Elektrodynamika Część 3 Pola elektryczne w materii Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM

Transkrypt

1 Elektrodynamika Część 3 Pola elektryczne w materii Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM

2 Spis treści 4 Pola elektryczne w materii Polaryzacja elektryczna Pole ciała spolaryzowanego Pole indukcji elektrycznej Dielektryki liniowe

3 4 Pola elektryczne w materii 4.1 Polaryzacja elektryczna Indukowany moment dipolowy Co się dzieje z atomem jeśli umieścimy go w polu elektrycznym E? p = αe, α polaryzowalność atomowa

4 Przykład: Przyjmijmy, że atom to punktowe jądro (+q) otoczone chmurą ładunku w kształcie jednorodnie naładowanej kuli o promieniu a i całkowitym ładunku q. Obliczyć polaryzowalność atomową dla takiego modelu. q +q a q d +q E E = E e = 1 4πɛ 0 qd a 3, pole przesuniętych ładunków równoważy pole zewnętrzne p = qd = (4πɛ 0 a 3 )E α = 4πɛ 0 a 3 = 3ɛ 0 v

5 O C O p = α E + α E, cząsteczka anizotropowa α = [ C 2 m N α = [ C 2 m N ] ] p x = α xx E x + α xy E y + α xz E z p y = α yx E x + α yy E y + α yz E z p z = α zx E x + α zy E y + α zz E z, α ij współrzędne tensora polaryzowalności

6 4.1.3 Zmiana orientacji momentów dipolowych cząsteczek polarnych p +q H H + O d F + O F q cząsteczka polarna F + = qe = F siły się równoważą N = (r + F + ) + (r F ) = [ (d/2) (qe) ] + [ ( d/2) ( qe) ] = qd E moment siły E N = p E

7 F = F + + F = q(e + E ) = q(δe) pole niejednorodne δe = (d )E F = (p )E siła działająca na dipol w polu niejednorodnym U = p E energia dipola w polu U = 1 4πɛ 0 1 r 3 [ p1 p 2 3(p 1 ˆr)(p 2 ˆr) ] energia oddziaływania dwóch dipoli

8 4.1.4 Polaryzacja elektryczna Co się dzieje z dielektrykiem umieszczonym w polu? Materiał zostaje spolaryzowany. P moment dipolowy na jednostkę objętości polaryzacja elektryczna

9 4.2 Pole ciała spolaryzowanego Ładunki związane Jakie pole wytwarza spolaryzowane ciało? R P p V (r) = 1 ˆR p 4πɛ 0 R 2 V (r) = 1 4πɛ 0 V dla pojedynczego dipola ˆR P (r ) R 2 dτ dla objętości V

10 ( ) 1 = ˆR R R 2 V (r) = 1 ( ) 1 P dτ, 4πɛ 0 R V V (r) = 1 ( ) P dτ 4πɛ 0 R V (r) = 1 4πɛ 0 σ zw P ˆn S V 1 R P ˆn da 1 4πɛ 0 korzystamy z (fa) = f( A) + A ( f) 1 R ( P ) dτ V 1 R ( P ) dτ V gęstość powierzchniowa ładunków związanych ρ zw P gęstość objętościowa ładunków związanych

11 V (r) = 1 4πɛ 0 S σ zw R da + 1 4πɛ 0 V ρ zw R dτ Przykład: Znaleźć natężenie pola elektrycznego wytwarzanego przez jednorodnie spolaryzowaną kulę o promieniu R. z ˆn P θ R σ zw = P ˆn = P cos θ Szukamy pola wytworzonego przez rozkład powierzchniowy ładunku P cos θ. To już obliczyliśmy!

12 V (r, θ) = P 3ɛ 0 r cos θ dla r R P R 3 3ɛ 0 cos θ dla r R r 2 E = V = P 3ɛ 0 ẑ = 1 3ɛ 0 P dla r < R, pole jednorodne V = 1 4πɛ 0 p ˆr r 2 dla r R, p = 4 3 πr3 P, wartość dipola potencjał od dipola umieszczonego w środku kuli E(r, θ) = 1 p (2 cos θ ˆr + sin θ ˆθ) pole 4πɛ 0 r3 dipola

13 linie pola dla jednorodnie spolaryzowanej kuli

14 4.2.2 Fizyczna interpretacja ładunków związanych = Spolaryzowany walec A d = q +q P (Ad) = (P A)d = qd moment dipolowy wycinka σ zw = q A = P gęstość powierzchniowa ładunku

15 ρ zw dτ = V S ρ zw = P + polaryzacja niejednorodna P da = V ( P ) dτ

16 4.2.3 Pole w dielektryku R r chcemy obliczyć pole makroskopowe w punkcie r; rozważmy kulę o promieniu R wokół punktu r E = E zew + E wew E wew =?. jakie jest pole od ładunków wewnątrz kuli? E śred = 1 4πɛ 0 p R 3 uśrednione pole od ładunków znajdujących się wewnątrz kuli o promieniu R; p jest całkowitym momentem dipolowym

17 dτ R R r q obliczamy średnie pole od ładunku q umieszczonego w punkcie r E śred = 1 E dτ = 1 1 q 4 3 πr3 4 3 πr3 4πɛ 0 R ˆR 2 dτ E ρ = 1 ρ 4πɛ 0 R ˆR pole w punkcie r od równomiernie 2 dτ naładowanej kuli, które łatwo policzyć E śred = E ρ jeśli ρ = q 4 3 E πr3 ρ = 1 ρr = 1 qr 3ɛ 0 4πɛ 0 R 3 = 1 p 4πɛ 0 R 3 E wew = E śred = 1 p uśrednione pole od ładunków 4πɛ 0 R 3 wewnątrz kuli V zew = 1 4πɛ 0 na zewnątrz kuli ˆR P (r ) R 2 dτ potencjał od ładunków zewnętrznych

18 E wew = 1 4πɛ 0 E wew = 1 3ɛ 0 P p R 3, p = ( ) 4 3 πr3 P Uśrednione po dowolnej kuli pole pochodzące od ładunków wewnątrz kuli jest takie samo jak pole w środku jednorodnie spolaryzowanej kuli Potencjał pola makroskopowego: V (r) = 1 4πɛ 0 ˆR P (r ) R 2 dτ całka obejmuje całą objętość dielektryka

19 4.3 Pole indukcji elektrycznej Prawo Gaussa w obecności dielektryka ρ = ρ zw + ρ sw gęstość ładunków związanych i swobodnych ɛ 0 E = ρ = ρ zw + ρ sw = P + ρ sw prawo Gaussa (ɛ 0 E + P ) = ρ sw D ɛ 0 E + P wektor indukcji elektrycznej D = ρ sw prawo Gaussa D da = Q sw wew Przykład:

20 Długi prosty drut, naładowany jednorodnie z gęstością liniową λ, otoczony jest gumową izolacją. Promień warstwy izolacji wynosi a. Znaleźć indukcję elektryczną w tym układzie. λ L s a D(2πsL) = λl z prawa Gaussa D = λ 2πsŝ, wzór słuszny wewnątrz i na zewnątrz izolacji E = 1 D = λ dla s > a (P = 0) ɛ 0 2πɛ 0 sŝ Wewnątrz izolacji nie znamy P!

21 4.3.2 Zwodnicze podobieństwo D(r) 1 4π ˆR R 2 ρ sw(r ) dτ, dla D nie ma prawa Coulomba D = ɛ 0 ( E) + ( P ) = P Do wyznaczenia pola wektorowego nie wystarczy znajomość dywergencji. Trzeba jeszcze znać rotację. D 0, D nie jest gradientem skalara, D nie ma potencjału! D nie jest wyznaczone wyłącznie przez ładunek swobodny.

22 4.3.3 Warunki brzegowe D da = Q sw wew D nad D pod = σ sw skok składowej prostopadłej D nad D pod = P nad P pod, skok składowej równoległej W obecności dielektyka te warunki są często bardziej użyteczne niż warunki dla pola. E nad E pod = 1 ɛ 0 σ E nad E pod = 0

23 4.4 Dielektryki liniowe Podatność elektryczna i przenikalność elektryczna P = ɛ 0 χ e E dla niezbyt silnych pól χ e jest podatnością elektryczną ośrodka D = ɛ 0 E + P = ɛ 0 E + ɛ 0 χ e E = ɛ 0 (1 + χ e )E, w ośrodkach liniowych D = ɛe, D jest proporcjonalne do E ɛ ɛ 0 (1 + χ e ) przenikalność elektryczna ośrodka ɛ r 1 + χ e = ɛ, ɛ 0 Przykład: względna przenikalność elektryczna

24 Metalowa kula o promieniu a naładowana została ładunkiem Q. Kula otoczona jest powłoką z dielektryka o przenikalności elektrycznej ɛ; promień powłoki wynosi b. Znaleźć różnicę potencjałów między środkiem kuli i punktem w nieskończoności. a Q b D = Q ˆr, dla r > a ze względu na symetrię sferyczną 4πr2

25 E = P = D = 0, E = V = = Q 4π Q 4πɛr 2 ˆr Q 4πɛ 0 r 2 ˆr 0 E dl = wewnątrz metalowej kuli dla a < r < b dla r > b b ( 1 ɛ 0 b + 1 ɛa 1 ɛb ( Q ) 4πɛ 0 r 2 ) dr a b ( Q ) 4πɛr 2 dr 0 a (0) dr Nie musieliśmy obliczać polaryzacji ani gęstości ładunków związanych! Chociaż w tym przypadku nie jest to trudne.

26 P = ɛ 0 χ e E = ɛ 0χ e Q 4πɛr 2 ˆr ρ zw = P = 0 σ zw = P ˆn = ɛ 0 χ e Q 4πɛb 2 ɛ 0χ e Q 4πɛa 2 na powierzchni zewnętrznej na powierzchni wewnętrznej Znak minus wynika z tego, że wektor ˆn jest skierowany na zewnątrz dielektryka (+ ˆr dla r = b i ˆr dla r = a).

27 próżnia dielektryk P = 0 P 0 P dl 0, P 0, ɛ 0 χ e różne po obu stronach Także dla dielektryków liniowych podobieństwo D i E jest zwodnicze. Chyba, że przestrzeń jest całkowicie wypełniona jednorodnym dielektrykiem. D = ρ sw, D = 0, znając ρ sw można obliczyć D D = ɛ 0 E próżni, E próżni jest natężeniem pola elektrycznego jakie dany rozkład ładunków wytworzyłby w próżni E = 1 ɛ D = 1 ɛ r E próżni pole w dielektryku jest redukowane o ɛ r

28 q + ładunek swobodny q umieszczony w dużym kawałku dielektryka jest ekranowany przez ładunki związane E = 1 4πɛ 1 r 2 ˆr, we wzorze występuje ɛ a nie ɛ 0 ( ) P x = ɛ 0 χ e xxe x + χ e xye y + χ e xze z ( ) P y = ɛ 0 χ e yxe x + χ e yye y + χ e yze z ( ) P z = ɛ 0 χ e zxe x + χ e zye y + χ e zze z dla kryształów tensor podatności elektrycznej

29 4.4.2 Zagadnienia brzegowe w obecności dielektryków liniowych ρ zw = P = ( D ɛ 0 χ e ɛ = ɛ 0χ e ɛ 0 (1 + χ e ) D = ) ( χe 1 + χ e ) ρ sw W jednorodnym dielektryku liniowym gęstość ładunku związanego ρ zw jest proporcjonalna do gęstości ładunku swobodnego ρ sw. Jeśli w dielektryku nie ma ładunków swobodnych ρ sw = 0, to nieznikająca gęstość ładunku może wystąpić jedynie na powierzchni. ɛ nad E nad ɛ pod E pod = σ sw, warunek brzegowy

30 ɛ nad V nad n ɛ pod V pod n = σ sw, w języku potencjału V nad = V pod, potencjał jest ciągły

31 Przykład: Kula wykonana z jednorodnego dielektryka liniowego została umieszczona w jednorodnym zewnętrznym polu elektrycznym o natężeniu E 0. Znaleźć natężenie pola elektrycznego wewnątrz i na zewnątrz kuli. E E 0

32 Należy rozwiązać równanie Laplace a przy następujących warunkach brzegowych: (i) V wew = V zew gdy r = R (ii) ɛ V wew r = ɛ 0 V zew r (iii) V zew E 0 r cos θ gdy r R V wew (r, θ) = A l r l P l (cos θ) l=0 V zew (r, θ) = E 0 r cos θ + l=0 gdy r = R (nie ma ładunków swobodnych) B l r l+1 P l(cos θ)

33 A l R l P l (cos θ) = E 0 R cos θ + l=0 l=0 A l R l = B l dla l 1 R l+1 A 1 R = E 0 R + B 1 R dla l = 1 2 ɛ r la l R l 1 P l (cos θ) = E 0 cos θ l=0 l=0 ɛ r la l = (l+1)b l, dla l 1 R l+2 ɛ r A 1 = E 0 2B 1 R, dla l = 1 3 A l = B l = 0 dla l 1 A 1 = 3 ɛ r +2 E 0, B 1 = ɛ r 1 ɛ r +2 R3 E 0, dla l = 1 B l R l+1 P l(cos θ), (i) (l + 1)B l R l+2 P l (cos θ), (ii)

34 V wew (r, θ) = 3E 0 ɛ r + 2 r cos θ = 3E 0 ɛ r + 2 z E wew = 3 ɛ r + 2 E 0, pole wewnątrz kuli jest jednorodne R 3 r 2 E 0 cos θ V zew (r, θ) = E 0 r cos θ + ɛ r 1 ɛ r + 2 E zew = E p (2 cos θ ˆr + sin θ ˆθ), pole 4πɛ 0 r3 p = 4πɛ 0 ɛ r 1 ɛ r + 2 R3 E 0, moment dipolowy kuli E 0 plus pole dipola

35 4.4.3 Energia w układach z dielektrykami W = ɛ 0 2 W = ɛ 0 2 δw = E 2 dτ, ɛ r E 2 dτ = 1 2 (δρ sw )V dτ, energia zmagazynowana w polu D E dτ, w układach z dielektrykami do dielektryka wprowadzamy ładunki swobodne D = ρ sw δρ sw = (δd) δw = [ (δd)]v dτ [(δd)v ] = [ (δd)]v + δd ( V )

36 δw = [(δd)v ] dτ + (δd) E dτ [(δd)v ] dτ = (δd)v da = 0 δw = (δd) E dτ S całkujemy po całej przestrzeni D = ɛe, dla dielektryków liniowych 1 2 δ(d E) = 1 2 δ(ɛe2 ) = ɛ(δe) E = (δd) E ( ) 1 δw = δ D E dτ 2

37 W = 1 2 D E dτ Energia układu to praca konieczna do utworzenia danego układu. Dwa sposoby tworzenia układu : (i) Wprowadzamy małymi porcjami ładunki swobodne i związane i umieszczamy je w ich położeniach W = W sw + W zw (ii) Wprowadzamy małymi porcjami ładunki swobodne pozwalając dielektrykowi dostosować się do ich obecności W całk = W sw + W zw + W sprężynek