Szeregi Fouriera (6 rozwiązanych zadań +dodatek)

Transkrypt

1 PWR I Załad eorii Obwodów Szeregi ouriera (6 rozwiązanych zadań +dodae) Opracował Dr Czesław Michali Zad Znaleźć ores nasępujących sygnałów: a) y 3cos(ω ) + 5cos(7ω ) + cos(5ω ), b) y cos(ω ) + 5cos(ω ) Zad Znaleźć wyładniczy szereg ouriera sygnałów poazanych na rysunu a, b, c, d u() u() - -/ / - -3/ -/ -/ / / 3/ a) - u() funcja sin(x) b) u() - funcja sin(x) c) - -/ / d) - - Zad 3 Zapisać w posaci wyładniczego szeregu ouriera nasępujący przebieg oresowy f ( ) sin( ) cos(3 ) Zad Dany jes nasępujący wyładniczy szereg ouriera -j -j j j f ( ) ( j)e + ( + j)e + ( j)e + ( + j)e Wyznaczyć warość sueczną ego sygnału Zad 5 Wyznaczyć zależności analiyczne pozwalające znaleźć przebieg napięcia usalonego na induorze w uładzie zasępczy poazany na rys a pobudzany SEM e() o przebiegu rójąny (rys b) e() R Ω LH E V, s Rys a u() -/ -/ E e() -E Rys b / / Zad 6 Oblicz oc czynną wydzieloną w dwójniu N przez 5-ą haroniczną sygnału u() przyłożonego do zacisów ego dwójnia Sygnał u() a posać podaną na rysunu poniżej () R Ω N L H u() π [s] -5π 5π π

2 PWR I Załad eorii Obwodów Rozwiązania zadań d Załóży, że w obwodzie działa n oresowych pobudzeń o oresach olejno,,, n, przy czy dla ażdego i, j,, n sosune i / j jes liczbą wyierną Oznacza o, że isnieje aa liczba rzeczywisa R i aie liczby nauralne q i N, że q i i ( i,, n) Jeśli przez oznaczyy najniejszą z liczb spełniających powyższe równości, o w ogólny przypadu wszysie prądy i napięcia w uładzie będą oresowe o oresie równy (ores podsawowy) Jeśli w obwodzie działa n oresowych pobudzeń o oresach olejno,,, n, przy czy isnieje co najniej para liczb i, j aa, że sosune i / j jes liczbą niewyierną W y przypadu prądy i napięcia nie będą oresowe π π, π, π π, a) 3 ω ω 7ω,5ω 5ω Należy eraz znaleźć aie q i N, aby q, q, q 3 3 π π π π π π Zae q, q, q3 5 ω ω 7ω 7ω 5ω 5ω π π a więc, czyli ω ω Inaczej ożna swierdzić, że ω jes najwięszy ω wspólny podzielniie liczb ω, 7 ω, ω W prograie DERIVE jes o funcja GCD Greaes Coon Divisor, wyonanie rozazu GCD(,7,,5),5 π b), ω ω ω d a) Jednorone różniczowanie (dwa ciągi del Derica) daje jeśli u( ), o ( ( ) ) ' j ω u ( ) jω e Zae j ( ),, π Wsępują ylo nieparzyse haroniczne ' b) Należy dwuronie różniczować Jeśli u( ), o u ( ) jω, druga pochodna jω jω 8 j ω 6 6 j ω j e e j π sin u ''( ) ω e e j π sin Sąd j, Wysępują ylo nieparzyse haroniczne π c) Należy dwuronie różniczować Wyni jes nasępujący: ( + ( ) ),, j π ( ) Wysępują parzyse haroniczne oraz pierwsza haroniczna d) Należy dwuronie różniczować Wyni jes nasępujący: π ( )

3 PWR I Załad eorii Obwodów d 3 Najpierw należy znaleźć ores funcji f() (jeśli nie isnieje, o również nie isnieje szereg ouriera) GCD(,3) Zae ω Sosując znany wzór Eulera, ożna zapisać j j j3 j3 e e e + e j j3 j j3 f ( ) je e je e j Zae j, 3, j, 3 d Zgodnie z p3 podpune (dodae) s s Zae j + + j + + j + + j a więc 8 3 d 5 uncja ransiancji ego uładu wynosi (dzielni napięcia) jωl jω H ( jω) R + jωl + jω Rozładając nieparzysą funcję e() w szereg wyładniczy ouriera ze współczynniai E (np poprzez dwurone różniczowanie e(), parz d b) orzyuje się: π E sin E j π oraz ω o π Jeżeli u(), wówczas H(jω o ) E wyznacza się ze wzoru: π π E sin sin jω L jπ j j π R + jω L π + jπ π π π 8π sin 8sin 6sin j π + jπ π + ( ) π ( π + ) Dla, 3 i 5 orzyay począowe współczynnii wyładniczego szeregu ouriera napięcia na wejściu j π j π j π 3 5 E, e, E, 5 e, E, 6 e, Dla, 3 i 5 orzyay począowe współczynnii wyładniczego szeregu ouriera napięcia na wyjściu j, j, j, e,,5 e,,6e j9rad j63rad j5389rad 3 5 Na rysunu poniżej poazano począowe prążi wida apliudowego i fazowego napięcia wejściowego dla Począowe prążi wida apliudowego porywają się z prążai wida apliudowego na wejściu, naoias prążowe wido fazowe jes podobne ciąg, 9,, 63,,5389 rad { } s 3

4 PWR I Załad eorii Obwodów V 3 5 V 5 6 V 3 5 ϕ 3 π/ 3 5 ϕ - π/ ϕ 5 - π/ d 6 Rozładając napięcie u() w zespolony szereg ouriera orzyay: 5 jω u( ) j e, 5π, przy czy ω Współczynni 5 j by wyznaczyć, 5 oc czynną wydzieloną w dwójniu N przez 5-ą haroniczną sygnału, należy do wejścia dwójnia N podłączyć źródło napięcia o warości suecznej równej warości suecznej 5-ej haronicznej, zn E5 5 j Wówczas oc czynną wydzieloną w dwójniu N ożna wyznaczyć z zależności * * E 5 E5 P5 h Re{ E5 I 5} Re E5 Re Re W R + j5ω L R j5ω L j DODEK Wyładniczy szereg ouriera Sygnał f() nazywa się oresowy (periodyczny), jeżeli isnieje aa najniejsza liczba > (zwana orese), że dla dowolnego : f() f( + ),, ±, ±, () Sygnał oresowy f(), spełniający waruni Dirichlea, czyli: - ający w oresie sończoną liczbę punów nieciągłości pierwszego rodzaju, - ający sończoną liczbę esreów (przedziałai onooniczny) oże być zapisany w posaci wyładniczego szeregu ouriera : gdzie przy czy j ( ) e ω f, () + jωo jϕ ( ) e d e (3) f + o f ( )d jes sładową sałą (warością średnią), a ω o π/ pulsacją podsawową, o zaś oże być wybrane dowolnie (warość całi nie zależy od wyboru )

5 PWR I Załad eorii Obwodów j Bazą rozwinięcia w wyładniczy szereg jes zbiór funcji orogonalnych ypu e ω, dla, ±, ±, oraz dowolnego przedziału o długości równej oresowi W srócie operację rozwinięcia () ożna zapisać f ( ) Szereg () jes zbieżny prawie wszędzie do f(), zn dla ażdego, z wyjąie punów nieciągłości pierwszego rodzaju sygnału f() W ych punach nieciągłości szereg jes zbieżny do średniej: [ f ( i ) + f ( i+ )] Rozwinięcie () ożna zapisać w równoważnej posaci: ωo { } () f ( ) + cos( + arg ) n Do powyższego wzoru ożna dojść orzysając z zależności: e + e cos( ω + ϕ ) (5) jω jω - Zależność () a prosą inerpreację fizyczną Wsazuje ona na o, że funcję oresową o oresie ożna raować jao suę sładowej sałej i niesończenie wielu przebiegów sinusoidalnych o pulsacjach będących wieloronościai pulsacji podsawowej ω (haronicznych) Współczynnii, (,, 3,) są apliudai ych sładowych, współczynnii ϕ ich fazai począowyi Podsawowe właściwości wyładniczego szeregu ouriera Niech funcje f() i g() ają ę sa ores i niech f ( ), g( ) G Zbiory współczynniów szeregów ouriera ają nasępujące właściwości: liniowość: α f ( ) + β g( ) α + βg, jω przesunięcie w dziedzinie czasu: f ( ) e, 3 różniczowanie w dziedzinie czasu: { ( )} ( ω ) Definicje: * n d n f j n, d, gdzie () * oznacza operację sprzężenia; z ej własności wynia, że - dysrene wido apliudowe jes parzysą funcją, ϕ ϕ - dysrene wido fazowe jes nieparzysą funcją, 5 Współczynnii oresowego ciągu del Diraca: δ ( ) δ ( n ) są równe Zbiór współczynniów { } nazywany jes dysreny wide n częsoliwościowy sygnału oresowego f() nazywany jes dysreny (prążowy) wide Zbiór współczynniów { } apliudowy sygnału oresowego f() 5

6 PWR I Załad eorii Obwodów ( { } ) Re{ } arcg I{ } πsign I 3 Zbiór współczynniów ϕ arg nazywany jes dysreny wide fazowy sygnału oresowego f() 3 Warość średnia i sueczna funcji oresowej wierdzenie Parsevala Dla sygnałów oresowych ożna podać nasępujące swierdzenia: Warość średnia (sładowa sała) sygnału oresowego f() jes równa: + sr f ( )d Warość średnia suy sygnałów oresowych o y say oresie jes równa suie warości średnich ych sygnałów 3 wierdzenie Parsevala dla szeregów ouriera o + * f ( ) g( )d G Z wierdzenia Parsevala wynia, że n o + f ( )d n Warość sueczna sygnału oresowego f() jes równa: + ( ), s s f d +, s jes warością sueczną sygnału,, s jes warością sueczną ej haronicznej sygnału Reacja uładu na pobudzenie oresowe Reację uładu na pobudzenie oresowe ożna wyznaczyć: gdzie ( ) jω jω n ω, (6) r( ) R e H (j ) P e j ( ) e ω P p, H jω - warość ransiancji uładu sabilnego w sensie BIBO dla ω ω Moc czynna wydzielona w rezysancji Ω przy pobudzeniu prąde lub napięcie oresowy jes równa gdzie u( ) lub i( ) + ( )d, s P f +, 6

7 PWR I Załad eorii Obwodów Przyłady Przyład Oblicz wyładniczy szereg ouriera sygnału oresowego f() podanego poniżej na rysunu: f() π Pulsacja podsawowa jes równaω Współczynnii n wyładniczego szeregu ouriera dla przyładu wyznaczyy bezpośrednio z definicji (całowanie przez części): e d e d + j e j jω jω jω ( ) ω ( ( ω ) ) j j, π π gdy (warość średnia) Najszybciej zadanie o rozwiążey wyorzysując właściwości szeregu ouriera Załóży, że funcja oresowa poazana na rysunu a f ( ) Różniczując funcję f() orzyujey f ' ( ) δ ( ) g( ) δ ( ) (g() - warość sała, (funcja g() a współczynnii G dla, gdyż + dla jω o jωo G g( ) e d e d dla ) Sosując zależność 5 (podpun dodae) dla ożna zapisać: ' f ( ) jω n,sąd n j π Przyład Wyznacz wyładniczy szereg ouriera sygnału oresowego u() podanego poniżej na rysunu: u() funcja sin(x) - - 7

8 PWR I Załad eorii Obwodów π Pulsacja podsawowa jes równa ω Ores funcji u() w przedziale od do ożna zapisać analiycznie: π ω u ( ) sin ( ) ( ) sin ( ) ( ) Obliczy pierwszą i drugą pochodną u (): ' ω ω ω u ( ) cos ( ) ( ) sin ( ) ( ) + δ δ ω ω cos ( ) ( ) '' ω ω ω ω u ( ) sin ( ) ( ) + cos δ ( ) δ ( ) ω ω ω ω sin ( ) ( ) + + ω ω ω u ( ) + δ ( ) + δ ( ) δ δ ( ) ( ) Zae druga pochodna funcji u() wynosi (dla jednego oresu wysępują dwie dely Diraca - ω ω δ ( ) + δ ( ), óre jeśli oresowo powieliy uworzą jeden ciąg del Diraca ω δ ( ) ) '' ω u ( ) u( ) + ωδ ( ), '' ω ω jeśli u( ), więc u ( ) ( jω ) + Z ego wyrażenia wyznaczay ω ω π ( ω ) jω Osaecznie : u( ) e π Powyższe zależności saną się jaśniejsze, jeśli posłużyy się inerpreacją graficzną podaną poniżej 8

9 PWR I Załad eorii Obwodów f ( ) π ω fragen sin sin π, ω / f '( ) jω ω ω ω fragen co s ω ω ω f ''( ) ω + ciąg ω δ ( ) ω ω ω fragen sin ZPEŁNIENI Do saodzielnych obliczeń, poniżej podano funcje oresowe i ich współczynnii Parabola f() fragen ( ) π 9

10 PWR I Załad eorii Obwodów Parabola fragen -( -) f() ( ) π 3 uncja rójąna f() ( ) π uncja rójąna f() ( ) ( ) + j π π uncja schodowa f() 3 ( ( ) ) ( + ) j + j π

11 PWR I Załad eorii Obwodów 5 uncja sinus- f() π 3cos, ± 3, π ( 9 ), ± 3 6 uncja sinus-b f() π sin j, ±, π ( ) j, ±