Zagadnienie dwóch ciał oddziałujących siłą centralną Omówienie ruchu ciał oddziałujących siłą o wartości odwrotnie proporcjonalnej do kwadratu ich

Transkrypt

1 Zagadnienie dwóch ciał oddziałujących iłą centalną Oówienie uchu ciał oddziałujących iłą o watości odwotnie popocjonalnej do kwadatu ich odległości

2 F F Siła centalna F F F F Dla oddziaływania gawitacyjnego iła pzyciągająca G < G 6,67 N kg F F Dla oddziaływania elektotatycznego w póżni F q > q > F 4πε iła odpychająca dla ładunków q i q o jednakowy znaku q q F ε 8,85 Dla oddziaływania gawitacyjnego lub elektotatycznego -tała G F N C dla oddziaływania gawitacyjnego

3 Równania uchu i układ śodka ay w pobleie dwóch ciał F F Położenie śodka ay układu okeśla wekto śodek ay F F Z II zaady dynaiki Newtona zapianej w układzie inecjalny O wynikają ównania R O R d dt Pzypiezenie śodka ay jet ówne zeu czyli śodek ay ożna pzyjąć za początek układu inecjalnego. Wynika to z aktu iż iła wypadkowa działająca na układ ciał jet ówna zeu R R, R

4 Równanie uchu względnego w zagadnieniu dwóch ciał R R R Równanie uchu względnego -aa zedukowana F F F F śodek ay R O Odejując ównania otzyane tonai

5 Ruch w polu iły centalnej a zagadnienie dwóch ciał śodek ay F F Równanie uchu względnego R O -aa zedukowana Równanie powyżze opiuje uch ciała w układzie o początku w iejcu położenia ciała. Układ ten nie jet układe inecjalny, gdyż pzypiezenie ciała jet w ogólności óżne od zea. Równanie to a taką potać jak ównanie opiujące uch hipotetycznego ciała o aie zedukowanej w układzie inecjalny pod wpływe iły centalnej 3 Znajoość uchu ciała o aie zedukowanej pozwala na okeślenie zależności od czau wektoów oaz okeślających położenie obu ciał w układzie o początku w śodku ay

6 F Ruch w polu iły centalnej a zagadnienie dwóch ciał śodek ay F R R O R Dodając ównania otzyane tonai R R R W układzie o początku w śodku ay >> Gdy to R oaz Równanie opiuje uch ciała pod wpływe iły centalnej kieowanej w kieunku nieuchoego centu iły położonego w iejcu położenia ciała lub w kieunku pzeciwny

7 Łatwo ożna pokazać iż oent pędu w układzie inecjalny w któy śodek ay leży w punkcie okeślony pzez wekto jet też całką uchu. Moent ten dany jet wzoe Moent pędu w zagadnieniu dwóch ciał R R R p R u R cont Niezależność od czau oentu pędu wiąże ię z ty iż oent iły [ ] F F D Moent pędu w układzie o początku w śodku ay Moent ten jet tałą uchu gdyż Wnioek ten byłby łuzny ównież wtedy gdyby,, z y x cont R R R R

8 Pedkość polowa Moent pędu w zagadnieniu dwóch ciał Moent pędu jet zachowany cont II pawo Keplea da d d z cont dt dt dt cont Ruch obu ciał odbywa ię w płazczyźnie potopadłej do kieunku wektoa oentu pędu. W układzie biegunowy o początku w śodku ay z oią Oz potopadłą do płazczyzny w któej odbywa ię uch względny obu ciał jak też uch hipotetycznego ciała o aie zedukowanej oent pędu układu ciał wyaża ię wzoe e z Ze tałości oentu pędu wynika tałość pędkości polowej okeślającej zybkość z jaką wekto jak i wektoy, zakeślają pole w takcie uchu. Pawo to w odnieieniu do uchu planet noi nazwę II Pawa Keplea ρ d da

9 W układzie biegunowy w płazczyźnie uchu, F F e F negia w układzie śodka ay T negia kinetyczna negia potencjalna potencjał V V F V F e V e V gadv F, Z powyżzych elacji wynika iż VV i jego watość ożna okeślić z dokładnością do tałej z ównania V e e F e F e F Wpowadzenie potencjału nie było by ożliwe gdyby, Można pokazać iż F e V gadv gad V F F e V gadv V gad F d V

10 W układzie biegunowy w płazczyźnie uchu ay V V, d dv V V e V V e gdzie potencjał eektywny V V T V-potencjał. ozn z negia w układzie śodka ay negia ta jet tałą uchu e d dv dt d

11 Ve dt ± d V d dt ± V e t t e t dt ± d V e cont d dt d dt t t Zależność czaowa t t t d ± d V e cont Równanie tou

12 V V e V e Analiza potencjału eektywnego pozwala na okeślenie podtawowych właności uchu Ve Waunek na dozwolone watości V e Okeśla ganice obzaów, w któych oże odbywać ię uch W punktach czątka w ogólności nie poczywa gdyż w pzypadku gdy kładowa tanwealna pędkości

13 Pzykład: iła pzyciągająca Siła gawitacyjna lub elektotatyczna V e V Człon doinuje dla dużych Człon doinuje dla ałych Pośodku jaa potencjału > typu / V e

14 Ruch nieoganiczony pzy potencjale eektywny pokazany na yunku > in Ciało o aie zedukowanej oże oddalić ię do niekończoności W najpotzy pzypadku Ve in V e Pzychodzi z V Punkt zwotny e in 3 Dla iły -/ Idzie do Dla badziej złożonych ił ciało pzed oddalenie ię do niekończoności oże kilka azy okążyć centu iły ay hipebolę

15 Ruch oganiczony in < < ax Czątka pouza ię poiędzy dwoa okęgai ax in / V d Jedynie iło e Ruch poiędzy okęgai o dwóch poieniach Obita oże być otwata oaz k 3 Obita jet zaknięta gdy V e Dla iły -/ ay elipę π n π n,-liczby całkowite odpowiadają zawze obity zaknięte

16 Ruch po okęgu 3 utalony V e Tylko jeden poień Pozotaje na okęgu V e cont 3

17 V V e 3 Siła pzyciągająca typu -4 V 3 V e chaakteyzuje ię gabe Czątka o enegii oże oddalać ię do niekończoności lub pozotaje związana w zależności od początkowej watości V e V

18 Zagadnienie Keplea Okeślenie ównania obity cont V d d e ± cont d ± ± acco u du u u d d du u > ac b cu b c du cu bu a c 4 acco a b > c,, ± ± > acco acco u u cont Siła pzyciągająca V e V

19 ± acco co co Równanie tou dla iły pzyciągającej > Można pokazać iż w pzypadku gdy < iła odpychająca otzyujey ównanie tou w potaci co

20 Inny poób okeślenia ównania obity cont d d wzó Bineta } { d d 3 e e a e a Z ównania uchu względnego a d d d d dt d d d dt d d d d d d d d d d d d d

21 Zagadnienie Keplea Okeślenie ównania obity d { } d iła pzyciągająca > u nowa zienna u d u { u} u u d Aco Rozwiązanie ogólne ównania jednoodnego d u dφ u Rozwiązanie zczególne ównania pełnego d u u d Z zaady zachowania enegii A d d in d d cont u co > A

22 Zagadnienie Keplea co Rozwiązanie jet kzywa tożkowa P ε co ε > > hipebola ε paabola <ε < elipa ε okąg < < Centu iły w ogniku ε ε iośód P paaet P > iła pzyciągająca >

23 P ε co ozdziela obity kończone i niekończone inia ganiczna paabola ε hipebola P l Ruch po okęgu ε paabola elipa okąg V e cont P

24 Obita kończona <ε < -elipa P ε co b Końce oi dużej Długość oi dużej P a in ax ε Długość dużej głównej oi jet okeślona pzez całkowitą enegię in P ε ax Mała oś P ε ε b a ε P Centu iły początek układu wpółzędnych w ogniku apheliu a peiheliu ogniko

25 Gdy to długa półoś elipy pokywa ię z oia OX i odpowiada peiheliu a π apheliu y a b εa b P b y [ in ] ax x ax in P P Pε ax in a a aε ε ε ε d [,] [ εa,] ax b ożna okeślić jako ax P in ε co Centu iły początek układu biegunowego nie leży na pzecięciu oi yetii elipy lecz w ogniku Po pzeunięciu początku układu wpółzędnych o wekto o długości ównej ognikowej εa i uiezczeniu go na pzecięciu oi yetii elipy ównanie elipy w układzie x y katezjańki pzyjuje potać a b

26 To uchu planety o aie wokół gwiazdy o aie M dla pzypadku gdy M> w układzie inecjalny śodka ay M M M M śodek ay M M -wekto opiujący uch względny planety wokół gwiazdy

27 a b pole elipy A πab π 3 8 oke T A da dt π π 3 a III pawo Keplea W uchu dwóch planet o aach oaz wokół Słońca o aie M ay oaz M >>, M >> 3/ GM i pędkość polowa da dt i T i i π π a 3/ a 3/ i i i GM GM i, T T a a 3 3

28 Wyznaczenie zależności t w uchu po elipie d dt ± V e V e V d dt d dt aε in aε in ± d dt ε ± ± a a ε du a u ± a ε co u dt a ε co u u du dt ± a aε in. u ε co u dt ± a ε co u du t ± a ε co u du -iośód elipy -długość dużej półoi elipy Podtawienie d dt 3 a t ± a in d du du dt u ε in u cont ± u ε u cont a aε co aε in du u dt Po całkowaniu obutonny Ponieważ obiegowi pełneu elipy odpowiada ziana u o π to otzyujey iż oke obiegu jet ówny a T 3 π u

29 3 u -anoalia iośodowa y - - a a b x y a εa co a u x a εa u b O Wpółzędne punktu na elipie x co y in x a cou y bin u a εa ε P co ε co Pin ε co in u cou ε ε in u a ε co u

30 y y b a x b a Na yunku z układe katezjańki Obity niekończone x O x a b b y a εa y O x P ε P ε ównanie w układzie O ε> hipebola punkt zwotny peiheliu in P ε co > /ε oganicza > ε paabola P ε co in P

31 Ruch w pzypadku gdy P ε co Rozwiązanie > itnieje tylko w pzypadku gdy Rozwiązanie jet duga gałąź hipeboli y b a x b y x a ε P iła odpychająca < ε iośód P paaet ε > punkt zwotny co > / ε oganicza > y -, -,5,,5, x P in ε a b P ε P ε

32 Ruch pojazdu koicznego wokół Ziei Zakładay iż w chwili pzewania pacy ilnika pojazd koiczny o aie znajdował ię w odległości o od śodka Ziei i iał pędkość o watości o. twozącą kąt z wektoe wodzący pojazdu. Jaka ui być pędkość pojazdu aby pojazd zaczął pouzać ię po elipie? Okeślić paaety elipy oaz wyznaczyć watość pędkości pojazdu i kąt jaki wekto pędkości twozy z wektoe wodzący w czaie jego uchu w unkcji odległości pojazdu od śodka Ziei. Znana jet Maa Ziei M i jej opoień R, jak też watość tałej gawitacji G y b x a

33 Ruch pojazdu koicznego y b x a Zakładay iż aa Ziei jet znacznie więkza od ay pojazdu czyli aa zedukowana układu pojazd-zieia jet ówna aie pojazdu.w takcie uchu pojazdu Zieia pozotaje w poczynku a pojazd pouza ię pod wpływe iły centalnej kieowanej w kieunku śodka Ziei. Całkowita enegia pojazdu i oent pędu ą zachowane. Całkowita enegia układu pojazd Zieia jet ówna GM zaś watość oent pędu pojazdu względe śodka Ziei in GM GM Pojazd będzie pouzał ię po elipie wtedy gdy < < Można pawdzić iż pełniony jet waunek GM M in G Gdy oaz to i elipa edukuje ię do okęgu G M π GM

34 negie któa jet wielkością tałą ożna okeślić w dowolny punkcie na toze Np. w peygeu ay p p p p p p p GM in 4 in in in in in in in in in in in GM GM GM GM GM GM M G GM M G GM M G GM GM P in in in in M G M G M G GM p p Nieówność pzechodzi w ówność gdy oaz in π gaw F do F GM GM GM GM / in π

35 Paaet elipy jet ówny GM GM P in in in M G GM ε Miośód elipy jet ówny Długości dużej i ałej półoi elipy ą ówne odpowiednio GM GM a o in GM b Zależność watości pędkości pojazdu w unkcji odległości od śodka Ziei ożna okeślić z zaady zachowania enegii całkowitej GM GM GM GM

36 Zależność kąta jaki wekto pędkości twozy z wektoe wodzący pojazdu ożna okeślić z elacji tg y x pzy czy in in V e ± GM V e ± V ± ± in GM Znak odpowiada ytuacji gdy odległość pojazdu od Ziei ośnie, zaś znak gdy odległość ta aleje

37 Ziana obity uchu pojazdu koicznego Jak należy zienić enegie kinetyczną pojazdu w peygeu punkcie położony najbliżej Ziei, aby jego obita tała ię obitą lądowania W peygeu pojazd a tylko kładową adialną pędkości ówną in pe, pocz in in in Na obicie lądowania pojazd ui pouzać ię po elipie tykającej ię z powiezchnią Ziei o długości dużej półoi in R a konc GM a jego enegia jet ówna konc a R in - odległość od śodka Ziei do peygeu a jego enegia kinetyczna pzed zianą obity jet ówna P ε kin, pocz pe in in in y in R-poień Ziei pe, pocz x

38 Saa enegia kinetyczna w peygeu jet ówna GM kin, konc konc pot, pe in R GM Niezbędna ziana enegii w peyheliu w celu ziany obity jet więc ówna kin, konc kin, pocz GM in in in R in gdzie in kin, pocz in in in P ε P in GM GM in ε G M

39 Wekto Rungego-entza całką uchu odbywającego ię pod wpływe iły dowód ćwiczenia M M cont / cont Długość wektoa Rungego-entza jet ówna M całka uchu Śodek ay M M Kieunek wektoa M jet ównoległy do dużej półoi elipy > ε

40 M M A B C C A M co M Znajoość wektoa Rungego-entza pozwala na okeślenie w inny poób ównania tou ε P ównanie obity eliptycznej dla ogólnie ównanie kzywej tożkowej B > x M M co < ε < M co ε co P ε co

41 Kztałt tou dla pzypadku gdy V β > lub β < β >, < b X Y β co in β Y,,5,,5, -,5 -, -,5 b β.9 β. -, -, -,5 -, -,5,,5,,5, Można zauważyć iż dla β to uchu nie jet kzywą zakniętą ax W zczególności gdy β > ay / d > π V zaś gdy β < ay in X / V d < π ax in e e

42 >, < V b β β Y,,5,,5, -,5 b β.9 β. X Y co in -, -,5 -, -, -,5 -, -,5,,5,,5, Można zaobewować wytępowanie akyalnej i inialnej odległości poiędzy dwoa ciałai X

43 >, < V b β β Y 3,,5,,5, β b.45 b.5 b. b3. X Y co in,5, -,5 -, -, -,5,,5,,5,,5 3, Można zauważyć iż dla β to uchu jet elipą X

44 Pzykładowe tajektoie ciał oddziałujących iła centalną o potencjale Kztałt tou zależy od paaetu V a To z yunku a odpowiada ile odpychającej, pozotałe ile pzyciągającej Ryunek nie pokazuje wzytkich ożliwych toów uchu ciała, a tylko pzykładowe