Zadanie 1.1 Sprawdzić, czy następujące wyrażenia są tautologiami: (1.5 pkt): a)p [( q q) (r p)], (1.5 pkt): b)[(p q)] [ p q].

Transkrypt

1 RACHUNEK RÓŻNICZKOY I CAŁKOY I KOLOKIUM Zadanie 1.1 Sprawdzić, czy następujące wyrażenia są tautologiami: (1.5 pkt): a)p [( q q) (r p)], (1.5 pkt): b)[(p q)] [ p q]. Symbol p oznacza zaprzeczenie zdaniap. Jeśli zdanie nie jest tautologią, to podać dla jakich wartości logicznych zdańp,q lubrjest ono zdaniem nieprawdziwym. Zadanie 1.2 (3 pkt) Pokazać, korzystając z zasady indukcji matematycznej, że dlan 1spełniona jest nierówność ( ) n n, n!> 3 wiedząc, że liczbae<3. Zadanie 1.3 yznaczyć granice ciągówa n ib n dlan, gdy (1.5 pkt): a)a n = n3 2n n2 6n+1, (1.5 pkt): b)b n=( 9n+1 3 n+2) n. Zadanie 1.4 yznaczyć granice funkcji: e 3x e 2x (1.5 pkt): a)lim, (1.5 pkt): b)lim x 0 ln(1+x) x 0 10 sin(11x) 11 sin(10x). sinx Można skorzystać ze znanych granic funkcji podanych na wykładzie lub z reguły de L Hospitala. Zadanie 1.5 yznaczyć stałeaibtak, aby funkcje xsin ( ) 1 x, dlax 0 4e x, dlax<0 (1.5 pkt): a)f(x)= 3, (1.5 pkt): b)g(x)= a, dlax=0 2b+x, dlax 0, były ciągłe na całej osi rzeczywistej.

2 RACHUNEK RÓŻNICZKOY I CAŁKOY II KOLOKIUM Zadanie 2.1 yznaczyć dziedziny i pochodne funkcjif(x): ( 1 (1 pkt): a)f(x)=xsin, (1 pkt): b)f(x)= x) 1 x2 1. Zadanie 2.2 (5 pkt) Zbadać przebieg zmienności funkcjif(x)=x 2 lnx. Plan: Zbadanie przebiegu zmienności funkcji oznacza: (a) podanie jej dziedziny; (b) właściwości szczególnych (parzystość/nieparzystość lub okresowość); (c) wyznaczenie punktów przecięcia wykresu z osiami; (d) wyznaczenie granic na krańcach przedziałów określoności; (e) określenie asymptot (o ile istnieją); (f) wyznaczenie pochodnej, ekstremów lokalnych i przedziałów monotoniczności; (g) wyznaczenie drugiej pochodnej, punktów przegięcia i przedziałów wklęsłości lub wypukłości. szystkie te informacje należy zgromadzić w tabelce przebiegu zmienności funkcji, a następnie naszkicować starannie wykres. skazówka: Skorzystać z następujących przybliżonych wartości:1/ e 0.607,1/ e , 1/(2e) 0.184, 3/(2e 3 ) Zadanie 2.3 (3 pkt) Dla funkcjif(x)=sin(π+x x 3 ) wyznaczyć rozwinięcie Taylora wokół zera z dokładnością do wyrazówx 3, tzn. podać współczynnikia 0,a 1,a 2 ia 3 takie, że f(x)=a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3 + wyrazy z wyższymi potęgamix. Można skorzystać z odpowiednich rozwinięć funkcjisinx icosx. Zadanie 2.4 (3 pkt) Rozbić na ułamki proste funkcję f(x)= i wyznaczyć dla niej funkcję pierwotną. 4x (1+x 2 )(1 x 2 ), Zadanie 2.5 (2 pkt) Obliczyć całkę nieoznaczoną dx [ cos ( x+ π 12)] 2.

3 RACHUNEK RÓŻNICZKOY I CAŁKOY III KOLOKIUM Zadanie 3.1 Obliczyć całkę oznaczoną, π 1 cos(4x) dx. 0 2 Uwaga: całka oznaczona z funkcji nieujemnej i różnej od 0 jest liczbą dodatnią. Zadanie 3.2 Obliczyć całkę niewłaściwą, lub wykazać jej rozbieżność. 0 x dx e 2 cos(2 x), x Zadanie 3.3 Krzywa zamknięta, której wykres przedstawia rysunek, zadana jest równaniemx 8 x 6 +y 2 =0. Obliczyć pole obu jej listków. Lemniskata Studentów Fizyki i Chemii U 0.2 y x Zadanie 3.4 Stosując kryterium Cauchy ego sprawdzić zbieżność szeregu liczbowego, ( n 2 ) 1 n 3 n. n 2 +1 Przypomnienie: n=2 ( e x =lim n 1+ n) x n. Zadanie 3.5 Określić promień zbieżnościrszeregu potęgowego, nx n+6. n=1 ypisać jego pierwszych pięć wyrazów. Korzystając z metody różniczkowania lub całkowania szeregów, wyznaczyć jego postać funkcyjną dla x < R, tzn. wyrazić ten szereg poprzez skończoną liczbę funkcji elementarnych. Sprawdzić zbieżność szeregu dlax=±r. szystkie zadania są za 3 punkty.

4 RACHUNEK RÓŻNICZKOY I CAŁKOY EGZAMIN Zadanie 4.1 K Zadanie 4.2 Zadanie 4.3 Zadanie 4.4 szystkie zadania są za 5 punktów.

5 RACHUNEK RÓŻNICZKOY I CAŁKOY EGZAMIN POPRAKOY Zadanie 5.1 K Zadanie 5.2 Zadanie 5.3 P Zadanie 5.4 szystkie zadania są za 5 punktów.

6 Zadania egzaminacyjne z poprzedniego roku.

7 RACHUNEK RÓŻNICZKOY I CAŁKOY EGZAMIN Zadanie 6.1 Krzywą określoną funkcjąy(x)=sinx dlax [0,π] obrócono wokół osix, w wyniku czego powstała figura obrotowa przypominająca piłkę rugby z ostrymi czubkami. yznaczyć pole powierzchni tej figury. Przypominamy, że odpowiedni wzór na pole ma w ogólności postać b S=2π dx y(x) 1+[y (x)] 2. a Zadanie 6.2 yznaczyć punkty stacjonarne (krytyczne) funkcji f(x,y)=(x+y)e xy+1. Metodą wyznaczania wartości własnych określić, czy w tych punktach funkcja ma minimum, maksimum czy siodło. Podać wartości funkcji w punktach stacjonarnych. Zadanie 6.3 yznaczyć promień zbieżności szeregu potęgowego ( n=1 n+ 1 2n 1 ) x n. obszarze zbieżności rozbić go na dwa składniki i korzystając z metod różniczkowania i całkowania szeregów potęgowych wyznaczyć funkcje rzeczywiste, których rozwinięcie w szereg potęgowy ma powyższą postać. Zbadać zbieżność szeregu liczbowego oraz wyznaczyć jego dokładną wartość. n=1 ( 1) n 2n 1 Zadanie 6.4 yznaczyć wszystkie rozwiązania w postaci jawnej (tj., podać zależność funkcyjną y = f(x)) równania różniczkowego zwyczajnego pierwszego rzędu dy dx =1 y2. Podać rozwiązanie spełniające warunek początkowy y( 1) = 0 oraz określić jego wartość dla x=0. szystkie zadania są za 5 punktów.

8 RACHUNEK RÓŻNICZKOY I CAŁKOY EGZAMIN POPRAKOY Zadanie 7.1 Krzywą określoną funkcjąy(x)=coshx dlax [0,a],a>0, obrócono wokół osix, w wyniku czego powstała powierzchnia boczna figury przypominającej miskę. Naszkicować tę figurę i wyznaczyć jej pole powierzchni bocznej. Przypominamy, że odpowiedni wzór na pole ma w ogólności postać d S=2π dx y(x) 1+[y (x)] 2. c Dla jakiegoapole to wynosiπ[3/8+(ln2)/2]? Zadanie 7.2 yznaczyć punkty stacjonarne (krytyczne) funkcji f(x,y)=(x+y)e 2xy+3. Metodą wyznaczania wartości własnych określić, czy w tych punktach funkcja ma minimum, maksimum czy siodło. Podać wartości funkcji w punktach stacjonarnych. Zadanie 7.3 Podać wszystkie rozwiązania równania różniczkowego drugiego rzędu y +y 12y= 12x 2. Zadanie 7.4 yznaczyć wszystkie rozwiązania równania różniczkowego zwyczajnego pierwszego rzędu y dy dx =1 y2. Podać rozwiązanie spełniające warunek początkowy y(π) = 1 oraz określić jego wartość dla x=10e. szystkie zadania są za 5 punktów.

9 Typy zadań egzaminacyjnych, które mogą się pojawić w tym roku, ale mogą być również niespodzianki. Zadanie 7.1 Określić dziedzinę funkcji f(x)=lncosx, obliczyć jej pochodną i naszkicować wykres dla0 x<π/2. Obliczyć długość krzywej wykresu tej funkcji dla0 x a<π/2. zór na długość krzywej dlax 1 x x 2 ma postać L= x2 x 1 dx 1+[f (x)] 2. Zadanie 7.2 Sprawdzić, czy funkcje f 1 (x)=x, f 2 (x)=lnx są dlax>e(lub0<x<e; dlaczego musimy wykluczyćx=e?) rozwiązaniami równania różniczkowego x 2 (lnx 1)y xy +y=0 i wyznaczyć ich ronskian. Skonstruować (z uzasadnieniem!!!) ogólne rozwiązanie tego równania. Podać jego rozwiązanie, spełniające warunek początkowy:y(2e)=0,y (2e)=1. Zadanie 7.3 Rozłożyć w szereg potęgowy funkcję x e dx ex 1 x i wyznaczyć jego promień zbieżności. Można skorzystać z równości x e dxf(x)= x 0 dxf(x) słusznej dla odpowiednio regularnych funkcjif(x). e 0 dxf(x), Zadanie 7.4 yznaczyć punkty stacjonarne funkcji f(x,y)=(x 2 +y 2 )e x2 +y 2 i określić ich charakter (tj. czy jest to minimum, maksimum, siodło, wał, rynna?).