Zagadnienia transportowe

Transkrypt

1 Mieczysław Połoński Zakład Technologii i Organizacji Robót Inżynieryjnych Wydział Inżynierii i Kształtowania Środowiska SGGW Zagadnienia transportowe Z m punktów odprawy ma być wysłany jednorodny produkt odpowiednio w ilościach a, a,..., a m i dostarczony do n punktów odbioru odpowiednio w ilościach b, b,..., b n. Koszt transportu jednostki z i-tego punktu odprawy do j-tego punktu odbioru wynosi c i,j i jest znany dla wszystkich kombinacji (i,j). Trzeba wyznaczyć ilości i,j produktu, które należy przewieźć do wszystkich (i,j) tak, aby zminimalizować całkowity koszt transportu. Zadanie można zdefiniować następująco: m n i j c min przy ograniczeniach: n j m i a i b j i = m j = n 0 ; a i b m i a 0 ; b 0 i j n j j

2 Algorytm transportowy. Wybierz m+n- tras i znajdź odpowiednie początkowe bazowe rozwiązanie dopuszczalne. Sprawdź, czy wprowadzenie zmiennej niebazowej do zbioru zmiennych bazowych tego rozwiązania polepszy wartość funkcji celu. Jeśli tak, idź do kroku, w przeciwnym razie stop.. Wyznacz zmienną bazową na miejsce której wprowadzisz do zbioru zmiennych bazowych zmienną określoną w kroku.. Oblicz wielkości przepływów na tych tras, które odpowiadają zmiennym bazowym kolejnego bazowego rozwiązania dopuszczalnego. Wróć do kroku. Sprowadzenie zadania dowolnego do zadania, w którym a i =b j W przypadku, gdy a i b j wprowadzamy fikcyjny punkt podaży (gdy a i b j ) lub fikcyjny punkt popytu (gdy a i b j ). Wartości podaży lub popytu równa się a i - b j (lub odwrotnie). Koszty przewozu jednostkowego na nowo wprowadzonych trasach równają się zeru.. a i b j wprowadź fikcyjny punkt popytu o popycie b n+ = a i - b j i c i,n+ = 0, i =...m. tzn wprowadź dodatkową kolumnę do macierzy zadania.. a i b j wprowadź fikcyjny punkt podaży o podaży a m+ = b j - a i i c m+,j = 0, j =...n tzn wprowadź dodatkowy wiersz do macierzy zadania.

3 Schemat blokowy zagadnienia transportowego. Określ dane i ograniczenia rozwiązywanego problemu m i.czy a i bj n j Tak. Zbuduj pierwsze rozwiązanie bazowe stosując metodę kąta północno-zachodniego Nie. Wprowadź fikcyjny punkt podaży lub popytu i sprowadź do m i a i bj n j 5.Czy zbudowane rozw. bazowe jest rozwiązaniem zdegenerowanym Tak 6. Zastosuj metodę perturbacji i sprowadź do zagadnienia niezdegenerowanego Nie 7. Oblicz wartość funkcji celu 8. Oblicz u i oraz j dla wszystkich 9. Oblicz nowe c dla wszystkich kombinacji 0. Oblicz c - c dla wszystkich kombinacji. Czy jest c - c >0 Nie. STOP znalazłeś rozwiązanie optymalne Tak. Określ, na której trasie wprowadzasz nowy przewóz w nowym rozwiązaniu bazowym. Oblicz wartość wprowadzonego przewozu, tzn. określ wartość. Zbuduj nowe rozwiązanie bazowe

4 Przykład: Z trzech cementowni transportowany jest cement do czterech zakładów produkcyjnych. Ilość sprzedawanego cementu, jego zapotrzebowanie na budowach i jednostkowe koszty przewozu na każdej trasie podane są poniżej. Znajdź ilości wożonego cementu na poszczególnych trasach, które zminimalizują całkowity koszt transportu i spełnią ograniczenia zadania b 7 b 5 b b 7 a 6 a 9 a 0 a = 6 c = b = 7 a = b = 5 b = a = 0 c =9 b = Czy a i i j bj ; a i = = 7 i ji bj = = 7 a i i j bj

5 . Poszukuję pierwsze rozwiązanie bazowe stosując metodę kąta północno - zachodniego = = 5 min(6,7) = =0 5 min(,) = =0 min(5,0) = 0 0 -=0 min(,5) = =0 min(,) 0 5

6 . Pierwsze rozwiązanie bazowe Czy rozwiązanie jest zdegenerowane? Rozwiązanie bazowe nazywamy zdegenerowanym, gdy (liczba > 0) < (m + n - ) W przykładzie liczba = 5 < + - rozwiązanie jest zdegenerowane.. Metoda perturbacji Zmienić wyjściowe wartości podaży i popytu wg zasady: â a dla i = m i i b ˆ j b dla j =,,n-; j bˆ b m gdzie m m-liczba punktów podaży n -jednostka stojąca na najmniej znaczącym miejscu ( dokładność obliczeń) n W przykładzie np. 0, i ponownie stosuje się metodę kąta północnozachodniego dla zmodyfikowanych wartości podaży i popytu. 6, ,;0 0,9 0, 0 0,;0,0 0,8, 0,;5,;, 7 5, 0,9, Dzięki metodzie perturbacji możemy określić, które zero wprowadzamy do rozwiązania bazowego. W przykładzie do rozwiązania bazowego należy wprowadzić zero na pozycji. gdyż w metodzie perturbacji w tym miejscu nie występuje zero. 6

7 Ostatecznie pierwsze dopuszczalne rozwiązanie bazowe wynosi: FC = = 6 5. Obliczenie u i oraz j Dla zmiennych wchodzących do rozwiązania bazowego musimy wyznaczyć m liczb u i oraz n liczb j takich, że ui j c tzn. w przykładzie u u u 0 u 5 u 8 u 9 Układ równań jest nieoznaczony (siedem niewiadomych, sześć równań). Wyznaczamy rozwiązanie zakładając, że któraś ze zmiennych jest równa odpowiadającemu jej współczynnikowi c. Obliczenia przeprowadzamy w tabeli. u 0 u u Zakładam u = i rozwiązuję powyższy układ równań u = 0 u = u = 9 = 0 = - = 6 = 0 7

8 6. Obliczenie c ; u c = dla wszystkich kombinacji : 8 u = 0 7 u = u =9 =0 =- =6 =0 7. Obliczenie c c : Czy istnieje c c >0 Tak 8. Wprowadzenie nowej trasy Trasa na której wprowadzam nowy przewóz: jest to trasa o największej c c. Jeśli istnieje kilka tras o takiej samej wartości maksymalnej, wybieram ten, dla którego c jest najmniejszy. 9. Wprowadzam przewóz na trasie Θ 0 + Θ Θ 5 - Θ Wartość Θ obliczam na podstawie następujących nierówności -Θ 0 Θ Θ 0 Θ Θ 0 Θ 0 5 Θ 0 Θ 5 8

9 Szukam największej wartości Θ, która spełnia te nierówności Θ = 0 5 Ponieważ wprowadzono nowy przewóz na trasie. jeden przejazd musi być również zlikwidowany. Po wstawieniu Θ do starego rozwiązania bazowego otrzymujemy nowe rozwiązanie bazowe (zlikwidowano przewóz na trasie.) FC = = Uwaga! Po zbudowaniu każdego nowego rozwiązania bazowego należy sprawdzić, czy zgadzają się sumy w wierszach z podażą, sumy w kolumnach z popytem i liczba tras bazowych jest m + n -. W tym miejscu algorytm zaczyna się powtarzać. Kolejne iteracje. A. u = c c 5 6 u = u = u = Θ Θ 0 +Θ -Θ Θ = FC = = 0 9

10 B. u = c c 6 u = u = u = Θ +Θ - Θ Θ 5+Θ -Θ Θ = FC = = 0 C. u = c c 6 u = u = u = Θ 5 Θ 6+Θ -Θ Θ = FC 5 = = 00 0

11 D u = c c 5 u = u = u = Czy istnieje c c >0 Nie Ostatnie rozwiązanie bazowe jest rozwiązaniem optymalnym FC opt = FC opt = = 00