Przestrzeń probabilistyczna

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Przestrzeń probabilistyczna"

Transkrypt

1 Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem.

2 Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Σ spełnia następujace warunki:, Ω Σ, A 1, A 2,... Σ A 1 A 2... Σ, A 1, A 2,... Σ A 1 A 2... Σ, A Σ Ω \ A Σ (Oznaczenie A := Ω \ A, A - zdarzenie przeciwne), A, B Σ A \ B Σ. Elementy Σ nazywamy zdarzeniami losowymi.

3 Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. P spełnia natępujace warunki: P( ) = 0, P(Ω) = 1, P(A) [0, 1] dla A Σ, P(A B) = P(A) + P(B), dla A, B Σ, A B =, Jeśli A 1, A 2,... Σ, A i A j = dla i j, to P(A 1 A 2...) = P(A 1 ) + P(A 2 ) +....

4 Przykłady Rzut kostka. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Σ = P(Ω) P({i}) = 1/6, dla i = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Na przykład A = {2, 4, 6} jest zdarzeniem losowym polegajacym na wylosowaniu parzystej liczby oczek. P(A) = P({2, 4, 6}) = P({2}) + P({4}) + P({6}) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2

5 Przykłady Rzut dwiema kostkami do gry. Ω = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1),..., (6, 5), (6, 6)} Σ = P(Ω) P(ω) = 1/36, dla ω Ω. Na przykład A = {(5, 5), (6, 5), (6, 6), (5, 6)} jest zdarzeniem losowym polegajacym na wylosowaniu liczby oczek nie mniejszej niż 11. P(A) = P({(5, 5), (6, 5), (6, 6), (5, 6)}) = P({(5, 5)}) + P({(5, 6)}) + P({(6, 5)}) + P({(6, 6)})) = 1/36 + 1/36 + 1/36 + 1/36 = 4/36

6 Prawodopodobieństwo klasyczne Ω-zbiór skończony n-elementowy. Σ = P(Ω) P({ω}) = 1/n dla ω Ω. Wtedy P(A) = card A/ card Ω = card A/n.

7 Inne przykłady Ω = N P({n}) = 1/2 n A-zdarzenie losowe polegajace na wylosowaniu liczby parzystej. P(A) = P({2})+P({4})+... = 1/4+1/ = 1/4 1 1/4 = 1/3.

8 Prawdopodobieństwo geometryczne Ω- pewien mierzalny podzbiór R n P(A) = pole A/pole Ω. Przykład: Jakie jest prawdopodobieństwo, że rzucajac do tarczy trafimy w "środek". Dane: tarcza okragła o promieniu 20cm, środek- koło o promieniu 5cm. P(A) = π52 π20 2

9 Prawdopodobieństwo warunkowe Niech (Ω, Σ, P) będzie przestrzenia probabilistyczna, A, B Σ, P(B) > 0. Prawdopodobieństwem warunowym zdarzenia A pod warunkiem zdarzenia B nazywamy P(A B) := P(A B). (1) P(B) Oznaczenie: P B (A) := P(A B). Fakt: (Ω, Σ, P B ) jest przestrzenia probabilistyczna. Ze wzoru (1) mamy P(A B)P(A B) P(B) = B(B A) P(A).

10 Przykład W ciemnym pokoju sa dwa pudełka: duże, do którego trafiamy z prawdopodobieństwem 3/4, i małe, do którego trafiamy z prawdopodobieństwem 1/4. W dużym pudełku sa dwie kule białe i jedna czarna, a w małym 2 czarne i jedna biała. Niech A będzie zdarzeniem losowym polegajacym na trafieniu do dużej urny, a B zdarzeniem losowym polegajacym na wyciagięciu kuli białej. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowano z dużego pudła, jeśli wiadomo, że wylosowano kulę biała.

11 c.d. Rozwiazanie. Dane: P(A) = 3/4, P(A ) = 1/4, P(B A) = 2/3, P(B A ) = 1/3. Należy obliczyć P(A B). Korzystamy ze wzoru P(A B) = P(A B) P(B). Obliczamy P(A B) = P(B A)P(A) = P(B) = P(B A) + P(B A ) = = P(B A) P(A) + P(B A ) P(A ) = 2/3 3/4 + 1/3 1/4 = 7/12. A więc P(A B) = 1/2 7/12 = 6/7.

12 Wzór na prawdopodobieństwo całkowite Niech (Ω, Σ, P) będzie przestrzenia probabilistyczna. Niech A 1, A 2,... będa zdarzeniami losowymi parami rozłacznymi i takimi, że P(A 1 ) + P(A 2 ) +... = 1. Wtedy, dla dowolnego B Σ zachodzi wzór P(B) = P(B A 1 ) P(A 1 ) + P(B A 2 ) P(A 2 ) +...

13 Wzór Bayesa Niech (Ω, Σ, P) będzie przestrzenia probabilistyczna. Niech A 1, A 2,... będa zdarzeniami losowymi parami rozłacznymi i takimi, że P(A 1 ) + P(A 2 ) +... = 1. Wtedy, dla dowolnego B Σ zachodzi wzór P(A i B) = P(B A i ) P(A i ) P(B A 1 ) P(A 1 ) + P(B A 2 ) P(A 2 ) +...

14 Przykład Twierdzenia Bayesa można użyć do interpretacji rezultatów badania przy użyciu testów wykrywajacych narkotyki. Załóżmy, że przy badaniu narkomana test wypada pozytywnie w 99% przypadków, zaś przy badaniu osoby nie zażywajacej narkotyków wypada negatywnie w 99% przypadków. Pewna firma postanowiła przebadać swoich pracowników takim testem wiedzac, że 0,5% z nich to narkomani. Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo, że osoba u której test wypadł pozytywnie rzeczywiście zażywa narkotyki.

15 c.d Oznaczmy następujace zdarzenia: T - dana osoba jest narkomanem N - dana osoba nie jest narkomanem + - u danej osoby test dał wynik pozytywny - - u danej osoby test dał wynik negatywny Wiemy, że: P(T ) = 0, 005, gdyż 0,5% pracowników to narkomani P(N) = 1 P(D) = 0, 995 P(+ T ) = 0, 99, gdyż taka skuteczność ma test przy badaniu narkomana P( N) = 0, 99, gdyż taka skuteczność ma test przy badaniu osoby nie będacej narkomanem P(+ N) = 1 P( N) = 0, 01 Majac te dane chcemy obliczyć prawdopodobieństwo, że osoba, u której test wypadł pozytywnie, rzeczywiście jest narkomanem. Tak więc:

16 c.d P(T +) = = P(+ T ) P(T ) P(+ T ) P(T ) + P(+ N) P(N) = 0, 99 0, 005 0, 33. 0, 99 0, , 01 0, 995

17 c.d Mimo potencjalnie wysokiej skuteczności testu, prawdopodobieństwo, że narkomanem jest badany pracownik, u którego test dał wynik pozytywny, jest równe około 33%, więc jest nawet bardziej prawdopodobnym, ze taka osoba nie zażywa narkotyków. Ten przykład pokazuje, dlaczego ważne jest, aby nie polegać na wynikach tylko pojedynczego testu. Innymi słowy, pozorny paradoks polegajacy na dużej dokładności testu (99% wykrywalności narkomanów wśród narkomanów i nieuzależnionych wśród nieuzależnionych) i niskiej dokładności badania bierze się stad, że w badanej próbie tylko niewielka część osób to narkomani. Przykładowo jeśli badamy 1000 osób, 0,5% z nich czyli 5 to narkomani, a 995 nie. Natomiast test wskaże jako narkomanów 1% nieuzależnionych (995 1% 10), oraz 99% uzależnionych (5 99% 5). Ostatecznie test wypadł pozytywnie dla 15 osób, jednak tylko 5 z nich to narkomani.

18 Niezależność zdarzeń Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, gdy P(A B) = P(A) P(B). A więc, zdarzenia A i B sa niezależne, gdy przynajmniej jedno z nich ma prawdopodobieństwo równe 0, lub oba maja dodatnie prawdopodobieństwa i P(A B) = P(A), P(B A) = P(B).

19 Niezależność większej ilości zdarzeń Zdarzenia A, B i C sa niezależne, gdy P(A B C) = P(A) P(B) P(C), P(A B) = P(A) P(B), P(A C) = P(A) P(C), P(B C) = P(B) P(C)....

20 Zmienne losowe Niech (Ω, Σ, P) będzie przestrzenia probabilistyczna. Zmienna losowa nazywamy każda funkcję ξ określona na Ω i przyjmujac a wartości rzeczywiste, taka, że zdarzeniami sa następujace zbiory: {ω : ξ(ω) < x}, {ω : ξ(ω) x}, {ω : ξ(ω) > x}, {ω : ξ(ω) x}, {ω : ξ(ω) (a, b)}, {ω : ξ(ω) [a, b]}, {ω : ξ(ω) [a, b)}, {ω : ξ(ω) (a, b]}, dla dowolnych x, a, b R.

21 Niezależność zmiennych losowych Zmienne losowe X 1, X 2,..., X n sa niezależne, gdy dla każdych x 1, x 2,..., x n R zachodzi P(X 1 < x 1, X 2 < x 2,..., X n < x n ) = = P(X 1 < x 1 ) P(X 2 < x 2 )... P(X n < x n ).

22 Dystrybuanta zmiennej losowej Dystrybuanta zmiennej losowej X nazywamy funkcję F : R R określona wzorem F(x) = P(X < x) = P({ω : X(ω) < x}). Własności dystrybuant: F jest niemalejaca, lewostronnie ciagła, F(x) [0, 1], lim x F(x) = 1, lim x F(x) = 0.

23 Typy zmiennych losowych zmienne losowe dyskretne (typu skokowego), zmienne losowe ciagłe, inne.

24 Zmienne losowe dyskretne To zmienne, które przyjmuja (z prawdopodobieństwem 1) wartości ze zbioru {x 1, x 2,...}. Dystrybuanta takich zmiennych losowych jest przedziałami stała, a w punktach x 1, x 2,... ma "skoki" wysokości P(X = x i ) odpowiednio.

25 Przykłady zmiennych losowych o rozkładach dyskretnych - rozkład dwupunktowy rozkład zero-jedynkowy - rozkład dwumianowy - rozkład Poissona -inne

26 Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa X ma rozkład dwupunktowy, gdy przyjmuje dwie wartości (z prawdopodobieństwem 1): P(X = x 1 ) = p, P(X = x 2 ) = q = 1 p. Szczególnym przypadkiem rozkładu dwupunktowego jest rozkład zero-jedynkowy, gdy x 1 = 1, x 2 = 0.

27 Dystrybuanta rozkładu zero-jedynkowego

28 Rozkład dwumianowy Niech X 1, X 2,..., X n będzie ciagiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie zero-jedynkowym. Oznaczmy przez X sumę tych zmiennch, tzn. X = X 1 + X X n. Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy. ( ) n P(X = k) = p k q n k, k = 0, 1,..., n. k Oznaczenie b(n, k, p) = ( n k) p k q n k - prawdopodobieństwo k sukcesów w n próbach Bernoulliego, w których prawdopodobieństwo sukcesu jest równe p.

29 Rozkład Poissona Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem λ, gdy przyjmuje tylko wartości całkowite nieujemne, oraz P(X = k) = e λ λk k!. Oznaczenie p(λ, k) = e λ λk k!. Uwaga. Gdy n jest duże (n 100), p małe (p 0, 1), a np [0.1, 10], to dokonuje się przybliżenia gdzie λ np. b(n, k, p) p(λ, k),

30 Rozkład Poissona

31 Rozkłady ciagłe Mówimy, że zmienna losowa ma rozkład ciagły, gdy istnieje funkcja f : R R, nieujemna, taka, że f (x) dx = 1, oraz R P(X A) = A f (x) dx. Tę funkcję f nazywamy gęstościa rozkładu zmiennej X. Dystrybuantę obliczamy ze wzoru F(x) = x f (t) dt.

32 Przykłady zmiennych losowych o rozładzie ciagłym -rozkład jednostajny -rozkład wykładniczy -rozkład normalny -rozkład chi-kwadrat -rozkład t-studenta -inne

33 Rozkład jednostajny Rozkład jednostajny na odcinku [a, b] ma gęstość Dystrybuanata: f (x) = F(x) = { 1 b a, dla x [a, b]; 0, dla x / [a, b]. x a b a, dla x [a, b]; 0, dla x < a; 1, dla x > b.

34 Rozkład jednostajny

35 Rozkład wykładniczy Rozkład wykładniczy z parametrem λ ma gęstość { λ e f (x) = λx, dla x 0; 0, dla x < 0. Dystrybuanata: F(x) = { 1 e λx, dla x 0; 0, dla x < 0.

36 Rozkład wykładniczy

37 Rozkład normalny Rozkład normalny z parametrami m i σ, N(m, σ) ma gęstość f (x) = 1 σ 2π (x m) 2 e 2σ 2. W szczególności rozkład normalny N(0, 1) ma gestość f (x) = 1 2π e x2 2. Jeśli X N(m, σ), to X m σ losowej X) N(0, 1). (standaryzacja zmiennej

38 Rozkład normalny

39 Tablica dystrybuanty rozkładu normalnego

40 Reguła trzech sigm Jeżeli zmienna losowa ma rozkład normalny N(m, σ) to P( X m > 3σ) < 0, 01.

41 Rozkład chi-kwadrat Mówimy, że zmienna losowa χ 2 ma rozkład chi-kwadrat Pearsona z n stopniami swobody, gdy jest postaci χ 2 = X X X 2 n gdzie X 1, X 2,..., X n sa niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym N(0, 1).

42 Rozkład t-studenta Mówimy, że zmienna losowa t ma rozkład t-studenta o n stopniach swobody, gdy jest postaci t = X χ 2 /n gdzie X, χ 2 sa niezależnymi zmiennymi losowymi X o rozkładzie normalnym N(0, 1) a χ 2 ma rozkład chi-kwadrat o n stopniach swobody.

43 Wartość oczekiwana zmiennej losowej Wartośc oczekiwana zmiennej losowej X, to "wartość średnia", oznaczamy ja EX lub E(X), lub m, lub m 1. Dla zmiennych o rozkładzie dyskretnym P(X = x k ) = p k dla k = 1, 2,...: EX = x 1 p 1 + x 2 p Dla zmiennych o rozkładzie ciagłym o gęstości f : Własności: E(XY ) = E(X)E(Y ), EX = xf (x) dx. E(aX + by ) = aex + bey, dla zmiennych X, Y niezależnych.

44 Gra polega na rzucie kostka. Za przystapienie do gry wpłacamy 10 zł. Za wyrzucenie 1,2 lub 3 nie wygrywamy nic. Za wyrzucenie 4 wygrywmy 5 zł,a za wyrzucenie 5-10 zł. Za wyrzucenie 6 otrzymujemy 30 zł. Zmienna losowa X oznacza zysk w tej grze. Jaki jest jej rozkład, dystrybuanta i wartość oczekiwana. Rozkład: P(X = 10) = P({1, 2, 3}) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2, P(X = 5) = P({4}) = 1/6, P(X = 0) = P({5}) = 1/6, P(X = 20) = P({6}) = 1/6. Dystrybuanta: 0, x 10; 1/2, x ( 10, 5]; F(x) = 2/3, x ( 5, 0]; 5/6, x (0, 20]; 1, x (20, ). E(X) = 10 1/2 + ( 5) 1/ / /6 = 2.5

45 Wariancja i odchylenie standardowe Wariancja zmiennej losowej X (oznaczenie D 2 X lub Var X) nazywamy D 2 X = E(X EX) 2 = E(X m) 2. Odchylenie standardowe (oznaczenie σ), to σ = D 2 X. Własności: D 2 (ax) = a 2 D 2 X, D 2 (X + Y ) = D 2 X + D 2 Y, dla zmiennych losowych X, Y niezależnych, D 2 X = E(X 2 ) (EX) 2. Dla zmiennych o rozkładzie dyskretnym: P(X = x k ) = p k, k N: D 2 X = (x 1 m) 2 p 1 +(x 2 m) 2 p = [x 2 1 p 1+x 2 2 p 2+...] (EX) 2. Dla zmiennych o rozkładzie ciagłym o gęstości f : EX = x 2 f (x) dx (EX) 2.

46 Wariancja z wcześniejszego przykładu D 2 X = = ( 10 ( 2, 5)) 2 1/2+( 5 ( 2, 5)) 2 1/6+(0 ( 2, 5)) 2 1/6+(20 ( = 114, 58(3) drugim sposobem: D 2 X = ( 10) 2 1/2+( 5) 2 1/6+(0)) 2 1/6+(20)) 2 1/6 ( 2, 5) 2 = = 114, 58(3)

47 Nierówność Czebyszewa Jeśli EX = m oraz D 2 X = σ 2 (0, ), to dla t > 0 mamy P( X m t) σ2 t 2.

48 Słabe prawo wielkich liczb Niech X 1, X 2,... będzie ciagiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie, o wartości oczekiwanej m i odchyleniu standardowym σ. Wtedy dla każdego ε > 0 mamy lim P( X 1 + X X n m < ε) = 1. n n

49 Centralne Twierdzenie Graniczne Niech X 1, X 2,... będzie ciagiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie, o wartości oczekiwanej m i odchyleniu standardowym σ. Wtedy lim P(X 1 + X X n nm n σ < x) = Φ(x), n gdzie Φ oznacza dystrybuantę rozkładu normalnego N(0, 1).

50 Wartości wartości oczekiwanej i wariancji dla wybranych rozkładów rozkład zero-jedynkowy z prawdopodobieństwem p: EX = p, D 2 X = pq rozkład dwumianowy (p): EX = np D 2 X = npq rozkład Poissona z parametrem λ: EX = λ, D 2 X = λ rozkład jednostajny na [a, b]: EX = (a + b)/2, D 2 X = (b a) 2 /12 rozkład wykładniczy z parametrem λ: EX = 1/λ, D 2 X = 1/λ 2 rozkład normalny N(m, σ): EX = m, D 2 X = σ 2 rozkład chi-kwadrat z n stopniami swobody: EX = n D 2 X = 2n

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna. Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja

Bardziej szczegółowo

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III. Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena

Bardziej szczegółowo

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne

Bardziej szczegółowo

Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl

Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka Zmienne losowe Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag oraz Biostatystyka p.

Bardziej szczegółowo

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne , centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego

Statystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Podstawowe rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych skokowych Rozkład zero-jedynkowy Rozpatrujemy doświadczenie, którego rezultatem może

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) 4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa

STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa STATYSTYKA MATEMATYCZNA rachunek prawdopodobieństwa treść Zdarzenia losowe pojęcie prawdopodobieństwa prawo wielkich liczb zmienne losowe rozkłady teoretyczne zmiennych losowych Zanim zajmiemy się wnioskowaniem

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 2013/2014 Wykład 3 Zmienna losowa i jej rozkłady Zdarzenia losowe Pojęcie prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości

Bardziej szczegółowo

5 Przegląd najważniejszych rozkładów

5 Przegląd najważniejszych rozkładów 5 Przegląd najważniejszych rozkładów 5. Rozkład Bernoulliego W niezmieniających się warunkach wykonujemy n razy pewne doświadczenie. W wyniku każdego doświadczenia może nastąpić zdarzenie A lub A. Zakładamy,

Bardziej szczegółowo

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:

Bardziej szczegółowo

Klasyfikacja metodą Bayesa

Klasyfikacja metodą Bayesa Klasyfikacja metodą Bayesa Tadeusz Pankowski www.put.poznan.pl/~tadeusz.pankowski warunkowe i bezwarunkowe 1. Klasyfikacja Bayesowska jest klasyfikacją statystyczną. Pozwala przewidzieć prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 II WYKŁAD STATYSTYKA 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 2 Rachunek prawdopodobieństwa zdarzenia elementarne zdarzenia losowe zmienna losowa skokowa i ciągła prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo Prawdopodobieństwo http://www.matemaks.pl/ Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa http://www.matemaks.pl/wstep-do-rachunku-prawdopodobienstwa.html Rachunek prawdopodobieństwa pomaga obliczyć szansę zaistnienia

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych

Statystyczna analiza danych Statystyczna analiza danych Marek Ptak 21 października 2013 Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 1 / 70 Część I Wstęp Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 2 / 70 LITERATURA A. Łomnicki, Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska)

Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska) Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska) Twierdzenie (o mnożeniu) Podstawowe pojęcia i wzory kombinatoryczne. Niech,, będą zbiorami mającymi odpowiednio,,

Bardziej szczegółowo

σ-ciało zdarzeń Niech Ω będzie niepustym zbiorem zdarzeń elementarnych, a zbiór F rodziną podzbiorów zbioru Ω spełniającą warunki: jeśli A F, to A F;

σ-ciało zdarzeń Niech Ω będzie niepustym zbiorem zdarzeń elementarnych, a zbiór F rodziną podzbiorów zbioru Ω spełniającą warunki: jeśli A F, to A F; Zdarzenie losowe i zdarzenie elementarne Zdarzenie (zdarzenie losowe) - wyni pewnej obserwacji lub doświadczenia; może być ilościowy lub jaościowy. Zdarzenie elementarne - najprostszy wyni doświadczenia

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i unkcja gęstości rozkładu

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe typu ciągłego. Parametry zmiennych losowych. Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji (wykład III)

Zmienne losowe typu ciągłego. Parametry zmiennych losowych. Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji (wykład III) Zmienne losowe tpu ciągłego. Parametr zmiennch losowch. Izolda Gorgol wciąg z prezentacji (wkład III) Zmienna losowa tpu ciągłego Zmienna losowa X o ciągłej dstrbuancie F nazwa się zmienną losową tpu ciągłego,

Bardziej szczegółowo

Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej

Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej c Copyright by Ireneusz Krech ikrech@ap.krakow.pl Instytut Matematyki Uniwersytet Pedagogiczny im. KEN w Krakowie

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe skokowe

Zmienne losowe skokowe Zmienne losowe skokowe 1.1 Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta Zad.1 Niech zmienna losowa X przyjmuje wartości równe liczbie wyrzuconych oczek przy pojedynczym rzucie kostką do gry, czyli =1,2,3,,6.

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Statystyka i opracowanie danych W4 Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Rozkład normalny wykres funkcji gęstości

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 21 marca 2011 Zmienna losowa wst ep Przeprowadzane w praktyce badania i eksperymenty maja bardzo różnorodny charakter, niemniej jednak wiaż a sie z rejestracja jakiś sygna lów (danych). Moga to być na

Bardziej szczegółowo

Elementy rachunku prawdopodobieństwa. Statystyka matematyczna. w zastosowaniach

Elementy rachunku prawdopodobieństwa. Statystyka matematyczna. w zastosowaniach Statystyka matematyczna w zastosowaniach Elementy rachunku prawdopodobieństwa Robert Pietrzykowski STATYSTYKA: nauka poświęcona metodom badania(analizowania) zjawisk masowych; polega na systematyzowaniu

Bardziej szczegółowo

Rozkłady zmiennych losowych

Rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych losowych Wprowadzenie Badamy pewną zbiorowość czyli populację pod względem występowania jakiejś cechy. Pobieramy próbę i na podstawie tej próby wyznaczamy pewne charakterystyki. Jeśli

Bardziej szczegółowo

a)dane są wartości zmiennej losowej: 2, 4, 2, 1, 1, 3, 2, 1. Obliczyć wartość średnią i wariancję.

a)dane są wartości zmiennej losowej: 2, 4, 2, 1, 1, 3, 2, 1. Obliczyć wartość średnią i wariancję. Zad Rozkład zmiennej losowej dyskretnej : a)dane są wartości zmiennej losowej: 2, 4, 2,,, 3, 2,. Obliczyć wartość średnią i wariancję. b)oceny z pracy klasowej w tabeli: Ocena 2 3 4 5 6 Liczba uczniów

Bardziej szczegółowo

ZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1.

ZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1. Opracowała: Joanna Kisielińska ZMIENNE LOSOWE Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R tzn. X: R. Realizacją zmiennej losowej

Bardziej szczegółowo

Pojęcie przestrzeni probabilistycznej

Pojęcie przestrzeni probabilistycznej Pojęcie przestrzeni probabilistycznej Definicja (przestrzeni probabilistycznej) Uporządkowany układ < Ω, S, P> nazywamy przestrzenią probabilistyczną jeśli (Ω) Ω jest niepustym zbiorem zwanym przestrzenia

Bardziej szczegółowo

rachunek prawdopodobieństwa - zadania

rachunek prawdopodobieństwa - zadania rachunek prawdopodobieństwa - zadania ogólna definicja prawdopodobieństwa, własności - 9.10.2011 1. (d, 1pkt) Udowodnić twierdzenie 2 tj. własności prawdopodobieństwa (W1)-(W7). 2. Niech Ω = [0, 1] oraz

Bardziej szczegółowo

1 Rozklady dyskretne. Rachunek p-stwa Przeksztalcenia zmiennych losowych. 2. Rozklad dwumianowy. 3. Rozklad Poissona

1 Rozklady dyskretne. Rachunek p-stwa Przeksztalcenia zmiennych losowych. 2. Rozklad dwumianowy. 3. Rozklad Poissona Rachunek p-stwa 2010-2011 1 Rozklady dyskretne 1. Przeksztalcenia zmiennych losowych 2. Rozklad dwumianowy 3. Rozklad Poissona 4. Inne rozklady dyskretne 1 Przeksztalcenia zmiennych losowych Zmienna losowa

Bardziej szczegółowo

AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA

AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej KATEDRA MATEMATYKI TEMAT PRACY: ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA AUTOR: BARBARA MARDOSZ Kraków, styczeń 2008 Spis treści 1 Wprowadzenie 2 2 Definicja

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015 Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20

Bardziej szczegółowo

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI. Zmienna losowa i jej rozkład

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI. Zmienna losowa i jej rozkład WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI Zmienna losowa i jej rozkład ZMIENNA LOSOWA Funkcja X przyporządkowująca każdemu zdarzeniu elementarnemu jedną i tylko jedną liczbę x. zmienna losowa skokowa skończona

Bardziej szczegółowo

Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2

Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2 Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2 Zadania zestaw 3. 1 Rozkład zmiennej losowej skokowej X przedstawia tabela. x i m 0 n p i 0,4 0,3 0,3 a) Wyznacz m i n jeśli: są całkowite, m

Bardziej szczegółowo

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Rachunek prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział PPT, MS, rok akad. 213/14, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ

Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ Zadanie 1. Zmienna losowa przyjmuje wartości -1, 0, 1 z prawdopodobieństwami równymi odpowiednio: ¼, ½, ¼. Należy: a. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu

Bardziej szczegółowo

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Spis treści 3 SPIS TREŚCI Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe

Bardziej szczegółowo

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas: ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań

Bardziej szczegółowo

(C. Gauss, P. Laplace, Bernoulli, R. Fisher, J. Spława-Neyman) Wikipedia 2008

(C. Gauss, P. Laplace, Bernoulli, R. Fisher, J. Spława-Neyman) Wikipedia 2008 STATYSTYKA MATEMATYCZNA - dział matematyki stosowanej oparty na rachunku prawdopodobieństwa; zajmuje się badaniem zbiorów na podstawie analizy ich części. Nauka, której przedmiotem zainteresowania są metody

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 1) Dariusz Gozdowski

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 1) Dariusz Gozdowski Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 1) Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW STATYSTYKA to nauka, której przedmiotem

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Weryfikacja hipotez dotyczących postaci nieznanego rozkładu -Testy zgodności.

Bardziej szczegółowo

c) ( 13 (1) (2) Zadanie 2. Losując bez zwracania kolejne litery ze zbioru AAAEKMMTTY, jakie jest prawdopodobieństwo Odp.

c) ( 13 (1) (2) Zadanie 2. Losując bez zwracania kolejne litery ze zbioru AAAEKMMTTY, jakie jest prawdopodobieństwo Odp. Zadania na kolokwium nr Zadanie. Spośród kart w tali wylosowano. Jakie jest prawdopodobieństwo: pików, kierów, trefli i karo otrzymania wszystkich kolorów otrzymania dokładnie pików a ( b ( ( c ( ( ( (

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem

Bardziej szczegółowo

Rozkłady zmiennych losowych

Rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych losowych 1 Zmienne losowe dyskretne 1.1 Rozkład dwumianowy Zad.1.1.1 Prawdopodobieństwo dziedziczenia pewnej cechy wynosi 0,7. Jakie jest prawdopodobieństwo, że spośród pięciu potomków

Bardziej szczegółowo

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii.

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii. Rozkład normalny Rozkład normalny jest niezwykle ważnym rozkładem prawdopodobieństwa w wielu dziedzinach. Nazywa się go także rozkładem Gaussa, w szczególności w fizyce i inżynierii. W zasadzie jest to

Bardziej szczegółowo

Wykład 4, 5 i 6. Elementy rachunku prawdopodobieństwa i kombinatoryki w fizyce statystycznej

Wykład 4, 5 i 6. Elementy rachunku prawdopodobieństwa i kombinatoryki w fizyce statystycznej Wykład 4, 5 i 6 Elementy rachunku prawdopodobieństwa i kombinatoryki w fizyce statystycznej dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak

Bardziej szczegółowo

Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: Własności dystrybuanty zmiennej losowej:

Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: Własności dystrybuanty zmiennej losowej: Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: F (t) P (X t) < t < Własności dystrybuanty zmiennej losowej: jest niemalejąca: 0 F (t) jest prawostronnie

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.

Bardziej szczegółowo

ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH

ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH ZMIENNA LOSOWA Defcja. Zmeą losową jest fukcja: X: E -> R która każdemu zdarzeu elemetaremu E przypsuje lczbę rzeczywstą e X ( e) R DYSTRYBUANTA Dystrybuatą zmeej losowej X

Bardziej szczegółowo

5.Dzienne zużycie energii (1=100kWh) pewnej firmy jest zmienną losową. 0, gdy x 0 lub x 3

5.Dzienne zużycie energii (1=100kWh) pewnej firmy jest zmienną losową. 0, gdy x 0 lub x 3 LISTA 4 1.Liczba komputerów, które mogą być zarażone wirusem poprzez pewną sieć ma rozkład Poissona z parametrem λ = 7. Prawdopodobieństwo,że wirus uaktywni się w zarażonym komputerze wynosi p. Jakie jest

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i

Bardziej szczegółowo

Elektrotechnika II [ Laboratorium Grupa 1 ] 2016/2017 Zimowy. [ Laboratorium Grupa 2 ] 2016/2017 Zimowy

Elektrotechnika II [ Laboratorium Grupa 1 ] 2016/2017 Zimowy. [ Laboratorium Grupa 2 ] 2016/2017 Zimowy Elektrotechnika II [ Laboratorium Grupa ] 206/207 Zimowy Lp Numer indeksu Pkt Kol Suma Popr Ocena Data Uwagi 97574 6 7 Db + 2 9758 ++0,9 5 7,9 Db + 3 99555 0,9+0,9 2,8 Dst + 4 97595 0,8++ 0 2,8 Dst + 5

Bardziej szczegółowo

Lista 1a 1. Statystyka. Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne

Lista 1a 1. Statystyka. Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne Lista 1a 1 Statystyka Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne 1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że (a) z talii zawierającej 52 karty wybierzemy losowo asa? (b) z talii zawierającej 52 karty

Bardziej szczegółowo

Diagramy Venna. Uwagi:

Diagramy Venna. Uwagi: Wykład 3: Prawdopodobieństwopodstawowe pojęcia i modele Często modelujemy zmienność używając rachunku prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo opadów deszczu wynosi 80%. (zinterpretuj) Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Przykład (wstępny). Producent twierdzi, że wadliwość produkcji wynosi 5%. My podejrzewamy, że rzeczywista wadliwość produkcji wynosi 15%. Pobieramy próbę stuelementową

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO dla studiów magisterskich kierunku ogrodnictwo Wykład 1 Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Słowo statystyka pochodzi

Bardziej szczegółowo

Aleksander Adamowski (s1869) zmienn ą losow ą T o rozkładzie wykładniczym o średniej 5 minut.

Aleksander Adamowski (s1869) zmienn ą losow ą T o rozkładzie wykładniczym o średniej 5 minut. Zadanie Statystyczna Analiza Danych - Zadania 6 Aleksander Adamowski (s869) W pewnym biurze czas losowo wybranej rozmowy telefonicznej jest zmienn ą losow ą T o rozkładzie wykładniczym o średniej 5 minut.

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo GEOMETRYCZNE

Prawdopodobieństwo GEOMETRYCZNE Prawdopodobieństwo GEOMETRYCZNE Zadanie 1. Skoczek spadochronowy skacze nad kwadratową wyspą o boku 20km. Na środku wyspy znajduje się prostokątne lądowisko o wymiarach 2x3 km. Jakie jest prawdopodobieństwo,

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA

STATYSTYKA Wykład 1 20.02.2008r. 1. ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1.1 Rozkład dwumianowy Rozkład dwumianowy, 0 1 Uwaga: 1, rozkład zero jedynkowy. 1 ; 1,2,, Fakt: Niech,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Metody specjalne Monte Carlo 24 listopada 2014 Transformacje specjalne Przykład - symulacja rozkładu geometrycznego Niech X Ex(λ). Rozważmy zmienną losową [X ], która przyjmuje wartości naturalne.

Bardziej szczegółowo

i=7 X i. Zachodzi EX i = P(X i = 1) = 1 2, i {1, 2,..., 11} oraz EX ix j = P(X i = 1, X j = 1) = 1 7 VarS 2 2 = 14 3 ( 5 2 =

i=7 X i. Zachodzi EX i = P(X i = 1) = 1 2, i {1, 2,..., 11} oraz EX ix j = P(X i = 1, X j = 1) = 1 7 VarS 2 2 = 14 3 ( 5 2 = Kombinatoryka W tej serii zadań można znaleźć pojawiające się na egzaminach zadania dotyczące problemu wyznaczania prostych parametrów rozkładu w przypadku zgadnień kombinatorycznych. Zadania te wymagają

Bardziej szczegółowo

dr Jarosław Kotowicz 24 lutego 2003 roku 1 c Copyright J.Kotowicz

dr Jarosław Kotowicz 24 lutego 2003 roku 1 c Copyright J.Kotowicz Szkice do wykładu z Rachunku prawdopodobieństwa 1 II rok matematyki finansowej III roku matematyki ogólnej III roku matematyki z metodami informatycznymi dr Jarosław Kotowicz 24 lutego 2003 roku 1 c Copyright

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna

Statystyka matematyczna Statystyka matematyczna dla kierunku Zarządzanie na studiach drugiego stopnia Wojciech Kordecki Wyższa Szkoła Handlowa we Wrocławiu Wrocław 2012 Materiał wyłącznie do użytku edukacyjnego. Reprodukcja do

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA wykład 5-6

STATYSTYKA wykład 5-6 TATYTYKA wykład 5-6 Twierdzenia graniczne Rozkłady statystyk z próby Wanda Olech Twierdzenia graniczne Jeżeli rozpatrujemy ciąg zmiennych losowych {X ; X ;...; X n }, to zdarza się, że ich rozkłady przy

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając dwiema kostkami do gry otrzymamy:

Zadanie 1. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając dwiema kostkami do gry otrzymamy: Zadanie 1. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając dwiema kostkami do gry otrzymamy: a) sumę oczek równą 6, b) iloczyn oczek równy 6, c) sumę oczek mniejszą niż 11, d) iloczyn oczek będący liczbą parzystą,

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω)

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω) ZADANIA - ZESTAW 1 Zadanie 1.1 Rzucamy trzy razy monetą. A i - zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy orła w i - tym rzucie. Określić zbiór zdarzeń elementarnych. Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające

Bardziej szczegółowo

Przegląd ważniejszych rozkładów

Przegląd ważniejszych rozkładów Przegląd ważniejszych rozkładów Rozkład dwupunktowy P (X = x) = { p dla x = a, 1 p dla x = b, to zmienna losowa X ma rozkład dwupunktowy z parametrem p (0 < p < 1). Rozkład ten pojawia się przy opisie

Bardziej szczegółowo

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 6 Ciągłe zmienne losowe ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Zmienna losowa ciągła jest

Bardziej szczegółowo

Opis przedmiotu: Probabilistyka I

Opis przedmiotu: Probabilistyka I Opis : Probabilistyka I Kod Nazwa Wersja TR.SIK303 Probabilistyka I 2012/13 A. Usytuowanie w systemie studiów Poziom Kształcenia Stopień Rodzaj Kierunek studiów Profil studiów Specjalność Jednostka prowadząca

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe. Rozkład zmiennej losowej

Zmienne losowe. Rozkład zmiennej losowej Zmienne losowe Rozkład zmiennej losowej Zmienna losowa to funkcja, która przyjmuje różne wartości liczbowe wyznaczone przez los (przypadek). Zmienne losowe oznaczamy symbolem: X :! R Zmienna losowa X,

Bardziej szczegółowo

METODY ANALIZY DANYCH NIEPEWNYCH

METODY ANALIZY DANYCH NIEPEWNYCH METODY ANALIZY DANYCH NIEPEWNYCH LITERATURA PODSTAWOWA. Z. Hellwig, Elementy Rachunku Prawdopodobieństwa i Statystyki Matematycznej, PWN, Warszawa, 995 2. W. Krysicki i inni, Rachunek Prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Korzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne)

Korzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne) Korzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne) Przygotował: Dr inż. Wojciech Artichowicz Katedra Hydrotechniki PG Zima 2014/15 1 TABLICE ROZKŁADÓW... 3 ROZKŁAD

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Rachunek Prawdopodobieństwa istatystyka W4 Rozkład normalny Parametry rozkładu zmienne losowe Zmienne losowe wielowymiarowe Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Rozkład normalny - standaryzaca

Bardziej szczegółowo

Z poprzedniego wykładu

Z poprzedniego wykładu PODSTAWY STATYSTYKI 1. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 2. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5. Testy parametryczne

Bardziej szczegółowo

Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby

Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Przypomnijmy Populacja Próba Wielkość N n Średnia Wariancja Odchylenie standardowe 4.2 Rozkład statystyki Mówimy, że rozkład statystyki (1) jest dokładny,

Bardziej szczegółowo

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1. a) Jacek i Agatka stoją koło siebie; b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło siebie.

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1. a) Jacek i Agatka stoją koło siebie; b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło siebie. Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1 1. Grupę n dzieci ustawiono w sposón losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek i Agatka stoją koło siebie; b) Jacek, Placek i Agatka stoją

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Wybrane litery alfabetu greckiego α alfa β beta Γ γ gamma δ delta ɛ, ε epsilon η eta Θ θ theta

Bardziej szczegółowo

x x 0.5. x Przykłady do zadania 4.1 :

x x 0.5. x Przykłady do zadania 4.1 : Rachunek prawdopodobieństwa MAP5 Wydział Elektroniki, rok akad. /, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przykłady do listy 4: Wartość oczekiwana, wariancja, mediana, kwartyle rozkładu prawdopodobieństwa.

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2016/2017 Wprowadzenie Przykład 1 Bolek, Lolek i Tola

Bardziej szczegółowo

Procesy Stochastyczne - Zestaw 1

Procesy Stochastyczne - Zestaw 1 Procesy Stochastyczne - Zestaw 1 Zadanie 1 Niech ξ i η bed a niezależnymi zmiennymi losowymi o rozk ladach N (0, 1). Niech X = ξ +η i Y = ξ η. Znaleźć rozk lad (X, Y ) i rozk lad warunkowy L X ( Y ). Zadanie

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym

Prawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym Edward Stachowski Prawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym W podstawie programowej obowiązującej na egzaminie maturalnym od 05r pojawiły się nowe treści programowe Wśród

Bardziej szczegółowo

PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH CIĄGŁYCH

PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH CIĄGŁYCH Opracowała: Joanna Kisielińska 1 PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH CIĄGŁYCH Rozkład normalny Zmienna losowa X ma rozkład normalny z parametrami µ i σ (średnia i odchylenie standardowe), jeśli jej

Bardziej szczegółowo

Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej. Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska

Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej. Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska 1 Zdarzenia losowe, algebra zdarzeń Do podstawowych pojęć w rachunku prawdopodobieństwa zaliczamy: doświadczenie

Bardziej szczegółowo

Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo

Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Rozdział 1 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo 1.1 Klasyfikacja zdarzeń Zdarzenie elementarne pojęcie aprioryczne, które nie może być zdefiniowane. Odpowiednik pojęcia punkt w geometrii. Zdarzenie elementarne

Bardziej szczegółowo

Matematyka podstawowa X. Rachunek prawdopodobieństwa

Matematyka podstawowa X. Rachunek prawdopodobieństwa Matematyka podstawowa X Rachunek prawdopodobieństwa Zadania wprowadzające: 1. Rzucasz trzy razy monetą a) Napisz zbiór wszystkich wyników tego doświadczenia losowego. Ile ich jest? Wyrzuciłeś większą liczbę

Bardziej szczegółowo