Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Transkrypt

1 Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Momenty Zmienna losowa jest wystarczająco dokładnie opisana przez jej rozkład prawdopodobieństwa. Względy praktyczne dyktują jednak potrzebę znalezienia charakterystyk liczbowych rozkładu, ponieważ są to opisy krótkie i umożliwiające szybkie porównanie rozkładów. Momentem zwykłym rzędu r (r =,,...) zmiennej losowej X nazywamy m r = k x r kp k w przypadku zmiennej losowej skokowej oraz m r = w przypadku zmiennej losowej ciągłej. x r f(x) dx Moment zwykły rzędu pierwszego nazywamy wartością przeciętną lub wartością oczekiwaną i oznaczamy symbolem E(X), tj. E(X) = k x k p k w przypadku zmiennej losowej skokowej oraz E(X) = w przypadku zmiennej losowej ciągłej. xf(x) dx Momentem centralnym rzędu r (r =,,...) zmiennej losowej X nazywamy µ r = k (x k m ) r p k w przypadku zmiennej losowej skokowej oraz µ r = w przypadku zmiennej losowej ciągłej. (x m ) r f(x) dx

2 Moment centralny rzędu drugiego nazywamy wariancją i oznaczamy symbolem D (X), tj. D (X) = k [x k E(X)] p k w przypadku zmiennej losowej skokowej oraz D (X) = w przypadku zmiennej losowej ciągłej. [x E(X)] f(x) dx Pierwiastek kwadratowy z wariancji nazywamy odchyleniem standardowym i oznaczamy symbolem D(X). Rzut kostką do gry. Rozkład zmiennej losowej X jest następujący Obliczamy wartość oczekiwaną x k p k E(X) = kp k = ( ) = 3, 5 k= oraz wariancję D (X) = [k E(X)] p k = k= [( 3, 5) + ( 3, 5) + +(3 3, 5) + (4 3, 5) + (5 3, 5) + ( 3, 5) ] =, 9, skąd odchylenie standardowe D(X) =, 7. Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny o gęstości Wartość oczekiwana tego rozkładu jest równa dla x < a, f(x) = dla a x b, b a dla x > b. a wariancja D (X) = b a E(X) = b x dx = a + b b a a, ( b a x a + b ) dx = (b a), skąd odchylenie standardowe D(X) = 3(b a).

3 Zmienna losowa X podlega rozkładowi Bernoulliego. Funkcja prawdopodobieństwa tej zmiennej dana jest wzorem ( ) n P (X = k) = p k q n k, k q = p, < p <, k =,,..., n. Obliczymy wartość oczekiwaną tej zmiennej = np n n n! E(X) = k P (X = k) = k k= k= k!(n k)! pk q n k = n k= n k k= n! k!(n k)! pk q n k = n (n )! (k )!(n k)! pk q n k (n )! = np j= j!(n j)! pj q n j = np(p + q) n = np. Analogicznie można obliczyć wariancję i odchylenie standardowe tej zmiennej i otrzymać kolejno D (X) = npq, D(X) = npq. Zmienna losowa X ma rozkład normalny o parametrach m i σ, σ > o gęstości f(x) = [ ] σ π exp (x m), < x < +. σ Obliczymy wartość oczekiwaną tej zmiennej [ ] + x E(X) = σ π exp (x m) σ dx. Stosując podstawienie x m = z otrzymujemy σ E(X) = [ ] + (m+σz) exp z dz = m π π exp [ z ] dz+ σ [ ] + z exp z π dz. Ponieważ [ ] + exp z dz = π oraz [ ] + z exp z dz =, więc ostatecznie otrzymujemy E(X) = m. Analogicznie można obliczyć wariancję D (X) = σ. Moment zwykły rzędu drugiego m może być traktowany jako wartość oczekiwana zmiennej losowej Y = X, czyli m = E(X ). Korzystając z tego możemy otrzymać relację D (X) = E(X ) E (X). Rzut kostką do gry. Rozkład zmiennej losowej X jest następujący x k p k 3

4 Obliczamy wartość oczekiwaną skąd mamy E(X ) = k p k = ( ) = 5, 7, k= D (X) = 5, 7 (3, 5) = 5, 7, 5 =, 9. Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny o gęstości dla x < a, f(x) = dla a x b, b a dla x > b. Wartość oczekiwana skąd E(X ) = b b a a D (X) = a + ab + b 3 x dx = a + ab + b, 3 (a + b) 4 = (b a). Mediana Medianą M e(x) zmiennej losowej typu skokowego X nazywa się liczbę x spełniającą związki P (X x) oraz P (X x). Rozkład zmiennej losowej X jest następujący x k 5 7 p k,,, 5, Mediana Me(X) = 7, ponieważ P (X 7) =, 8 >, 5 oraz P (X 7) =, 7 >, 5. Medianą Me(X) zmiennej losowej typu ciągłego X o gęstości f i dystrybuancie F nazywa się liczbę x spełniającą równość F (x) = lub f(t) dt =. Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy o gęstości dla x <, f(x) = λe λx dla x. 4

5 Mamy skąd otrzymujemy f(t) dt = λ e λt dt = e λx + =, x = Me(X) = ln. λ Dystrybuanta rozkładu wykładniczego jest dana wzorem dla x, F (x) = e λx dla x >. Zatem warunek F (x) = prowadzi do równości e λx =, skąd x = Me(X) = ln. λ 3 Kwartyle Kwartylem pierwszym (dolnym) Q (X) = Q d (X) zmiennej losowej typu skokowego X nazywa się liczbę x spełniającą związki P (X x) 4 oraz P (X x) 3 4. Kwartylem trzecim (górnym) Q 3 (X) = Q g (X) zmiennej losowej typu skokowego X nazywa się liczbę x spełniającą związki P (X x) 3 4 oraz P (X x) 4. Z powyższych definicji wynika, że Q (X) = Me(X). Rozkład zmiennej losowej X jest następujący x k 5 7 p k,,, 5, Kwartyl pierwszy Q (X) = 5, ponieważ P (X 5) =, 3 >, 5 oraz P (X 5) =, 9 >, 75. Kwartyl trzeci Q 3 (X) = 7, ponieważ P (X 7) =, 8 >, 75 oraz P (X 7) =, 7 >, 5. 5

6 Kwartylem pierwszym (dolnym) Q (X) = Q d (X) zmiennej losowej typu ciągłego X o gęstości f i dystrybuancie F nazywa się liczbę x spełniającą równość lub F (x) = 4 f(t) dt = 4. Kwartylem trzecim (górnym) Q 3 (X) = Q g (X) zmiennej losowej typu ciągłego X o gęstości f i dystrybuancie F nazywa się liczbę x spełniającą równość lub F (x) = 3 4 f(t) dt = 3 4. Z powyższych definicji wynika, że Q (X) = Me(X). Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy o gęstości dla x <, f(x) = λe λx dla x. Mamy skąd otrzymujemy f(t) dt = λ e λt dt = e λx + = 4, x = Q (X) = λ ln 4 3. Dystrybuanta rozkładu wykładniczego jest dana wzorem dla x, F (x) = e λx dla x >. Zatem warunek F (x) = 4 prowadzi do równości e λx = 4, skąd Analogicznie skąd otrzymujemy x = Q (X) = λ ln 4 3. f(t) dt = λ e λt dt = e λx + = 3 4, x = Q 3 (X) = ln 4. λ

7 Dystrybuanta rozkładu wykładniczego jest dana wzorem dla x, F (x) = e λx dla x >. Zatem warunek F (x) = 3 4 prowadzi do równości e λx = 3 4, skąd x = Q 3 (X) = ln 4. λ 4 Dominanta (Moda) Dominantą Do(X) zmiennej losowej typu skokowego X nazywa się wartość zmiennej losowej, której odpowiada największe prawdopodobieństwo. Rozkład zmiennej losowej X jest następujący x k 5 7 p k,,, 5, Z rozkładu zmiennej loswej wynika bezpośrednio, że Do(X) = 7. Dominantą Do(X) zmiennej losowej typu ciągłego X nazywa się wartość zmiennej losowej X, dla której gęstość przyjmuje maksimumu lokalne. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości dla x <, f(x) = (x x ) dla x, dla x >. Ponieważ dla x <, f (x) = ( x) dla < x <, dla x >. co oznacza, że Do(X) =. Uwaga Zachodzi wzór przybliżony (zwany wzorem Pearsona) E(X) Do(X) 3 [E(X) Me(X)]. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości dla x <, f(x) = (x x ) dla x, dla x >. 7

8 Wiemy, że Do(X) =. Obliczymy E(X) E(X) = xf(x) dx = Z wzoru Pearsona wynika, że Me(X). (x x 3 ) dx = Wyznaczenie mediany z definicji prowadzi do równania (t t ) dt = 3x x 3 =, którego jednym z rozwiązań jest x =, czyli Me(X) =. Rozkład zmiennej losowej X jest następujący [ x 3 3 x4 ] =. x k 5 7 p k,,, 5, Wiemy, że Me(X) = Do(X) = 7. Z wzoru Pearsona wynika więc, że E(X) 7. Wyznaczenie wartości oczekiwanej z definicji prowadzi do E(X) =, + 5, + 7, 5 +, =, 7. 8