Wykład 3 Momenty zmiennych losowych.

Transkrypt

1 Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 18 października 2017r

2 Momenty zmiennych losowych

3 Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną losową dyskretną oraz i x i P(X = x i ) <, to istnieje wartość oczekiwana EX dana wzorem: EX = i x i P(X = x i ) 2 Jeżeli X jest zmienną losową z ciągłą gęstością f oraz x f (x)dx <, to istnieje wartość oczekiwana EX dana wzorem EX = xf (x)dx

4 Własności wartości oczekiwanej - przypomnienie Niech będą dane zmienne losowe X i Y oraz stała a E(a) = a E(aX ) = ae(x ) E(X Y ) = EX EY E(X + Y ) = EX + EY Jeżeli X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi, to: E(XY ) = EX EY

5 Momenty Definicja 3.2: Momentem rzędu n rozkładu zmiennej losowej X nazywamy: µ n = EX n Momentem centralnym rzędu n rozkładu zmiennej losowej X nazywamy: m n = E[X EX ] n Wartość oczekiwana EX jest pierwszym momentem rozkładu zmiennej losowej X

6 Momenty Szczególnym przypadkiem momentu centralnego jest wariancja zmiennej losowej, którą będziemy oznaczać Var: Definicja 3.3: Moment centralny rzędu 2 rozkładu zmiennej losowej X nazywamy wariancją: Var(X ) = E[X EX ] 2 = EX 2 (EX ) 2 Wariancja zmiennej losowej (błąd średniokwadratowy) jest to miara rozproszenia wartości zmiennej wokół wartości średniej. Im wariancja jest mniejsza tym bardziej wartości zmiennej skupiają się wokół średniej.

7 Momenty Twierdzenie 3.1 Jeżeli zmienna losowa X ma skończoną wariancję to dla dowolnych stałych a i b zachodzi: Var(aX + b) = a 2 Var(X ) Jeżeli zmienne losowe X i Y są niezależne i mają skończone wariancje to Var(X + Y ) = Var(X ) + Var(Y ) Dowód: na ćwiczeniach.

8 Momenty. Przykład 3.1 Wyznaczyć warość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej X z rozkładu wykładniczego z parametrem λ. Zmienna X ma rozkład Ex(λ), a zatem f X (x) = λe λx I (0, ) (x). Wyznaczmy EX, korzystając z całkowania przez części: EX = xλe λx dx = xe λx 0 = 0 e λx dx = 1 λ + e λx dx = 0 0

9 Momenty. Przykład c.d. Następnie dwukrotnie całkując przez części otrzymujemy EX 2 : EX 2 = x 2 λe λx dx = x 2 e λx xe λx dx = 0 0 Następnie: = 2 λ 0 xλe λx dx = 2 λ 2 VarX = EX 2 (EX ) 2 = 2 λ 2 1 λ 2 = 1 λ 2

10 Momenty W statystyce znaczenie mają również momenty centralne rzędów trzeciego i czwartego, za pomocą których wyznacza się znane miary statystyczne: Definicja 3.4: wskaźnik asymetrii (wskaźnik skośności) γ 1 = E[X EX ]3 [Var(X )] 3/2 = m 3 m 2/3 2 wskaźnik spłaszczenia (kurtoza, eksces) γ 2 = E[X EX ]4 [Var(X )] 2 3 = m 4 m2 2 3

11 Próba losowa. Rozkład łączny.

12 Próba losowa Definicja 3.5: Wektor zmiennych losowych X = (X 1, X 2,... X n ) nazywamy próbą losową rozmiaru n z rozkładu o gęstości f X (x) jeśli X 1, X 2,..., X n są niezależnymi zmiennymi losowymi o wspólnym rozkładzie z gęstością f (x) Niech X 1, X 2,..., X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi o gęstościach f (x 1 ), f (x 2 ),..., f (x n ) odpowiednio. Gęstość łączna wektora losowego X wygląda następująco: n f (x) = f (x 1, x 2,..., x n ) = f (x 1 )f (x 2 ) f (x n ) = f (x i ), natomiast dystrybuanta łączna: F (x) = F (x 1, x 2,..., x n ) = F (x 1 )F (x 2 ) F (x n ) = n F (x i )

13 Próba losowa. Przykład 3.2 Niech X = (X 1, X 2,... X n ) będzie próbą losową z rozkładu wykładniczego z parametrem λ. Wyznaczyć gęstość łączną wektora losowego. X i Ex(λ), czyli f (x i ) = λe λx i I (0, ) (x i ) f X (x) = n f (x i ) = n λe λx i I (0, ) (x i ) = λ n exp( λ n x i ) I (0, ) (x i )

14 Rozkłady wybranych statystyk próbkowych.

15 Statystyka Definicja 3.6: Zmienną losową będącą dowolną funkcją wyników próby losowej, tzn. dowolną funkcję nazywamy statystyką. Definicja 3.7: T (X 1, X 2,... X n ) Dowolną statystykę służącą do oszacowania nieznanej wartości parametru populacji generalnej lub nieznanego rozkładu populacji nazywamy estymatorem

16 Statystyki próbkowe Niech X = (X 1, X 2,... X n ) będzie n elementową próbą losową. Definicja 3.8: Średnią z próby nazywamy statystykę: X = 1 X i n Definicja 3.9: Wariancją z próby nazywamy statystykę: S 2 = 1 n 1 (X i X ) 2

17 Statystyki próbkowe Niech X = (X 1, X 2,... X n ) będzie n elementowym wektorem losowym. Wariancja nieobciążona: S 2 = 1 n 1 (X i X ) 2 Wariancja obciążona: S0 2 = 1 n (X i X ) 2

18 Rozkłady statystyk próbkowych Lemat 3.1: Niech X 1, X 2,... X n będzie n elementową próbą losową, a g(x), funkcją dla której E[g(x)] oraz Var[g(x)] istnieją. Wówczas: oraz ( ) E g(x i ) = ne[g(x 1 )] ( ) Var g(x i ) = nvar[g(x 1 )]

19 Rozkłady statystyk próbkowych Twierdzenie 3.2: Niech X 1, X 2,... X n będzie n elementową próbą losową, o średniej EX i = µ, i wariancji VarX i = σ 2 < Wówczas: 1 E X = µ 2 Var X = σ2 n 3 ES 2 = σ 2 4 VarS 2 = 2 n 1 σ4

20 Rozkłady statystyk próbkowych Dowód: Korzystając z Lematu 3.1 otrzymujemy: ( ) E X 1 = E X i = 1 ( ) n n E X i = 1 n nex 1 = µ co dowodzi równości (1) w Twierdzeniu 3.2. Analogicznie dowodzimy równości (2): Var X = Var ( 1 n ) X i = 1 ( ) n 2 Var X i = 1 n 2 nvarx 1 = σ2 n

21 Rozkłady statystyk próbkowych Dowód: Aby dowieść punktu (3) Twierdzenia, najpierw pokażemy, że zachodzi równość (X i X ) 2 = Xi 2 n X 2 (1) Niech a R, powyższą równość dowodzimy następująco: (X i X ) 2 = (X i + a a X ) 2 = = (X i a) 2 2 (X i + a)(a + X ) + = X 2 i n X 2. (a + X ) 2 = Przyjmując a = 0 otrzymujemy dowodzoną równość.

22 Rozkłady statystyk próbkowych Dowód: Zatem korzystając z równania (1) i Lematu 3.1 dostajemy: ES 2 = E ( 1 n 1 ) ( ( 1 )) (X i X ) 2 = E Xi 2 n X 2 = n 1 = 1 ( ( ) ) E Xi 2 ne X 2 = n 1 ( ( )) σ n(σ 2 + µ 2 2 ) n n + µ2 = σ 2 = 1 n 1

23 Statystyki próbkowe Jeżeli X = (X 1, X 2,... X n ) jest próbą losową z rozkładu normalnego, tj X i N(µ, σ 2 ) to: X = 1 ( ) X i N µ, σ2 n n ns 2 σ 2 χ2 (n 1) Zmienne X i S 2 są niezależnymi zmiennymi losowymi

24 Statystyki próbkowe Niech X = (X 1, X 2,... X n ) będzie n elementową próbą losową. Definicja 3.10: k tym momentem empirycznym zwykłym nazywamy statystykę: M k = 1 n X k i Definicja 3.11: k tym momentem empirycznym centralnym nazywamy statystykę: C k = 1 (X i M 1 ) k n

25 Statystyki ekstremalne Maksimum z próby oznaczmy przez: X (n:n) = max(x 1, X 2,... X n ) Minimum z próby oznaczmy przez: X (1:n) = min(x 1, X 2,... X n )

26 Rozkłady statystyk ekstremalnych Rozkład maksimum F Xn:n (t) = P(X n:n t) = P(max(X 1, X 2,... X n ) t) = = P(X 1 t, X 2 t,... X n t) = = P(X 1 t)p(x 2 t) P(X n t) = [F X (t)] n Rozkład minimum F X1:n (t) = P(X 1:n t) = P(min(X 1, X 2,... X n ) t) = = 1 P(min(X 1, X 2,... X n ) t) = = 1 P(X 1 t)p(x 2 t) P(X n t) = 1 (1 P(X 1 t))(1 P(X 2 t)) (1 P(X n t)) = = 1 [1 F X (t)] n

27 Statystyki pozycyjne Niech X = (X 1, X 2,..., X n ) - próbą losową o wartościach x = (x 1, x 2,..., x n ). Uporządkowując wartości wektora w kolejności rosnącej otrzymujemy: x 1:n x 2:n x n:n. Wektor statystyk pozycyjnych: (X 1:n, X 2:n,..., X n:n )

28 Statystyki pozycyjne Twierdzenie 3.3 Niech X = (X 1, X 2,..., X n ) - próbą losową z rozkładu o dystrybuancie F. Statystyka pozycyjna X i:n ma rozkład o dystrybuancie: F i:n (x) = n! F (x) t i 1 (1 t) n i dt (i 1)!(n i)! 0

29 Literatura: Bartoszewicz J.,Wykłady ze statystyki matematycznej, PWN, Warszawa Gajek L., Kałuszka M.,Wnioskowanie statystyczne, WNT, Warszawa 2000, wyd. IV. Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Krówlikowska K., Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, część II, PWN, 2012 Magiera M, Modele i metody statystyki matematycznej, część II, wnioskowanie statystyczne, Wrocław, 2007