- modele liniowe. - modele nieliniowe.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "- modele liniowe. - modele nieliniowe."

Transkrypt

1 Model decyzyjny sformalizowane ujęcie działania związanego z podejmowaniem decyzji. Decyzje dopuszczalne decyzje uwzględniające warunki ograniczające, jest ich wiele. Decyzja optymalna decyzja dopuszczalna realizująca w sposób możliwie najlepszy cel, który chce osiągnąć jednostka podejmująca decyzję. Ze względu na rolę w procesie podejmowania decyzji w matematycznym modelu decyzyjnym wyróżniamy 2 rodzaje decyzji: 1. zmienne decyzyjne wielkości te w modelu należy wyznaczyć; x 1, x 2,..., x n. 2. parametry wielkości niezależne od jednostki podejmującej decyzję. Model deterministyczny model decyzyjny przy założeniu, że wszystkie parametry są stałe i zmienne. Problem wyboru optymalnej decyzji za pomocą modelu matematycznego polegać będzie na wyznaczeniu takich punktów x 1, x 2,..., x n ze zbioru decyzji dopuszczalnych D, dla których funkcja celu f(x 1, x 2,..., x n ) przyjmuje wartość ekstremalną (min lub max). Matematyczne modele decyzyjne możemy podzielić na: - modele liniowe - modele nieliniowe. LINIOWY MODEL DECYZYJNY Zadanie programowania liniowego polega na tym, żeby ze zbioru rozwiązań układu m-równań a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2... a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m spełniających warunki nieujemności x1 0, x2 0,..., xn 0 wyznaczyć takie rozwiązanie, przy którym funkcja celu osiąga wartość ekstremalną. Z (x) = c T x Ax = b x 0 Układ równań ma wiele rozwiązań, bo n > m. Przyjmujemy, że n m = 0 Rozwiązywanie programów liniowych sprowadza się do przeglądu wielu rozwiązań układów równań przy warunku ekstremalnym. Metody rozwiązywania układów równań: - graficzna (geometryczna)

2 - Simpleks Programy liniowe postaci standardowej możemy zapisać: Max Z (x) = c T x lub min Z (x) = c T x Ax b Ax b x 0 x 0 A warunki ograniczające Posługując się metodą Simpleks przeglądamy rozwiązania układów równań. Zmienne swobodne służą do przejścia od postaci standardowej do postaci kanonicznej; mają interpretację ekonomiczną, służą do likwidacji znaków nierówności. Warunki ograniczające: Układ równań a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2... a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m można zapisać wektorowo: a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b. Układ wektorów nazywamy układem niezależnym, a wektory d liniowo niezależnymi jeśli równość: d 1 a 1 + d 2 a d n a n = 0 jest możliwa wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie współczynniki dj = 0. Bazą układu wektorów, który jest rzędu m, nazywamy każdy jego podzbiór m-wektorów liniowo niezależnych. Zmienne bazowe zmienne stojące przy wektorach tworzących bazę; jest ich (n m). Pozostałe (n m) to zmienne niebazowe (resztowe). Warunki ograniczające postaci kanonicznej Ax = b [B:R] x B = b x R B x B + R x R = b x R = 0 B x B = b (lewostronnie pomnożymy przez B -1 ) B -1 Bx B = B b B Wygodnie jest żeby macierz B była macierzą jednostkową, bo tworzy ona układ wektorów

3 liniowych niezależnych, wyznacznik = 1. B = I x B = b B z (x) = C T x = C T x B = C T B x B + C T R x R = C T B b B Zmienne sztuczne wprowadzamy je gdy w macierzy A warunków ograniczających nie ma macierzy jednostkowej o wymiarach m; nie mają interpretacji ekonomicznej, nie mogą znaleźć się w rozwiązaniu optymalnym. Metoda Simpleks uniwersalna metoda rozwiązywania programów liniowych; to ukierunkowany, systematyczny przegląd rozwiązań bazowych. Twierdzenie 1. Jeżeli istnieje rozwiązanie optymalne programu liniowego to jest ono osiągane albo w jednym punkcie tzw. wierzchołkowym zbioru D rozwiązań dopuszczalnych albo w nieskończenie wielu punktach zbioru D tworzących jego krawędź lub ścianę łączącą wierzchołki zbioru D. Twierdzenie 2. Jeżeli x opt jest dopuszczalnym rozwiązaniem bazowym programu liniowego to x opt jest wierzchołkiem zbioru D rozwiązań dopuszczalnych tego programu. Wniosek: skoro rozwiązanie optymalne jest wierzchołkiem (tw 1) a bazowe jest wierzchołkiem (tw 2) to w metodzie Simpleks wystarczy ograniczyć się do przeglądu dopuszczalnych rozwiązań bazowych. Istota metody Simpleks polega na badaniu rozwiązań bazowych programu liniowego postaci kanonicznej w taki sposób, że: 1. znajdujemy rozwiązanie wyjściowe, bazowe programu, 2. mając rozwiązanie bazowe przekonujemy się czy jest ono optymalne, 3. jeżeli dane rozwiązanie bazowe nie jest optymalne konstruujemy następne rozwiązanie bazowe lepsze (lub przynajmniej nie gorsze od poprzedniego), z którym postępujemy tak samo jak z rozwiązaniem wyjściowym. Wyjściowe rozwiązanie bazowe programu: x R = 0 x B = b B - wyraz wolny w danym rozwiązaniu bazowym z(x B ) = c T B b B

4 Związek między wartościami zmiennych bazowych i nie bazowych: Załóżmy, że zmienne nie bazowe mogą przyjmować pewne dowolne wartości. Warunki ograniczające: Ax = b Bx B + Rx R = b B = I I x B + R B x R = b B Z równania x B = b B - R B x R wynika, że istnieje bezpośredni związek między wartościami zmiennych bazowych i nie bazowych. Ten związek zależy od współczynników przy zmiennych nie bazowych, czyli od macierzy R. Te współczynniki określają o ile zmienią się wartości zmiennych bazowych po wprowadzeniu do następnego rozwiązania bazowego zmiennej nie bazowej. Zakładamy, że x R może przyjmować różne wartości. Z(x) = c T B x B + c T R x R = c T (b B - R B x R )+ c T R x R = c T B b B -c T R B x R + c T R x R = c T B b B + (c T R - c T R B ) x R = z(x B ) + (c T R - z T B ) x R Dotychczasową wartość funkcji celu z(x B ) można zmienić przechodząc do innego rozwiązania bazowego przez wprowadzenie do niego zmiennej dotąd nie bazowej. Taką zmianę robimy tylko wtedy gdy to się opłaca, tzn. gdy daje wzrost przy max funkcji celu, lub spadek przy min f.celu. z(x B ) + (c T R - z T B ) x R z(x) = z(x B ) + Σ(cj zj B )xj Wielkość (cj zj B ) wyraża zmianę w wartości celu z(x) względem dotychczasowej z(x B ) wywołaną wprowadzeniem zmiennej nie bazowej xj. (cj zj B ) to kryterium optymalności, informuje czy dane rozwiązanie jest optymalne. Jeżeli przy max z(x) wszystkie (cj zj B ) są niedodatnie tzn. że posiadanego rozwiązania nie można poprawić. Kryterium wejścia (optymalności) informuje, którą ze zmiennych nie bazowych należy wprowadzić do następnego rozwiązania bazowego. Wprowadzamy tę zmienną dla której wartość (cj zj B ) jest największa dodatnia dla max z(x). Kryterium wejścia w metodzie Simpleks to zasada wg. której usuwamy z rozwiązania bazowego jedną ze zmiennych nie bazowych aby zrobić miejsce dla wprowadzanej zmiennej dotąd nie bazowej xj. x B = b B - R B x R a a 1k a 1s R B = a i1 a ik a is a m1 a mk a ms j=1,...,k,...,s. Zmiana x k na miejsce x i powoduje także spadek wartości innych zmiennych pozostających w bazie. Ten spadek nie może być zbyt duży rozwiązanie musi być dopuszczalne (zmienne muszą być nieujemne). Spadek wartości wyniesie a ik x k.

5 Jeżeli x i = b i to b i - a ik x k 0, stąd x k b i / a ik, aik > 0. Jeżeli jest kilka aik dodatnich, kilka zmiennych kandydujących do wyprowadzenia z bazy to musimy dobrać taką wartość zmiennej wprowadzanej x k aby zachować warunek x k b i / a ik dla i należącego do bazy i B. Dlatego wprowadzamy taką zmienną dla której zachodzi min b i / a ik (to jest kryterium wyjścia). Analiza pooptymalizacyjna to analiza stabilności rozwiązania optymalnego. W ramach analizy pooptymalizacyjnej można badać wiele aspektów zmiany postaci modelu. max z(x) = c T x Ax = b x 0 dla którego wyznaczono wektor x o = x o B 0 Warunki: 1. optymalności c z B 0 2. dopuszczalności x o B = B -1 b 0 Współczynniki funkcji celu Z postaci warunków optymalności i dopuszczalności wynika, że zmiana współczynników funkcji celu z c na c nie narusza dopuszczalności rozwiązania x opt do sprawdzenia pozostaje jedynie optymalność rozwiązania x o. Należy rozpatrzyć: 1. zmianie ulega współczynnik cj przy zmiennej nie bazowej. cj na cj j B Wynika stąd, że dla zbadania optymalności x o wystarczy obliczyć tylko wskaźnik optymalności dla j tej zmiennej. Jeżeli c j - zj B 0 to x o będzie rozwiązaniem optymalnym RO Jeżeli c j - zj B > 0 to x o będzie rozwiązaniem dopuszczalnym RD. 2. Zmianie ulega współczynnik cj przy zmiennej bazowej. zmianie ulega wektor c B, żeby sprawdzić warunek optymalności należy obliczyć od nowa wszystkie składniki optymalności dla zmiennych nie bazowych. c j - zj B 0 to x o będzie rozwiązaniem optymalnym RO c j - zj B > 0 to x o będzie rozwiązaniem dopuszczalnym RD Innym ważnym zagadnieniem analizy pooptymalizacyjnej jest wyznaczanie zakresu zmienności

6 wybranego współczynnika cj, przy którym aktualne rozwiązanie optymalne nie zmieni się. Należy rozwiązać nierówność c j - zj B 0 Wyrazy wolne b b Warunek dopuszczalności: należy dla wektora b obliczyć wartość zmiennych bazowych. Obliczamy x B = B -1 b i sprawdzić czy spełniony jest warunek dopuszczalności, a więc czy zachodzi B -1 b 0. W celu sprawdzenia tego warunku trzeba znać postać macierzy B -1, można ją odczytać z ostatniej tablicy simpleksowej. Macierz tę tworzą kolumny odpowiadające tym zmiennym, które w pierwszej iteracji były zmiennymi bazowymi. Przy wyznaczaniu zakresu zmienności dowolnego wyrazu wolnego bi wektora b dążymy aby rozwiązanie optymalne nie zmieniło swojej struktury bazowej. Celem wyznaczenia zakresu zmienności dla bi należy rozwiązać nierówność B -1 b 0. Dualizm w programowaniu liniowym. Program liniowy max z(x) = c 1 x 1 + c 2 x c S x S a 11 x 1 + a 12 x a 1S x S b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2S x S b a m1 x 1 + a m2 x a ms x S b n x 1, x 2,, x S 0 z(x) = c T x Ax b x 0 jest programem pierwotnym. Każdemu takiemu programowi można jednoznacznie przyporządkować pewien program zwany programem dualnym. Jeżeli program pierwotny - max, to program dualny - min min z(y) = b 1 y 1 + b 2 y b S y S a 11 y 1 + a 21 y a m1 y m c 1 a 12 y 1 + a 22 y a m2 y m c a 1S y 1 + a 2S y a ms y m c S y 1, y 2,, y m 0

7 min z(y) = b T y A T y c y 0 Twierdzenia o dualizmie. Założenie: oba programy są niesprzeczne. 1. Przy dowolnych rozwiązaniach dopuszczalnych programu pierwotnego i dualnego zachodzi nierówność C T X b T y tzn. wartość minimalizowanej funkcji celu zawsze jest nie mniejsza od wartości maksymalizowanej funkcji celu. 2. Jeśli jedno z zagadnień dualnych programowania liniowego posiada rozwiązanie optymalne x o, to rozwiązanie optymalne y o posiada również jego zagadnienie dualne a przy tym nierówność C T X o b T y o jest warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby rozwiązania x o i y o były rozwiązaniami optymalnymi swoich zagadnień. a 11 x 1 + a 12 x a 1S x S + x S+1 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2S x S + x S+2 = b a m1 x 1 + a m2 x a ms x S x 1, x 2,, x S 0 + x S+m = b n m równań s+m wszystkich równań s zmiennych decyzyjnych m zmiennych swobodnych a 11 y 1 + a 21 y a m1 y m - y m+1 = c 1 a 12 y 1 + a 22 y a m2 y m - y m+2 = c a 1S y 1 + a 2S y a ms y m y 1, y 2,, y m 0 - y m+s = c S s równań (warunków ograniczających) m+s wszystkich zmiennych

8 m zmiennych decyzyjnych s zmiennych swobodnych (tyle ile w pierwotnym zmiennych swobodnych) 3. Jeżeli wektory x o i y o są rozwiązaniami optymalnymi swoich zagadnień to muszą zachodzić następujące związki xj o y o m+j = 0; x o S+i yj o = 0. Zmienne x i y występujące we wzorach w tej samej parze nazywamy zmiennymi dualnymi sprzężonymi. Wniosek: jeżeli xj o 0 to y o m+j musi się równać 0, co oznacza, że w zagadnieniu dualnym warunek j ty jest spełniony jako równość przy rozwiązaniu y o. yi o > 0 to x o S+i = 0 w programie pierwotnym warunek i ty jest spełniony jako równość. 4. Jeśli wśród rozwiązań optymalnych programu pierwotnego nie ma rozwiązań, których liczba zmiennych przyjmujących wartości dodatnie jest mniejsza od liczby warunków spełnionych z równością to program dualny ma jedyne rozwiązanie optymalne y o a wartość i tej zmiennej yi o pokazuje jak wielki przyrost wartości funkcji celu w optymalnym rozwiązaniu programu pierwotnego przypada na wzrost wyrazu wolnego bi o jednostkę przy nie zmienionych pozostałych bk. Zagadnienia transportowe (metoda potencjału Dantzig) Szukamy macierzy a nie wektora zmiennych decyzyjnych. x 32 ładunek przewożony od 3 go dostawcy do 2 go odbiorcy Zadaniem transportowym nazywamy zadanie określenia optymalnego planu przewozu ładunków z danych punktów dostaw do danych punktów odbioru. Problem minimalizacji kosztów transportu. Znaleźć: macierz X x 11 x 12 x 1n X = x 21 x 22 x 2n x m1 x m2 x mn Mając dane: c 11 c 12 c 1n C = c 21 c 22 c 2n c m1 c m2 c mn

9 macierz kosztów Wektor podaży: a 1 a = a 2 a m oferta dostawcy m - tego Wektor popytu: b 1 b = b 2 b n Obszar dopuszczalnych rozwiązań Dopuszczalnym planem przewozu nazywamy taką macierz przewozu X, której nieujemne elementy xij 0 spełniają następujące warunki: 1. Σxij = ai dostawcy wszystko oddają odbiorcom Σxij = bj odbiorcy biorą ile chcą 2. Σxij < ai dostawcy nie oddają wszystkiego Σxij = bj Optymalnym planem przewozu nazywamy taki dopuszczalny plan, który minimalizuje funkcję celu w postaci min z(x) =ΣΣcijxij Jeżeli suma Σai = Σbj mówimy, że mamy do czynienia z zagadnieniem transportowym zamkniętym. Jeżeli Σai > Σbi zagadnienie transportowe otwarte, wprowadzamy je do zagadnienia trasportowego zamkniętego wprowadzając fikcyjnego odbiorcę. Rozwiązania bazowe dopuszczalne. Łączna ilość niewiadomych decyzyjnych = liczbie elementów macierzy X, czyli m n Łączna liczba warunków ograniczających = m+n Spośród m+n równań każde jest kombinacją pozostałych, a z tego wynika, że tylko (m+n)- 1 równań jest liniowo niezależnych. A więc liczba zmiennych bazowych w dowolnym dopuszczalnym rozwiązaniu bazowym równa jest (m+n 1).

10 Metody otrzymywania wyjściowego rozwiązania bazowego: 1. m. kąta północno zachodniego 2. m. minimum w wierszu (minimalnego elementu) 3. m. minimum w kolumnie 4. m. minimum w macierzy Metoda potencjałów metoda otrzymywania rozwiązania optymalnego. Macierzą równoważną do macierzy kosztów C jest macierz C, której elementy spełniają równość: C ij = cij + ui + vj Ui, vj potencjały dowolne,stałe Twierdzenie Rozwiązanie dopuszczalne x = [xij] zagadnienia transportowego minimalizuje funkcję celu Z(x) = cij xij wtedy i tylko wtedy, gdy minimalizuje ono funkcję z (x) = c ij xij Zerową macierzą równoważną jest macierz C B w której cij B = 0 dla xij należących do rozwiązania bazowego. Zerową macierzą równoważną macierzy C względem zbioru bazowego b jest taka macierz C B =[ cij B ] = [cij + ui + vj], której elementy spełniają układ równań: cij + ui + vj = 0, dla i, j є B Ponieważ jest to zawsze układ (m+n-1) równań (ilości zmiennych bazowych) z m+n niewiadomymi (ilość ui i vj) to jedną niewiadomą (potencjał) możemy wyznaczyć dowolnie. Interpretacja elementów zerowej macierzy równoważnej C B jest analogiczna do interpretacji kryterium optymalności w metodzie Simpleks. Model bilansowy. Przepływy międzywydziałowe. Modele bilansowe są jednym z rodzajów modeli ekonomiczno matematycznych wyrażających strukturę nakładów na produkcję i podział produkcji a także wartości nowo wytworzonych układów produkcyjnych. Równania bilansowe umożliwiają analizę powiązań między jednostkami produkcyjnymi uczestniczącymi w procesie wytwarzania oraz będącymi dla siebie dostawcami i odbiorcami surowców, półfabrykatów i dóbr inwestycyjnych. - W ujęciu ilościowym: Qi produkcja globalna i-tego wydziału qii produkt i-tego wydziału zużyty w i-tym wydziale

11 qij produkt i-tego wydziału zużyty w j-tym wydziale qi produkt i-tego wydziału przeznaczony na sprzedaż na zewnątrz Pr = Σprj Qi = Σqij + qi Zależność między qij a qi można zapisać funkcją liniową qij = aij Qj aij = qij/qj to techniczny współczynnik produkcji określa ile jednostek wyrobu produkowanego w i-tym wydziale należy zużyć na jednostkę produktu globalnego w j-tym wydziale. Qi = ΣaijQj + qi Q 1 = a 11 Q 1 + a 12 Q a 1n Q n + q 1 Q 2 = a 21 Q 1 + a 22 Q a 2n Q n + q Q n = a n1 Q 1 + a n2 Q a nn Q n + q n (1 - a 11 ) Q 1 - a 12 Q a 1n Q n = q 1 -a 21 Q 1 + (1- a 22 )Q a 2n Q n = q 2 -a n1 Q 1 - a n2 Q (1 - a nn )Q n = q n Zapis macierzowy. (I A)Q = q Q = (I A) -1 q A macierz współczynników technicznych produkcji Pr = Σprj Brj = prj/qj technologiczny współczynnik dostaw wyraża zużycie r-tego dobra nabywanego na zewnątrz przedsiębiorstwa przypadające na jednostkę produktu globalnego w j-tym wydziale. b 11 b 12 b 1n B = B m1 b m2 b mn P = BQ - W ujęciu wartościowym: Ustalenie programu produkcji w jednostkach wartościowych wymaga wykorzystania dwóch kategorii cen: 1. cen zakupu dóbr produkcyjnych (dostaw) c r

12 2. cen zbytu wyrobów przedsiębiorstwa ci Wykorzystując te ceny oblicza się: 1. wartość dostaw poszczególnych dóbr Vr = c r Pr 2. wartość dostaw dóbr dla poszczególnych wydziałów Vrj = c r Prj 3. produkcję globalną poszczególnych wydziałów Xi = ci Qi 4. przepływy międzywydziałowe w ujęciu wartościowym Xij = ci qij 5. produkcja finalna poszczególnych wydziałów Xi = ci qi Równanie równowagi przepływu. Sprawdzianem zgodności programu produkcji w ujęciu wartościowym jest równanie: Σxij + xi = Σxij + Σvrj + x o j Równanie to oznacza, że suma przepływów z i-tego wydziału do pozostałych + produkcja finalna tego wydziału = sumie przepływów z pozostałych wydziałów do tego wydziału + suma dostaw z zewnątrz do tego wydziału + zysk tego wydziału + wartość siły roboczej zatrudnionej w tym wydziale. Gdy produkcja i przepływy są ujęte w jednostkach pieniężnych pojęciem odpowiadającym współczynnikowi technologicznemu aij jest współczynnik kosztów kij: kij = xij/xj, wyraża on nakład pieniężny i-tego wydziału na jednostkę pieniężną wartości produktu j-tego wydziału. Między współczynnikami a współczynnikiem kosztów zachodzi relacja: kij = aij ci/cj Współczynnikowi technologicznemu dostaw odpowiada współczynnik kosztów dostaw hrj = vrj/xj hrj = brj c r/cj - określa, jaki nakład pieniężny na r-ty produkt nabyty z zewnątrz jest zawarty w jednostce pieniężnej wartości produktu j-tego wydziału. X = (I K) -1 x K macierz współczynników kosztów produkcji X = (I K)x V = HX q = (I A) Q -prognoza pierwszego rodzaju Q = (j A) -1 q -prognoza drugiego rodzaju. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności. W każdym procesie decyzyjnym występują następujące elementy: 1. podmiot podejmujący decyzję

13 2. zbiór decyzji dopuszczalnych D (muszą być co najmniej 2 decyzje) 3. zbiór stanów świata zewnętrznego 4. cechą charakterystyczną każdego procesu decyzyjnego jest funkcja korzyści (trzeba rozpoznać która sytuacja jest lepsza, która gorsza). Każdej decyzji Di (i = 1,...,n) i Zj (j = 1,...,m) przypiszemy pewną wartość, którą nazwiemy korzyścią kij = f(di, Zj) Tablica korzyści (tab. Konsekwencji, kosztów) Z 1 Z 2... Z m D 1 k 11 k 12 k 1m D 2 k 21 k 22 k 2m D n k n1 k n2 k nm 5. cechą charakterystyczną procesu decyzyjnego jest niepewność co do stanu świata zewnętrznego. Zakres informacji dostępnej przy podejmowaniu decyzji jest opisywany w postaci 3 stanów: - pewności - ryzyka - niepewności Stan pewności: w momencie podejmowania decyzji znamy stan świata zewnętrznego. Zbiór Z składa się z 1elementu Z 1. Zadanie polega na wybraniu decyzji spośród korzyści. Model, w którym nie występuje niepewność to model deterministyczny. Stan ryzyka: taka sytuacja w której na skutek decyzji może wystąpić każdy z 2 lub więcej wyników. Przy czym wszystkie z tych wyników oraz prawdopodobieństwa wystąpienia każdego z nich są znane podmiotowi podejmującemu decyzję (np. gry hazardowe). Sytuacja niepewności: gdy w rezultacie działania może zaistnieć 1 lub więcej wyników. W odróżnieniu od sytuacji ryzyka nie może być ściśle określone zaistnienie tych wyników i nie mogą być obiektywnie wyznaczone prawdopodobieństwa ich wystąpienia. Należy podjąć decyzję, który z wariantów D 1, D 2... D n należy wybrać. Wyniki zależą od tego, który ze stanów świata zewnętrznego zaistnieje (Z 1, Z 2... Z m ) a element kij macierzy konsekwencji określa wynik jaki przyniesie wariant Di w razie zaistnienia stanu zewnętrznego Zj.

14 kij może być ujemne. Należy stworzyć reguły aby wybrać Di w sposób najkorzystniejszy. Zajmuje się tym teoria gier 1) suma wygranych = 0, albo wygrywa jeden albo drugi. 2) Gry z naturą. Reguły decyzyjne w warunkach niepewności: 1. Kryterium maksyminowe (Wald) wybieramy min wartość w każdym z wierszy (zakładamy, że zajdą warunki najbardziej niekorzystne) wybieramy max wartość z wartości minimalnych. Kij = max i min j (k) jest to bardzo ostrożna strategia, bo zakładamy pesymistyczną wizję świata. 2. Kryterium Hurowicza wprowadza się tzw. współczynnik ostrożności a. Współczynnik ostrożności jest zadaną przez podmiot podejmujący decyzję liczbą z przedziału <0; 1> (ale nie 0 i nie 1). Oblicza się dla każdego wariantu przedsięwzięcia di = a min i kij + (1 a)max j kij Spośród możliwych wariantów przedsięwzięć wybiera się d k = max i (di) Jeśli współczynnik a jest bliski 1 kryterium Hurowicza jest regułą ostrożną, pesymistyczną. Jeśli a jest bliski 0 regułą hazardową. 3. Kryterium wartości średniej (Bayes) najlepsza jest strategia, która daje największą przeciętną wygraną (kij). Dla każdej decyzji oblicza się wartość średnich wyników d = 1/m Σ kij Wybiera się decyzję d k = max di (gdy zakładamy, że wszystkie stany świata zewnętrznego są tak samo prawdopodobne). 4. Kryterium Savage (kryterium minimaksowych skutków błędnych decyzji) nie ocenia się wyników podjętych decyzji lecz skutki (straty) wynikające z niepodjęcia decyzji, która przy danym stanie natury byłaby najlepsza. W celu dokonania wyboru wariantu działalności buduje się macierz względnych strat uij będących różnicami między max do osiągnięcia a wynikiem uzyskanym w razie podjęcia decyzji o wyborze wariantu di. Każdemu wariantowi przedsięwzięcia przyporządkowuje się max względną stratę jaką można ponieść wybierając dany wariant, a podejmujemy decyzję o takim wariancie przedsięwzięcia d k który zapewnia najmniejszą z max strat. Istota zasady Savage sprowadza się do tego, aby unikać strat spowodowanych błędnymi decyzjami.

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 1.1 Wykorzystując

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie

Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie OPIS ZAGADNIENIA Zagadnienie transportowe służy głównie do obliczania najkorzystniejszego

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3

Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3 Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3 Hanna Furmańczyk 14 listopada 2008 Programowanie liniowe (PL) - wszystkie ograniczenia muszą być liniowe - wszystkie zmienne muszą być ciągłe n j=1 c j

Bardziej szczegółowo

Metoda simpleks. Gliwice

Metoda simpleks. Gliwice Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Przykład 4 Model matematyczny z Przykładu 1 sprowadzić do postaci bazowej. FC: ( ) Z x, x = 6x + 5x MAX 1 2 1 2 O: WB: 1 2

Bardziej szczegółowo

Rozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący:

Rozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący: Przykład. Hodowca drobiu musi uzupełnić zawartość dwóch składników odżywczych (A i B) w produktach, które kupuje. Rozważa cztery mieszanki: M : M, M i M. Zawartość składników odżywczych w poszczególnych

Bardziej szczegółowo

doc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505.

doc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. doc. dr Beata Pułska-Turyna Zakład Badań Operacyjnych Zarządzanie B506 mail: turynab@wz.uw.edu.pl mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. Tel.: (22)55 34 144 Mail: student@pgadecki.pl

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.1 Opis programów Do rozwiązania zadań programowania

Bardziej szczegółowo

Standardowe zadanie programowania liniowego. Gliwice 1

Standardowe zadanie programowania liniowego. Gliwice 1 Standardowe zadanie programowania liniowego 1 Standardowe zadanie programowania liniowego Rozważamy proces, w którym zmiennymi są x 1, x 2,, x n. Proces poddany jest m ograniczeniom, zapisanymi w postaci

Bardziej szczegółowo

PROGRAMOWANIE KWADRATOWE

PROGRAMOWANIE KWADRATOWE PROGRAMOWANIE KWADRATOWE Programowanie kwadratowe Zadanie programowania kwadratowego: Funkcja celu lub/i co najmniej jedno z ograniczeń jest funkcją kwadratową. 2 Programowanie kwadratowe Nie ma uniwersalnej

Bardziej szczegółowo

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski METODA SYMPLEKS Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP Algorytm Sympleks najpotężniejsza metoda rozwiązywania programów liniowych Metoda generuje ciąg dopuszczalnych rozwiązań x k w taki sposób,

Bardziej szczegółowo

Metoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład):

Metoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): 1 Narysuj na płaszczyźnie zbiór dopuszczalnych rozwiazań. 2 Narysuj funkcję

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP często spotykane w życiu codziennym wybór asortymentu produkcji jakie wyroby i w jakich ilościach powinno produkować przedsiębiorstwo

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Modelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony.

Modelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony. GRY (część 1) Zastosowanie: Modelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony. Najbardziej znane modele: - wybór strategii marketingowych przez konkurujące ze sobą firmy

Bardziej szczegółowo

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 2 (Materiały)

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 2 (Materiały) Zbiór rozwiązań dopuszczalnych programu liniowego Zbiór rozwiązań dopuszczalnych programu linowego to taki zbiór, który spełnia warunki ograniczające (funkcyjne oraz brzegowe) programu liniowego. Przy

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Zagadnienie transportowe 1 dr Zbigniew Karwacki Katedra Badań Operacyjnych UŁ Klasyczne zagadnienie transportowe 1 Klasyczne zadanie transportowe problem najtańszego przewozu

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Badania operacyjne Ćwiczenia 4 Programowanie liniowe Dualizm w programowaniu liniowym Plan zajęć Dualizm w programowaniu liniowym Projektowanie programu dualnego Postać programu dualnego Przykład 1 Rozwiązania

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe metoda sympleks

Programowanie liniowe metoda sympleks Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 13

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA? /9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego

Elementy Modelowania Matematycznego Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 8 Programowanie nieliniowe Spis treści Programowanie nieliniowe Zadanie programowania nieliniowego Zadanie programowania nieliniowego jest identyczne jak dla

Bardziej szczegółowo

BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe. dr Adam Sojda

BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe. dr Adam Sojda BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe dr Adam Sojda adam.sojda@polsl.pl http://dydaktyka.polsl.pl/roz6/asojda/default.aspx Pokój A405 Zagadnienie transportowe Założenia: Pewien jednorodny towar należy

Bardziej szczegółowo

ALGORYTM SIMPLEX. B.Gładysz Badania operacyjne 2007

ALGORYTM SIMPLEX. B.Gładysz Badania operacyjne 2007 ALGORYTM SIMPLEX 7 Zagadnienie asortymentu produkcji Firma produkuje dwa wyroby P, P. Ograniczeniem dla produkcji są trzy surowce S, S i S.Nakłady jednostkowe surowców są następujące: S S S Zysk jednostkowy

Bardziej szczegółowo

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 4 (Materiały)

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 4 (Materiały) Analiza wrażliwości Rozwiązanie programu liniowego jest dopiero początkiem analizy. Z punktu widzenia decydenta (menadżera) jest istotne, żeby wiedzieć jak na rozwiązanie optymalne wpływają zmiany parametrów

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE

Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE 6. Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 6.1

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2015 1 / 16 Homo oeconomicus=

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT)

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 1 ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) Danychjest pdostawców,którychpodażwynosi a 1, a 2,...,a p i q odbiorców,którychpopytwynosi b 1, b 2,...,b q.zakładamy,że

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA DYSKRETNA

OPTYMALIZACJA DYSKRETNA Temat nr a: odelowanie problemów decyzyjnych, c.d. OPTYALIZACJA DYSKRETA Zagadnienia decyzyjne, w których chociaż jedna zmienna decyzyjna przyjmuje wartości dyskretne (całkowitoliczbowe), nazywamy dyskretnymi

Bardziej szczegółowo

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie transportowe

Zagadnienie transportowe 9//9 Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe metoda sympleks

Programowanie liniowe metoda sympleks Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2012 1 / 12

Bardziej szczegółowo

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO Gra w sensie niżej przedstawionym to zasady którymi kierują się decydenci. Zakładamy, że rezultatem gry jest wypłata,

Bardziej szczegółowo

Algorytm simplex i dualność

Algorytm simplex i dualność Algorytm simplex i dualność Łukasz Kowalik Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski April 15, 2016 Łukasz Kowalik (UW) LP April 15, 2016 1 / 35 Przypomnienie 1 Wierzchołkiem wielościanu P nazywamy

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

KLASYCZNE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (KZT).

KLASYCZNE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (KZT). KLASYCZNE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (KZT). Przez klasyczne zagadnienie transportowe rozumiemy problem znajdowania najtańszego programu przewozowego jednorodnego dobra pomiędzy punktami nadania (m liczba

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.

Bardziej szczegółowo

Model przepływów międzygałęziowych (model Leontiewa)

Model przepływów międzygałęziowych (model Leontiewa) Model przepływów międzygałęziowych (model Leontiewa) Maciej Grzesiak Przedstawimy tzw. analizę wejścia-wyjścia jako narzędzie do badań ekonomicznych. Stworzymy matematyczny model gospodarki, w którym można

Bardziej szczegółowo

( 1) ( ) 16 Warunki brzegowe [WB] Funkcja celu [FC] Ograniczenia [O] b i ( 2) ( ) ( ) 14. FC max. Kompletna postać bazowa

( 1) ( ) 16 Warunki brzegowe [WB] Funkcja celu [FC] Ograniczenia [O] b i ( 2) ( ) ( ) 14. FC max. Kompletna postać bazowa Standardowe zadanie PL () Należy zaplanować produkcję zakładu w pewnym tygodniu w taki sposób, aby osiągnięty zysk był maksymalny. akład może wytwarzać dwa wyroby: P i P. Ich produkcja jest limitowana

Bardziej szczegółowo

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania KOMPUTEROWE SYSTEMY STEROWANIA I WSPOMAGANIA DECYZJI Rozproszone programowanie produkcji z wykorzystaniem

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI

ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI Wstęp ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI Problem podejmowania decyzji jest jednym z zagadnień sterowania nadrzędnego. Proces podejmowania decyzji

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE]

Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE] Spis treści 1 Metoda geometryczna... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Przykładowe zadanie... 2 2 Metoda simpleks... 6 2.1 Wstęp... 6 2.2 Przykładowe zadanie... 6 1 Metoda geometryczna Anna Tomkowska 1 Metoda geometryczna

Bardziej szczegółowo

A. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe1

A. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe1 A. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) Danychjest pdostawców,którychpodażwynosi a,a 2,...,a p i qodbiorców, którychpopytwynosi b,b 2,...,b

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Optymalizacja Dla podanych niżej problemów decyzyjnych (zad.1 zad.5) należy sformułować zadania optymalizacji, tj.: określić postać zmiennych

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Schemat postępowania w badaniach operacyjnych decydent sytuacja decyzyjna decyzje decyzje dopuszczalne niedopuszczalne kryterium wyboru zadanie decyzyjne zmienne decyzyjne warunki

Bardziej szczegółowo

A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 1

A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 1 A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe ZAGADNIENIE DUALNE Z każdym zagadnieniem liniowym związane jest inne zagadnienie nazywane dualnym. Podamy teraz teraz jak budować zagadnienie

Bardziej szczegółowo

Metody Ilościowe w Socjologii

Metody Ilościowe w Socjologii Metody Ilościowe w Socjologii wykład 4 BADANIA OPERACYJNE dr inż. Maciej Wolny AGENDA I. Badania operacyjne podstawowe definicje II. Metodologia badań operacyjnych III. Wybrane zagadnienia badań operacyjnych

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych. Ax = b (1)

Układy równań liniowych. Ax = b (1) Układy równań liniowych Dany jest układ m równań z n niewiadomymi. Liczba równań m nie musi być równa liczbie niewiadomych n, tj. mn. a a... a b n n a a... a b n n... a a... a b m m mn n m

Bardziej szczegółowo

1) 2) 3) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25)

1) 2) 3)  5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 1) Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku w początku układu współrzędnych i przechodząca przez punkt. Wobec tego funkcja f określona wzorem 2) Punkt należy do paraboli o równaniu. Wobec

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +

Bardziej szczegółowo

Zadania 1. Czas pracy przypadający na jednostkę wyrobu (w godz.) M 1. Wyroby

Zadania 1. Czas pracy przypadający na jednostkę wyrobu (w godz.) M 1. Wyroby Zadania 1 Przedsiębiorstwo wytwarza cztery rodzaje wyrobów: A, B, C, D, które są obrabiane na dwóch maszynach M 1 i M 2. Czas pracy maszyn przypadający na obróbkę jednostki poszczególnych wyrobów podany

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA PROCESÓW LOGISTYCZNYCH

OPTYMALIZACJA PROCESÓW LOGISTYCZNYCH POLITECHNIKA RZESZOWSKA im. I. Łukasiewicza Wydział Zarządzania Katedra Metod Ilościowych OPTYMALIZACJA PROCESÓW LOGISTYCZNYCH Prowadzący: dr Tomasz Pisula e-mail: tpisula@prz.edu.pl Treści kształcenia:

Bardziej szczegółowo

Programowanie nieliniowe. Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a

Programowanie nieliniowe. Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a Programowanie nieliniowe Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a Plan wykładu Przykład problemu z nieliniową funkcją celu Sformułowanie problemu programowania matematycznego Podstawowe definicje

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks.

Wykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks. Wykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks. 1 Programowanie matematyczne jest to zbiór metod poszukiwania punktu optymalizującego (minimalizującego lub maksymalizującego) wartość funkcji rzeczywistej

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K

Bardziej szczegółowo

Problemy oceny alternatyw w warunkach niepewności

Problemy oceny alternatyw w warunkach niepewności Problemy oceny alternatyw w warunkach niepewności Statystyczne metody oceny alternatyw Rozpatrzmy sytuacje, w których decyzja pociąga za sobą korzyść lub stratę Tę sytuację nazywać będziemy problemem decyzyjnym,

Bardziej szczegółowo

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,

Bardziej szczegółowo

Przedsiębiorczość i Podejmowanie Ryzyka. Zajęcia 2

Przedsiębiorczość i Podejmowanie Ryzyka. Zajęcia 2 Przedsiębiorczość i Podejmowanie Ryzyka Zajęcia 2 Reguły podejmowania decyzji w warunkach niepewności Wybór spośród A1, A2,, Am alternatyw (decyzji dopuszczalnych, opcji, działań), gdzie relatywna użyteczność

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz

Bardziej szczegółowo

METODA ANALITYCZNA Postać klasyczna: z = 5 x 1 + 6x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6x 2 < 48 x 1, x 2 > 0

METODA ANALITYCZNA Postać klasyczna: z = 5 x 1 + 6x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6x 2 < 48 x 1, x 2 > 0 METODA ANALITYCZNA Postać klasyczna: z = 5 x 1 + 6x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6x 2 < 48 x 1, x 2 > 0 cx MAX Ax < b x > 0 Postać standardowa (kanoniczna): z = 5 x 1 + 6x 2 + 0x 3 + 0x 4 MAX

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNENE TRANSPORTOWE Definicja: Program liniowy to model, w którym warunki ograniczające oraz funkcja celu są funkcjami liniowymi. W skład każdego programu liniowego wchodzą: zmienne decyzyjne, ograniczenia

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ... Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Teoria gier. wstęp. 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1

Teoria gier. wstęp. 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1 Teoria gier wstęp 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1 Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji, gdzie występują konflikty interesów, a także istnieje możliwość kooperacji. Zakładamy zwykle,

Bardziej szczegółowo

TOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu

TOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu TOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu Wykład dla studentów II roku studiów II stopnia na kierunku Zarządzanie Semestr zimowy 2009/2010 Wykładowca: prof. dr hab. inż. Michał Inkielman Wykład 2 Optymalizacja

Bardziej szczegółowo

Ekonometria - ćwiczenia 11

Ekonometria - ćwiczenia 11 Ekonometria - ćwiczenia 11 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 21 grudnia 2012 Na poprzednich zajęciach zajmowaliśmy

Bardziej szczegółowo

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA DYNAMICZNYCH LOKAT KAPITAŁOWYCH Krzysztof Gąsior Uniwersytet Rzeszowski Streszczenie Celem referatu jest zaprezentowanie praktycznego zastosowania

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIA TRANSPORTOWE ZAGADNIENIA TRANSPORTOWE Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WPROWADZENIE opracowano w 1941 r. (F.L. Hitchcock) Jest to problem opracowania planu przewozu pewnego jednorodnego produktu z kilku różnych

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie problemów z użyciem Solvera programu Excel

Rozwiązywanie problemów z użyciem Solvera programu Excel Rozwiązywanie problemów z użyciem Solvera programu Excel Podstawowe czynności: aktywować dodatek Solver oraz ustawić w jego opcjach maksymalny czas trwania algorytmów na sensowną wartość (np. 30 sekund).

Bardziej szczegółowo

BADANIA OPERACYJNE I TEORIE OPTYMALIZACJI. Zagadnienie transportowe

BADANIA OPERACYJNE I TEORIE OPTYMALIZACJI. Zagadnienie transportowe BADANIA OPERACYJNE I TEORIE OPTYMALIZACJI Zagadnienie transportowe Klasyczne zagadnienie transportowe Klasyczne zadanie transportowe problem najtańszego przewozu jednorodnego dobra pomiędzy punktami nadania

Bardziej szczegółowo

13 Układy równań liniowych

13 Układy równań liniowych 13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...

Bardziej szczegółowo

Ekonometria - ćwiczenia 10

Ekonometria - ćwiczenia 10 Ekonometria - ćwiczenia 10 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 14 grudnia 2012 Wprowadzenie Optymalizacja liniowa Na

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 5: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE NIESTAŁEJ

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 5: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE NIESTAŁEJ TEORI GIER W EKONOMII WYKŁD 5: GRY DWUOSOOWE KOOPERCYJNE O SUMIE NIESTŁEJ dr Robert Kowalczyk Katedra nalizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Gry dwumacierzowe Skończoną grę dwuosobową o

Bardziej szczegółowo

Przykład: frytki i puree Analiza wrażliwości współczynników funkcji celu

Przykład: frytki i puree Analiza wrażliwości współczynników funkcji celu Analiza wrażliwości: współczynników funkcji celu analiza wrażliwości pozwala odpowiedzieć na pytanie, w jakich granicach mogą się zmieniać te parametry, aby dotychczasowe rozwiązanie było optymalne, wyrazów

Bardziej szczegółowo

1. Który z warunków nie jest właściwy dla powyższego zadania programowania liniowego? 2. Na podstawie poniższej tablicy można odczytać, że

1. Który z warunków nie jest właściwy dla powyższego zadania programowania liniowego? 2. Na podstawie poniższej tablicy można odczytać, że Stwierdzeń będzie. Przy każdym będzie należało ocenić, czy jest to stwierdzenie prawdziwe, czy fałszywe i zaznaczyć x w tabelce odpowiednio przy prawdzie, jeśli jest ono prawdziwe lub przy fałszu, jeśli

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Programowanie liniowe w technice Linear programming in engineering problems Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy na kierunku matematyka przemysłowa Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium,

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM.

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM. I. Funkcje. ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM. 1. Pojęcie funkcji i jej dziedzina. 2. Zbiór wartości funkcji. 3. Wykres funkcji liczbowej i odczytywanie jej własności

Bardziej szczegółowo

TEORIA DECYZJE KRÓTKOOKRESOWE

TEORIA DECYZJE KRÓTKOOKRESOWE TEORIA DECYZJE KRÓTKOOKRESOWE 1. Rozwiązywanie problemów decyzji krótkoterminowych Relacje między rozmiarami produkcji, kosztami i zyskiem wykorzystuje się w procesie badania opłacalności różnych wariantów

Bardziej szczegółowo

= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4 " 5 3$ 7&=0 5$+7&=4

= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4  5 3$ 7&=0 5$+7&=4 17. Układ równań 17.1 Co nazywamy układem równań liniowych? Jak zapisać układ w postaci macierzowej (pokazać również na przykładzie) Co to jest rozwiązanie układu? Jaki układ nazywamy jednorodnym, sprzecznym,

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązywanie układów równań liniowych Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy

Bardziej szczegółowo

PODEJMOWANIE DECYZJI W WARUNKACH NIEPEŁNEJ INFORMACJI

PODEJMOWANIE DECYZJI W WARUNKACH NIEPEŁNEJ INFORMACJI Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 5 PODEJMOWANIE DECYZJI W WARUNKACH NIEPEŁNEJ INFORMACJI 5.2. Ćwiczenia komputerowe

Bardziej szczegółowo

WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH Z KRYTERIUM KOSZTÓW

WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH Z KRYTERIUM KOSZTÓW WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH Z KRYTERIUM KOSZTÓW Zadania transportowe Zadania transportowe są najczęściej rozwiązywanymi problemami w praktyce z zakresu optymalizacji

Bardziej szczegółowo

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją

Bardziej szczegółowo

Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne/stacjonarne Model Przepływów Międzygałęziowych

Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne/stacjonarne Model Przepływów Międzygałęziowych dr inż. Ryszard Rębowski 1 OPIS ZJAWISKA Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne/stacjonarne Model Przepływów Międzygałęziowych 8 listopada 2015 1 Opis zjawiska Będziemy obserwowali proces tworzenia

Bardziej szczegółowo

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania. 10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Metod Optymalizacji

Laboratorium Metod Optymalizacji Laboratorium Metod Optymalizacji Grupa nr... Sekcja nr... Ćwiczenie nr 4 Temat: Programowanie liniowe (dwufazowa metoda sympleksu). Lp. 1 Nazwisko i imię Leszek Zaczyński Obecność ocena Sprawozdani e ocena

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 Programowanie nieliniowe i całkowitoliczbowe

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 Programowanie nieliniowe i całkowitoliczbowe Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 i całkowitoliczbowe Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp 2 3 Spis treści Spis treści 1 Wstęp

Bardziej szczegółowo

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu 1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie

Bardziej szczegółowo

10. Wstęp do Teorii Gier

10. Wstęp do Teorii Gier 10. Wstęp do Teorii Gier Definicja Gry Matematycznej Gra matematyczna spełnia następujące warunki: a) Jest co najmniej dwóch racjonalnych graczy. b) Zbiór możliwych dezycji każdego gracza zawiera co najmniej

Bardziej szczegółowo

Ekonomia matematyczna - 1.2

Ekonomia matematyczna - 1.2 Ekonomia matematyczna - 1.2 6. Popyt Marshalla, a popyt Hicksa. Poruszać się będziemy w tzw. standardowym polu preferencji X,, gdzie X R n i jest relacją preferencji, która jest: a) rosnąca (tzn. x y x

Bardziej szczegółowo