany, ale narzucający się Wprowadzamy oznaczenia: i - numer dostawcy, i = 1, 2 j - numer odbiorcy, j = 1, 2, 3 a i - minimalna ilość towaru sprzedawanego przez i-tego dostawcę b i - maksymalna ilość towaru sprzedawanego przez i-tego dostawcę c j - minimalna ilość towaru kupowanego przez j-tego odbiorcę d j - maksymalna ilość towaru kupowanego przez j-tego odbiorcę k i - cena zakupu towaru u i-tego dostawcy p j - cena sprzedaży towaru j-temu odbiorcy a ij - koszt jednostkowy transportu od i-tego dostawcy do j-tego odbiorcy ZMIENNE DECYZYJNE z i - ilość towaru zakupionego u i-tego dostawcy y j - ilość towaru sprzedanego j-temu odbiorcy x ij - ilość towaru przewiezionego od i-tego dostawcy do j-tego odbiorcy Razem 11 zmiennych. FUNKCJA CELU (ZYSK) f = p j y j k i z i a ij x ij. j=1 i=1 i=1 j=1 WARUNKI OGRANICZAJĄCE 3 x ij = z i, i = 1, 2 ( ) j=1 2 x ij = y j, j = 1, 2, 3 ( ) i=1 a i z i b i, i = 1, 2 c j y j d j, j = 1, 2, 3 3

4 Razem 21 warunków! z i, i = 1, 2, y j, j = 1, 2, 3, x ij, i = 1, 2; j = 1, 2, 3. D y g r e s j a: ile byłoby warunków przy 3 dostawcach i 3 odbiorcach, a ile przy 4 odbiorcach i 4 dostawcach? Okazuje się, że można ten model znacznie uprościć i wykorzystując równości ( ) i ( ) oprzeć się na tylko 6 zmiennych decyzyjnych x ij. Wprowadzimy mianowicie nowe parametry u ij = p j k i a ij. Wtedy funkcja celu wygląda następująco 2 3 f = u ij x ij, i=1 j=1 a warunki ograniczające Razem już tylko 11 warunków. 3 a i x ij b i, i = 1, 2 j=1 2 c j x ij d j, j = 1, 2, 3 i=1 x ij, i = 1, 2; j = 1, 2, 3. Zauważmy, że współczynniki e ij odpowiadają za koszty transportu. Jeśli ograniczymy się tylko do nich (zakładając, że ceny u wszystkich dostawców są takie same oraz u wszystkich odbiorców sa takie same), to otrzymamy problem nazywany ZAGADNIENIEM TRANSPORTOWYM. Zakłada się, że odbiorcy muszą dostać ustaloną ilość towaru (oznacza to, że c j = d j ). Przy dostawcach rozważamy tylko ograniczenie górne. 4

5 Oczywiście zysk będzie największy, gdy koszty transportu będą najmniejsze. Prowadzi to do modelu: Funkcja celu: szukamy jej minimum. Warunki ograniczające: 2 3 f = a ij x ij, i=1 j=1 3 x ij b i, i = 1, 2 j=1 2 x ij = c j, j = 1, 2, 3 i=1 x ij, i = 1, 2; j = 1, 2, 3. Wygodnie dane dla zagadnienia transportowego zapisywac w postaci tabeli, co zobaczymy w poniższym przykladzie liczbowym. Pewien towar jest zmagazynowany w miejscowości A 1 w ilości 7 ton oraz w miejscowości A 2 w ilości 2 miejscowości A 3 w ilości 9 ton. Ma być on przewieziony do miejscowości M 1 w ilości 5 ton oraz miejscowości M 2 w ilości 12 ton. Koszt przewozu jednej tony pomiędzy miejscowościami podany jest w tabeli M 1 M 2 A A A Model wygląda następująco: Najpierw wypiszmy dane odpowiadające ogólnemu modelowi: Zauważmy, że tym razem mamy 3 dostawców i 2 odbiorców, czyli i zmienia sie od 1 do 2, zaś j od 1 do 3. a 11 = 75, a 12 = 42, a 21 = 25, a 22 = 25, a 31 = 65, a 32 = 24. b 1 = 7, b 2 = 2, b 3 = 9, c 1 = 5, c 2 = 12. 5

6 Funkcja celu ma postać: f = 75x x x x x x 32. Warunki ograniczające: x 11 + x 12 7, x 21 + x 22 2, x 31 + x x 11 + x 21 + x 31 = 5, x 12 + x 22 + x 32 = 12. Zapiszemy ten model w postaci tabeli: X 1 X 2 znak b i A A A znak = =

7 PRZYKŁAD 3. DZIAŁALNOŚĆ ROLNIKA Rolnik posiada 4 hektarów ziemi. Może hodować tuczniki i uprawiać ziemniaki j zboże. Jeden tucznik potrzebuje 4 q ziemniaków i 2 q zboża i wymaga dodatkowo 2 złotych (robocizna, witaminy, weterynarz itp.) Uprawa hektara ziemniaków kosztuje 8 zł. nakładu (nawozy, robocizna, paliwo, środki ochrony roślin itp.) i daje plon 2 q. Uprawa hektara zboża kosztuje 2 zł i daje plon 5 q. Cena sprzedaży jednego tucznika wynosi 3 złotych, 1 q ziemniaków 1 zł., a zboża 3 zł. Zasoby rolnika (robocizna, siła nabywcza itp) wynoszą 4 zł. Zbuduj model matematyczny. ZMIENNE DECYZYJNE: x 1 - liczba tuczników x 2 - obszar uprawy ziemniaków x 3 - obszar uprawy zboża x 4 - ilość sprzedanych ziemniaków x 5 - ilość sprzedanego zboża FUNKCJA CELU (ZYSKU) f = 3x 1 + 1x 4 + 3x 5 (2x 1 + 8x 2 + 2x 3 ). WARUNKI OGRANICZAJĄCE: x 2 + x 3 4 4x 1 + x 4 2x 2 x 1 - całkowite. 2x 1 + x 5 5x 3 2x 1 + 8x 2 + 2x 3 4 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 Ostatni warunek bardzo utrudnia rozwiązanie. Zwykle go się pomija i po uzyskaniu rozwiązania wybiera się liczbę całkowitą najbliższą uzyskanej. 7

8 ROZWIĄZANIE GEOMETRYCZNE Rozważmy problem: Znaleźć maksimum funkcji f(x 1, x 2 ) = 2x 1 + x 2 przy warunkach 3x 1 + 2x x 1 + x 2 12 x 1, x 2. Rozwiązanie geometryczne widzimy na następnej stronie. 8

9 9

10 Rozwiązanie geometryczne da się wykorzystać tylko przy małej liczbie zmiennych - w zasadzie tylko dwóch. Przy większej liczbie zmiennych trzeba stosować inne metody. 1

11 Zaprezentujemy jedną z nich tzw. algorytm sympleksowy. Zanim do niego przejdziemy wprowadzimy kilka wstępnych pojęć. POSTAĆ KANONICZNA W postaci kanonicznej poprzez dodanie nowych zmiennych zamieniamy warunki ograniczające mające postać nierówności na warunki mające postać równości. Zaprezentujemy to na przykładzie poprzednim: Znaleźć maksimum funkcji przy warunkach 3x 1 + 2x x 1 + x 2 12 x 1, x 2. f(x 1, x 2 ) = 2x 1 + x 2 Pierwszy warunek ograniczający 3x 1 + 2x 2 18 zastąpimy warunkami: 3x 1 + 2x 2 + s 1 = 18 oraz s 1. Drugi warunek ograniczający 3x 1 + x 2 12 zastępujemy warunkami 3x 1 + x 2 + s 2 = 12 oraz s 2. Ostatecznie forma standardowa zadania programowania liniowego będzie w postaci: FUNKCJA CELU: f = 2x 1 + x 2 + s 1 + s 2 WARUNKI OGRANICZAJĄCE: 3x 1 + 2x 2 + s 1 = 18 3x 1 + x 2 + s 2 = 12 x 1, x 2, s 1, s 2. 11

12 Zanim przejdziemy do dalszej części wykładu przypomnimy elementy rachunku macierzowego. MACIERZE Macierzą o n wierszach i k kolumnach nazywamy układ nk liczb rzeczywistych zapisanych w postaci prostokątnej tabeli A = a 11 a a 1k a 21 a a 2k a n1 a a nk. Układ liczb a i1 a i2... a ik nazywamy i tym wierszem macierzy A, a układ liczb a 1j a 2j. a nj nazywamy j tą kolumną macierzy A. Kolumnę macierzy możemy traktować jako wektor n-wymiarowy, a wiersz jako wektor k-wymiarowy. Macierz oznacza się też następująco: A = [a ij ] j=1,...,k i=1,...,n. W wypadku gdy macierz ma n wierszy i k kolumn będziemy pisać, że jest to macierz n k. Teraz omówimy operacje jakie możemy wykonywać na macierzach. Najpierw przypomnimy co to jest iloczyn skalarny dwóch wektorów. Iloczynem skalarnym wektorów V = x 1. x n oraz W = V W = x 1 y 1 + x 2 y x n y n. 12 y 1. y n nazywamy liczbę

13 Na przykład (1, 2, 3) ( 1,, 2) = 1 ( 1) = 5. TRANSPONOWANIE Macierzą transponowaną macierzy A nazywamy macierz oznaczaną A T, której kolejne wiersze są kolejnymi kolumnami macierzy A. Zatem jeśli macierz A jest macierzą n k, to macierz A T jest macierzą k n. 1 2 PRZYKŁAD. Jeśli A = 3 4, to AT = 5 6 MNOŻENIE PRZEZ LICZBĘ [ ] Jeśli A jest macierzą n k, a q IR, to możemy utworzyć macierz qa = [c ij ] j=1,...,k i=1,...,n, gdzie c ij = qa ij dla każdego i = 1,..., n i j = 1,..., k. PRZYKŁAD. [ ] = [ ] = [ ] DODAWANIE Jeśli obie macierze A i B są macierzami n k, to możemy utworzyć macierz C = A + B = [c ij ] j=1,...,k i=1,...,n, gdzie c ij = a ij + b ij, dla każdego i = 1,..., n i j = 1,..., k PRZYKŁAD = = Dodawanie macierzy i mnożenie przez liczbę spełniają warunki (q + r)a = qa + ra, q(a + B) = qa + qb, 13

14 MNOŻENIE MACIERZY (A + B) T = A T + B T. Jeśli macierz A ma tyle samo kolumn ile wierszy ma macierz B, czyli A jest macierzą n k, a B jest macierzą k p, to możemy utworzyć macierz A B = C = [c ij ] j=1,...,p i=1,...,n, gdzie c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj. Inaczej mówiąc c ij jest iloczynem skalarnym wektora utworzonego z i tego wiersza macierzy A i wektora utworzonego z j tej kolumny macierzy B. Często opuszczamy znak i piszemy zamiast A B po prostu AB. PRZYKŁAD. Niech A = [ ] 1 2 3, B = Możemy wykonać działania zarówno AB jak i BA. Niech AB = C. Wówczas C będzie macierzą 2 2. Obliczając według powyższej recepty mamy Zatem AB = [ ] c 11 = = 2 c 12 = = 38 c 21 = = 47 c 22 = = 92. Natomiast macierz BA będzie macierzą 3 3. Mamy: 2 5 BA = [ 1 2 ]

15 = = PRZYKŁAD. Niech A = Wtedy AB = Wniosek: [ ] 1, B = [ ] 1, natomiast BA = Mnożenie macierzy nie jest przemienne. [ ]. 1 [ ]. 1 Natomiast prawdziwa jest rozdzielność mnożenia macierzy względem dodawania, czyli (A+B)C = AC + BC A(B+C) = AB+AC, przy czym w pierwszej kolejności wykonuje się mnożenie, a potem dodawanie. Operacje elementarne Operacjami elementarnymi nazywamy: 1. Mnożenie i-tego wiersza macierzy przez dowolną liczbę różną od zera. 2. Dodanie do i-tego wiersza macierzy innego wiersza macierzy pomnożonego przez dowolną liczbę. 3. Zamianę miejscami dwóch dowolnych wierszy macierzy. [ ] 1 2 PRZYKŁAD. Dana jest macierz A =. Poprzez operacje elementarne 3 4 [ ] 1 przekształcić tę macierz w macierz B =. 2 Rozwiązanie 15

16 Krok pierwszy: do pierwszego wiersza dodajemy wiersz [ drugi ] pomnożony 2 przez 1/3 - operacja typu 2. Otrzymujemy macierz Krok drugi: mnożymy [ ] pierwszy wiersz przez 3/2 - operacja typu 1. Otrzymujemy macierz Krok trzeci: do drugiego wiersza dodajemy pierwszy [ wiersz ] przemnożony 1 przez 4 - operacja typu 2. Otrzymujemy macierz. 3 Krok czwarty: mnożymy drugi wiersz przez 2/3 - operacja typu 1. Otrzymujemy macierz B. Słowne opisywanie operacji, które wykonujemy jest uciążliwe. Wprowadzimy pewne skrótowe opisy. Będziemy oznaczać i-ty wiersz macierzy przed wykonaniem operacji przez w i, a i-ty wiersz macierzy po dokonaniu operacji przez w i. I tak na przykład pierwszą operację w powyższym przykładzie możemy zapisać następująco: w 1 = w w 2. Natomiast cały schemat rozwiązania zapiszemy tak: [ ] 1 2 w 1 = w w 3 2 [ ] [ ] [ ] 1 3 [ ] 1. 2 w 1 = 3 2 w 1 w 2 = w 2 4w 1 w 2 = 2 3 w 2 16

17 Można było skrócić całą procedurę wykonując w jednym kroku kilka operacji elementarnych. Mogliśmy na przykład zapisać nasze rozwiązanie tak: [ 1 ] 2 w 1 = w 1 1w w 1 = 3w 2 1 [ ] [ ] 1. 2 w 2 = w 2 4w 1 w 2 = 2 3 w 2 MACIERZ JEDNOSTKOWA Macierzą jednostkową I n nazywamy macierz o n wierszach i n kolumnach mającą na głównej przekątnej jedynki, poza tym same zera. np. itd. POSTAĆ BAZOWA MACIERZY [ ] 1 I 2 = 1 1 I 3 = I 4 = 1 1 Załóżmy, że macierz A ma k kolumn i n wierszy, przy czym k n. Powiemy, że macierz ma postać bazową, jeśli po wykreśleniu k n kolumn i przestawieniu kolejności pozostałych kolumn otrzymamy macierz jednostkową I n. Te kolumny, kt 17

18 Na przykład macierz A = [ 2 ] ma postać bazową. Usuwamy drugą kolumnę i zamieniamy miejscami pozostałe kolumny. Kolumny bazowe macierzy A to kolumny pierwsza i trzecia. Macierz B = też ma postać bazową: usuwamy 1, 3 i 6 kolumnę następnie przestawiamy w pozostałych drugą z trzecią. Kolumny bazowe macierzy B, to kolumny druga, czwarta i piąta. PRZYKŁAD. Przy pomocy operacji elementarnych sprowadzimy macierz [ 1 2 ] do postaci bazowej, tak aby kolumnami bazowymi były pierwsza i trzecia. Oznacza to, że pierwsza kolumna ma być postaci 1, a druga 1 Ponieważ chcemy, aby w pierwszej kolumnie i drugim wierszu pojawiło się stosujemy operację elementarną: w 2 = w 2 4w 1. Otrzymujemy macierz [ ] Już pierwsza kolumna jest taka, jaką chcemy Teraz chcemy, aby w trzeciej kolumnie i pierwszym wierszu pojawiło się, wykonujemy zatem operację: w 1 = w w 2. 18

19 Otrzymujemy macierz [ ] 1 1/ Wreszcie na końcu musimy podzielić pierwszy wiersz przez 6, czyli wykonać operację w 2 = 1 6 w 2. Otrzymujemy macierz w postaci bazowej [ 1 1/2 ] 1/2 1 takiej jak chcieliśmy. PRZYKŁAD: Przy pomocy operacji elementarnych sprowadzimy macierz do postaci bazowej, tak aby kolumnami bazowymi były druga, trzecia i pierwsza. Oznacza to, że druga kolumna ma być postaci 1, trzecia 1, a pierwsza 1. Stosujemy kolejno operacje elementarne: 1) w 3 macierz ; = w 3 w 1. Otrzymujemy 2) w 1 = w 1 + w 3. Otrzymujemy macierz ;

20 3) w 3 = w 3 + 4w 2. Otrzymujemy macierz ; 4) w 1 = w 1 + 2/5w 3, w 2 = w 3 1/5w 3. Otrzymujemy macierz 2 7/5 4/ ; 5) w 1 = 1/2w 1, w 3 = 1/5w 3. Otrzymujemy macierz w takiej postaci, o jaką chodzi. 1 7/1 4/ /5 2

21 TERAZ OMÓWIMY DOKŁADNIE ALGORYTM SYMPLEKSOWY. Omówimy go początkowo dla maksymalizacji funkcji celu. Na zakończenie podamy co trzeba zmienić w przypadku minimalizacji. Będziemy go ilustrować poniższym przykładem. FUNKCJA CELU: WARUNKI OGRANICZAJĄCE f = 4x 1 + x 2 max 3x 1 + 2x x 1 8 x 1, x 2 Tworzymy postać kanoniczną. POSTAĆ KANONICZNA FUNKCJA CELU: f = 4x 1 + x 2 + s 1 + s 2 max WARUNKI OGRANICZAJĄCE: ALGORYTM SYMPLEKSOWY 3x 1 + 2x 2 + s 1 = 18 4x 1 + s 2 = 8 x 1, x 2, s 1, s 2 Oznaczamy zmienne początkowe przez x 1,... x n, zmienne dodane przy tworzeniu postaci kanonicznej przez s 1... s m. 21

22 Współczynniki w funkcji celu oznaczamy przez c 1,... c n, c n+1,... c n+m. c p = dla p > n. W rozważanym przykładzie n = 2, m = 2, n + m = 4, c 1 = 4, c 2 = 1, c 3 =, c 4 =. Przypuśćmy, że jest m warunków ograniczających powstałych z nierówności (oprócz warunków x i, s j ) postaci a j1 x a jn x n + a j(n+1) s a j(n+m) s m = b j j = 1, 2,... k. Np. w naszym przykładzie: a 11 = 3, a 12 = 2, a 13 = 1, a 14 = a 21 = 4, a 12 =, a 13 =, a 14 = 1 b 1 = 18, b 2 = 8. 22

23 KROK 1 TWORZYMY TABLICĘ SYMPLEKSOWĄ W NASTĘPUJĄCEJ POSTA- CI c j c 1... c n.. c B bazowe x 1.. x n s 1... s k b i c p1 s 1 a a 1n a 1(n+1)... a 1(n+m) b c pm s m a m1... a mn a m(n+1)... a m(n+m) b m z j z 1... z n z n+1... z n+m c j z j c 1 z 1... c n z n c n+1 z n+1... c n+m z n+m Macierz współczynników A = [a ij ] j=1,...,n+m i=1,...,m musi mieć postać bazową. W drugiej kolumnie wypisujemy zmienne bazowe, czyli zmienne odpowiadające kolumnom bazowym. z funkcji celu odpo- W pierwszej kolumnie c B mamy współczynniki c p1...c pm wiadające zmiennym bazowym z drugiej kolumny. W chwili startu zmienne bazowe to s 1,..., s m (w takiej kolejności), zatem te współczynniki są w chwili startu równe zero. z j wyliczamy z wzoru a 1j m z j = c B... = c pi a ij. a i=1 kj W ostatnim wierszu wpisujemy liczby c j z j, j = 1, 2,...n + m. Każdej tablicy sympleksowej odpowiada rozwiązanie bazowe. W takim rozwiązaniu zmienne niebazowe są równe zero. 23

24 Na przykład dla tablicy sympleksowej c j 4 3 c B bazowe x 1 x 2 s 1 s 2 b i s x z j 4 4 c j z j 1 4 mamy x 2 =, s 2 =, x 1 = 2 (z drugiego równania), s 1 = 12 (z pierwszego równania) i funkcja celu jest równa = 8. W następnych krokach będziemy zamieniać zmienne bazowe poprawiając wynik. KRYTERIUM OPTYMALNOŚCI Badamy współczynniki w ostatnim wierszu czyli c j z j. Jeśli wszystkie są niedodatnie, to kończymy pracę - rozwiązanie jest optymalne. KRYTERIUM WEJŚCIA Jeśli wśród liczb c j z j istnieją dodatnie, to wybieramy największą z nich. Niech będzie ona w kolumnie k-tej. Oznacza to, że nową zmienną bazową będzie zmienna x k KRYTERIUM WYJŚCIA a 1k.... a mk dla a jk >. Niech to będzie np. Rozważamy kolumnę macierzy A pod zmienną x k. Jest to kolumna Rozważamy najmniejszą spośród liczb b j a jk liczba bp a pk. Odpowiada to zmiennej bazowej s p. Oznacza to, że zmienna bazowa x k pojawi się w miejsce zmiennej bazowej s p. TWORZENIE NOWEJ TABLICY SYMPLEKSOWEJ Poprzez operacje elementarne tak zmieniamy macierz A B, aby pod zmienną x k pojawił się wektor taki, jaki jest teraz pod zmienną s p tzn. jedynka na p-tym miejscu, na pozostałych zera. Pod pozostałymi zmiennymi bazowymi musi pozostać to co było. 24

25 W drugiej kolumnie w miejsce zmiennej bazowej s p usuwanej z bazy wpisujemy nazwę nowej zmiennej bazowej, czyli x k, a w pierwszej zamiast współczynnika przy s p (równego ) wpisujemy współczynnik z funkcji celu przy x k, czyli c k. PROCEDURĘ POWTARZAMY TAK DŁUGO, AŻ OTRZYMA- MY ROZWIĄZANIE OPTYMALNE W KRYTERIUM OPTY- MALNOŚCI 25

26 PRZEŚLEDZIMY TO NA ROZWAŻANYM PRZYKŁADZIE POCZĄTKOWA TABLICA SYMPLEKSOWA Wyliczamy z j : z 1 = c B z 2 = c B z 3 = c B z 4 = c B [ ] 3 = 4 [ ] 2 = [ ] 1 = [ ] = 1 [ ] [ ] [ ] [ ] c j 4 1 c B bazowe x 1 x 2 s 1 s 2 b i s s z j???? c j z j???? [ ] 3 = =. 4 [ ] 2 = 2 + =. [ ] 1 = 1 + =. [ ] = + 1 =. 1 Uzupełniamy tablicę sympleksową. c j 4 1 c B bazowe x 1 x 2 s 1 s 2 b i s s z j c j z j 4 1 Stosujemy kryterium optymalności: W ostatnim wierszu istnieją wyrazy dodatnie, zatem rozwiązanie nie jest optymalne. Stosujemy kryterium wejścia. 26

27 Maksimum c j z j wynosi 4 i mieści się w pierwszej kolumnie. Zatem k = 1, co oznacza, że nową zmienną bazową będzie x 1. Stosujemy kryterium wyjścia Liczymy minimum b j a jk dla a jk >. W naszym wypadku k = 1, czyli liczymy minimum spośród liczb b 1 a 11 = 18 = 6 3 oraz b 2 a 21 = 8 = 2. 4 Mniejszą jest druga z liczb otrzymana z drugiego wiersza odpowiadającego zmiennej bazowej s 2. Zatem nowa zmienna bazowa x 1 ma zastąpić zmienną s 2. Obecnie zmiennymi bazowymi będą s 1 - pozostanie w pierwszym wierszu oraz x 1 w drugim wierszu. Oznacza to, że przez operacje elementarne kolumna pod x 1 mająca obecnie postać 3 4 musi zmienić się w kolumnę 1, a kolumna pod s 1 ma pozostać w postaci 1. W tym celu pierwszy wiersz przekształcamy następująco: w 1 = w w 2 = [ ] 3 4 [ ] = [ 2 1 3/4 12 ], a drugi w 2 = 1 4 w 2 = 1 4 [ ] = [ 1 1/4 2 ]. Otrzymujemy nową tablicę sympleksową. 27

28 c j 4 1 c B bazowe x 1 x 2 s 1 s 2 b i s / x 1 1 1/4 2 z j???? c j z j???? Wyliczamy z j : z 1 = c B z 2 = c B z 3 = c B z 4 = c B [ ] = 1 [ ] 2 = [ ] 1 = [ ] 4 [ ] 4 [ ] 4 [ ] 3/4 = 1/4 [ ] = = 4. 1 [ ] 2 = =. [ ] 1 = =. [ ] 4 Uzupełniamy tablicę sympleksową. [ ] 3/4 = ( 3/4) + 4 1/4 = 1. 1/4 c j 4 1 c B bazowe x 1 x 2 s 1 s 2 b i s / x 1 1 1/4 2 z j 4 1 c j z j 1 1 Stosujemy kryterium optymalności: W ostatnim wierszu istnieją wyrazy dodatnie, zatem rozwiązanie nie jest optymalne. Stosujemy kryterium wejścia. Maksimum c j z j wynosi 1 i mieści się w drugiej kolumnie. Zatem k = 2, co oznacza, że nową zmienną bazową będzie x 2. 28

29 Stosujemy kryterium wyjścia: Liczymy minimum b j a jk dla a jk >. W naszym wypadku k = 2, czyli liczymy minimum spośród jednej tylko liczby b 1 a 12 = 12 2 = 6 Otrzymana jest ona z pierwszego wiersza odpowiadającego zmiennej bazowej s 1. Zatem nowa zmienna bazowa x 2 ma zastąpić zmienną s 1. Obecnie zmiennymi bazowymi będą x 1 - pozostanie w drugim wierszu oraz x 2 pojawi się zamiast s 1 w pierwszym wierszu. Oznacza to, że kolumna pod x 1 pozostanie bez zmian, czyli 1, a kolumna pod x 2 musi przybrać postać 1 elementarne. Aby to osiągnąc wystarczy przekształcenie w 1 = 1 2 w 1 = 1 2 [ 2 1 3/4 12 ] = [ 1 1/2 3/8 6 ]. Drugi wiersz pozostaje bez zmian. Otrzymujemy nową tablicę sympleksową. Wyliczamy z j : z 1 = c B [ ] = 1 [ ] 1 4 c j 4 1 c B bazowe x 1 x 2 s 1 s 2 b i 1 x 2 1 1/2 3/8 6 4 x 1 1 1/4 2 z j???? c j z j???? [ ] = =

30 z 2 = c B z 3 = c B z 4 = c B [ ] 1 = [ ] 1/2 = [ ] 1 4 [ ] 3/8 = 1/4 [ ] 1 4 [ ] 1 = = 1. [ ] 1 4 Uzupełniamy tablicę sympleksową. [ ] 1/2 = 1 1/2 + 4 = 1/2. [ ] 3/8 = 1 ( 3/8) + 4 1/4 = 5/8. 1/4 c j 4 1 c B bazowe x 1 x 2 s 1 s 2 b i 1 x 2 1 1/2 3/8 6 4 x 1 1 1/4 2 z j 4 1 1/2 5/8 c j z j 1/2 5/8 Ponieważ wszystkie wyrazy w ostatnim wierszu tablicy są niedodatnie, wnioskujemy że mamy optymalne rozwiązanie. W nim x 1 = 2, x 2 = 6, f = 14. 3

31 ZADANIE NA MINIMUM Do tej pory omawialiśmy algorytm sympleksowy dla maksymalizacji funkcji celu. Przy minimalizacji warunki ograniczające mają przeważnie postać nierówności w drugą stronę dlatego zmienne swobodne występują w formie standardowej ze znakiem minus. Powoduje to, że startowa tablica sympleksowa budowana identycznie jak w przypadku maksymalizacji nie będzie w postaci bazowej. Rozpatrzmy np. zadanie programowania liniowego Zminimalizować funkcję f(x 1, x 2 ) = x 1 + x 2, przy ograniczeniach x 1 + 2x 2 3, 3x 1 + x 2 4. Wprowadzając nieujemne zmienne swobodne s 1 i s 2 zamieniamy nierówności na równości x 1 + 2x 2 s 1 = 3, 3x 1 + x 2 s 2 = 4. Teraz przy zmiennych swobodnych mamy znak. Zbudowanie początkowej tablicy sympleksowej podobnie jak dla maksymalizacji da nam nam tablicę następującą c j 1 1 c B bazowe x 1 x 2 s 1 s 2 b i s s z j???? c j z j???? Nie jest ona w postaci bazowej ze względu na minusy przed jedynkami w trzeciej i czwartej kolumnie macierzy A. Nic nie da pomnożenie wierszy przez 31

32 1 bo wyrazy wolne powinny być w algorytmie sympleksowym dodatnie - w przeciwnym wypadku startowe rozwiązanie bazowe będzie niedopuszczalne - zmienne s i byłyby ujemne. Jednym ze sposobów jest wprowadzenie do funkcji celu nowych zmiennych tzw. zmiennych sztucznych w taki sposób aby początkowe rozwiązanie z tymi zmiennymi jako bazowymi było bardzo duże, czyli z dużymi współczynnikami. Spowoduje to, że w trakcie stosowania metody sympleksowej te nowe zmienne staną się zerami. Ponieważ teraz będziemy rozwiązanie zmniejszać to wprowadzane są następujące korekty w porównaniu z zadaniem maksymalizacji: 1) Kryterium optymalności wszystkie c j z j zamiast c j z j. 2) Kryterium wejścia min(c j z j ) zamiast max(c j z j ). Pozostałe elementy algorytmu sympleksowego pozostają identyczne. Prześledzimy to na następującym zadaniu programowania liniowego. Funkcja celu Ograniczenia x 1 + x 2 min x 1 + 2x 2 3 3x 1 + x 2 4 x 1, x 2 Krok pierwszy - wprowadzamy zmienne swobodne s 1, s 2. Otrzymujemy postać standardową. Funkcja celu Ograniczenia x 1 + x 2 + s 1 + s 2 min x 1 + 2x 2 s 1 = 3 3x 1 + x 2 s 2 = 4 32

33 x 1, x 2, s 1, s 2 Krok drugi - wprowadzamy zmienne sztuczne v 1 i v 2 i dodajemy do funkcji celu składnik 1v 2 +1v 2 oraz do równości odpowiednio v 1 i v 2. Otrzymujemy postać standardową i jednocześnie bazową. Funkcja celu Ograniczenia x 1 + x 2 + s 1 + s 2 + 1v 2 + 1v 2 min x 1 + 2x 2 s 1 + v 1 = 3 3x 1 + x 2 s 2 + v 2 = 4 x 1, x 2, s 1, s 2, v 1, v 2 Startowa tablica sympleksowa ma postać (piszemy od razu uzupełnioną). c j c B bazowe x 1 x 2 s 1 s 2 v 1 v 2 b i 1 v v z j c j z j Kryterium optymalności w ostatnim wierszu istnieją liczby ujemne rozwiązanie można poprawić. Kryterium wejścia min(c j z j ) = c 1 z 1 = 39. Oznacza to, że nową zmienną bazową będzie x 1. Kryterium wyjścia 4/3 < 3/1 Zmienną usuwaną z bazy będzie v 2. W pierwszej kolumnie ma się pojawić wektor 1. W tym celu stosujemy operacje elementarne w 1 = w w 2 33

34 w 2 = 1 3 w 2 Otrzymujemy nową tablicę sympleksową. c j c B bazowe x 1 x 2 s 1 s 2 v 1 v 2 b i 1 v 1 5/3 1 1/3 1 1/3 5/3 1 x 1 1 1/3 1/3 1/3 4/3 z j 1 51/ c j z j Kryterium optymalności w ostatnim wierszu istnieją liczby ujemne rozwiązanie można poprawić. Kryterium wejścia min(c j z j ) = c 2 z 2 = 16. Oznacza to, że nową zmienną bazową będzie x 2. Kryterium wyjścia 5/3 5/3 < 4/3 1/3 Zmienną usuwaną z bazy będzie v 1. Oznacza to, że w drugiej kolumnie ma się pojawić wektor 1. W tym celu stosujemy operacje elementarne w 2 = w w 1 w 1 = 3 5 w 1 Otrzymujemy nową tablicę sympleksową. c j c B bazowe x 1 x 2 s 1 s 2 v 1 v 2 b i 1 x 2 1 3/5 1/5 3/5 1/5 1 1 x 1 1 1/5 3 1/5 2/5 1 z j 1 1 2/5 14/5 2/5 1/5 c j z j 2/5 14/5 48/5 49/5 34

35 Wszystkie współczynniki c j z j są nieujemne. Otrzymujemy rozwiązanie bazowe optymalne: s 1 = s 2 = v 2 = v 2 =, x 1 = 1, x 2 = 1, f = = 2. 35

36 Rozwiązywanie zadań programowania liniowego programem solver Solver jest dodatkiem do arkusza kalkulacyjnego openoffice calc (istnieje począwszy od wersji 3.1). Poniżej opiszemy jak rozwiązać omawiane przez nas powyżej zadania programowania liniowego przy pomocy tego programu. Zademonstrujemy to na podstawie uproszczonego zadania z początku wykładu. Rozwiązemy mianowicie zadanie: FUNKCJA CELU (ZYSKU) f = 25x 1 + 2x 2 OGRANICZENIA 1,3x 1 + 1,2x 2 18, 1,2x 1 + x 2 2, x 1, x 2. Otwieramy program calc i wpisujemy dane następująco: Komórki, które wybieramy są tylko przykładowe! W komórkach b2 i c2 wpisujemy współrzędne funkcji celu, czyli 2 i 25. W komórkach b4 i c4 wpisujemy jakiekolwiek dane początkowe zmiennych decyzyjnych np. 1 i 2. W komórce f2 wpisujemy funkcję celu tzn: = SUMA.ILOCZYNÓW(b2 : c2; b4 : c4) Pojawi się w niej wynik 65 ( ). W szóstym i siódmym wierszu wpisujemy ograniczenia: w komórkach b6 i c6 liczby 1,3 i 1,2 a w komórkach b7 i c7 liczby 1,2 i 1. 36

37 W komórce d6 wpisujemy wzór = SUMA.ILOCZYNÓW(b6 : c6; b4 : c4) W komórce d7 wpisujemy wzór = SUMA.ILOCZYNÓW(b7 : c7; b4 : c4) Pojawią się w nich odpowiednio liczby 3,7 i 3,2. W komórkach f6 i f7 wpisujemy prawe strony warunków ograniczających czyli 18 i 2. Otwieramy zakładkę Narzędzia, a w niej zakładkę Solver. 37

38 W okienku Komórka docelowa wpisujemy f2. Zoptymalizuj wynik zaznaczamy Maksimum. W okienku Komórki dla zmiennych wpisujemy b4:c4. W ograniczeniach wpisujemy: W pierwszym wierszu w kolumnie Odwołanie do komórki wpisujemy d6 w kolumnie Operator wybieramy <=, w kolumnie Wartość wpisujemy f6. W drugim wierszu w kolumnie Odwołanie do komórki wpisujemy d7 w kolumnie Operator wybieramy <=, w kolumnie Wartość wpisujemy f7. Otwieramy zakładkę Opcje (na dole po lewej stronie okienka). 38

39 Zaznaczamy opcję Przyjmij, że zmienne są liczbami nieujemnymi. Wychodzimy z tej zakładki naciskając OK i wybieramy Znajdź rozwiązanie. 39

40 Pojawia się małe okienko pt. Wynik szukania rozwiązania zawierające informacje: Szukanie rozwiązania zakończone powodzeniem Wynik: 34615,38 Zachować wynik czy przywrócić poprzednie wartości? Wybieramy Zachowaj wynik powracając do głównego ekranu arkusza kalkulacyjnego. W komórce b4 pojawi się liczba 138,46, w komórce c4 liczba, w komórce d6 liczba 18, w komórce d7 liczba 166,15 i w komórce f2 liczba 34615,38. Otrzymujemy zatem rozwiązanie: Maksymalną wartość funkcja celu osiągnie przy x 1 = 138,46, x 2 =. Wynosi ona 34615,38. 4

41 ANALIZA POOPTYMALIZACYJNA Analiza pooptymalizacyjna polega po pierwsze na zbadaniu ile mamy rozwiązań, a po drugie jak zmieni się rozwiązanie, jeśli zmienimy niektóre parametry w zadaniu. W wypadku problemu nr 1 mamy następujące twierdzenia: Twierdzenie 1. Jeśli w końcowej tablicy sympleksowej, liczba c j z j jest równa dla pewnej zmiennej niebazowej, to problem ma nieskończenie wiele rozwiązań. Twierdzenie 2. Jeśli w końcowej tablicy sympleksowej, liczby c j z j są różne od dla wszystkich zmiennych niebazowych, to problem ma tylko jedno rozwiązanie. Przykład Rozważamy problem. f = x 1 + x 2, maksimum, 2x 1 + 2x 2 12, x 1 + 3x 2 12, x 1, x 2. Tworzymy postać kanoniczną f = x 1 + x 2 + s 1 + s 2, maksimum, 2x 1 + 2x 2 + s 1 = 12, x 1 + 3x 2 + s 2 = 12, x 1, x 2, s 1, s 2. Zbudujmy początkową tablicę sympleksową 41

42 c j 1 1 c B bazowe x 1 x 2 s 1 s 2 b i s s z j c j z j 1 1 W ostatnim wierszu mamy dwie liczby dodatnie i obie równe 1. Zatem możemy sobie wybrać, czy do bazy wprowadzamy x 1, czy x 2. Jeśli wybierzemy x 1, to już po pierwszym kroku (pomijamy szczegóły) otrzymujemy końcową tablicę sympleksową postaci c j 1 1 c B bazowe x 1 x 2 s 1 s 2 b i 1 x /2 6 s 2 2 1/2 1 6 z j 1 1 1/2 c j z j 1/2 Rozwiązaniem bazowym (i optymalnym) jest x 2 = s 1 =, x 1 = 6, s 1 = 6; f = 6 + = 6. Jeśli wybierzemy x 2, to po drugim kroku (ponownie pomijamy szczegóły) otrzymujemy końcową tablicę sympleksową postaci: c j 1 1 c B bazowe x 1 x 2 s 1 s 2 b i 1 x 1 1 1/4 1/2 3 1 x 2 1 3/4 1/2 3 z j 1 1 1/2 c j z j 1/2 Rozwiązaniem bazowym (i optymalnym) tym razem jest s 2 = s 1 =, x 1 = 3, x 2 = 3; f = = 6. 42

43 Na rysunku 2 widzimy, że proste o równaniu x 1 + x 2 = c są równoległe do prostej o równaniu 2x 1 + 2x 2 = 12 będącej ograniczeniem. Rozwiązaniem jest każdy punkt odcinka łączącego punkty (6, ) i (3, 3). Rysunek 2 W problemie typu 2 zmiany mogą dotyczyć: liczby zmiennych, dodania lub usunięcia waruków ograniczających, zmiany współczynników funkcji celu, zmiany wspólczynników w warunkach ograniczających. My omówimy tylko zmiany współczynników funkcji celu. Zajmiemy się tym zagadnieniem tylko dla dwóch zmiennych, wtedy bowiem zagadnienie ma prostą interpretację geometryczną. 43

44 Rozważmy przykład f = x 1 + 2x 2 maksimum, 5x 1 + x 2 13, x 1 + 4x 2 14, x 1, x 2. Rysunek 3 Na rysunku 3 czerwony wektor jest prostopadły do prostej o równaniu x 1 + 2x 2 = c i przesuwając prostą o takim równaniu w tym kierunku nie opuszczając dopuszczalnego obszaru (kolor żółty) najdalej można ją przesunąc do punktu (2, 3). I to jest rozwiązaniem naszego problemu. Zakładamy, że stała c 2 = 2 się nie zmienia, natomiast zmieniamy współrzędną c 1. Wtedy wektor prostopadły do prostej o równaniu c 1 x 1 + 2x 2 = c ma współrzędne (c 1, 2). Zmniejszając c 1 widzimy, że w momencie kiedy c 1 będzie mniejsze od 1/2 kąt pomiędzy tym wektorem a prostą o równaniu x + 4y = 14 ograniczającą obszar stanie się rozwarty i wówczas rozwiązaniem będzie nie punkt (2, 3), ale punkt (, 3 1 2). Analogicznie zwiększając c1 widzimy, że w momencie kiedy 44

45 c 1 przekroczy 1 rozwiązaniem będzie punkt ( 2 3 5, ). Zatem rozwiązanie się nie zmieni dla c 1 [1/2; 1]. Rysunek 4 Na rysunku 4 widzimy co się dzieje, jak zmienia się c 2 przy ustalonym c 1 = 1. Przeprowadzając podobną jak powyżej analizę widzimy, że rozwiązanie nie zmieni się dla c 2 [ 1 5 ; 4]. A teraz zmienimy nieco nasz problem na następujący: f = x 1 + 2x 2 maksimum, 5x 1 2, x 1 + 4x 2 14, x 1, x 2. Na rysunku 5 widzimy, że przy stałym c 2 = 2, rozwiązanie nie zmieni się dla c 1 [ 1 2 ; ). 45

46 Rysunek 5 Na rysunku 6 widzimy, że przy stałym c 1 = 1, rozwiązanie nie zmieni się dla c 2 [; 4]. Dla wartości granicznych będzie nieskończenie wiele rozwiązań. 46

47 Rysunek 6 47

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,

Bardziej szczegółowo

c j x x

c j x x ZESTAW 1 Numer indeksu Test jest wielokrotnego wyboru We wszystkich mają być nieujemne 1 Pewien towar jest zmagazynowany w miejscowości A 1 w ilości 700 ton, w miejscowości 900 ton Ma być on przewieziony

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

3. Macierze i Układy Równań Liniowych

3. Macierze i Układy Równań Liniowych 3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x

Bardziej szczegółowo

1 Układy równań liniowych

1 Układy równań liniowych II Metoda Gaussa-Jordana Na wykładzie zajmujemy się układami równań liniowych, pojawi się też po raz pierwszy macierz Formalną (i porządną) teorią macierzy zajmiemy się na kolejnych wykładach Na razie

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ... Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x

Bardziej szczegółowo

Metoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład):

Metoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): 1 Narysuj na płaszczyźnie zbiór dopuszczalnych rozwiazań. 2 Narysuj funkcję

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP często spotykane w życiu codziennym wybór asortymentu produkcji jakie wyroby i w jakich ilościach powinno produkować przedsiębiorstwo

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT)

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 1 ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) Danychjest pdostawców,którychpodażwynosi a 1, a 2,...,a p i q odbiorców,którychpopytwynosi b 1, b 2,...,b q.zakładamy,że

Bardziej szczegółowo

Rozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący:

Rozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący: Przykład. Hodowca drobiu musi uzupełnić zawartość dwóch składników odżywczych (A i B) w produktach, które kupuje. Rozważa cztery mieszanki: M : M, M i M. Zawartość składników odżywczych w poszczególnych

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązywanie układów równań liniowych Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe metoda sympleks

Programowanie liniowe metoda sympleks Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 13

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 1.1 Wykorzystując

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA? /9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

A. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe1

A. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe1 A. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) Danychjest pdostawców,którychpodażwynosi a,a 2,...,a p i qodbiorców, którychpopytwynosi b,b 2,...,b

Bardziej szczegółowo

Metoda simpleks. Gliwice

Metoda simpleks. Gliwice Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Przykład 4 Model matematyczny z Przykładu 1 sprowadzić do postaci bazowej. FC: ( ) Z x, x = 6x + 5x MAX 1 2 1 2 O: WB: 1 2

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE]

Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE] Spis treści 1 Metoda geometryczna... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Przykładowe zadanie... 2 2 Metoda simpleks... 6 2.1 Wstęp... 6 2.2 Przykładowe zadanie... 6 1 Metoda geometryczna Anna Tomkowska 1 Metoda geometryczna

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe metoda sympleks

Programowanie liniowe metoda sympleks Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2012 1 / 12

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.1 Opis programów Do rozwiązania zadań programowania

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)

Bardziej szczegółowo

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same 1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,

Bardziej szczegółowo

( 1) ( ) 16 Warunki brzegowe [WB] Funkcja celu [FC] Ograniczenia [O] b i ( 2) ( ) ( ) 14. FC max. Kompletna postać bazowa

( 1) ( ) 16 Warunki brzegowe [WB] Funkcja celu [FC] Ograniczenia [O] b i ( 2) ( ) ( ) 14. FC max. Kompletna postać bazowa Standardowe zadanie PL () Należy zaplanować produkcję zakładu w pewnym tygodniu w taki sposób, aby osiągnięty zysk był maksymalny. akład może wytwarzać dwa wyroby: P i P. Ich produkcja jest limitowana

Bardziej szczegółowo

3. Wykład Układy równań liniowych.

3. Wykład Układy równań liniowych. 31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych. Ax = b (1)

Układy równań liniowych. Ax = b (1) Układy równań liniowych Dany jest układ m równań z n niewiadomymi. Liczba równań m nie musi być równa liczbie niewiadomych n, tj. mn. a a... a b n n a a... a b n n... a a... a b m m mn n m

Bardziej szczegółowo

Model przepływów międzygałęziowych (model Leontiewa)

Model przepływów międzygałęziowych (model Leontiewa) Model przepływów międzygałęziowych (model Leontiewa) Maciej Grzesiak Przedstawimy tzw. analizę wejścia-wyjścia jako narzędzie do badań ekonomicznych. Stworzymy matematyczny model gospodarki, w którym można

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE

Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE 6. Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 6.1

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego

Elementy Modelowania Matematycznego Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 8 Programowanie nieliniowe Spis treści Programowanie nieliniowe Zadanie programowania nieliniowego Zadanie programowania nieliniowego jest identyczne jak dla

Bardziej szczegółowo

doc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505.

doc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. doc. dr Beata Pułska-Turyna Zakład Badań Operacyjnych Zarządzanie B506 mail: turynab@wz.uw.edu.pl mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. Tel.: (22)55 34 144 Mail: student@pgadecki.pl

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2015 1 / 16 Homo oeconomicus=

Bardziej szczegółowo

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski METODA SYMPLEKS Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP Algorytm Sympleks najpotężniejsza metoda rozwiązywania programów liniowych Metoda generuje ciąg dopuszczalnych rozwiązań x k w taki sposób,

Bardziej szczegółowo

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0. 5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,

Bardziej szczegółowo

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory; Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 1. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 1

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie transportowe

Zagadnienie transportowe 9//9 Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

celu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n

celu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n 123456789 wyk lad 9 Zagadnienie transportowe Mamy n punktów wysy lajacych towar i t punktów odbierajacych. Istnieje droga od każdego dostawcy do każdego odbiorcy i znany jest koszt transportu jednostki

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci

Bardziej szczegółowo

Ekonometria - ćwiczenia 10

Ekonometria - ćwiczenia 10 Ekonometria - ćwiczenia 10 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 14 grudnia 2012 Wprowadzenie Optymalizacja liniowa Na

Bardziej szczegółowo

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych)

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Funkcja uwikłana (równanie nieliniowe) jest to funkcja, która nie jest przedstawiona jawnym przepisem, wzorem wyrażającym zależność wartości

Bardziej szczegółowo

1 Macierze i wyznaczniki

1 Macierze i wyznaczniki 1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)

Bardziej szczegółowo

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie problemów z użyciem Solvera programu Excel

Rozwiązywanie problemów z użyciem Solvera programu Excel Rozwiązywanie problemów z użyciem Solvera programu Excel Podstawowe czynności: aktywować dodatek Solver oraz ustawić w jego opcjach maksymalny czas trwania algorytmów na sensowną wartość (np. 30 sekund).

Bardziej szczegółowo

Dodatek Solver Teoria Dodatek Solver jest częścią zestawu poleceń czasami zwaną narzędziami analizy typu co-jśli (analiza typu co, jeśli?

Dodatek Solver Teoria Dodatek Solver jest częścią zestawu poleceń czasami zwaną narzędziami analizy typu co-jśli (analiza typu co, jeśli? Dodatek Solver Teoria Dodatek Solver jest częścią zestawu poleceń czasami zwaną narzędziami analizy typu co-jśli (analiza typu co, jeśli? : Proces zmieniania wartości w komórkach w celu sprawdzenia, jak

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;(

FUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( Zad Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej Przykład y = ( x ) + 5 (postać kanoniczna) FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( a 0) Aby ją uzyskać pozbywamy się

Bardziej szczegółowo

13 Układy równań liniowych

13 Układy równań liniowych 13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie programów matematycznych

Rozwiązywanie programów matematycznych Rozwiązywanie programów matematycznych Program matematyczny składa się z następujących elementów: 1. Zmiennych decyzyjnych:,,, 2. Funkcji celu, funkcji-kryterium, która informuje o jakości rozwiązania

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe. dr Adam Sojda

BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe. dr Adam Sojda BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe dr Adam Sojda adam.sojda@polsl.pl http://dydaktyka.polsl.pl/roz6/asojda/default.aspx Pokój A405 Zagadnienie transportowe Założenia: Pewien jednorodny towar należy

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI

ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI Wstęp ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI Problem podejmowania decyzji jest jednym z zagadnień sterowania nadrzędnego. Proces podejmowania decyzji

Bardziej szczegółowo

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej 15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3

Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3 Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3 Hanna Furmańczyk 14 listopada 2008 Programowanie liniowe (PL) - wszystkie ograniczenia muszą być liniowe - wszystkie zmienne muszą być ciągłe n j=1 c j

Bardziej szczegółowo

Przykład wykorzystania dodatku SOLVER 1 w arkuszu Excel do rozwiązywania zadań programowania matematycznego

Przykład wykorzystania dodatku SOLVER 1 w arkuszu Excel do rozwiązywania zadań programowania matematycznego Przykład wykorzystania dodatku SOLVER 1 w arkuszu Ecel do rozwiązywania zadań programowania matematycznego Firma produkująca samochody zaciągnęła kredyt inwestycyjny w wysokości mln zł na zainstalowanie

Bardziej szczegółowo

Algorytm simplex i dualność

Algorytm simplex i dualność Algorytm simplex i dualność Łukasz Kowalik Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski April 15, 2016 Łukasz Kowalik (UW) LP April 15, 2016 1 / 35 Przypomnienie 1 Wierzchołkiem wielościanu P nazywamy

Bardziej szczegółowo

Standardowe zadanie programowania liniowego. Gliwice 1

Standardowe zadanie programowania liniowego. Gliwice 1 Standardowe zadanie programowania liniowego 1 Standardowe zadanie programowania liniowego Rozważamy proces, w którym zmiennymi są x 1, x 2,, x n. Proces poddany jest m ograniczeniom, zapisanymi w postaci

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy

Bardziej szczegółowo

A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 1

A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 1 A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe ZAGADNIENIE DUALNE Z każdym zagadnieniem liniowym związane jest inne zagadnienie nazywane dualnym. Podamy teraz teraz jak budować zagadnienie

Bardziej szczegółowo

Microsoft EXCEL SOLVER

Microsoft EXCEL SOLVER Microsoft EXCEL SOLVER 1. Programowanie liniowe z wykorzystaniem dodatku Microsoft Excel Solver Cele Po ukończeniu tego laboratorium słuchacze potrafią korzystając z dodatku Solver: formułować funkcję

Bardziej szczegółowo

Przykład 2 układ o rozwiązaniu z parametrami. Rozwiążemy następujący układ równań:

Przykład 2 układ o rozwiązaniu z parametrami. Rozwiążemy następujący układ równań: Przykład 2 układ o rozwiązaniu z parametrami Rozwiążemy następujący układ równań: Po zapisaniu układu w postaci macierzy rozszerzonej będziemy dążyć do uzyskania macierzy jednostkowej po lewej stronie

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Macierze szyfrujące. 4.1 Algebra liniowa modulo 26

Rozdział 4. Macierze szyfrujące. 4.1 Algebra liniowa modulo 26 Rozdział 4 Macierze szyfrujące Opiszemy system kryptograficzny oparty o rachunek macierzowy. W dalszym ciągu przypuszczamy, że dany jest 26 literowy alfabet, w którym utożsamiamy litery i liczby tak, jak

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNENE TRANSPORTOWE Definicja: Program liniowy to model, w którym warunki ograniczające oraz funkcja celu są funkcjami liniowymi. W skład każdego programu liniowego wchodzą: zmienne decyzyjne, ograniczenia

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 3.

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 3. Ekoenergetyka Matematyka Wykład 3 MACIERZE Macierzą wymiaru n m, gdzie nm, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z n wierszy i m kolumn: a a2 a j am a2 a22 a2 j a2m [ a ] nm A ai ai 2 a aim - i-ty wiersz

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.

Bardziej szczegółowo

PROGRAMOWANIE KWADRATOWE

PROGRAMOWANIE KWADRATOWE PROGRAMOWANIE KWADRATOWE Programowanie kwadratowe Zadanie programowania kwadratowego: Funkcja celu lub/i co najmniej jedno z ograniczeń jest funkcją kwadratową. 2 Programowanie kwadratowe Nie ma uniwersalnej

Bardziej szczegółowo

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,

Bardziej szczegółowo

WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH Z KRYTERIUM KOSZTÓW

WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH Z KRYTERIUM KOSZTÓW WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH Z KRYTERIUM KOSZTÓW Zadania transportowe Zadania transportowe są najczęściej rozwiązywanymi problemami w praktyce z zakresu optymalizacji

Bardziej szczegółowo

Macierze i Wyznaczniki

Macierze i Wyznaczniki dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I 0.inż. 0 października 04 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Definicja. Iloczynem macierzy A = [a ij m n, i macierzy B = [b ij n p nazywamy macierz

Bardziej szczegółowo

Excel - użycie dodatku Solver

Excel - użycie dodatku Solver PWSZ w Głogowie Excel - użycie dodatku Solver Dodatek Solver jest narzędziem używanym do numerycznej optymalizacji nieliniowej (szukanie minimum funkcji) oraz rozwiązywania równań nieliniowych. Przed pierwszym

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 Programowanie nieliniowe i całkowitoliczbowe

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 Programowanie nieliniowe i całkowitoliczbowe Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 i całkowitoliczbowe Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp 2 3 Spis treści Spis treści 1 Wstęp

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1)

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1) ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL 1. Problem Rozważmy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi (x 1, x 2 ): 1 x1 sin x2 x2 cos x1 (1) Nie jest

Bardziej szczegółowo

Document: Exercise*02*-*manual /11/ :31---page1of8 INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 2

Document: Exercise*02*-*manual /11/ :31---page1of8 INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 2 Document: Exercise*02*-*manual ---2014/11/12 ---8:31---page1of8 PRZEDMIOT TEMAT KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 2 Wybrane zagadnienia z

Bardziej szczegółowo

Podstawą w systemie dwójkowym jest liczba 2 a w systemie dziesiętnym liczba 10.

Podstawą w systemie dwójkowym jest liczba 2 a w systemie dziesiętnym liczba 10. ZAMIANA LICZB MIĘDZY SYSTEMAMI DWÓJKOWYM I DZIESIĘTNYM Aby zamienić liczbę z systemu dwójkowego (binarnego) na dziesiętny (decymalny) należy najpierw przypomnieć sobie jak są tworzone liczby w ww systemach

Bardziej szczegółowo

= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4 " 5 3$ 7&=0 5$+7&=4

= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4  5 3$ 7&=0 5$+7&=4 17. Układ równań 17.1 Co nazywamy układem równań liniowych? Jak zapisać układ w postaci macierzowej (pokazać również na przykładzie) Co to jest rozwiązanie układu? Jaki układ nazywamy jednorodnym, sprzecznym,

Bardziej szczegółowo

Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A =

Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A = Macierze 1 Macierz o wymiarach m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Mat m n (R) zbiór macierzy m n o współczynnikach rzeczywistych Analogicznie określamy Mat m n (Z), Mat m n (Q) itp 2

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)

Bardziej szczegółowo

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 4 (Materiały)

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 4 (Materiały) Analiza wrażliwości Rozwiązanie programu liniowego jest dopiero początkiem analizy. Z punktu widzenia decydenta (menadżera) jest istotne, żeby wiedzieć jak na rozwiązanie optymalne wpływają zmiany parametrów

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera

Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia

Bardziej szczegółowo

Elementy modelowania matematycznego

Elementy modelowania matematycznego Elementy modelowania matematycznego Programowanie liniowe. Metoda Simplex. Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ ZADANIE LINIOWE Tortilla z ziemniaków i cebuli (4 porcje) 300

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Klucz

Bardziej szczegółowo

Ekonometria - ćwiczenia 11

Ekonometria - ćwiczenia 11 Ekonometria - ćwiczenia 11 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 21 grudnia 2012 Na poprzednich zajęciach zajmowaliśmy

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację

Bardziej szczegółowo

Rozwiązanie Powyższe zadanie możemy przedstawić jako następujące zagadnienie programowania liniowego:

Rozwiązanie Powyższe zadanie możemy przedstawić jako następujące zagadnienie programowania liniowego: Zadanie Rafineria naftowa otrzymała zamówienie na dwa rodzaje specjalnych paliw węglowodorowych X oraz Y. Zamówienie opiewa na minimum 4 000 galonów paliwa X i minimum 2 400 galonów paliwa Y. Paliwa te

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Badania operacyjne Ćwiczenia 4 Programowanie liniowe Dualizm w programowaniu liniowym Plan zajęć Dualizm w programowaniu liniowym Projektowanie programu dualnego Postać programu dualnego Przykład 1 Rozwiązania

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych

Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Piotr Modliński Wydział Geodezji i Kartografii PW 13 stycznia 2012 P. Modliński, GiK PW Rozw.

Bardziej szczegółowo

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 5 (Materiały)

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 5 (Materiały) ZADANIE 1 Zakład produkuje trzy rodzaje papieru: standardowy do kserokopiarek i drukarek laserowych (S), fotograficzny (F) oraz nabłyszczany do drukarek atramentowych (N). Każdy z rodzajów papieru wymaga

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Zagadnienie transportowe 1 dr Zbigniew Karwacki Katedra Badań Operacyjnych UŁ Klasyczne zagadnienie transportowe 1 Klasyczne zadanie transportowe problem najtańszego przewozu

Bardziej szczegółowo