Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej
|
|
- Fabian Marcinkowski
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast element zbioru Ω, czyli pojedynczy wynik eksperymentu, będziemy nazywać zdarzeniem elementarym i oznaczać ω. Przykład 1 Rozpatrzmy przypadek dwukrotnego rzutu symetryczną monetą. Wówczas przestrzeń zdarzeń elemnetarych (zbiór możliwych wyników eksperymentu) jest postaci Ω = {(O, O), (O, R), (R, O), (R, R)}, gdzie np. ω = (O, R) oznacza, że za pierwszym razem wypadł orzeł, a za drugim razem wypadła reszka. Definicja 1 Zmienną losową nazywamy funkcję określoną na przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω, o wartościach w zbiorze R liczb rzeczywistych. Funkcja ta musi spełniać pewien warunek, który tutaj pomijamy, ponieważ rozpatrywane przez nas funkcje będą go spełniać. Zmienne losowe oznaczamy dużymi literami, np. X, Y, Z, ich wartości (nazywane również realizacjami) odpowiednimi małymi literami x, y, z, często z indeksami, np. x 1, x 2, itp. Zbiory wartości zmiennych losowych X, Y, Z będziemy oznaczać odpowiednio W X, W Y, W Z. 1
2 Przykład 2 Cd. przykładu 1. Rozpatrzmy przypadek dwukrotnego rzutu symetryczną monetą. Niech X oznacza liczbę orłów uzyskanych w tych dwóch rzutach, czyli 0, gdy ω = (R, R), X(ω) = 1, gdy ω = (O, R) lub ω = (R, O), 2, gdy ω = (O, O). Zbiór wartości zmiennej losowej X jest postaci W X = {0, 1, 2}. 1.2 Dystrybuanta zmiennej losowej i jej własności Definicja 2 Dystrybuantą F X (x) zmiennej losowej X nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb rzeczywistych następującym wzorem F X (x) = P ({ω : X(ω) x})(w skrócie = P (X x)). Jeżeli nie ma wątpliwości z jaką zmienną losową mamy do czynienia, to jej dystrybuantę będziemy oznaczali krótko przez F (x) zamiast F X (x). Przykład 3 Cd. przykładu 2. Z założenia, że moneta jest symetryczna mamy P (X = 0) = P ((R, R)) = 1/4, P (X = 1) = P ((O, R) (R, O)) = P ((O, R)) + P ((R, O)) = 1/4 + 1/4 = 1/2, P (X = 2) = P ((O, O)) = 1/4. Zatem dystrybuanta F zmiennej losowej X ma następującą postać 0, gdy x < 0, 1/4, gdy 0 x < 1, F (x) = 3/4, gdy 1 x < 2, 1, gdy x 2. Wykres dystrybuanty zmiennej losowej X ilustruje rysunek 1.1. Fakt 1 Dystrybuanta dowolnej zmiennej losowej X ma następujące własności: 1. 0 F (x) 1, 2. F (x) jest funkcją niemalejącą, 2
3 Rysunek 1.1: Dystrybuanta zmiennej losowej z przykładu 3 3. lim x F (x) = 0 oraz lim x F (x) = 1, 4. F (x) jest funkcją prawostronnie ciągłą, 5. prawdopodobieństwo P (a < X b) przyjęcia przez zmienną losową X wartości z przedziału (a, b] jest równe przyrostowi wartości dystrybuanty F między punktami a i b, tzn. P (a < X b) = F (b) F (a), 6. prawdopodobieństwo P (X = x 0 ) przyjęcia przez zmienną losową X dowolnej, ustalonej wartości wyraża się za pomocą dystrybuanty F równością: P (X = x 0 ) = F (x 0 ) F (x 0 0), gdzie F (x 0 0) oznacza lewostronną granicę dystrybuanty F w punkcie x 0, czyli F (x 0 0) = lim x x 0 F (x). Twierdzenie 1 Jeżeli G jest dowolną funkcją o wartościach rzeczywistych spełniającą warunki 2, 3, 4, to jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej. Zmienne losowe mogą być typu skokowego, typu ciągłego lub typu mieszanego. W dalszej części wykładu będziemy rozpatrywać przypadki zmiennych losowych tylko dwóch pierwszych typów (skokowego lub ciągłego). 3
4 1.3 Zmienne losowe typu skokowego Definicja 3 Zmiennymi losowymi typu skokowego lub zmiennymi losowymi dyskretnymi nazywamy takie zmienne losowe, których zbiór wartości jest przeliczalny (w szczególności skończony). Przykład 4 Cd. przykładu 2. Jeżeli X oznacza liczbę orłów uzyskanych w dwóch rzutach monetą, to zbiór wartości W X = {0, 1, 2} zmiennej losowej X jest skończony i zmienna losowa X jest zmienną typu skokowego Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa Definicja 4 Niech X będzie zmienną losową typu skokowego. Funkcję p określoną na zbiorze W X = {x 1, x 2,...} równością p(x i ) = P (X = x i ) := p i nazywamy funkcją rozkładu prawdopodobieństwa lub krócej funkcją prawdopodobieństwa zmiennej losowej X. Przykład 5 Cd. przykładu 2. Z założenia, że moneta jest symetryczna, funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej X jest postaci: p(0) = P (X = 0) = 1/4, p(1) = P (X = 1) = 1/2, p(2) = P (X = 2) = 1/4. Definicja 5 Wykresem funkcji prawdopodobieństwa, w prostokątnym układzie współrzędnych, nazywamy zbiór punktów (x i, p i ). Z aksjomatów prawdopodobieństwa wynika, że funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej X posiada następujące własności: 1. p i 0, 2. i p i = 1. 4
5 Fakt 2 Jeżeli dana jest funkcja rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej X, to prawdopodobieństwo przyjęcia przez tę zmienną wartości ze zbioru A jest określone równością: P (X A) = p i. x i A W szczególności dla dowolnego przedziału (a, b) mamy P (a < X < b) = p i, dla przedziału (, b] a<x i <b P ( < X b) = P (X b) = F (b) oraz dla przedziału (a, b] mamy P (a < X b) = F (b) F (a). Fakt 3 Wykres dystrybuanty zmiennej losowej typu skokowego jest funkcją schodkową o skokach w punktach x 1, x 2,... i wysokościach schodków odpowiednio p(x 1 ), p(x 2 ),.... Definicja 6 Wartością modalną (in. modą lub dominantą) zmiennej losowej X o funkcji prawdopodobieństwa p, nazywamy taką wartość x k W X, dla której p(x k ) = max i p(x i ), tzn. x k jest najbardziej prawdopodobną wartością zmiennej losowej. 1.4 Zmienne losowe typu ciągłego Definicja 7 Zmienną losową, która przyjmuje nieprzeliczalnie wiele wartości (np. przyjmuje wszystkie wartości z pewnego przedziału albo przedziałów) nazywamy zmienną losową typu ciągłego, jeżeli istnieje nieujemna funkcja f taka, że dystrybuantę zmiennej losowej X można przedstawić w postaci F (x) = x f(t)dt. Funkcję f nazywamy gęstością rozkładu zmiennej losowej X lub krótko gęstością zmiennej losowej X. 5
6 Przykład 6 Jeżeli dystrybuanta zmiennej losowej X jest postaci 0, gdy x 0, F (x) = x, gdy 0 < x 1, 1, gdy x > 1, to gęstość zmiennej losowej X jest postaci 0, gdy x < 0 lub x > 1 f(x) = 1, gdy 0 x 1. (1.1) (1.2) Z definicji dystrybuanty wynikają następujące własności funkcji gęstości: 1. f(x) 0, dla każdego x R, 2. f(x)dx = 1. Fakt 4 Dystrybuanta zmiennej losowej typu ciągłego jest funkcją ciągłą Własności zmiennej losowej typu ciągłego Niech X będzie zmienną losową typu ciągłego o dystrybuancie F i gęstości f. Wówczas prawdziwe są następujące stwierdzenia. 1. Jeżeli x jest punktem ciągłości gęstości f, to 2. Dla każdego c R, P (X = c) = 0. f(x) = F (x). 3. P (a X < b) = P (a < X b) = P (a < X < b) = P (a X b) = F (b) F (a). 4. P (a X < b) = P (a < X b) = P (a < X < b) = P (a X b) = b a f(x)dx. 1.5 Charakterystyki zmiennej losowej Definicja 8 Wartością oczekiwaną (in. wartością przecietną lub średnią) zmiennej losowej X typu skokowego, przyjmującej wartości x 1, x 2,... odpowiednio z prawdopodobieństwami p 1, p 2,..., nazywamy wartość E(X) = i x i p i, jeżeli powyższa suma jest bezwzględnie zbieżna. 6
7 Przykład 7 Wartość oczekiwana zmiennej losowej X z przykładu 2 jest równa E(X) = 0 1/ / /4 = 1. Definicja 9 Wartością oczekiwaną (in. wartością przecietną lub średnią) zmiennej losowej X typu ciągłego o gęstości f nazywamy wartość E(X) = xf(x)dx, jeżeli powyższa całka jest bezwzględnie zbieżna. Przykład 8 Wartość oczekiwana zmiennej losowej X z przykładu 6 jest równa E(X) = 1 0 xdx = 1/2. Fakt 5 Wartość oczekiwana zmiennej losowej typu skokowego czy ciągłego ma następujące własności 1. dla dowolnej liczby rzeczywistej a E(aX) = ae(x), 2. dla dowolnej liczby rzeczywistej a E(X + a) = E(X) + a, 3. jeżeli istnieją wartości oczekiwane E(X) i E(Y ), to E(X + Y ) = E(X) + E(Y ). Wartości oczekiwane zmiennych losowych są szczególnymi przypadkami tzw. momentów zwykłych, które definiowane są następująco: Definicja 10 Momentem zwykłym rzędu k zmiennej losowej X typu skokowego, przyjmującej wartości x 1, x 2,... odpowiednio z prawdopodobieństwami p 1, p 2,..., nazywamy wartość E(X) = i x k i p i, jeżeli powyższa suma jest bezwzględnie zbieżna. 7
8 Definicja 11 Momentem zwykłym rzędu k zmiennej losowej X typu ciągłego o funkcji gęstości f nazywamy wartość E(X) = x k f(x)dx, jeżeli powyższa całka jest bezwzględnie zbieżna. Definicja 12 Wariancją zmiennej losowej X typu skokowego, przyjmującej wartości x 1, x 2,..., odpowiednio z prawdopodobieństwami p 1, p 2,..., nazywamy wartość Var(X) = i (x i E(X)) 2 p i, jeżeli powyższa suma jest bezwzględnie zbieżna. Definicja 13 Wariancją zmiennej losowej X typu ciągłego o funkcji gęstości f nazywamy wartość Var(X) = (x E(X)) 2 f(x)dx, jeżeli powyższa całka jest bezwzględnie zbieżna. Uwaga 1 Wariancję zmiennej losowej X często wyznacza się ze wzoru Var(X) = E(X 2 ) (E(X)) 2. Przykład 9 Wariancja zmiennej losowej z przykładu 2 jest równa Var(X) = E(X 2 ) (E(X)) 2, gdzie E(X) = 1 obliczyliśmy w przykładzie 7 oraz E(X 2 ) = 0 2 1/ / /4 = 3/2. Zatem Var(X) = 3/2 1 2 = 1/2. Przykład 10 Wariancja zmiennej losowej z przykładu 6 jest równa Var(X) = E(X 2 ) (E(X)) 2, gdzie E(X) = 1/2 obliczyliśmy w przykładzie 8 oraz Zatem E(X 2 ) = 1 0 x 2 dx = 1/3. Var(X) = 1/3 (1/2) 2 = 1/12. 8
9 Fakt 6 Jeżeli X jest zmienną losową (typu skokowego lub typu ciągłego), dla której E(X 2 ) <, to istnieje Var(X) oraz 1. Var(X) 0, 2. Var(cX) = c 2 Var(X), 3. Var(X + a) = Var(X). 9
Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.
Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną
Bardziej szczegółowoZmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe
Bardziej szczegółowoJednowymiarowa zmienna losowa
1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),
Bardziej szczegółowoWykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady
Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie
Bardziej szczegółowoRozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2,
Wykład 4. Rozkłady i ich dystrybuanty 6 marca 2007 Jak opisać cały rozkład jedną funkcją? Aby znać rozkład zmiennej X, musimy umieć obliczyć P (a < X < b) dla dowolnych a < b. W tym celu wystarczy znać
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych
Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkład dwumianowy Rozkład normalny Marta Zalewska Zmienna losowa dyskretna (skokowa) jest to zmienna, której zbór wartości jest skończony lub przeliczalny.
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena
Bardziej szczegółowoJeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Bardziej szczegółowo4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)
4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,
Bardziej szczegółowoDyskretne zmienne losowe
Dyskretne zmienne losowe dr Mariusz Grządziel 16 marca 2009 Definicja 1. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. Statystyka w 3
Zmienne losowe Statystyka w Zmienna losowa Zmienna losowa jest funkcją, w której każdej wartości R odpowiada pewien podzbiór zbioru będący zdarzeniem losowym. Zmienna losowa powstaje poprzez przyporządkowanie
Bardziej szczegółowoWykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. dr Mariusz Grządziel Wykład 12; 20 maja 2014
Zmienne losowe dr Mariusz Grządziel Wykład 2; 20 maja 204 Definicja. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje
Bardziej szczegółowoLiteratura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.
Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej
Bardziej szczegółowoDefinicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: Własności dystrybuanty zmiennej losowej:
Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: F (t) P (X t) < t < Własności dystrybuanty zmiennej losowej: jest niemalejąca: 0 F (t) jest prawostronnie
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa- wykład 6
Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 6 Zmienne losowe dyskretne. Charakterystyki liczbowe zmiennych losowych dyskretnych dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Uniwersytet Humanistyczno-Przyrodniczy
Bardziej szczegółowoPEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA
PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Bardziej szczegółowoW2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)
W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie) Henryk Maciejewski Jacek Jarnicki Marek Woda www.zsk.iiar.pwr.edu.pl Rachunek prawdopodobieństwa - przypomnienie 1. Zdarzenia 2. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoIII. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE
III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
Bardziej szczegółowoZmienne losowe skokowe
Zmienne losowe skokowe 1.1 Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta Zad.1 Niech zmienna losowa X przyjmuje wartości równe liczbie wyrzuconych oczek przy pojedynczym rzucie kostką do gry, czyli =1,2,3,,6.
Bardziej szczegółowoStatystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl
Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka Zmienne losowe Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag oraz Biostatystyka p.
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne
Bardziej szczegółowoZmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości
Bardziej szczegółowoWykład 13. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa
Wykład 13. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy, rok akademicki 2015 2016 Doświadczenie losowe Doświadczenie
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 3 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego
Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Zmienna losowa i jej rozkład Mając daną przestrzeń probabilistyczną, czyli parę (&, P) stanowiącą model pewnego doświadczenia losowego (gdzie
Bardziej szczegółowoZmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i unkcja gęstości rozkładu
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 3
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 3 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Zmienna losowa i jej
Bardziej szczegółowoWykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału
Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Magdalena Frąszczak Wrocław, 22.02.2017r Zasady oceniania Ćwiczenia 2 kolokwia (20 punktów każde) 05.04.2017 oraz 31.05.2017 2 kartkówki
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 2 ZADANIA - ZESTAW 2
ZADANIA - ZESTAW 2 Zadanie 2.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 1 0 2 p k 1/ 1/6 1/2 a) wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej losowej i naszkicować jej wykres, b) obliczyć
Bardziej szczegółowoσ-ciało zdarzeń Niech Ω będzie niepustym zbiorem zdarzeń elementarnych, a zbiór F rodziną podzbiorów zbioru Ω spełniającą warunki: jeśli A F, to A F;
Zdarzenie losowe i zdarzenie elementarne Zdarzenie (zdarzenie losowe) - wyni pewnej obserwacji lub doświadczenia; może być ilościowy lub jaościowy. Zdarzenie elementarne - najprostszy wyni doświadczenia
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowo6. Zmienne losowe typu ciagłego ( ) Pole trapezu krzywoliniowego
6. Zmienne losowe typu ciagłego (2.04.2007) Pole trapezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ograniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją ciągłą; proste x = a, x = b, a < b, oś OX
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. Powtórzenie. Dariusz Uciński. Wykład 1. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski
Powtórzenie Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 1 Podręcznik podstawowy Jacek Koronacki, Jan Mielniczuk: Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodnicznych,
Bardziej szczegółowo1 Elementy kombinatoryki i teorii prawdopodobieństwa
1 Elementy kombinatoryki i teorii prawdopodobieństwa 1.1 Elementy kombinatoryki W rozwiązywaniu pewnych problemów związanych z obliczaniem prawdopodobieństwa o skończonej liczbie zdażeń elementarnych bardzo
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. dr Mariusz Grzadziel. rok akademicki 2016/2017 semestr letni. Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu
Zmienne losowe dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu rok akademicki 2016/2017 semestr letni Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór
Bardziej szczegółowoWykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.
Rachunek prawdopodobieństwa MAT1332 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Warunkowa
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X
Bardziej szczegółowoStatystyka. Magdalena Jakubek. kwiecień 2017
Statystyka Magdalena Jakubek kwiecień 2017 1 Nauka nie stara się wyjaśniać, a nawet niemal nie stara się interpretować, zajmuje się ona głównie budową modeli. Model rozumiany jest jako matematyczny twór,
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.4. Momenty zmiennych losowych Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Przykład 1 Rzucamy raz kostką Ile wynosi średnia liczba oczek, jaka
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna
Bardziej szczegółowoZmienna losowa. Rozkład skokowy
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga * - materiał nadobowiązkowy Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 1 Zagadnienia
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 5 Magdalena Alama-Bućko 1 kwietnia 2019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 1 kwietnia 2019 1 / 19 Rozkład Poissona Po(λ), λ > 0 - parametr tzw. rozkład zdarzeń
Bardziej szczegółowozdarzenie losowe - zdarzenie którego przebiegu czy wyniku nie da się przewidzieć na pewno.
Rachunek prawdopodobieństwa Podstawowym celem rachunku prawdopodobieństwa jest określanie szans zajścia pewnych zdarzeń. Pojęcie podstawowe rachunku prawdopodobieństwa to: zdarzenie losowe - zdarzenie
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 6 Magdalena Alama-Bućko 8 kwietnia 019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 8 kwietnia 019 1 / 1 Rozkłady ciagłe Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 8
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład V: Zmienne losowe i ich wartości oczekiwane 25 października 2017 Definicja zmiennej losowej Definicja Zmienne losowa to charakterystyka liczbowa wyniku eksperymentu losowego. Zmienne losowa na przestrzeni
Bardziej szczegółowoPrawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej
Statystyka i opracowanie danych Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne losowe Zmienna
Bardziej szczegółowoZmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej
Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej c Copyright by Ireneusz Krech ikrech@ap.krakow.pl Instytut Matematyki Uniwersytet Pedagogiczny im. KEN w Krakowie
Bardziej szczegółowoZmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015
Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20
Bardziej szczegółowoElementy Rachunek prawdopodobieństwa
Elementy rachunku prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się analizą praw rządzących zdarzeniami losowymi Pojęciami pierwotnymi są: zdarzenie elementarne ω oraz zbiór zdarzeń elementarnych
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń probabilistyczna
Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty
Bardziej szczegółowoWykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.
Rachunek prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział PPT, MS, rok akad. 213/14, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.
Bardziej szczegółowoTemat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga 1 Zagadnienia 1. Przypomnienie wybranych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. Zmienna losowa. Rozkład
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Rozważmy eksperymenty 1 gra Bolka w ruletkę w kasynie;
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: F(x) = sin(x),
Metody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: Fx sinx, Fx a e x mogą być dystrybuantami?. Podaj twierdzenie Lindeberga
Bardziej szczegółowoW rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:
W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe
Bardziej szczegółowoPrzykłady do zadania 6.1 :
Rachunek prawdopodobieństwa MAP64 Wydział Elektroniki, rok akad. 28/9, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przykłady do listy 6: Zmienna losowa. Rozkład zmiennej losowej. Dystrybuanta. Przykłady
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
21 marca 2011 Zmienna losowa - wst ep Przeprowadzane w praktyce badania i eksperymenty maja bardzo różnorodny charakter, niemniej jednak wiaż a sie one z rejestracja jakiś sygna lów (danych). Moga to być
Bardziej szczegółowoWstęp do rachunku prawdopodobieństwa
Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa Rozdział 06: Zmienne losowe. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2015/2016 Wprowadzenie Przykład 6.1 Adam, Bolek i Czesiu wstąpili do kasyna. Postanowili
Bardziej szczegółowoWykład 3 Momenty zmiennych losowych.
Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 19 października 2016r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną
Bardziej szczegółowoWykład 3 Momenty zmiennych losowych.
Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 18 października 2017r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną
Bardziej szczegółowoWartość oczekiwana Mediana i dominanta Wariancja Nierówności związane z momentami. Momenty zmiennych losowych Momenty wektorów losowych
Przykład(Wartość średnia) Otrzymaliśmy propozycję udziału w grze polegającej na jednokrotnym rzucie symetryczną kostką. Jeśli wypadnie 1 wygrywamy2zł,;jeśliwypadnie2,płacimy1zł;za3wygrywamy 4zł;za4płacimy5zł;za5wygrywamy3złiwreszcieza6
Bardziej szczegółowoZmienne losowe typu ciągłego. Parametry zmiennych losowych. Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji (wykład III)
Zmienne losowe tpu ciągłego. Parametr zmiennch losowch. Izolda Gorgol wciąg z prezentacji (wkład III) Zmienna losowa tpu ciągłego Zmienna losowa X o ciągłej dstrbuancie F nazwa się zmienną losową tpu ciągłego,
Bardziej szczegółowoModelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski
Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
10 marca 2014 Zmienna losowa - wst ep Przeprowadzane w praktyce badania i eksperymenty maja bardzo różnorodny charakter, niemniej jednak wiaż a sie one z rejestracja jakiś sygna lów (danych). Moga to być
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne
Rachunek Prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.0 Definicje Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Przykład 1 Bolek, Lolek i Tola wstąpili do kasyna. (A) Bolek postawił na czerwone, (B)
Bardziej szczegółowoWSTĘP. Tematy: Regresja liniowa: model regresji liniowej, estymacja nieznanych parametrów. Wykład:30godz., ćwiczenia:15godz., laboratorium:30godz.
Tematy: WSTĘP 1. Wprowadzenie do przedmiotu. Próbkowe odpowiedniki wielkości populacyjnych. Modele statystyczne i przykładowe zadania wnioskowania statystycznego. Statystyki i ich rozkłady. 2. Estymacja
Bardziej szczegółowoWykłady 14 i 15. Zmienne losowe typu ciągłego
Wykłady 14 i 15. Zmienne losowe typu ciągłego dr Mariusz Grządziel r. akad. 14 15 Pole trapezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ograniczoną przez: wykres funkcji y = f(x, gdzie f jest funkcją ciągłą
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 2013/2014 Wykład 3 Zmienna losowa i jej rozkłady Zdarzenia losowe Pojęcie prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana i metody numeryczne
Adam Wosatko Magdalena Jakubek Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 4 Podstawy statystyki 4. Wstęp Statystyka nauka o metodach badań właściwości populacji (zbiorowości),
Bardziej szczegółowoPRAWDOPODOBIEŃSTWO. ZMIENNA LOSOWA. TYPY ROZKŁADÓW
PRAWDOPODOBIEŃSTWO. ZMIENNA LOSOWA. TYPY ROZKŁADÓW Rachunek prawdopodobieństwa (probabilitis - prawdopodobny) zajmuje się badaniami pewnych prawidłowości (regularności) zachodzących przy wykonywaniu doświadczeń
Bardziej szczegółowo2. P (E) = 1. β B. TSIM W3: Sygnały stochastyczne 1/27
SYGNAŁY STOCHASTYCZNE Przestrzeń probabilistyczna i zmienna losowa Definicja Przestrzenią probabilistyczną (doświadczeniem) nazywamy trójkę uporządkowaną (E, B, P ), gdzie: E przestrzeń zdarzeń elementarnych;
Bardziej szczegółowoRozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe
Statystyka i opracowanie danych W4 Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Rozkład normalny wykres funkcji gęstości
Bardziej szczegółowoWynik pomiaru jako zmienna losowa
Wynik pomiaru jako zmienna losowa Wynik pomiaru jako zmienna losowa Zmienne ciągłe i dyskretne Funkcja gęstości i dystrybuanta Wartość oczekiwana Momenty rozkładów Odchylenie standardowe Estymator zmiennej
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2016/2017 Wprowadzenie Przykład 1 Bolek, Lolek i Tola
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa
Statystyka matematyczna. Wykład III. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Rozkłady zmiennych losowych 1 Rozkłady zmiennych losowych Rozkład χ 2 Rozkład t-studenta Rozkład Fischera 2 Przedziały ufności
Bardziej szczegółowoSzkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego
Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego Matematyka Finansowa sem. letni 2011/2012 Spis treści Zajęcia 1 3 1.1 Przestrzeń probabilistyczna................................. 3 1.2 Prawdopodobieństwo warunkowe..............................
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.1. Zmienne losowe dyskretne. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Definicja/Rozkład Zmienne losowe dyskretne Definicja Zmienną losową, która skupiona
Bardziej szczegółowoKwantyle. Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p. , że. Możemy go obliczyć z dystrybuanty: P(X x p.
Kwantyle Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p, że P(X x p ) p P(X x p ) 1 p Możemy go obliczyć z dystrybuanty: Jeżeli F(x p ) = p, to x p jest kwantylem rzędu p Jeżeli F(x p )
Bardziej szczegółowoKURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 6 Ciągłe zmienne losowe ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Zmienna losowa ciągła jest
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
21 marca 2011 Zmienna losowa wst ep Przeprowadzane w praktyce badania i eksperymenty maja bardzo różnorodny charakter, niemniej jednak wiaż a sie z rejestracja jakiś sygna lów (danych). Moga to być na
Bardziej szczegółowoWykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa
Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład
Bardziej szczegółowoWIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI. Zmienna losowa i jej rozkład
WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI Zmienna losowa i jej rozkład ZMIENNA LOSOWA Funkcja X przyporządkowująca każdemu zdarzeniu elementarnemu jedną i tylko jedną liczbę x. zmienna losowa skokowa skończona
Bardziej szczegółowoMatematyka dla biologów Zajęcia nr 13.
Matematyka dla biologów Zajęcia nr 13. Dariusz Wrzosek 16 stycznia 2019 Matematyka dla biologów Zajęcia 13. 16 stycznia 2019 1 / 34 Plan: 1 Rachunek prawdopodobienstwa-zmienne losowe o rozkładzie ciagłym
Bardziej szczegółowoRozkłady zmiennych losowych
Rozkłady zmiennych losowych Wprowadzenie Badamy pewną zbiorowość czyli populację pod względem występowania jakiejś cechy. Pobieramy próbę i na podstawie tej próby wyznaczamy pewne charakterystyki. Jeśli
Bardziej szczegółowoZestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =
Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Momenty Zmienna losowa jest wystarczająco dokładnie opisana przez jej rozkład prawdopodobieństwa. Względy praktyczne dyktują jednak potrzebę znalezienia charakterystyk
Bardziej szczegółowoDiagramy Venna. Uwagi:
Wykład 3: Prawdopodobieństwopodstawowe pojęcia i modele Często modelujemy zmienność używając rachunku prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo opadów deszczu wynosi 80%. (zinterpretuj) Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoPrzykłady do zadania 8.1 : 0 dla x 1, c x 4/3 dla x > 1. (b) Czy można dobrać stałą c tak, aby funkcja f(x) = była gęstością pewnego
Rachunek prawdopodobieństwa MAP64 Wydział Elektroniki, rok akad. 8/9, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przykłady do listy 8: Zmienne losowe typu ciągłego. Gęstość prawdopodobieństwa. Rozkład
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.3 Rozkłady warunkowe i warunkowa wartość oczekiwana Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2015/2016 Prawdopodobieństwo wyraża postawę
Bardziej szczegółowoMatematyka 2. dr inż. Rajmund Stasiewicz
Matematyka 2 dr inż. Rajmund Stasiewicz Skala ocen Punkty Ocena 0 50 2,0 51 60 3,0 61 70 3,5 71 80 4,0 81 90 4,5 91-5,0 Zwolnienie z egzaminu Ocena z egzaminu liczba punktów z ćwiczeń - 5 Warunki zaliczenia
Bardziej szczegółowoWykład 3: Prawdopodobieństwopodstawowe
Wykład 3: Prawdopodobieństwopodstawowe pojęcia i modele Często modelujemy zmienność używając rachunku prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo opadów deszczu wynosi 80%. (zinterpretuj) Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowo