ZAGADNIENIE WYZNACZANIA PARAMETRÓW OBIEKTÓW ELEKTROMAGNETYCZNYCH W WARUNKACH ICH PRACY

Transkrypt

1 Pace Nakowe Intytt Mazyn, Napędów i Pomiaów Elektycznych N 6 Politechniki Wocławkiej N 6 Stdia i Mateiały N 7 7 obiekt elektomagnetyczny, model zatępczy, wyznaczanie paametów Józef NOWAK, Jezy BAJOREK, Gzegoz KOSOBUDZKI, Andzej KAŁWAK ZAGADNIENIE WYZNACZANIA PARAMERÓW OBIEKÓW ELEKROMAGNEYCZNYCH W WARUNKACH ICH PRACY W efeacie pzeanalizowano możliwości wyznaczania paametów obwodów zatępczych obiektów elektomagnetycznych na podtawie pzebieg pzyłożonego do obiekt napięcia i pobieanego pąd w pzypadkach, gdy chaakteytyki obiektów ą liniowe, nieliniowe oaz, gdy twozą zamknięte pętle.. WSĘP Zjawika elektomagnetyczne w obiektach można modelować za pomocą złożonych zatępczych obwodów elektycznych zawieających idealne elementy chaakteyzjące ię tylko ezytancją, tylko indkcyjnością lb tylko pojemnością. Zaadnicze znaczenie ma więc odpowiedź na pytanie: czy na podtawie infomacji zawatej w pzyłożonym do obiekt napięci i w pobieanym pzez obiekt pądzie można wyznaczyć watości paametów R, L, C tych idealnych elementów? Wykonane pzez na badania wkazją, że możliwe jet wyznaczenie paametów tylko potych, dwelementowych obwodów zatępczych.. PARAMERY ZASĘPCZE I MODELE OBIEKÓW ELEKROMAGNEYCZNYCH Obiekt elektomagnetyczny można ogólnie taktować jako zamkniętą pzetzeń, do któej jet dopowadzana lb, z któej jet odbieana enegia elektyczna za pomocą pzewodów wiodących pąd elektyczny. Sma pądów we wzytkich pzewodach pzebijających zamkniętą powiezchnię oganiczającą obiekt jet oczywiście ówna ze. Wynika tąd, że napięcie pzyłożone do każdego pzewod można miezyć od wpólnego pnkt o dowolnym potencjale.

2 W obiekcie elektomagnetycznym zachodzą zaadniczo tylko dwa pocey enegetyczne. Poce odwacalny wzajemna zamiana enegii pola elektycznego i magnetycznego oaz poce nieodwacalny pzetwazanie enegii elektycznej na enegię nieelektyczną i/lb wytwazania enegii elektycznej z enegii nieelektycznej. Pocey te ą chaakteyzowane za pomocą paametów mocy elektycznej: mocy bienej i mocy czynnej. Paamety mocy elektycznej mzą być addytywne. Obiekt elektomagnetyczny można bowiem óżnie podzielić na części pzypoządkowane pozczególnym pzewodom, a całkowita moc biena i moc czynna obiekt elektomagnetycznego mi być ówna mie mocy wzytkich jego części. Moc biena każdej (k-tej) części obiekt elektomagnetycznego, dla dowolnego pzebieg napięcia i pąd, jet popocjonalna do powiezchni zamkniętej pętli, jaką twozy chaakteytyka tej części we wpółzędnych pąd, napięcie (i, ) [] =, () π Q k A i, gdzie A i, powiezchnia pętli we wpółzędnych pąd, napięcie (i, ). Moc czynną k-tej części obiekt elektomagnetycznego można okeślić także za pomocą powiezchni zamkniętej pętli, ale we wpółzędnych pąd, zatępczy tmień magnetyczny (i, ψ ) lb we wpółzędnych ładnek elektyczny, napięcie (q, ) ψ, () P k = Ai, = Aq, gdzie cza obieg zamkniętego cykl pzemiany. Zatępczy tmień magnetyczny jet okeślony pzez ównanie ψ ' = dt. (3) Każdej części obiekt elektomagnetycznego związanej z danym pzewodem można pzypoządkować zatępczy obwód elektyczny, w któym wytępją paamety: pojemność (C), indkcyjność (L) i ezytancja (R). Pojemność jet paametem idealnego obiekt, w któym enegia elektyczna wytępje tylko w potaci pola elektycznego. Ładnek elektyczny gomadzony w takim obiekcie jet popocjonalny do watości chwilowej pzyłożonego napięcia q = C. (4) Jeśli pojemność zdefiniowana wedłg ównania (4) ma tałą watość (niezależną od napięcia ), to może być wyznaczona także ze wzo i C =, (5)

3 gdzie pochodna napięcia względem cza. Zależność (5) toje ię ównież, gdy pojemność C nie jet tała. Indkcyjność jet paametem idealnego obiekt, w któym enegia elektyczna wytępje tylko w potaci pola magnetycznego. Wytwazany w takim obiekcie tmień magnetyczny jet popocjonalny do pobieanego pąd ψ = L i. (6) Równanie (6) może być toowane, gdy indkcyjność jet tałym paametem lb, gdy zależność tmienia od pąd jet jednoznaczna. Natomiat liniowo pzekztałcone ównanie (6) = L i (7) (gdzie i pochodna pąd względem cza) może być toowane także wtedy, gdy zależność tmienia od pąd jet niejednoznaczna []. Rezytancja jet paametem idealnego obiekt, w któym enegia elektyczna jet całkowicie ozpazana. Napięcie pzyłożone do takiego obiekt powodje popocjonalny pąd Rezytancja jet definiowana ównież wedłg ównania = R i. (8) = R i. (9) Z elementów R, L, C (obiektów idealnych) można bdować dowolnie złożone obwody modeljące zczegółowo pocey pzemiany enegii elektycznej. Pąd zależy jednak liniowo od pzyłożonego napięcia o dowolnym pzebieg tylko w dw pzypadkach, gdy elementy R, L, C ą połączone zeegowo (y..) lb, gdy elementy R, L, C ą połączone ównolegle (y.). Pąd pobieany pzez obwód zeegowy zależy od napięcia wedłg ównania di = Ri + L + idt, () dt C a pąd pobieany pzez obwód ównoległy wedłg ównania d i = + C + dt. () R dt L Równania () i () ą liniowe nawet wtedy, gdy paamety R, L, C nie ą tałe.

4 a) b) R i L C i R L C Ry. Obwody podtawowe: a) zeegowy, b) ównoległy Fig.. Baic model: a) eial, b) paallel Powiezchnia pętli we wpółzędnych i, jet ówna i dt = i A, = dt. () i Z ównania () i z ównania (), pzy założeni, że paamety R, L, C ą tałe, otzymje ię Ai, = I L ( I ). (3) C Moc biena obwod zeegowego zależy więc od paametów eaktywnych i jet okeślona zależnością Qk = I π C L ( I ) Zależność okeślająca moc bieną obwod ównoległego jet podobna Q k = C π ( U ) U L. (4). (5) We wzoach (3), (4) i (5) I oznacza watość kteczną pąd, I watość kteczną pochodnej pąd, U watość kteczną napięcia, a U watość kteczną pochodnej napięcia. Moc czynna zależy od ezytancji. W obwodzie zeegowym moc czynna jet okeślona zależnością a w obwodzie ównoległym zależnością Pk = R I, (6) U Pk =. (7) R

5 3. MOŻLIWOŚĆ WYZNACZENIA PARAMERÓW ZASĘPCZYCH NA PODSAWIE INFORMACJI ZAWAREJ WPRZEBIEGU NAPIĘCIA I PRĄDU Na podtawie ównań (4) i (5) mieząc moc bieną, watości kteczne napięcia i pąd oaz watości kteczne ich pochodnych nie można oddzielić pojemności od indkcyjności ani znaleźć zależności między odpowiednimi paametami wytępjącymi w obwodzie zeegowym i ównoległym. Znak mocy bienej wkazje jedynie chaakte obwod (obiekt): pojemnościowy znak pl lb indkcyjny znak min. Obiekt o okeślonym chaakteze należy zatem modelować za pomocą obwodów pozczonych zawieających tylko ezytancję i pojemność lb tylko ezytancję i indkcyjność. i R L Ry.. Szeegowy obwód zatępczy obiekt elektomagnetycznego o chaakteze indkcyjnym Fig.. Seial eqivalent model of an electomagnetic indctive object Obiekt o chaakteze indkcyjnym kozytnie jet modelować za pomocą zeegowego obwod R, L (y. ). Pąd pobieany pzez taki obwód zależy od napięcia wedłg ównania = R i + L i. (8) Jeśli paamety R i L nie ą tałe, lecz zależą od pąd, to względniając zależność (8) w ównaniach() i () definijących moc bieną otzymje ię Q k = i dt = R ii dt + L π π ( i ) dt. (9) Fnkcja ii może mieć óżny znak w pzedziale, ; nie pełnia więc założenia twiedzenia o watości śedniej. Stojąc całkowanie pzez części można jednak piewzą całkę w nawiaie pzekztałcić do potaci R ii dt = R i dt R ii z któej wynika, że całka ta jet zawze ówna ze, gdyż śednia watość pochodnej ezytancji względem cza jet ówna ze. Rezytancja zmienia ię bowiem okeowo w czaie nawet wtedy gdy jet fnkcją pąd. Równanie (9) pazcza ię więc do potaci dt,

6 Q = L π ( I ) k. () Podobnie jak śednią indkcyjność ( L ) można także wyznaczyć śednią ezytancję R zeegowego obwod R, L z ównania k = R I. () P Śednia indkcyjność obwod ównoległego (y. 3) pzy dowolnej ezytancji oaz śednia ezytancja pzy dowolnej indkcyjności ą okeślone pzez ównania Q k U = π L, P k U = R. () i R L Ry. 3. Równoległy obwód zatępczy obiekt elektomagnetycznego o chaakteze indkcyjnym Fig. 3. Paallel eqivalent model of a electomagnetic indctive object Gdy chaakte obiekt jet pojemnościowy. Śednią pojemność i śednią ezytancję ównoległego obwod R, C otzymje ię z ównań Q k U = C ( U ), Pk =. (3) π R Jeśli paamety R, L, C ą tałe, to ich watości można wyznaczyć bezpośednio z ównań () i () mieząc watości chwilowe napięcia i pąd oaz watości chwilowe ich pochodnych i całek w tzech óżnych chwilach. W ten poób, na pzykład na podtawie ównania óżniczkowego (), otzymje ię tzy ównania liniowe di ( t ) = R i( t ) + L + idt, dt C t= t ( t ) = R i( t ) + L di dt di dt t= t t= t + C C ( t3 ) = R i( t3 ) + L + idt, t= t3 idt t= t t= t3, (4)

7 z któych można wyznaczyć watości paametów R, L, C. Wydawać by ię mogło, że w podobny poób można wyznaczać watości paametów dowolnie złożonych obwodów. Jeśli jednak ównanie óżniczkowe taje ię nieliniowe, to paamety zależą od napięcia i pąd, a z ozwiązana kład ównań liniowych otzymje ię óżne wyniki, zależne od wybo chwil pomia watości liniowo pzetwozonego napięcia i pąd. Jeśli obwód zatępczy jet nieliniowy, to bezpośednio można wyznaczyć zczególne watości tylko dw jego paametów (ezytancji i indkcyjności lb ezytancji i pojemności) mieząc watości liniowo pzetwozonego napięcia i pąd w zczególnych chwilach; na pzykład watość ezytancji pozczonego obwod (y. ) można wyznaczyć bezpośednio z ównania (8) mieząc napięcie i pąd w chwili, gdy pochodna pąd pzechodzi pzez watość zeową ( t ) ( t ) R ( t ) =, t = t, gdy i ( t ) =, (5) i a watość indkcyjności mieząc napięcie i pochodną pąd w chwili, gdy pąd pzechodzi pzez watość zeową ( t ) ( t ) L ( t ) =, t = t, gdy i( t ) =. (6) i Zależności paametów złożonych obwodów od paametów elementów idealnych ą znane tylko w pzypadk, gdy pzebiegi napięcia i pąd ą inoidalne. Zależności te ą jednak wikłane; na ich podtawie na ogół nie można wyznaczyć watości paametów obwodów idealnych, gdy znane ą paamety zatępcze obwod złożonego. Dla pzebiegów inoidalnych, a także dla dowolnych pzebiegów napięcia i pąd watości paametów idealnych elementów można wyznaczyć tylko w pzypadk potych, podtawowych obwodów (y ). Jeśli paamety zależą od napięcia i pąd, to obwody mogą być tylko dwelementowe, a watości paametów można wyznaczyć jedynie dla zczególnych watości chwilowych napięcia i pąd. Podobnie jak watości paametów obiektów idealnych, można wyznaczać także watości paametów R, L, C obiektów zeczywitych na podtawie ównań (5), (7) i (9) pzyjmjąc, że jet napięciem pzyłożonym do k-tego pzewod obiekt, i pądem pobieanym pzez obiekt z k-tego pzewod, a i i ą odpowiednio pochodnymi tego napięcia i pąd. ak wyznaczonym paametom obiektów zeczywitych nie można jednak pzypoządkować elektycznego obwod zatępczego. Żadna ogólna zależności między paametami zeczywitych obiektów nie jet bowiem możliwa, gdyż zależności między paametami óżnych obiektów mogą Jeśli dowolnie zatoowanie ię óżnić. do badania właściwości obiektów zeczywitych paametów zdefiniowanych dla obiektów idealnych jet popawne, to wyznaczone wedłg tych definicji watości paametów powinny być dodatnie i kończone. Chaakteytyki

8 obiektów elektomagnetycznych we wpółzędnych liniowe pzetwozonego napięcia i pąd twozą zwykle zamknięte pętle. Paamety okeślone na podtawie ównań (5), (7) i (9) można intepetować geometycznie jako nachylenie tycznych do odpowiednich chaakteytyk. angeny nachylenia tycznych w pnktach ektemalnych zamkniętych pętli będą nietety dążyć do niekończoności. W innych pnktach watości paametów ą kończone i dodatnie, gdyż pzebiegi chaakteytyk obiektów elektomagnetycznych ą niepazyte. 4. WYBRANE WYNIKI BADAŃ PRZYKŁADOWYCH OBIEKÓW ELEKROMAGNEYCZNYCH Badania wykonano na pecjalnie pzygotowanych obiektach w potaci obwodów złożonych z liniowych elementów za pomocą opacowanego ytem do pomiaów zczególnych watości chwilowych liniowo pzetwozonych pzebiegów napięcia i pąd [3]. Sytem chaakteyzje ię dżą powtazalnością wyników pomiaów, lepzą niż,%. Pzez zatoowanie odwacania fazy implów wybieających zczególne watości chwilowe wyeliminowano bowiem kładową tałą zakłócającą powtazalność wyników pomiaów. Na ynk 4 pzedtawiono względne odchylenie od watości śedniej wyników wyznaczonej indkcyjności L i ezytancji R cewki wedłg model zeegowego na podtawie wielokotnie zmiezonych watości napięcia i pochodnej pąd w chwili gdy pąd pzechodzi pzez watość zeową oaz na podtawie wielokotnie zmiezonych watości napięcia i pąd w chwili,gdy pochodna pąd pzechodzi pzez watość zeową. Wyniki ą ozpozone. Odchylenie od watości śedniej, zczególnie wyników wyznaczenia ezytancji, pzekacza zake powtazalności pomiaów.

9 a)., 5 %, 5 b), n % 3 4 n Ry. 4. Względne odchylenie od watości śedniej wielokotnie wyznaczonych wedłg model zeegowego watości indkcyjności cewki a) i ezytancji cewki b) Fig. 4. Relative deviation of the coil indctance a) and the coil eitance b) fom aveage vale. Indctance and eitance ae detemined on the bai of eial model. Pzyczyną ozpozenia wyników jet nieadekwatność model do obiekt. Między zwojami cewki wytępje pojemność. Badziej odpowiednim modelem dla cewki jet więc obwód pzedtawiony na ynk 5. Zależność pobieanego pzez ten obwód pąd od pzyłożonego napięcia okeśla ównanie óżniczkowe [3] di d d = R i+ L RC LC. (7) dt dt dt Równanie (7) jet nieliniowe. Watości paametów R, L, C obwod (y. 5) nie da ię więc wyznaczyć pzez opeacje na ygnałach liniowo zależnych od napięcia i pąd, a wyznaczone watości paametów zatępczego obwod dwelementowego zależą od pzypadkowych zmian napięcia i pąd, jak na ynk 4. i R C L Ry. 5. Obwód zatępczy cewki Fig. 5. Eqivalent cicit of coil

10 Jeśli do cewki zotał dołączony ezyto o ezytancji tzykotnie więkzej od ezytancji cewki oaz zwiękzona zotała pojemność do około µf, to ozbieżność między obwodem o konfigacji (y. 5) i obwodem dwelementowym zwiękzyła ię. Zwiękzyło ię więc także ozpozenie wyznaczonych watości paametów dwelementowego obwod (y.6). a) b) % n % n Ry. 6. Względne odchylenie od watości śedniej wielokotnie wyznaczonych wedłg model zeegowego watości indkcyjności a) i ezytancji b) cewki o zwiękzonej ezytancji i pojemności Fig. 6. Relative deviation of the coil indctance a) and the coil eitance b) fom aveage vale. Indctance and eitance of coil with enlage eitance and capacitance ae detemined on the bai of eial model. Podobnie, jak w pzypadk cewki, małe ozpozenie wyników pomiaów indkcyjności otzymje ię tojąc zeegowy model R, L do dławika z magnetowodem feomagnetycznym ze zczelna (y.7). Uśednione watości paametów obiektów liniowych ą zgodne, w zakeie ozpozenia, z odpowiednimi watościami wyznaczonymi metodą bezpośednią. W pzypadk obiektów nieliniowych między tymi watościami wytępje oczywita ozbieżność.

11 %,.5,.3,,,3, n Ry. 7. Względne odchylenie od watości śedniej wielokotnie wyznaczonych wedłg model zeegowego watości indkcyjności dławika z magnetowodem feomagnetycznym ze zczeliną. Fig. 7. Relative deviation of the magnetic coe eacto with gap indctance fom aveage vale. Indctance of eacto ae detemined on the bai of eial model. 5. PODSUMOWANIE Paamety obiekt elektomagnetycznego w wankach jego pacy można wyznaczyć tylko wtedy, gdy zależność pobieanego pzez obiekt pąd od pzyłożonego do obiekt napięcia można zapiać za pomocą liniowego ównania óżniczkowego. Jeśli obiekt jet liniowy, to można wyznaczyć ezytancję, indkcyjność i pojemność podtawowych obwodów zatępczych: zeegowego i ównoległego, a jeśli obiekt jet nieliniowy, to obwody mogą być tylko dwelementowe. Poty obwód zatępczy najczęściej nie odtwaza złożonych zjawik elektomagnetycznych wytępjących w obiekcie. Jeśli obwód zatępczy nie jet adekwatny do obiekt, to wyznaczane watości paametów obwod zatępczego ą pzypadkowe; zależą od pzypadkowych wahań watości, kztałt pzebieg oaz czętotliwości napięcia. W zczególnym pzypadk, gdy pzebiegi napięcia i pąd ą inoidalne, wyznaczane watości paametów zależą tylko od czętotliwości, a jeśli obwód zatępczy jet adekwatny do obiekt, to wyznaczane watości jego paametów w ogóle nie zależą od pąd i napięcia nawet w tedy, gdy obiekt jet nieliniowy. Jeśli chaakteytyki obiekt ą nieliniowe, to paamety dwelementowego obwod zatępczego można wyznaczyć tylko dla zczególnych watości chwilowych liniowo pzetwozonego napięcia i pąd. Rezytancję zeegowego dwelementowego obwod zatępczego można wyznaczyć w chwili, gdy pochodna pobieanego pzez obiekt pąd pzechodzi pzez watość zeową, a indkcyjność zeegowego dwelementowego obwod zatępczego w chwili, gdy pąd pzechodzi pzez watość zeową. Podobnie pzy zatoowani ównoległego obwod zatępczego: ezytancję można wyznaczyć w chwili, gdy pochodna napięcia pzechodzi pzez watość zeową, a pojemność w chwili, gdy napięcie pzechodzi pzez watość zeową.

12 Chaakteytyki obiektów elektomagnetycznych twozą zamknięte pętle we wpółzędnych otzymanych pzez liniowe pzekztałcenia napięcia i pąd. Pzez planimetowanie odpowiednich pętli można wyznaczyć śednione watości paametów dwelementowych obwodów zatępczych ównież wtedy, gdy obiekt jet nieliniowy. Watości paametów śednionych ą zgodne z watościami odpowiednich paametów wyznaczonych dla zczególnych watości chwilowych liniowo pzetwozonego napięcia i pąd, gdy obiekt jet liniowy. W pzypadk obiektów nieliniowych wytępją oczywite óżnice. LIERAURA [] KOSOBUDZKI G., NAWROCKI Z., NOWAK J., Paamety mocy elektycznej, Pzegląd Elektotechniczny, n 6/7, [] BAJOREK J., KOSOBUDZKI G., NOWAK J., Zagadnienia pomia indkcyjności obiektów w wankach ich pacy, Pzegląd Elektotechniczny, n /7, [3] NOWAK J., BAJOREK J., KAŁWAK A., KOLASA J., KOSOBUDZKI G., Wyznaczanie indkcyjności w wankach ich pacy, Pace Nakowe Intytt Mazyn, Napędów i Pomiaów Elektycznych 59, Stdia i Mateiały 6,.8-95, 6. HE PROBLEMS OF DEERMINING HE PARAMEERS OF ELECROMAGNEIC OBJECS PARAMEERS UNDER OPERAING CONDIIONS Oppotnitie to eqivalent model paamete detemining of electomagnetic object ae analyed and peented. Paamete ae detemined on bai voltage and cent wavefom in cae linea, nonlinea o cloe loop chaacteitic.