Modelowanie przepływu cieczy przez ośrodki porowate Wykład XII

Transkrypt

1 Modeowane pzepływu ceczy pzez ośodk poowate Wykład XII Mode poopężytośc Bota - Dacy ego. Założena wtępne. Zakładamy wtępne, że ośodek kłada ę z poowatego cała tałego twozącego w pzetzen ośodek cągły. Fomułując woja teoę M.A. Bot pzyjął, że pełna ona natępujące podtawowe założena: ośodek jet dwufazowy. kłada ę ze pężytego poowatego zkeetu oaz łabo ścśwej ceczy newtonowkej wypełnającej poy zkeetu; ośodek poowaty jet całem jednoodnym, zotopowym; defomacje zkeetu ą małe, węc można pomnąć nenowe człony tenoa odkztałcena ε, węc: ε u u j = + x j x ; (.) napężena w zkeece ośodka poowatego odnoć będzemy do całkowtej powezchn pzekoju VER, mmo że w zeczywtośc naeżałoby tę powezchnę pomnejzyć o poe zajęte pzez poy (napężene ozmyte). W odneenu do ceczy wpowadzmy pojęce napężena poowego ceczy, zwązanego z cśnenem efektywnym ceczy zwązkem: = fp, (.) gdze f okeśa poowatość objętoścową ośodka poowatego. Jet ono ówneż odneone do całkowtej powezchn pzekoju VER; poowatość ośodka f uważa ę za wekość tałą, któa ma ma chaakte tatytyczny; do opu poceów pzyjmemy układ odneena Euea.. Równana cągłośc pzepływu ośodka dwufazowego. Nech jet potopadłoścenną pzetzeną o nekończene małych kawędzach dx, dy, dz wypełnoną ośodkem dwufazowym złożonym: z poowatego zkeetu pężytego ceczy wypełnającej jego poy. Okeśmy pzez powezchnę ścany eementu pzetzennego, a wekto n jet jednotkowym wektoem nomanym do powezchn, keowanym na zewnątz eementu. Pzez v v oznaczać będzemy odpowedno wektoy pędkośc ftacj ceczy zkeetu ośodka, a v = v v okeśa kładowe wzgędnej pędkośc pzepływu ftacyjnego ceczy pzez ośodek poowaty. Jeże ρ ρ oznaczają koejno gętość właścwą zkeetu ceczy, to możemy okeść wekość gętośc zkeetu ρ ceczy ρ, odneone każda z nch do objętośc całkowtej obzau ρ =. Oznaczając pzez f poowatość objętoścową, możemy obczyć te gętośc: f ρ ρ = fρ ρ = ρ + ρ. Watość ρ oznaczać będze gętość ceczy pzepływającej pzez ścanę : ρ = f Aρ. Pzez ρ oznaczać będzemy gętość ośodka dwufazowego ówną, co do watośc ume:, gdze A f oznacza poowatość powezchnową. Pzepływ may całkowtej (zkeetu ceczy) pzez ścanę o powezchn jet ówny:

2 ρv nd + ρ ( v v ) nd + d = 0. (.3) tąd kozytając z twedzena Gaua Otogadzkego ównane cągłośc pzepływu ośodka dwufazowego złożonego z ceczy zkeetu ma potać: D ρ + ρε = [ ρ v ], D t ρ t &, (.4) gdze D oznacza pochodną maową wyażoną wzoem: D = + v t x, (.5) a ε& oznacza pędkość zmany dyatacj zkeetu ówna co do watośc v,. Możemy natępne obczyć pzepływ ceczy pzez powezchnę. Wyaz ę on wzoem: ρv nd + ρ ( v v ) nd + d = 0. (.6) ρ t tąd dotajemy ównane cągłośc pzepływu fazy cekłej w potac: gdze D D ρ + ρ ( & θ & ε ) = ( ρ v ), (.7), D t x. jet pochodna maową wyażoną wzoem = + ( v v ) Zakładając, że faza tała jet neuchoma ( v = 0 ), a pzez poy pzeącza ę ścśwa cecz, ównane cągłośc pzepływu ma en tyko w odneenu do fazy cekłej ośodka powadza ę do potac: ( ρ ) dv( ρv) = t. (.8) Taką potać ównana cągłośc uzykaśmy w popzednm podozdzae IV...4 wzó Błąd! Ne można odnaeźć źódła odwołana. da modeu hydodynamcznego pzepływu ftacyjnego. Wdać węc, że w pzejścu gancznym dotajemy popzedno wypowadzone ównana cągłośc pzepływu..3 Równana uchu fazy tałej cekłej. Aby uzykać ównana ównowag da fazy tałej cekłej ośodka dwufazowego, wpowadzmy dodatkowe defncje założena wpowadzone pzez Bota [Bot, 956a, 956b]: enegę knetyczną ośodka dwufazowego możemy wyazć wzoem: z waunkam: ρ ρ ρ (.9) K = ( v v + v v + v v ) d

3 ρ + ρ = ρ > 0 ; ρ + ρ = ρ > 0 ; ρ < 0, gdze ρ jet nowym paametem o wymaze gętośc okeśającym dynamczne pzężene pomędzy dwoma fazam ośodka; funkcja dyypacj jet fomą kwadatową zaeżną od pędkośc wzgędnej pzepływu ftacyjnego, któą można wyazć w natępujący poób: W, (.0) = bv v d d gdze b jet wpółczynnkem opou ftacyjnego pełnającym waunek b>0; kozytając z ównana (.9) można okeść objętoścowe ły wewnętzne wynkające z opou epkego pzepływającej ceczy pzez poy ośodka. ły dzałające na zkeet ośodka wynozą: M W = = bv d v (.) d na cecz M W = = bv d v, (.) d kładowe okanego wektoa pędu zkeetu ceczy można obczyć ze wzou: ( ρ ρ ), (.3) P = v + v d. (.4) P = ( ρ v + ρ v ) d Pawo zachowana pędu fazy tałej ośodka można wyazć wzoem: D P n jd + b( v v ) d + ( ρ ρ) X d = d, (.5) gdze n j oznacza napężena w zkeece dzałające na powezchnę, a pzez X - ły cężkośc na jednotkę may całkowtej. Równane (.6), po wykozytanu twedzena Gaua Otogadzkego, pozwaa na uzykane okanego ównana uchu fazy tałej ośodka w potac: gdze D D v D v, j + X ( ρ ρ) = bv + ρ + ρ, (.6) jet pochodną mateaną wyażona wzoem: D = + v t x. Da fazy cekłej ośodka pawo zachowana pędu powadza ę do potac: D P nd + b( v v ) d + ρ X d = d, (.7)

4 gdze D n jet pochodną mateaną wyażona wzoem: D = + v t x, oznacza napężena w ceczy dzałające na całkowtą powezchnę. Napężene ozmyte w ceczy ówna ę co do watośc: = pf, (.8) pzy czym p oznacza cśnene efektywne w ceczy. Równane (.7) po wykozytanu twedzena Gaua - Otogadzkego pozwaa na uzykane ównana uchu fazy cekłej ośodka w potac: D v D v, + X ρ = bv + ρ + ρ. (.9) Da pzypadku pzepływu qua tatycznego można pomnąć człony epezentujące ły bezwładnośc ceczy zkeetu ównana uchu da każdej z faz można zapać w potac:, j + X ( ρ ρ) = bv, (.0) + X ρ = bv. (.), umayczne ównane uchu da obydwu faz ma w tym pzypadku potać:, + + X ρ = 0. (.) j, W pzypadku, gdy zkeet ośodka wykazuje ę jedyne ścśwoścą jet w wojej mae neodkztałcany, ównane (.0) tac en, gdyż zkeet jet neuchomy teno napężena epezentuje tyko część kutą tenoa, a ównane (.) powadza ę do potac ównana pzepływu ftacyjnego Dacy ego Błąd! Ne można odnaeźć źódła odwołana. w modeu hydodynamcznym pzepływu, któe można zapać w potac: H =. (.3) v k x.4 Zwązk kontytutywne cała Bota. Zwązk kontytutywne modeu Bota wypowadzmy z temodynamk poceów neodwacanych. Pobem uzykana zwązków kontytutywnych był tematem pubkacj weu pubkacj, w tym medzy nnym Bota [Bot, 956a ], tzeeckego [tzeeck, 979, 006], Dekego [Dek, 964a,964c, 969b, 975], zefea [zefe, 980a, 980b], Gazyńkego [Gazyńk, 980], Couy ego [Couy, 995]. kozytajmy z pewzego pawa temodynamk, któe możemy pzedtawć w potac: D L + Q& = W + K &, (.4) gdze: pzez L okeśamy pacę wykonaną pzez ły wewnętzne, ły cężkośc ły pochodzące od opou epkego pzepływającej ceczy; Q oznacza cepło geneowane podcza pzepływu ftacyjnego odkztałceń zkeetu ośodka poowatego; W oznacza enegę wewnętzną; K wyaża enegę knetyczną.

5 Zapzemy oddzene pewze pawo temodynamk poceów neodwacanych da każdej z faz oddzene, pzy czym będzemy używać wkaźnka da fazy tałej ośodka da fazy cekłej. Moc ł wewnętznych zkeetu wyaża ę wzoem: Moc ł cężkośc zkeetu ośodka: &. (.5) A L = ( + δ ) v n jd L P ( ρ ρ ) &. (.6) = X v d Moc ł opou epkego ceczy odneona do zkeetu: ( ) &. (.7) L = b v v d D Poneważ moc jet wekoścą kaaną, węc całkowta moc ł dzałających na zkeet ośodka wyno: L& = L& + L& + L&. (.8) A P D Pędkość zman cepła w zkeece ośodka wyaża ę wzoem: gdze &, (.9) Q = q d, q ą to kładowe tumena cepła pzepływającego pzez fazę tałą ośodka. Pochodna mateana eneg knetycznej da fazy tałej ośodka wyno: D K D v D v = ( ρv + ρv ) d Pochodna mateana eneg wewnętznej da zkeetu wyno:. (.30) DW w d, (.3) = gdze w& oznacza pędkość zmany okanej eneg wewnętznej zkeetu. Boąc pod uwagę wzoy od (.5) do (.3) pewze pawo temodynamk w odneenu do fazy tałej ośodka można wyazć wzoem: Dv Dv w& + ρv + ρv d = ( ρ ρ ) ( δ ) & ε ( ) = X v b v v v v q d, j,,.. (.3) Kozytając z ównań (.6) (.9), ównane (.3) można pzedtawć w potac zwązku okanego wyażającego wekość eneg wobodnej odneonej do fazy tałej ośodka: w = v + + δ & ε q &. (.33),,

6 Da ceczy moc ł wewnętznych w ceczy jet ówna: Moc ł cężkośc ceczy: &. (.34) L = v v n d A &, (.35) L p a moc ł opou epkego w ceczy: = ρ X v d &. (.36) L = b v v v d D Pędkość zman cepła w ceczy wyno: &, (.37) Q = q d gdze q to kładowe wektoa tumena pzepływu cepła: Pochodna mateana eneg knetycznej ceczy K wyno:, k k D v D v = ρv + ρv d k D K. (.38) Pochodna mateana eneg wewnętznej ceczy w obzaze można wyazć wzoem: k D W w d. (.39) = Kozytając ze wzoów (.4) oaz wzoów od (.34) do (.39), pewze pawo temodynamk da ceczy wyaża ę zwązkem: Dv Dv w& + ρv + ρv d = ( & &) = X ρv b v v v, v v θ ε q + + +, d. (.40) W powyżzej eacj pzez θ & oznaczono pędkość zmany dyatacj ceczy, a pzez ε& pędkość zman dyatacj zkeetu ośodka. Boąc pod uwagę ównane uchu ceczy (.9), ównane (.40) można zapać w potac zwązku okanego: ( & &) &. (.4) w = v + θ ε q,, Można założyć, że pędkość zmany eneg wewnętznej ośodka dwufazowego w& jet ówna ume pędkośc zman eneg każdej z faz ośodka w&, w&, węc:

7 w& = w& + w&. (.4) Oznaczając pzez q kładowe pędkośc pzepływu cepła ośodka dwufazowego (zkeet + cecz), można twedzć, że: q q + q =. (.43) Kozytając z powyżzych zwązków (.4) (.43) oaz z ównań (.33) (.4) możemy twedzć, że zmana eneg wewnętznej ośodka dwufazowego wyno: w& = & ε + θ & q. (.44), Pewza zaada temodynamk okeśa zwązek pomędzy pacą mechanczną cepłem. Wyaża ona ban eneg ne wno oganczeń na keunek poceu zmany tanu cała. W zagadnenach mechank kaycznej cał deane ztywnych możemy mówć o wzajemnej zamane eneg potencjanej w knetyczną zakładając oczywśce, ze w układze ne ma dyypacj eneg geneowanej na pzykład na kutek wzajemnego taca czątek. Gdy w układze zaczynają wytępować zmany temczne, mamy do czynena z poceam neodwacanym. W takm pzypadku mumy odwołać ę do dugego pawa temodynamk, któe nakłada totne oganczena na poce zman tanu enegetycznego układu. Ceem opana zjawk neodwacanych wpowadza ę w temodynamce funkcję zmany tanu zwaną entopą. Aby okeść oganczene keunków zman tanu układu, duge pawo temodynamk wpowadza neówność twedzającą, że zmana entop wewnętznej układu jet zawze dodatna ub ówna zeu w pzypadku poceu neodwacanego, zwana neównoścą Cauua Duhema. W mechance ośodków cągłych wg. Dekego [Dek, 975], De Goota, Mazua [De Goot, Mazu, 965] wpowadza ę funkcję entop właścwej mezonej na jednotkę objętośc, co można wyazć wzoem:. (.45) = d Zdefnujmy entopę właścwą w potac: d dq T =, (.46) pzy czym: T jet tempeatuą bezwzgędną, dq jet pzyotem cepła na jednotkę objętośc. óżnczka d jet óżnczką zupełną. Poneważ w pzypadku ogónym cało może wymenać cepło z otoczenem, pędkość zman entop jet umą pędkośc zman entop z wkutek wymany cepła z otoczenem pędkośc zman entop wewnętznej, co można zapać ównanem: d d d dt dt dt w z = +. (.47) Entopa zwązana z wymaną cepła z otoczenem wyaża ę zwązkem:

8 dz dq = = dt T dt T q, d, (.48) co powadza ę do ównana okanego w potac: dz T dt = q. (.49), Jak wdać z zaeżnośc (.49), entopa z może meć watość dodatną, ujemną, ub ówną zeu w zaeżnośc od keunku pzepływającego cepła od jego dywegencj. Inaczej ma ę pawa z entopą wewnętzną w. Jej zmana w jednotce objętośc układu mu pełnać neówność Cauua- Duhema, co w zape okanym można pzedtawć w poób natępujący: d w dt 0. (.50) Jeże kozytamy z defncj entop, wyażoną wzoem (.48), pędkość zmany entop możemy zapać zwązkem: gdze & q = = &, (.5), z d zd T & z jet pędkoścą zmany entop okanej, a T okeśa tempeatuę aboutną ośodka. Kozytając ze wzou (.45) oaz ównana (.5), zmanę eneg wewnętznej ośodka możemy wyazć ównanem: w& = & ε + θ & + & T. (.5) z Aby uzykać zwązk kontytutywne, kozytamy z defncj eneg wobodnej Hemhotza wyażającej ę wzoem: F = W T. (.53) Enega wobodna Hemhotz a, podobne jak enega wewnętzna W, jet funkcją tanu ośodka. Jeże zmany tanu ośodka ą nekończene małe, zmanę funkcj tanu F można wyazć pzy pomocy defncj óżnczk zupełnej df : df = dw Td dt. (.54) Poce zotemczny. W pzypadku poceów zotemcznych mamy: węc w takm pzypadku: dt = 0, (.55) df = dw Td. (.56)

9 Taktując óżnczkę zupełną funkcj Hemhotza F jako zmanę tej funkcj tanu w czae, co możemy napać w potac: F& = W& T& = W& T & w + & z (.57) oaz wpowadzając funkcję okaną eneg wobodnej Hemhotz a χ pełnającą zwązek:, (.58) F = χd ównane (.57) wyaża ę w ka okanej natępująco: & χ = & ε + θ & T&. (.59) w tąd dotajemy: T& = & ε + θ& & χ 0. (.60) w Kładąc: na podtawe (.60) dotajemy: χ χ( ε, θ ) =, (.6) χ χ ε + & θ 0 ε θ & (.6) da każdych & ε, θ &. Powyżze ównane jet pełnone, gdy: χ = (.63) ε χ =. (.64) θ Poneważ funkcja zmany eneg wobodnej Hemhotza jet óżnczką zupełną, węc: χ χ d χ = ε + & θ ε θ &. (.65) Rozwając w zeeg Tayo a funkcję eneg wobodnej χ w okocach tanu natuanego znajdujemy:

10 ( 0,0) χ ( 0,0) χ χ ( ε, θ ) = χ ( 0,0) + ε + θ + ε θ ( 0,0) ( 0,0) ( 0,0) ) χ χ χ + εε k + εθ + θθ + K. ε ε k ε θ θ θ Poneważ w tane natuanym (neodkztałconym) funkcje: χ ( 0,0), ( 0,0) oaz ( 0,0) zeu, węc z dokładnoścą do małych dugego zędu możemy zapać: gdze (.66) ą ówne χ ε, θ = c ε ε + β ε θ + γθθ, (.67) k k c k ( 0,0) χ =, (.68) ε ε k ( 0,0) χ β = ε θ ( 0,0) χ γ = θ θ, (.69). (.70) Kozytając ze zwązków (.63) (.64) uzykamy zwązk kontytutywne cała Bota w pzypadku dowonej anzotop ośodka dwufazowego: = c ε + β θ, (.7) k k = β ε + γθ. (.7) Mmo że ne kozytaśmy z pawa ymet Onagea, uzykaśmy zwązk kontytutywne pełnające to pawo. W pzypadku, gdy na wekość cśnena poowego mają wpływ jedyne odkztałcena objętoścowe ceczy, co powoduje, że β = βδ, wtedy uzykujemy upozczoną potać zwązków kontytutywnych Bota: = c ε + βδ θ (.73) k k oaz = βε + γθ. (.74) W pzypadku zkeetu zotopowego teno pężytośc dwóch tałych pężytośc zdefnowanych, pzez Bota w potac: k k k j jk c k można wyazć pzy pomocy c = Aδ δ + N δ δ + δ δ. (.75) Używając oznaczeń wpowadzonych pzez Bota, wpowadzmy dwe nowe tałe: β = Q γ = R. (.76) Zwązk kontytutywne po wpowadzonych oznaczeń powadzają ę do potac zapoponowanej pzez Bota [Bot, 956]:

11 = Nε + Aε + Qθ δ, = Qε + Rθ. (.77) W pacy Bota Wa [Bot, W, 957] zntepetowano tałe wytępujące w zwązkach kontytutywnych (.77) w poób natępujący: N jet modułem odkztałcena potacowego zkeetu, A jet modułem odkztałcena objętoścowego zkeetu wypełnonego ceczą, Q jet wpółczynnkem wpływu odkztałcena objętoścowego ceczy na napężene w zkeece ub odwotne - wpółczynnkem wpływu odkztałcena objętoścowego zkeetu na napężene w ceczy, R jet modułem odkztałcena objętoścowego ceczy wypełnającej poy cała Bota, paamet M wyaża ę popzez: Q M = A. R tałe M N Bota odpowadają w pzypadku ośodka pężytego pozbawonego po tałym Lamego λ µ. Take oznaczene tałych Bot pzyjął konekwentne toował w wojej pacy Couy [ Couy, 995]. Na podtawe pacy Bota, Wa [Bot, W,957 ] można w takm pzypadku wyazć tałe pężytośc Bota pzy pomocy modułu odkztałcena potacowego G wpółczynnka Poona υ : N = G M = υg ( υ ). (.78) poób wyznaczana pozotałych tałych modeu Bota czytenk znajdze w pacy [Fatta, 959].