Witold Orzeszko Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu

Transkrypt

1 Wiold Orzeszo Uniwersye Miołaja Kopernia w Toruniu Wpływ doboru eod reonsrucji przesrzeni fazowej na efeywność prognozowania chaoycznych szeregów czasowych 1. Reonsrucja przesrzeni fazowej Kluczową rolę w eorii chaosu deerinisycznego pełni pojęcie syseu dynaicznego. Foralnie, przez syse dynaiczny rozuie się parę S, f, d gdzie S R jes przesrzenią sanów, zaś f : S S odwzorowanie opisujący ich ewolucję w czasie (por. Zawadzi (1996)). Analizując szereg czasowy przy użyciu eodologii eorii chaosu, przyjuje się, że zosał on wygenerowany przez pewien syse dynaiczny S, f. Pierwszy eape badania jes reonsrucja przesrzeni fazowej S. Jej cele jes wydobycie z szeregu pewnych inforacji o nieobserwowalnych sanach generującego go syseu oraz ich dynaice. Najpopularniejszą eodą reonsrucji jes eoda opóźnień, w órej buduje się weory opóźnień (zw. -hisorie) posaci xˆ = x, x,..., x ). Jej podsawą eoreyczną jes wierdzenie ( 1 lag ( 1) lag Taensa, óre głosi, że dla d 1 przesrzeń ( S ˆ, F), gdzie Ŝ jes zbiore -hisorii, zaś F odwzorowanie opisujący ich dynaię, zn. F( xˆ ) xˆ 1, oże zosać wyorzysana do zbadania własności nieznanego syseu ( S, f ). W szczególności ożliwe jes wyznaczenie wyiaru araora i wyładniów Lapunowa oraz prognozowanie (por. Casagli i in. (1991)). Meoda opóźnień wyaga przyjęcia a priori warości zanurzenia oraz opóźnienia czasowego lag. Dobór ych paraerów jes szczególnie isony w przypadu róich szeregów, w órych obecny jes szu losowy (por. Bas (1998), Casagli i in. (1991), Zeng i in. (1991)). Najczęściej sosowaną procedurą doboru wyiaru zanurzenia jes eoda Fałszywych Najbliższych Sąsiadów ( False Neares Neighbors - FNN) (Kennel i in. (199)). Meoda polega na obliczaniu ilości zw. fałszywych sąsiadów w zależności od paraeru, według nasępujących eapów: -) dla ażdych -hisorii ˆ i ˆ wyznacza się x 1 -) oblicza się współczynni x ˆ, (1) x1 xˆ 1 1 d xˆ 1 xˆ xˆ 1 xˆ. ()

2 Jeśli d przeracza pewien przyjęy pozio, wówczas uznaje się, że ˆ jes fałszywy sąsiade weora xˆ 1. Za paraer należy przyjąć warość, dla órej inializowana jes ilość fałszywych sąsiadów. Częso sosowany ryeriu doboru lag jes eoda Muual Inforaion (MI), w órej syse rozważany jes w aegorii producji inforacji. Isoą eody jes zierzenie, ile biów inforacji orzyywanej w sanie s( lag) oże być wyniie predycji oparej na inforacji zawarej w sanie s () (por. Łażewsi, Zaor ()). W y celu Fraser i Swinney (1986) proponują przyjęcie poziou opóźnienia czasowego, dla órego funcja I(lag) zwana funcją uual inforaion przyjuje pierwsze iniu. x. Loalna aprosyacja liniowa Chaoyczne szeregi czasowe różnią się od prawdziwie losowych ożliwością ich bardzo doładnego prognozowania, w rói horyzoncie czasowy. Z wierdzenia Taensa wynia, że dla d 1 isnieje funcja g T : R R, dla órej: x T g xˆ ) g ( x, x,..., x ). (3) T ( T lag ( 1) lag Oznacza o, że ając szereg długości N ożna wyznaczyć prognozę: x g xˆ ) g ( x, x,..., x ), (4) N T T ( N T N N lag N ( 1) lag gdzie T jes horyzone prognozy. Funcja g T oże ieć sopliowany nieliniowy wzór analiyczny, jedna zasąpienie jej pewną aprosyaną g ~ T oreślonego ypu, oże dawać zadawalające wynii prognoz. Meoda loalnej aprosyacji liniowej LA polega na przyjęciu za g ~ T -wyiarowej funcji wieloianowej sopnia pierwszego: g~ T ( x1, x,..., x) 1x1 x... x. (5) Esyacja paraerów poprzedzona jes wybore weorów i opóźnień, najbliższych (w sensie usalonej eryi) weorowi xˆ N. W oparciu o wyznaczonych sąsiadów, przy użyciu eody najniejszych wadraów, doonuje się esyacji współczynniów g ~ T. Przyjowana a priori liczba oże być niejsza od liczby wszysich dosępnych -hisorii, sąd nazwa aprosyacja loalna. Orzyane prognozy zależą od liczby najbliższych sąsiadów, wyiaru zanurzenia i opóźnienia czasowego lag. 3. Wynii prognoz Prognozowaniu poddano szeregi chaoyczne wygenerowane przez:

3 1. Odwzorowanie logisyczne: x 1 4 x (1 x ), dla x =,7. (6). Odwzorowanie Henona (szereg pierwszych współrzędnych): ( x 1, y 1) (1 1,4 x y ;,3x ), dla x, y =,9;,9. (7) 3. Syse Lorenza: dx 16 ( y x) d dy x z 45,9 x y (8) d dz x y 4 z d Wygenerowano szereg posaci x x(,1), dla x ( ), y(), z() 1,1,1. 4. Model Kaldora: Prognozowaniu poddano szereg Y wygenerowany z odelu Kaldora: Y 1 Y ( I ( Y, K ) S ( Y )) (9) K K I ( Y, K ) K 1 po przyjęciu założeń, że I c 1 dy S ( Y ) s Y, zaś funcja inwesycji jes posaci: e Y f a K g. (1) W badaniu przyjęo paraery prowadzące do ewolucji chaoycznej:, s=,, 5, a=5, c=, d=,1,, 1, e=,5, f=8, g=4,5 oraz warości począowe Y 65, K 65 (por. Lorenz (1989)). Analizowane szeregi sładające się z 19 obserwacji podzielono na dwie części: próbę A 1715 pierwszych obserwacji, próbę B osanich obserwacji. Dla ażdej obserwacji x i z próbi B (i=1716, 1717,,19) wyznaczono prognozę dla horyzonu czasowego T=1: ~ ~ x g ( xˆ ) g ~ ( x, x,..., x ). (11) i 1 i 1 1 i 1 i 1 lag i 1 ( 1) lag Próbę A wyorzysano do obliczenia paraerów oraz lag, oraz do oszacowania współczynniów wieloianu g ~ 1. W badaniu rozważono olejne = +,, 1714 ( 1) lag. Do oceny doładności prognozy wyznaczono dla ażdego bezwzględny błąd predycji ex-pos: 19 1 ~ 185 x i x i (1) i 1716 oraz względny ' 1% (por. Farer, Sidorowich (1987)), gdzie x jes odchylenie sandardowy szeregu z próbi A. x

4 Zasosowano dwie procedury doboru paraerów zreonsruowanej przesrzeni sanów: FNN-MI i : 1. FNN-MI : W oparciu o próbę A, przy zasosowaniu eody FNN wyznaczono warość wyiaru zanurzenia, zaś przy użyciu eody MI opóźnienie czasowe lag.. : Próbę A podzielono na dwie części: A 1 =165 pierwszych obserwacji i A =65 osanich obserwacji. Dla ażdej obserwacji z A doonano predycji eodą LA, wyorzysując A 1 do oszacowania wieloianu aprosyującego. Prognozy wyznaczono dla olejnych lag=1,, 5, =1,,,15, =+,, 1649 ( 1) lag. Spośród rozważonych paraerów wybrano aie warości i lag, dla órych orzyana prognoza była najdoładniejsza. Najniejsze błędy prognoz wraz z wyznaczonyi paraerai przesrzeni fazowej zosały podsuowane w abelach 1-4. Wyresy 1-4 przedsawiają zależność bezwzględnego błędu prognozy od warości paraeru. Tabela 1. Najniejsze błędy prognoz dla odwzorowania logisycznego Meoda ' Paraery Opyalne LA % =, lag=1 =6 LA FNN-MI 1-5,% =1, lag=7 =4 ARMA,33 96,3% Biały szu Tabela. Najniejsze błędy prognoz dla szeregu Henona Meoda ' Paraery Opyalne LA 1-4,1% =4, lag=1 =7 LA FNN-MI 9 5,5% =1, lag=18 =16 ARMA,63 85,59% ARMA(,6) Tabela 3. Najniejsze błędy prognoz dla syseu Lorenza Meoda ' Paraery Opyalne LA,4,3% =14, lag=1 =34 LA FNN-MI,383 3,% =15, lag=1 =17 ARMA,8,6% ARMA(5,4) Tabela 4. Najniejsze błędy prognoz dla odelu Kaldora Meoda ' Paraery Opyalne LA 1,41% =, lag=1 =6 LA FNN-MI 1,86 7,13% =3, lag=3 =13 ARMA 17,8 66,45% ARMA(,3)

5 Rys. 1. Błędy prognoz dla odwzorowania logisycznego FNN-MI,4,35,3,5, 5, ,4,35,3,5, 5, Rys.. Błędy prognoz dla szeregu Henona FNN-MI,8,7,6,5,4,3, ,7,6,5,4,3, Rys. 3. Błędy prognoz dla szeregu Lorenza FNN-MI ,9,8,7,6,5,4,3,,

6 Rys. 4. Błędy prognoz dla odelu Kaldora FNN-MI Na wyresach 5-8 przedsawiono różnice i ilorazy błędów prognoz orzyanych przy zasosowaniu procedur FNN-MI i dla olejnych warości. Dodania różnica oznacza wyższość procedury. Z wyresów ilorazów błędów ożna odczyać, ile razy błąd orzyany przy zasosowaniu procedury jes niejszy od błędu FNN-MI. Ponieważ z punu widzenia prognozowania szeregów chaoycznych isone są niewielie warości (por. Casagli (199)), dlaego wyresy ilorazów błędów zosały ograniczone do 15. Rys. 5. Różnice oraz ilorazy błędów prognoz dla odwzorowania logisycznego różnice błędów prognoz, -, ,4 -,6 -, iloraz błędów prognoz Rys. 6. Różnice oraz ilorazy błędów prognoz dla szeregu Henona różnice błędów prognoz,5, 5,5 -, , iloraz błędów prognoz

7 Rys. 7. Różnice oraz ilorazy błędów prognoz dla syseu Lorenza różnice błędów prognoz iloraz błędów prognoz Rys. 8. Różnice oraz ilorazy błędów prognoz dla odelu Kaldora różnice błędów prognoz iloraz błędów prognoz W abeli 5 zaprezenowano warości, dla órych przeważa procedura, a aże inialne i asyalne ilorazy błędów prognoz dla 15. Tabela 5. Porównanie procedur i FNN-MI Szereg Przewaga procedury Zares ilorazów błędów prognoz Odwzorowanie logisyczne <61 od 1,9 do 89,3 Szereg Henona <45 od 1,43 do 59,65 Syse Lorenza dowolne od 83,1 do 953,66 Model Kaldora <141 od 3,36 do 79,59 4. Wniosi Z przeprowadzonych badań wynia, że chaoyczne szeregi czasowe ogą być prognozowane w rói horyzoncie czasowy z bardzo dużą doładnością. W zasosowaniu do analizowanych szeregów loalna aprosyacja liniowa dała prognozy wyraźnie lepsze niż odele ARMA. Wyjąie był jedynie szereg Lorenza, gdzie wyższość eody zależała od przyjęej procedury doboru paraerów zreonsruowanej przesrzeni sanów.

8 Zauważalny jes wpływ zasosowanej eody doboru paraerów na doładność prognozowania. Dla ażdego szeregu procedura FNN-MI prowadziła do prognoz dużo gorszych niż procedura. Badania poazują, że błędy predycji isonie zależą również od rzeciego paraeru liczby najbliższych sąsiadów wyorzysanych do esyacji współczynniów wieloianu aprosyującego. W przypadu prognozowania chaoycznych szeregów czasowych eodą LA, najniejsze błędy orzyuje się dla niewielich warości. Z przeprowadzonych prognoz wynia, że w aich syuacjach wyraźnie zauważalna jes wyższość procedury, a zae eody FNN i MI wyznaczają paraery daleie od opyalnych. Lieraura Bas M. (1998), Esseys on exchange raes: deerinisic chaos and echnical analysis, aszynopis. Casagli M. (1991), Euban S., Farer J.D., Gibson J., Sae space reconsrucion in he presence of noise, Physica D, 51,. Casdagli M. (199), Chaos and Deerinisic versus Sochasic Non-linear Modelling, Journal of he Royal Saisical Sociey B, 54, no.. Farer J.D. (1987), Sidorowich J.J., Predicing Chaoic Tie Series, Physical Review Leers, 59. Fraser A.M., Swinney H.L. (1986), Independen Coordinaes for Srange Aracors fro Muual Inforaion, Physical Review A, 33. Kennel M.B., Brown R., Abarbanel H.D.I. (199), Deerining ebedding diension for phase-space reconsrucion using a geoerical consrucion, Physical Review A, vol.45, no. 6. Lorenz H-W. (1989), Nonlinear Dynaical Econoics and Chaoic Moion, Springer Verlag, Berlin Heidelberg. Łażewsi M., Zaor K. (), Analiza chaosu deerinisycznego w szeregach czasowych cen acji pozbawionych rendu a prognozowanie rynów finansowych, w: Ryne apiałowy. Sueczne inwesowanie. red. W. Tarczyńsi, Szczecin. Taens F. (1981), Deecing Srange Aracors in Turbulence, (D. Rand and L.Young, Eds), w: Dynaical Syses and Turbulence, Springer-Verlag. Zawadzi H. (1996), Chaoyczne sysey dynaiczne, Wydawnicwo Aadeii Eonoicznej i. Karola Adaieciego, Kaowice. Zeng X., Piele R.A., Eyhol R. (199), Exracing Lyapunov exponens fro shor ie series of low precision, Modern Physics Leers B, 6.