Liczby rzeczywiste. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych. Robert Malenkowski 1

Transkrypt

1 Robert Malenkowski 1 Liczby rzeczywiste. 1 Liczby naturalne. N {0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8...} Liczby naturalne to liczby używane powszechnie do liczenia i ustalania kolejności. Liczby naturalne można ustawić w ciąg nieskończony (po kolei jedna za drugą). Dysponując jedynką, łatwo jest otrzymać wszystkie inne liczby naturalne. Trzeba tylko cierpliwie dodawać... Zbiór liczb naturalnych oznaczamy symbolem N. Czy zero jest liczbą naturalną? To zależy od definicji. Czasem matematycy przyjmują, że zero jest liczbą naturalną, a czasem zaczynają od jedynki. My przyjmujemy, że zero jest liczbą naturalną. Ile jest liczb naturalnych? Liczb naturalnych jest nieskończenie wiele. Liczby całkowite. Z {... 5, 4, 3,, 1, 0, 1,, 3, 4, 5...} Zbiór liczb całkowitych można więc zdefiniować, jako rozszerzenie zbioru liczb naturalnych o wszystkie wyniki operacji odejmowania liczb naturalnych od zera. Liczbami całkowitymi nazywamy więc wszystkie liczby naturalne, zero oraz wszystkie liczby przeciwne do naturalnych. Zbiór wszystkich liczb całkowitych oznaczamy literą Z lub C. 3 Dzielniki liczb naturalnych. Liczbę naturalną m 0 nazywamy dzielnikiem liczby naturalnej n wtedy i tylko wtedy, gdy iloraz n : m jest liczbą naturalną. 3.1 Liczby wymierne. Liczby, które można zapisać w postaci ułamka (ułamek - wynik dzielenia, przy czym w liczniku są liczby całkowite, a w mianowniku - naturalne prócz zera), nazywa się liczbami wymiernymi. Liczbę x nazywamy liczbą wymierną, gdy { } p x q : p C q N

2 Robert Malenkowski Zbiór liczb wymiernych oznaczamy literą W. Każda liczba całkowita i każda liczba naturalna jest liczbą wymierną. 4 Liczby niewymierne. Są liczby, których nie można przedstawić w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych. Nazywamy je liczbami niewymiernymi. Liczb niewymiernych jest całe mnóstwo - dużo więcej niż wszystkich możliwych liczb wymiernych. Natknęli się na nie pitagorejczycy, rozważając długości przekątnych kwadratu. Liczby niewymierne to liczby, które nie są wymierne. Liczby niewymiernej nie można przedstawić w postaci ułamka, a rozwinięcie dziesiętne liczby niewymiernej jest nieskończone i nieokresowe. Zbiór liczb niewymiernych oznaczamy N W lub IW. Przykłady liczb niewymiernych: π,, 3, Kolejność wykonywania działań 1. Jako pierwsze działania w nawiasach.. Potęgowanie i pierwistkowanie. 3. Mnożenie i dzielenie. 4. Dodawanie i odejmowanie. 6 Działania na ułamkach zwykłych 6.1 Dodawanie i odejmowanie ułamków. Jeżeli ułamki mają takie same mianowniki to dodajemy liczniki, a mianownik zostawiamy bez zmian. Jeżeli chcemy dodać liczby mieszane, dodajemy całości do całości, a ułamki do ułamków. Jeżeli ułamki zwykłe mają różne mianowniki, to najpierw należy sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika, a potem dodać liczniki, pozostawiając mianownik bez zmian. Dodawanie ułamków jest przemienne i łączne. Aby odjąć ułamki o jednakowych mianownikach, odejmujemy ich liczniki, a mianownik zostawiamy bez zmian. Jeżeli chcemy odjąć liczby mieszane, odejmujemy całości od całości, a ułamki od ułamków Aby odjąć ułamki o róznych mianownikach, najpierw sprowadzamy je do wspólnego mianownika, następnie odejmujemy.

3 Robert Malenkowski 3 6. Mnożenie ułamków. Aby pomnożyć liczbę naturalną przez ułamek (lub odwrotnie), mnożymy licznik ułamka przez tę liczbę, a mianownik zostawiamy bez zmian. Jeżeli chcemy pomnożyć dwa ułamki, mnożymy licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego i mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego. Podczas mnożenia jeśli to możliwe można stosować skracanie ułamków. Należy pamiętać, aby skracając zawsze wybierać jedną liczbę z licznika, drugą z mianownika. Jeżeli chcemy pomnożyć przez siebie dwie liczby mieszane, to obie zamieniamy na ułamki niewłaściwe i mnożymy licznik przez licznik, a mianownik przez mianownik. Mnożenie ułamków jest przemienne i łączne. 6.3 Dzielenie ułamków. Odwrotność liczby. Jeżeli iloczyn dwóch liczb jest równy 1, to mówimy, że jedna liczba jest odwrotnością drugiej. Aby podzielić dwie liczby należy dzielną pomnożyć przez odwrotność dzielnika. 7 Porównywanie ułamków zwykłych Trudniej jest porównać dwa ułamki zwykłe od dwóch liczb naturalnych, na które wystarczy, że zerkniemy, a już potrafimy wskazać większą z nich. W przypadku dwóch ułamków o jednakowych licznikach lub mianownikach porównywanie nie jest trudne. W przypadku ułamków o różnych licznikach i różnych mianownikach, należy sprowadzić te ułamki do wspólnego mianownika lub licznika, bo w przeciwnym wypadku wskazanie większej może być kłopotliwe. Jeżeli ułamki zwykłe mają takie same mianowniki to ten jest większy, który ma większy licznik. Jeżeli ułamki zwykłe mają takie same liczniki to ten jest większy, który ma mniejszy mianownik. Jeżeli ułamki nie mają ani równych liczników, ani równych mianowników, to można sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika lub licznika za pomocą operacji rozszerzania. 8 Cechy podzielności liczb. Cecha podzielności przez Liczba jest podzielna przez jeżeli jej ostatnią cyfrą jest:, 4, 6, 8 albo 0. Cecha podzielności przez 3 Liczba jest podzielna przez 3, jeśli suma jej cyfr tworzy liczbę podzielną przez 3. Cecha podzielności przez 4 Liczba jest podzielna przez 4, jeśli jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez

4 Robert Malenkowski 4 4 lub jeśli dwukrotnie jest podzielna przez. Cecha podzielności przez 5 Liczba jest podzielna przez 5, jeśli jej ostatnią cyfrą jest 0 albo 5. Cecha podzielności przez 6 Liczba jest podzielna przez 6, jeśli jest parzysta i suma jej cyfr tworzy liczbę podzielną przez 3. Cecha podzielności przez 7 Liczba jest podzielna przez 7, jeśli różnica między liczbą wyrażoną trzema ostatnimi cyframi danej liczby a liczbą wyrażoną wszystkimi pozostałymi cyframi tej liczby (lub odwrotnie) jest podzielna przez 7. Cecha podzielności przez 8 Liczba jest podzielna przez 8, jeśli jej trzy ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 8 lub jeśli trzykrotnie jest podzielna przez. Cecha podzielności przez 9 Liczba jest podzielna przez 9, jeśli suma jej cyfr tworzy liczbę podzielną przez 9. Cecha podzielności przez 10 Liczba jest podzielna przez 10 jeśli jej ostatnią cyfrą jest zero. Cecha podzielności przez 11 Liczba jest podzielna przez 11, jeśli różnica sumy jej cyfr stojących na miejscach parzystych i sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych dzieli się przez Liczby pierwsze. Liczba naturalna (różna od 0 i 1), która ma dokładnie dwa dzielniki (1 i samą siebie), nazywana jest liczbą pierwszą. Liczby pierwsze mniejsze od 0: {, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}. 9.1 Przykładowe zadania. Zadanie 1. Wykonaj działania i określ czy wynik należy do zbioru W (liczby wymierne) czy do zbioru N W (liczby niewymierne). ( ) : , 00 Rozwiązanie. ( ) : , 00 ( ) :

5 Robert Malenkowski 5 ( ) Odpowiedź. Wynik tych działań jest ułamkiem o liczniku i mianowniku całkowitym więc należy do zbioru liczb wymiernych. Zadanie. Sznurek długości 10 m pocięto na trzy części, których stosunek jest równy 3 : 5 : 7. Jaką długość ma najkrótsza z tych części. a) 3m b) m c) 1, 75m d), 1m Rozwiązanie. Aby rozwiązać to zadanie należy zsumować współczynniki stusunku podziału: W następnym kroku dzielimy nasz sznurek na 15 równych części, czyli 10m : m 3 m. Zatem 1 część ma długość metra. Zgodnie z treścią zadania trzy części sznurka 3 będą miały długości równe: 3 3 m m 5 3 m 10 3 m 31 3 m 7 3 m 14 3 m 4 3 m Stąd łatwo zauważyć, że najkrótsza część będzie miała m. Odpowiedź. B.

6 Robert Malenkowski 6 10 Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie 1. Na osi liczbowej odcinek AB, gdzie A ( ) ( ) 3 1 i B , podzielono punktami C i D na trzy równe części. Oblicz współrzędne punktów C i D. Zadanie. Podaj przykład liczb wymiernych a i b spełniających warunek < a < b < 5 13 Zadanie 3. Dana jest liczba a ( ). Która z podanych wypowiedzi jest fałszywa. a)liczba a jest dzielnikiem liczby 16. b) Liczba a jest podzielna przez 4. c) Liczba a jest potęgą liczby. d) Liczba a jest podzielna przez 8. Zadanie 4. Sznurek długości 5 m pocięto na trzy części, których stosunek jest równy : 4 : 9. Jaką długość ma najdłuższa z tych części. a) 15m b) 17m c) 15, 75m d) 16, 1m Zadanie 5. Znajdź najmniejszą liczbę całkowitą większą od liczby x, jeżeli x Zadanie 6. Pan Nowak zareaerwował w biurze turystycznym wyjazd wakacyjny w cenie 170 zł, za który ma zapłacić w trzech ratach. Pierwsza rata stanowi 3 ceny 7 wyjazdu, druga - 3 pozostałej kwoty. Oblicz ostatnią ratę. 4 Zadanie 7. Podaj liczbę n spełniającą nierówność:. n < 3 < n + 1