Przekształcenia całkowe. Wykład 7

Transkrypt

1 Przekształcenia całkowe Wykład 7

2 Szeregi Fouriera Definicja: { } Mówimy, że ciąg funkcji X ( n x ) całkowalnych z kwadratem w przedziale jest ciągiem ortogonalnym, jeżeli [ a, b] b a X ( x) X ( x)dx n m dla n m, A > dla n m.

3 Zadanie : Sprawdzić, że ciąg funkcji {, sin x, cos x, sin x, cos x, } [, ] Jest ciągiem ortogonalnym w.

4 Rozwiązanie: Należy sprawdzić (zakładając ) ) sin nxdx ) cosnxdx 3) sin nxsin mxdx 4) cosnxcosmxdx 5) sin nxcosmxdx 6) 7) cos nxdx A> 8) dx A> n m sin nxdx A>

5 Zadanie : n u nx n sin nxdx sinudu [ cosu] n du ndx n n n [ cos n cos n ] n Zadanie : n u nx n cosnxdx cosudu [ sinu] n du ndx n n n

6 Wzory cos( α +β ) cosαcosβ sin αsinβ cos( α β ) cosαcosβ+ sin αsinβ Po odjęciu stronami cos( α β) cos( α+β ) sin αsinβ sin αsinβ cos( α β) cos( α+β) [ ]

7 Zadanie 3 : sin nxsin mxdx cos( n m) xd x cos( n+ m) xd x u ( n+ mx ) u ( n mx ) d u ( n+ m)dx d u ( n m)dx ( n m) ( n+ m) cosu du cosu du ( n m) ( n+ m) ( n m) ( n+ m) sin ( n m) sin ( n+ m) n m n+ m

8 Wzory Po dodaniu stronami cos( α +β ) cosαcosβ sin αsinβ cos( α β ) cosαcosβ+ sin αsinβ cos( α +β ) + cos( α β ) cosαcosβ cosαcosβ cos( α+β ) + cos( α β) [ ]

9 Zadanie 4 : cos nxcosmxdx cos( n+ m) xd x+ cos( n m) xd x u ( n+ m) x u ( n m) x d u ( n+ m)dx d u ( n m)dx ( n+ m) ( n m) cosu du + cosu du ( n+ m) ( n m) ( n+ m) ( n m) sin ( n+ m) sin ( n m) n+ m n m

10 Wzory sin( α +β ) sin αcosβ+ cosαsinβ sin( α β ) sin αcosβ cosαsinβ Po dodaniu stronami sin( α +β ) + sin( α β ) sin αcosβ sin αcosβ sin( α+β ) + sin( α β) [ ]

11 Zadanie 5 : sin nxcosmxd x sin ( n+ mx ) d x+ sin ( n mx ) d x u ( n+ m) x u ( n m) x d u ( n+ m)dx d u ( n m)dx ( n+ m) ( n m) sinu du + sinu du ( n+ m) ( n m) ( n+ m) ( n m) ( n+ m) [ cosu ] ( n+ m) + ( n+ m) ( n m) [ ] ( n m u ) + ( n+ m) cos

12 Wzory cos α cos α sin α cos α cos α + cos α cos cos sin sin α α α α sin α cosα

13 Zadanie 6 : u nx nx x x nx x du ndx sin d d cos d n n [ x] cosud x [ sinu] n n

14 Zadanie 7 : u nx nx x x+ nx x du ndx cos d d cos d n n [ x] + cosud x + [ sinu] + n n Sprawdziliśmy, że dany ciąg jest ortogonalny w przedziale [, ], przy czym A.

15 Rozwinięcie funkcji w szereg Fouriera Definicja: Niech f( x) będzie funkcją o okresie mającą w przedziale [, ] co najwyżej skończoną liczbę punktów nieciągłości i całkowalną w tym przedziale. Szeregiem Fouriera tej funkcji nazywamy szereg: gdzie a, a, n bn współczynniki. a f x a nx b nx ( ) + ( n ncos + nsin ),

16 Czyli f( x) a + acos x+ b sin x+ a cos x+ b sin x+ Wyznaczanie współczynników { } Wiemy, że ciąg, sin x, cos x, sin x, cos x, jest ciągiem ortogonalnym w przedziale [, ]. Obie strony wzoru na szereg Fouriera całkujemy od do.

17 Otrzymujemy: a f x x x a nx x b nx x ( )d d n cos d n sin d + + n a [ ] f( x)dx x a a f( x)dx

18 Obie strony równania wyjściowego mnożymy przez cos mx i całkujemy od do. Wówczas otrzymujemy: a mx f x x mx x+ cos ( )d cos d + a n cosnxcos mxd x+ b n sin nxcosmxd x n dla n m

19 cos mx f( x)d x a am f( x)cosmxdx m Obie strony równania wyjściowego mnożymy przez i całkujemy od do : sin mx

20 a mx f x x mx x + sin ( )d sin d + ancos nxsin mxd x+ bnsin nxsin mxd x n dla n m sin mx f( x)d x b bm f( x)sinmxdx m

21 Szereg Fouriera a f x a nx b nx ( ) + ( ncos + nsin ) n a f( x)dx an f( x)cosnxdx bn f( x)sinnxdx

22 Jeżeli jest funkcją nieparzystą: ( ) f x Szeregi Fouriera ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sin sin sin sin cos cos cos nxdx x f nxdx x f nxdx x f nxdx x f b nxdx x f nxdx x f nxdx x f a dx x f dx x f dx x f a n n

23

24 Jeżeli f( x) jest funkcją parzystą: a f( x)d x f( x)dx an f( x)cosnxd x f( x)cosnxdx bn f( x)sinnxdx f( x)sinnxd x+ f( x)sinnxdx

25

26 f( x) jest funkcją nieparzystą a a n bn f( x)sinnxdx

27 f( x) jest funkcją parzystą a f( x)dx an f ( x)cosnxdx b n

28 Rozwinięcie funkcji o okresie L w szereg Fouriera Definicja: Niech f( x) będzie funkcją o okresie mającą w przedziale [ L, L] co najwyżej skończoną liczbę punktów nieciągłości i całkowalną w tym przedziale. Szeregiem Fouriera tej funkcji nazywamy szereg: gdzie a,, współczynniki. an bn L a nx nx f x a b ( ) + ( n ncos L + nsin L ),

29 L a f( x)dx L L n x an f( x)cos dx L L L n x bn f( x)sin dx L L L

30 f( x) jest funkcją nieparzystą a a n L n x bn f ( x)sin dx L L

31 f( x) jest funkcją parzystą a f( x)dx n x an f( x)cos dx L b n L L