KINEMATYKA. Kinematyka jest częścią mechaniki opisującą ruch obiektów bez wchodzenia w

Transkrypt

1 KINEMATYKA Kinematka jet częścią mechaniki opiującą uch iektów bez wchodzenia w pzczn wtępowania uchu Ruch jet względn i zawze jet opiwan w okeślonm układzie wpółzędnch nazwanm układem odnieienia Układ odnieienia jet okeślon pzez oie wpółzędnch geometcznch i zega odmiezając cza Z kinematcznego punktu widzenia uch uważam za opian jeśli znam takie paamet kinematczne jak: wekto położenia ( nazwan też wektoem lub pomieniem wodzącm ) pędkość ciała v pzpiezenie ciała a Wekto położenia Wekto położenia ( wodząc ) jet to wekto popowadzon z początku układu wpółzędnch do pouzającego ię punktu mateialnego P W katezjańkim układzie wpółzędnch w chwili t wpółzędne punktu P ą okeślone pzez z tak jak to pokazuje unek: Δ AB t () ΔAB t () = te () + te () + zte () z (1) Toem nazwam miejce geometczne punktów zakeślonch pzez koniec wektoa 1

2 Na unku pokazano jezcze: Δ AB - wekto pzemiezczenia międz punktami A i B Δ AB - doga międz punktami A i B Widać że na ogół Δ Δ AB AB Pędkość ciała v z A d t () Δ B t ( + Δt) to Śedni wekto pędkości definiujem jako Δ v v = Δ t () gdzie Δ = ( t +Δt) ( t ) Pędkość chwilową lub po potu pędkość definiujem: Δ d v lim Δ t Δt Pędkość to pochodna wektoa położenia po czaie Ganiczna wielkość Δ (3) pz Δ t zmiezającm do zea oznaczona jako d może bć utożamiana z badzo małm fagmentem tou d (unek) Powadzi to do wnioku że pędkość jet tczna do tou Z definicji pędkości (3) wnika wzó na moduł pędkości v Δ d v = v = lim = Δ t Δt (4)

3 gdzie d = d Wekto v możem ozłożć na kładowe: d d d d dz v = = e + e + ze = e + e + ( z) e z (5) co oznacza że wekto pędkości ma kładowe v = d v d = v dz z = (6) Z definicji (3) wnika że elementane pzemiezczenie d można wazić wzoem d = v lub d = v (7) a elementaną dogę d d = v = v (8) Zależność (8) powadzi do potej intepetacji geometcznej dogi pzebtej pzez ciało v t 1 t Na wkeie zależności pędkości od czau doga elementana d jet łupkiem o podtawie i wokości v ( d = v) Widać więc że cała doga to pole powiezchni ( zakekowane na unku ) wznaczone pzez pote t t wke vt () i oś czau 1 3

4 Na wkładzie matematki wkazuje ię że pole powiezchni A wznaczone pzez pote i wke funkcji f ( ) 1 i oś - ów waża ię wzoem t ( ) ( ) A = f d ( u na = v t ) 1 t1 Pole to można zatąpić polem potokąta o bokach ( 1) i f Mam więc: 1 1 ( ) f( ) = f d kąd otzmam 1 f f = f ( ) d (9) 1 1 Ten ogóln wzó powadzi w nazm pzpadku do zależności Pzpiezenie ciała a t 1 v v = v() t t t (1) 1 t1 Definicja pzpiezenia: dv a = d (11) Rozkład pzpiezenia na kładowe: dv d a = = ( ve + ve + vzez) = dv dv dvz = e + e + ez = d d d z = e + e + e z (1) 4

5 czli dv d dv d dvz d z a = = a = = a z = = Pzkład z kinematki 1 Ruch jednotajn potoliniow Zakładam że a = v = cont = v = ve + ve + vze z oaz że w chwili t = : t = z ( ) = = e + e + z e Z tzech paametów kinematcznch dwa mam dane a i v tzeba znaleźć tzeci - : d ponieważ = v dla kładowej wektoa położenia mam d v v t = = +C tałą C wznaczam z waunku początkowego ( ) = czli w chwili t = zachodzi = v + C C = a tąd = + v t podnie otzmam = + v t z = z + v t (13) z Tz powżze ównania można zapiać kótko w potaci wektoowej = + vt Otzmaliśm więc zukan tzeci wekto - jego kładowe tanowią paametczne ównanie potej w pzetzeni tójwmiaowej Ruch jednotajnie zmienn 5

6 W tm pzpadku zakładam że a = a = cont oaz że w chwili t ( dla potot ): t = ( ) +v e i ( t ) v t = = v e + v e = = e + e +z e z z z Teaz znam tlko jeden paamet kinematczn ab więc opiać ten pzpadek uchu a muim znaleźć dwa pozotałe: v( t) i ( t) Z definicji pzpiezenia zukam v( t) dv Ponieważ zachodzi a = to dl a - owej kładowej tego ównania dv = a v = a t+ C a z waunków początkowch v = a + C C = v co powadzi otatecznie do ównania v = v + a t i podnie v v a t = + v = v + a t z z z Powżze tz ównania można zapiać w jednm ównaniu wektoowm v = v + at (14) Na podtawie definicji pędkości znajdziem ( t) W nazm pzpadku otzmam d v at = + Potępując podnie jak pz wpowadzaniu zależności (14) dotaniem: 1 = + vt+ at (15) 6

7 Powżze wzo (14) i (15) możem zatoować do óżnch pzpadków uchu w polu gawitacjnm W tm miejcu zatoujem je w pzpadku uchu nazwanego zutem poziomm v Zachodzi a = ge v = ve = He Z zależności (14) otzmam: v v = v = gt a z (15) 1 = vt = H gt Podtawiając t = / v dotaniem g H = to jet paabolą zaięg zutu d liczm v podtawiając = : g H = H d d = v v g 3 Ruch punktu mateialnego po okęgu Na podtawie unku 7

8 v e e = R -pomień okęgu α = Rco( α) e + Rin ( α) e = R co( α) e + in ( α) e = Re gdzie : e = co e + in e e = 1 ( α) ( α) Na podtawie definicji pędkości otzmam: d d d e v = = ( Re ) = R de d dα dα = co in in co + = + dα dα = in ( α) e + co ( α) e = e ( α) e ( α) e ( α) e ( α) e = (16) in co e gdzie: e = ( α) e + ( α) łatwo udowodnić że wekto jednotkow e jet potopadł do wektoa e ( pawdzić cz ee = ) Otzmaliśm pożteczną zależność że pochodna wiującego wektoa jet ówna ilocznowi pędkości kątowej wiowania dα i wektoa jednotkowego ( e ) potopadłego do wiującego ( ) e Na podtawie (16) można zapiać dα v = R e (17) 8

9 Definicja pędkości kątowej ω i pzpiezenia kątowego ε ω ε dα n dα v n Elementane pzemiezczenie kątowe - dα = ndα dα ω dω ε (18) (19) 3cd Wacając do pzpadku uchu po okęgu mam dα ω = e = e z ω z Ponieważ naz punkt mateialn wkonuje tlko uch otow pędkość liniową v związaną z tm otem oznaczm chwilowo pzez Z wzou (17) otzmam v v = Rωe () gdzie e także pełnia e = v / v i dotajem v = Rωv / v kąd wnika wzó v = v =ωr (1) jet to związek międz pędkością kątową i pędkością liniową związaną z otem Związek ten można zapiać wektoowo 9

10 v = ω () Rzeczwiście e e ez ω = ω = Rω[ in α e + co α e ] = ( α) R ( α) Rco in = Rωe = v ( ) ( ) Należ podkeślić że jeżeli punkt wkonuje jednocześnie uch potępow z pędkością v i uch otow z pędkością p v to jego pędkość wpadkowa wnoi v = v + v = v + ω p p (3) Pzpiezenie w uchu po okęgu otzmam koztając z definicji (11) i zależności () oaz (113) dv d dω d a = = ( ω ) = + ω = ε + ω ( ω ) = = ε + ω ω ω = ε ω ( ) (4) Składowa elacji (4) ε jet tczna do okęgu i może bć zapiana w potaci dv ε = e (5) dω 1 dv ponieważ: ε = e z = e z R i = Re to dv dv ε = e e = z e Natomiat kładową ω kieowaną do śodka okęgu można także zapiać w potaci 1

11 v v Re e e R R ω = ω = R = (6) Podumowując pzpiezenie a w uchu po okęgu kłada ię z pzpiezenia tcznego a oaz pzpiezenia dośodkowego a d : gdzie a = a + a dv a = ε = e v ad = ω = e R d (7) (8) (9) 4 Pzpiezenie w uchu kzwoliniowm W tm pzpadku w każdm punkcie tou ciała można wznaczć okąg tczn do tou i wkoztać wżej P otzmane wzo W tm kontekście R nazwane jet pomieniem kzwizn R tou a pzpiezenie dośodkowe pzpiezeniem nomalnm 11