Rozwiązanie Powyższe zadanie możemy przedstawić jako następujące zagadnienie programowania liniowego:

Transkrypt

1 Zadanie Rafineria naftowa otrzymała zamówienie na dwa rodzaje specjalnych paliw węglowodorowych X oraz Y. Zamówienie opiewa na minimum galonów paliwa X i minimum galonów paliwa Y. Paliwa te mogą yć wytwarzane niezależnie w dwóch procesach: P 1 i P 2. W ciągu 1 godziny trwania procesu P 1 zużywa się 1 aryłkę ropy A oraz 3 aryłki ropy B i otrzymuje 100 galonów paliwa X oraz 30 galonów paliwa Y. W ciągu 1 godziny trwania procesu P 2 zużywa się 4 aryłki ropy A oraz 2 aryłki ropy B i otrzymuje 50 galonów paliwa X oraz 40 galonów paliwa Y. Zasó ropy A wynosi 240 aryłek, a ropy B 180 aryłek. Zysk z godziny produkcji według procesu P 1 wynosi 200 zł, a koszty 300 zł. Zysk z godziny produkcji według procesu P 2 wynosi 500 zł, a koszty 600 zł. Szef produkcji poszukuje takiej kominacji procesów P 1 i P 2 (tzn. chce ustalić na ile godzin uruchomić proces P 1, a na ile P 2 ), ay osiągnąć maksymalny zysk. Rozwiązanie Powyższe zadanie możemy przedstawić jako następujące zagadnienie programowania liniowego: zmienne decyzyjne: - ilość godzin trwania procesu P 1, x 2 - ilość godzin trwania procesu P 2, funkcja celu: ograniczenia: 4 x (limit ropy A) f = x 2 max 3 2 x (limit ropy B) (minimum ilości paliwa X) (minimum ilości paliwa Y) x 2 - warunki nieujemności, ze względu na sensowność rozwiązania

2 Powyższe zagadnienie rozwiązane zostanie metodą simplex. W pierwszej kolejności, musimy sprowadzić zagadnienie do tzw. postaci kanonicznej.dokonujemy tego likwidując wszystkie nierówności. Likwidujemy je w taki sposó, iż zamieniamy je na równania, poprzez wprowadzenie zmiennych swoodnych. Po wprowadzeniu zmiennych swoodnych, nasz układ ograniczeń wygląda następująco: 4 x 2 s 1 = x 2 s 2 = s 3 = s 4 =2400 s 1, s 2, s 3, s 4 Powyższych ograniczeń nie można jeszcze wykorzystać ezpośrednio w metodzie simplex, gdyż zmienne nie generują azy jednostkowej zmienne swoodne w równaniu trzecim oraz czwartym mają znaki ujemne. Ay wygenerować azę jednostkową, wprowadzamy do tych równań zmienne sztuczne. 4 x 2 s 1 = x 2 s 2 = s 3 t 1 = s 4 t 2 =2400 s 1,s 2, s 3,s 4 t 1, t 2 =0 Wprowadzenie zmiennych sztucznych wymusza modyfikację funkcji celu wprowadzamy do niej zmienne sztuczne z wagą niekorzystną z punktu widzenia kierunku optymalizacji. W naszym - 2 -

3 przypadku (maksymalizacja) wprowadzamy je z wagą ujemną ( M, gdzie M jest ardzo dużą liczą dodatnią: M ). Funkcja celu ędzie miała postać: f, s 1, s 2, s 3, s 4, t 1,t 2 = x 2 M t 1 M t 2 max Budujemy I talicę simplex. I talica simplex rozwiązanie początkowe aza: x B = [s 1, s 2, t 1, t 2 ] x T x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 t 1 t 2 s s t 1 M t 2 M z j -130M -90M 0 0 M M M M -6400M Δ j M M 0 0 M M Kryterium wejścia do azy spełnia zmienna gdyż odpowiada jest największy dodatni wskaźnik optymalności j. Kryterium ścia spełnia zmienna t 1, gdyż odpowiada jej najmiejsza dodatnia wartość ilorazów elementów kolumny przez kolumnę zmiennej wchodzącej. Woec tego: wchodzi:, wychodzi: t

4 II Talica simplex aza: x B = [s 1, s 2,, t 2 ] x T x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 t 1 t 2 s , ,01 0 0, ,14 s , ,03 0 0, , ,01 0 0, t 2 M ,3 1 0, z j 200 Δ j 0 wchodzi: x 2, wychodzi: t M M ,3M 2 +0,3M M 2 +0,3M M M M 2-0,3M 0 III Talica simplex aza: x B = [s 1, s 2, ] x T x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 t 1 t 2 s ,032 0,14 0,032 0, ,57 s ,024 0,02 0,024 0, ,016 0,02 0,016 0, x ,012 0,04 0,012 0,04 48 wchodzi: s 4, wychodzi: s 1 z j ,8 16 2, Δ j ,8 16 2,8-M 16 M - 4 -

5 IV Talica simplex aza: x B = [s 4, s 2, ] x T x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 t 1 t 2 s , , , ,571 s , , , , , , , ,429 x ,29 0 0, , , wchodzi: s 3, wychodzi: s 2 z j , , , ,14 Δ j , , ,8571 -M M V Talica simplex aza: x B = [s 4, s 2, ] x T x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 t 1 t 2 s s ,2 0, x ,3 0, z j Δ j M M Wszystkie wskaźniki optymalności są liczami niedodatnimi a w azie nie pozostała żadna ze zmiennych sztucznych, zatem uzyskane w 5. kroku rozwiązanie jest już rozwiązaniem optymalnym. Rozwiązanie to jest następujące: { =24 x 2 =54-5 -

6 Optymalna wartość funkcji celu wynosi natomiast: f max 24 ;54 = =31800 Wartość s 3 =1100 oznacza, iż nierówność ograniczająca spełniona została jako nierówność ostra wyprodukowano o 1100 galonów paliwa X więcej niż wynosiło założone minimum Z kolei wartość s 4 =480 oznacza, iż nierówność ograniczająca również została spełniona jako nierówność ostra tj. wyprodukowano o 480 galonów paliwa Y więcej, niż wynosiło założone minimum Pozostałe nierówności spełnione zostały jako równości, co oznacza, iż całość zasoów ropy A oraz B została wykorzystana