BLOK I. , x = Korzystając z definicji pochodnej w punkcie, obliczyć pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach:

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "BLOK I. , x = 2 2. 3. Korzystając z definicji pochodnej w punkcie, obliczyć pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach:"

Transkrypt

1 BLOK I. Rachunek różniczkowy i całkowy. Znaleźć przyrost funkcji f(x) = 3x 3 przy x = zakładając, że przyrost x zmiennej niezależnej jest równy: a), ; b), ;, 5.. Znaleźć iloraz różnicowy funkcji y = f(x) w punkcie x odpowiadający przyrostowi argumentu x. a) f(x) = 3x +, x =, x = ; b) f(x) =, x =, x = ; f(x) = 3x, x =, x =, ; d) f(x) = log x, x = 4, x = 3 4 ; f(x) = x, x =, x =. 3. Korzystając z definicji pochodnej w punkcie, obliczyć pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach: a) f(x) = x x, x = ; b) f(x) = x 3 +, x = ; f(x) = x +, x = ; d) f(x) = 3x, x =. 4. Korzystając z definicji obliczyć pochodne podanych funkcji: a) f(x) = x 3x; b)f(x) = x + ; 3 x; d)f(x) = x.

2 5. Korzystając z odpowiednich wzorów, wyznaczyć pochodną funkcji f(x): a) f(x) = 3 x3 x +x+4; b) f(x) = x 5 x 4 +x 3 3x ; f(x) = (x 3 3x+)(x +x+); d) f(x) = 3x + x ; f(x) = x x + ; f) f(x) = x 3 g) f(x) = (x 3 x + )(x 3 x + x ); h) f(x) = x sin x. x + x ; 6. Korzystając z reguł obliczania pochodnych, policzyć pochodne podanych funkcji: ( ) 3 a) f(x) = (x 4 x + ) 3 x + ; b) f(x) = ; f(x) = x x + ; d) f(x) = sin 3 x; f(x) = cos 4 5x; f) f(x) = tg(cos x); g) f(x) = 7. Obliczyć pochodną funkcji: a) f(x) = e x cosx; b) f(x) = ln ex e x ; f(x) = arccos x ; d) f(x) = ln(cosx); f(x) = 3 x + e x ln; f) f(x) = x x ; g) f(x) = x arctgx. ctg ( x + x). 8. Napisać równania stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach: a) f(x) = x +, x = ; b) f(x) = 3 x3 x +, x = 3; f(x) = sin x e x, x =. 9. Wykorzystując różniczkę funkcji obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia cos 9.. Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji: a) f(x) = x 4 x ; b) f(x) = (x + ) (x ); f(x) = x x + ; d) f(x) = x e x ; f(x) = x ln x.

3 . Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji: a) f(x) = x 3 6x + 9x 4; b) f(x) = x x + ; f(x) = x e x ; d) f(x) = x ln( + x ); f(x) = x x 9.. Jakie wymiary powinna mieć puszka na konserwy w kształcie walca o objętości V = 5πcm 3, aby na jej wykonanie zużyć jak najmniej materiału? 3. Powierzchnia zadrukowanej części afisza ogłoszeniowego ma wynosić 536cm 3, marginesy boczne mają mieć po 4cm, marginesy górny i dolny po 6cm. Jakie powinny być wymiary afisza, aby jego nakład wymagał minimum papieru? 4. Zależność między kosztem K, a wielkością x produkcji pewnego dobra określa wzór K(x) = x3 x + x. Czy istnieje taka wielkość x, przy której koszt K jest najmniejszy? Jeśli tak, to obliczyć jej wielkość. 5. Wydajność pracy pewnego robotnika zmienia się w ciągu ośmiogodzinnego dnia pracy i po upływie t godzin ma wartość W(t) = 5 + 9t t 9 t3. Robotnik rozpoczyna pracę o godzinie 7 : i pracuje bez przerwy do godziny 5 :. O której godzinie wydajność pracy jest największa? 6. Droga wyrażona w metrach, przebyta przez ciało będące w ruchu jednostajnie przyspieszonym zależy od czasu zgodnie ze wzorem s = f(t) = 3t +4t+ (jednostką czasu jest sekunda). Jaka będzie prędkość ciała w piątej sekundzie ruchu? 7. Punkt porusza się po linii prostej tak, że jego odległość s od punktu początkowego po t sekundach wynosi s = f(t) = 3 t3 t +. Znaleźć prędkość punktu po dziesięciu sekundach. 8. Bieguny ogniwa o sile elektromotorycznej E i oporności wewnętrznej ρ (rysunek) połączono przewodnikiem o oporności R. Zbadać, dla jakiej wartości R moc na tej oporności jest największa, - jak wiadomo z fizyki - moc M na oporności R wyraża się wzorem: M = R ( E ρ + R 9. Obliczyć całki nieoznaczone: a) (x 4 + 4x 3 + 7x 4x )dx; b) ). x x 3 dx; x (sin x + x + 3 3x 3 x )dx; d) x x dx; x ( x 3 x dx; f) x 3 x + ) dx. 3

4 . Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części obliczyć całki nieoznaczone: a) x cosxdx; b) x ln xdx; x e x dx; d) x arcctg xdx.. Stosując odpowiednie podstawienia obliczyć podane całki nieoznaczone: 3x a) (x + x 3) 6 (x + )dx; b) + dx; x 3 x dx; d) x 3 dx; f) cos (x 4 ) x e x dx; x x 3 3dx; g). Obliczyć całki stosując rozkład na ułamki proste: dx a) (x 3)(x ) ; b) 3x + x x dx; x 3 + x + x + x + dx; d) x 3 + x x (x + ) dx; dx 3x 3 + x + x x 3 + x; f) dx. x 4 3. Obliczyć całki oznaczone: x a) dx; b) + x π x cos x dx; + x 4 + x dx; sin 4 x cosxdx. d) 3 ln arctgx dx; + x π sin 3x dx; f) ex 4. Wykorzystując całki oznaczone obliczyć pole obszaru x x dx. P = {(x, y) : x y sin x}. 5. Obliczyć pole figury ograniczonej łukiem krzywej y = 4 x x oraz osią x. 6. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywą y = x 3, i prostą y = 4x. 7. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi y = e x, y = e x i prostą x =. 8. Obliczyć pole zawarte pomiędzy parabolami y = 8x, x = 8y. 9. Obliczyć pole figury ograniczonej przez krzywe x + y = 5 i y = x. 4

5 Literatura. L.M. Drużkowski, Analiza matematyczna dla fizyków, cz.i. Podstawy, Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków, (995).. M.Gewert,Z.Skoczylas, Analiza matematyczna, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, (). 3. W.Górniewicz, R.IngardenAnaliza matematyczna dla fizyków. T.-, Wydawnictwo Uniwersytetu Toruńskiego, Toruń, (995). 4. W.Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, cz.i-ii., PWN Warszawa, (993). 5. J.Laszuk, Repetytorium z matematyki, Warszawa, (997). 6. R.Leitner, Zarys matematyki wyższej dla studiów technicznych, cz.i-ii., WNT, Warszawa, (994). 7. A. Sołtysiak, Analiza matematyczna, cz. I, II i III, Wydawnictwo UAM, Poznań, (). 8. T.Supady, Matematyka Nowe Vademecum, Wydawnictwo Tukan Remy, (999). 5

BLOK I. 3. Korzystając z definicji pochodnej w punkcie, obliczyć pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach:

BLOK I. 3. Korzystając z definicji pochodnej w punkcie, obliczyć pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach: BLOK I. Rachunek różniczkowy i całkowy. Znaleźć przyrost funkcji f() = przy = zakładając, że przyrost zmiennej niezależnej jest równy: a), ; b), ;, 5.. Znaleźć iloraz różnicowy funkcji y = f() w punkcie

Bardziej szczegółowo

Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n

Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n V. Napisz 4 początkowe wyrazy ciągu: Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie a) a n = n b) a n = n + 3 n! c) a n = n! n(n + ) V. Oblicz (lub zapisz) c, c 3, c k, c n k dla: a) c n = 3 n b) c n = 3n

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAEW101

Analiza Matematyczna MAEW101 Analiza Matematyczna MAEW0 Wydział Elektroniki Listy zadań nr -7 (część I) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 005 M.Gewert, Z Skoczylas,

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone Definicja 1 (funkcja pierwotna i całka nieoznaczona). Niech f : I R. Mówimy, że F : I R jest funkcją pierwotną funkcji f, jeśli F jest różniczkowalna

Bardziej szczegółowo

Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), 2014

Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), 2014 Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), Analiza Matematyczna I W rozwiązaniach prosimy formułować lub nazywać wykorzystywane twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski oraz

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 1

ANALIZA MATEMATYCZNA 1 ANALIZA MATEMATYCZNA Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA Kolokwia i egzaminy Wydanie szesnaste uzupełnione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 204 Marian Gewert Instytut Matematyki i Informatyki

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAEW101

Analiza Matematyczna MAEW101 Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1 1. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y 1+x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na

Bardziej szczegółowo

x 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) =

x 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) = Zadanie.. Obliczyć granice 2 + 2 (a) lim (d) lim 0 2 + 2 + 25 5 = 5,. Granica i ciągłość funkcji odpowiedzi = 4, (b) lim 2 5 + 6 2 6 =, 4 (e) lim 0sin 2 = 2, cos (g) lim 0 2 =, (h) lim 2 8 Zadanie.2. Obliczyć

Bardziej szczegółowo

Weźmy wyrażenie. Pochodna tej funkcji wyniesie:. Teraz spróbujmy wrócić.

Weźmy wyrażenie. Pochodna tej funkcji wyniesie:. Teraz spróbujmy wrócić. Po co nam całki? Autor Dariusz Kulma Całka, co to takiego? Nie jest łatwo w kilku słowach zdefiniować całkę. Najprościej można powiedzieć, że jest to pojęcie odwrotne do liczenia pochodnych, Mówimy czasami

Bardziej szczegółowo

1 Funkcja wykładnicza i logarytm

1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres

Bardziej szczegółowo

1 Funkcja wykładnicza i logarytm

1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres

Bardziej szczegółowo

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni 30 30

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni 30 30 WYDZIAŁ ARCHITEKTURY KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim Matematyka 1 Nazwa w języku angielskim Mathematics 1 Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy): Stopień studiów i forma:

Bardziej szczegółowo

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji. 0 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f() 4, określonej dla (0,) W przedziale ( 0,) wyrażenie 4 przyjmuje wartości ujemne, dlatego dla (0,) funkcja f()

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami

Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5

Bardziej szczegółowo

Całka nieoznaczona wykład 7 ( ) Motywacja

Całka nieoznaczona wykład 7 ( ) Motywacja Całka nieoznaczona wykład 7 (12.11.07) Motywacja Problem 1 Kropla wody o średnicy 0,07 mm porusza się z prędkościa v(t) = g c (1 e ct ), gdzie g oznacza przyśpieszenie ziemskie, a stałac c = 52,6 1 s została

Bardziej szczegółowo

LISTY ZADAŃ DO KURSU ANALIZA MATEMATYCZNA 1 (MAT 1637, 1644)

LISTY ZADAŃ DO KURSU ANALIZA MATEMATYCZNA 1 (MAT 1637, 1644) LISTY ZADAŃ DO KURSU ANALIZA MATEMATYCZNA MAT 67, 644) Zadania przeznaczone są do rozwiązywania na ćwiczeniach oraz samodzielnie. Dwie dodatkowe listy: POWTÓRKA i POWTÓRKA to przygotowanie do kolokwiów.

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia 1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17 Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna. Lista zadań 10

Analiza Matematyczna. Lista zadań 10 Analiza Matematyczna Lista zadań 10 Zadanie 1 pole figury ograniczonej krzywymi y 2 = 2x, x + y = 1. Zadanie 2 objȩtość bryły V powstałej z obrotu wokół osi Ox powierzchni ograniczonej krzyw a o równaniu

Bardziej szczegółowo

Lista 0 wstęp do matematyki

Lista 0 wstęp do matematyki dr Karol Selwat Matematyka dla studentów kierunku Ochrona Środowiska, 2-2 Lista wstęp do matematyki.. Sprawdź, czy następujące zdania logiczne są tautologiami: p q) p q) p q) p q) p q) q p) d)[p q) p]

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j), ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j

Bardziej szczegółowo

LISTA 0 (materiał do samodzielnego powtórzenia). Działania w zbiorze liczb rzeczywistych

LISTA 0 (materiał do samodzielnego powtórzenia). Działania w zbiorze liczb rzeczywistych LISTA 0 materiał do samodzielnego powtórzenia). Działania w zbiorze liczb rzeczywistych W zadaniach 0. 0.5 n N, natomiast a, b,, y są liczbami rzeczywistymi, dla których występujące w zadaniach wyrażenia

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna I

Analiza Matematyczna I Analiza Matematyczna I Informatyka, WPPT, Politechnika Wrocławska Wprowadzenie (2 godziny ćwiczeń) Pokaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b zachodzą nierówności:. a b = a b, 2. a + b a + b, 3.

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Analiza matematyczna I Mathematical analysis I Kierunek: Kod przedmiotu: Matematyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Poziom kwalifikacji:

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne. Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ELEKTRONIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA. Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis. Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy):

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika

Bardziej szczegółowo

Wykłady 11 i 12: Całka oznaczona

Wykłady 11 i 12: Całka oznaczona Wykłady 11 i 12: Całka oznaczona dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy; rok akademicki 2016/2017 Pole trójkata parabolicznego Problem. Chcemy obliczyć

Bardziej szczegółowo

Egzamin z matematyki dla I roku Biochemii i Biotechnologii

Egzamin z matematyki dla I roku Biochemii i Biotechnologii Egzamin z matematyki dla I roku Biochemii i Biotechnologii 9..04 Zadanie (0 punktów). Rozwiązać układ + 3y z = 3 5y + z = a 5 ay + 3z = 3 dla a = oraz dla a = 4. Zadanie (0 punktów). Wyznaczyć dziedzinę,

Bardziej szczegółowo

Materiały do ćwiczeń z matematyki. 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej

Materiały do ćwiczeń z matematyki. 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej Materiały do ćwiczeń z matematyki Kierunek: chemia Specjalność: podstawowa 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej 3.1 Podstawowe wzory i metody różniczkowania Definicja. Niech funkcja

Bardziej szczegółowo

1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej

1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej . Pierwsza pochodna - definicja i własności.. Definicja pochodnej Definicja Niech f : a, b) R oraz niech 0 a, b). Mówimy, że funkcja f ma pochodna w punkcie 0, którą oznaczamy f 0 ), jeśli istnieje granica

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Matematyka I Mathematics I Kierunek: biotechnologia Rodzaj przedmiotu: Poziom przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich I stopnia specjalności Rodzaj zajęć: Liczba godzin/tydzień: wykład,

Bardziej szczegółowo

AiRZ-0531 Analiza matematyczna Mathematical analysis

AiRZ-0531 Analiza matematyczna Mathematical analysis KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod Nazwa Nazwa w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2013/2014 AiRZ-0531 Analiza matematyczna Mathematical analysis A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE STUDIÓW

Bardziej szczegółowo

22 Pochodna funkcji definicja

22 Pochodna funkcji definicja 22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica

Bardziej szczegółowo

11. Pochodna funkcji

11. Pochodna funkcji 11. Pochodna funkcji Definicja pochodnej funkcji w punkcie. Niech X R będzie zbiorem niepustym, f:x >R oraz niech x 0 X. Funkcję określoną wzorem, nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie Mówimy,

Bardziej szczegółowo

Całka oznaczona zastosowania (wykład 9; ) Definicja całki oznaczonej dla funkcji ciagłej

Całka oznaczona zastosowania (wykład 9; ) Definicja całki oznaczonej dla funkcji ciagłej Całka oznaczona zastosowania (wykład 9;26.11.7) Definicja całki oznaczonej dla funkcji ciagłej Definicja 1 Załózmy, że funkcja f jest ciagła na przedziale [a, b]. Całkę oznaczona z funkcji ci b a f(x)dx

Bardziej szczegółowo

Ruch jednostajnie zmienny prostoliniowy

Ruch jednostajnie zmienny prostoliniowy Ruch jednostajnie zmienny prostoliniowy Przyspieszenie w ruchu jednostajnie zmiennym prostoliniowym Jest to taki ruch, w którym wektor przyspieszenia jest stały, co do wartości (niezerowej), kierunku i

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAT1317

Analiza Matematyczna MAT1317 Analiza Matematyczna MAT37 Wydziaª Informatyki i Zarz dzania Listy zada«nr -0 cz ±ciowo na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykªady i zadania, GiS, Wrocªaw 008 M.Gewert,

Bardziej szczegółowo

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna i algebra liniowa

Analiza matematyczna i algebra liniowa Materiały pomocnicze dla studentów do wykładów Opracował (-li): 1 Prof dr hab Edward Smaga dr Anna Gryglaszewska 3 mgr Marta Kornafel 4 mgr Fryderyk Falniowski 5 mgr Paweł Prysak Materiały przygotowane

Bardziej szczegółowo

KARTA PRZEDMIOTU CELE PRZEDMIOTU

KARTA PRZEDMIOTU CELE PRZEDMIOTU WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI Zał. nr do ZW KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA.1 A Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis.1 A Kierunek studiów (jeśli dotyczy):

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Matematyka dla DSFRiU zbiór zadań

Matematyka dla DSFRiU zbiór zadań I Matematyka dla DSFRiU zbiór zadań do użytku wewnętrznego Sumowanie skończone W zadaniach -4 obliczyć podaną sumę. dr Leszek Rudak Uniwersytet Warszawski Wydział Zarządzania. 5 i. i= 4 i. i= 5 ( ) i i=

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI 1. Zalecana znajomość matematyki odpowiadająca maturze na poziomie podstawowym

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI 1. Zalecana znajomość matematyki odpowiadająca maturze na poziomie podstawowym Zał. nr do ZW WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim Analiza matematyczna Nazwa w języku angielskim Calculus Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Inżynieria zarządzania

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU

WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Zał. nr do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA 1.1 A Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis 1A Kierunek studiów (jeśli dotyczy):

Bardziej szczegółowo

KARTA KURSU. Mathematics

KARTA KURSU. Mathematics KARTA KURSU Nazwa Nazwa w j. ang. Matematyka Mathematics Kod Punktacja ECTS* 4 Koordynator Dr Maria Robaszewska Zespół dydaktyczny dr Maria Robaszewska Opis kursu (cele kształcenia) Celem kursu jest zapoznanie

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy - całka oznaczona

Rachunek całkowy - całka oznaczona SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA DLA FIZYKÓW

ANALIZA MATEMATYCZNA DLA FIZYKÓW Lech Górniewicz Roman Stanisław Ingarden ANALIZA MATEMATYCZNA DLA FIZYKÓW Wydanie piąte Toruń 2012 SPIS TREŚCI WSPOMNIENIE O PROFESORZE ROMANIE STANISŁAWIE INGARDENIE (Miłosz Michalski)... ix PRZEDMOWA

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym

Bardziej szczegółowo

1 Pochodne wyższych rzędów

1 Pochodne wyższych rzędów Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne

Bardziej szczegółowo

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2. 2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange

Bardziej szczegółowo

Lista 1 - Funkcje elementarne

Lista 1 - Funkcje elementarne Lista - Funkcje elementarne Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = sgn, y = sgn ; b) y = ; c) y = 2 Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji potęgowej y = α dla: a) α =, 2, 3, 4; b) α =,, 2;

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI 1. Zalecana znajomość matematyki odpowiadająca maturze na poziomie podstawowym

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI 1. Zalecana znajomość matematyki odpowiadająca maturze na poziomie podstawowym Zał. nr do ZW WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim MATEMATYKA Nazwa w języku angielskim Mathematics 1 for Economists Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli

Bardziej szczegółowo

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania. 10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA

KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA I. 1 Nazwa modułu kształcenia I. Informacje ogólne Analiza matematyczna 2 Nazwa jednostki prowadzącej moduł Instytut Informatyki, Zakład Informatyki Stosowanej 3 Kod modułu (wypełnia

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 2

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 ANALIZA MATEMATYCZNA Opracowanie Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA Kolokwia i egzaminy Wydanie dziewiąte powiększone GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław Projekt okładki: IMPRESJA Studio

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 2

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 ANALIZA MATEMATYCZNA Lista zadań 3/4 Opracowanie: dr Marian Gewert, dr Zbigniew Skoczylas Lista pierwsza Zadanie. Korzystając z definicji zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 4 / 5 rachunek różniczkowy

Ćwiczenia 4 / 5 rachunek różniczkowy Matematyka dla Ciekawych Świata, 2012/2013 13 listopada 2012 Ćwiczenia 4 / 5 rachunek różniczkowy 0. Kangur powraca Przypomnij sobie, że nasz kangur porusza się z prędkością 4 km/h. Zamodeluj ruch kangura

Bardziej szczegółowo

SYLABUS. Cele zajęć z przedmiotu

SYLABUS. Cele zajęć z przedmiotu Załącznik nr 1 do Zarządzenia Rektora UR Nr 4/2012 z dnia 20.01.2012r. SYLABUS Nazwa przedmiotu Nazwa jednostki prowadzącej przedmiot Analiza matematyczna Wydział Matematyczno-Przyrodniczy, Instytut Fizyki

Bardziej szczegółowo

Spis treści 1. Liczby zespolone 2 2. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 4 3. Geometria analityczna 9 4. Granice, pochodne funkcji i ich

Spis treści 1. Liczby zespolone 2 2. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 4 3. Geometria analityczna 9 4. Granice, pochodne funkcji i ich Spis treści Liczby zespolone Macierze wyznaczniki równania liniowe 4 Geometria analityczna 9 4 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 5 Całki nieoznaczone 8 6 Zastosowania geometryczne całek 0 7 Pochodne

Bardziej szczegółowo

Spis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Granice, pochodne funkcji i ich zastosowania 10 4.

Spis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Granice, pochodne funkcji i ich zastosowania 10 4. Spis treści Macierze wyznaczniki równania liniowe Geometria analityczna 7 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 0 4 Liczby zespolone 6 5 Całki nieoznaczone 8 6 Zastosowania geometryczne całek 0 7

Bardziej szczegółowo

Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej

Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej Lista Nr 5 Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej 5.0. Obliczanie pochodnej funkcji Pochodne funkcji podstawowych. f() = α f () = α α. f() = log a f () = ln a '. f() = ln f () = 3. f() = a f () =

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006 FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)

Bardziej szczegółowo

Szczegółowy rozkład materiału dla klasy 3b poziom rozszerzny cz. 1 - liceum

Szczegółowy rozkład materiału dla klasy 3b poziom rozszerzny cz. 1 - liceum Szczegółowy rozkład materiału dla klasy b poziom rozszerzny cz. - liceum WYDAWNICTWO PAZDRO GODZINY Lp. Tematyka zajęć Liczba godzin I. Funkcja wykładnicza i funkcja logarytmiczna. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. Wzornictwo Przemysłowe I stopień Ogólnoakademicki studia stacjonarne wszystkie specjalności Katedra Matematyki dr Monika Skóra

Analiza matematyczna. Wzornictwo Przemysłowe I stopień Ogólnoakademicki studia stacjonarne wszystkie specjalności Katedra Matematyki dr Monika Skóra Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Analiza matematyczna Nazwa modułu w języku angielskim Calculus Obowiązuje

Bardziej szczegółowo

f(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x

f(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x Iloraz różnicowy Niech x 0 R i niech funkcja y = fx) będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Niech x oznacza przyrost argumentu x może być ujemny!). Wtedy przyrost wartości funkcji wynosi: y =

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (30h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna

Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 (5.11.07) Funkcja logistyczna Rozważmy funkcję logistyczną y = f 0 (t) = 40 1+5e 0,5t Funkcja f może być wykorzystana np. do modelowania wzrostu masy ziaren kukurydzy (zmienna

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU

WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU 9815Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA.1 A Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis.1 A Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

Powtórzenie wiadomości z klasy I. Temat: Ruchy prostoliniowe. Obliczenia

Powtórzenie wiadomości z klasy I. Temat: Ruchy prostoliniowe. Obliczenia Powtórzenie wiadomości z klasy I Temat: Ruchy prostoliniowe. Obliczenia Ruch jest względny 1.Ruch i spoczynek są pojęciami względnymi. Można jednocześnie być w ruchu względem jednego ciała i w spoczynku

Bardziej szczegółowo

CAŁKI NIEOZNACZONE C R}.

CAŁKI NIEOZNACZONE C R}. CAŁKI NIEOZNACZONE Definicja 1 Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) = f(x) dla każdego x I. Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f(x) = sin x na R są cos x, cos x+1, cos

Bardziej szczegółowo

Pojęcie funkcji. Funkcje: liniowa, logarytmiczna, wykładnicza

Pojęcie funkcji. Funkcje: liniowa, logarytmiczna, wykładnicza Pojęcie funkcji. Funkcje: liniowa, logarytmiczna, wykładnicza dr Mariusz Grządziel Wykład 1; 10 marca 2013 1 Matematyka w naukach przyrodniczych Zależności funkcyjne w naukach przyrodniczych Rozwój algebry

Bardziej szczegółowo

20 zorganizowanych w Uczelni (ZZU) Liczba godzin całkowitego 150 nakładu pracy studenta (CNPS)

20 zorganizowanych w Uczelni (ZZU) Liczba godzin całkowitego 150 nakładu pracy studenta (CNPS) Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ELEKTRONIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA.3 A Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli

Bardziej szczegółowo

Czytanie wykresów to ważna umiejętność, jeden wykres zawiera więcej informacji, niż strona tekstu. Dlatego musisz umieć to robić.

Czytanie wykresów to ważna umiejętność, jeden wykres zawiera więcej informacji, niż strona tekstu. Dlatego musisz umieć to robić. Analiza i czytanie wykresów Czytanie wykresów to ważna umiejętność, jeden wykres zawiera więcej informacji, niż strona tekstu. Dlatego musisz umieć to robić. Aby dobrze odczytać wykres zaczynamy od opisu

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Matematyka I nazwa przedmiotu SYLABUS A. Informacje ogólne

Matematyka I nazwa przedmiotu SYLABUS A. Informacje ogólne Matematyka I nazwa przedmiotu SYLABUS A. Informacje ogólne Elementy składowe sylabusu Nazwa jednostki prowadzącej kierunek Nazwa kierunku studiów Poziom kształcenia Profil studiów Forma studiów Kod przedmiotu

Bardziej szczegółowo

Analiza zderzeń dwóch ciał sprężystych

Analiza zderzeń dwóch ciał sprężystych Ćwiczenie M5 Analiza zderzeń dwóch ciał sprężystych M5.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest pomiar czasu zderzenia kul stalowych o różnych masach i prędkościach z nieruchomą, ciężką stalową przeszkodą.

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ MATEMATYKI WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO KARTA PRZEDMIOTU

WYDZIAŁ MATEMATYKI WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO KARTA PRZEDMIOTU WYDZIAŁ MATEMATYKI WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO KARTA PRZEDMIOTU Zał. nr 4 do ZW 33/01 Nazwa w języku polskim: Analiza matematyczna.1 Nazwa w języku angielskim: Mathematical analysis.1 Kierunek

Bardziej szczegółowo

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 3 listopada 06r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej

Bardziej szczegółowo

Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć

Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć Nazwa modułu: Analiza matematyczna II Rok akademicki: 2013/2014 Kod: MIS-1-202-s Punkty ECTS: 5 Wydział: Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej Kierunek: Informatyka Stosowana Specjalność: - Poziom

Bardziej szczegółowo

Matematyka I nazwa przedmiotu SYLABUS A. Informacje ogólne

Matematyka I nazwa przedmiotu SYLABUS A. Informacje ogólne Matematyka I nazwa przedmiotu SYLABUS A. Informacje ogólne Elementy składowe sylabusu Nazwa jednostki prowadzącej kierunek Nazwa kierunku studiów Poziom kształcenia Profil studiów Forma studiów Kod przedmiotu

Bardziej szczegółowo

lim = lim lim Pochodne i róŝniczki funkcji jednej zmiennej.

lim = lim lim Pochodne i róŝniczki funkcji jednej zmiennej. Niniejsze opracowanie ma na celu przybliŝyć matematykę (analizę matematyczną) i stworzyć z niej narzędzie do rozwiązywania zagadnień z fizyki. Definicje typowo matematyczne będą stosowane tylko wtedy gdy

Bardziej szczegółowo

Zał. nr 4 do ZW 33/2012 WYDZIAŁ MATEMATYKI WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO KARTA PRZEDMIOTU

Zał. nr 4 do ZW 33/2012 WYDZIAŁ MATEMATYKI WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO KARTA PRZEDMIOTU Zał. nr 4 do ZW 33/01 WYDZIAŁ MATEMATYKI WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim: Analiza matematyczna 1.1 A Nazwa w języku angielskim: Mathematical Analysis 1.1

Bardziej szczegółowo

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego 5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne

1 Równania różniczkowe zwyczajne Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem

Bardziej szczegółowo

Matematyka II nazwa przedmiotu SYLABUS A. Informacje ogólne

Matematyka II nazwa przedmiotu SYLABUS A. Informacje ogólne Matematyka II nazwa przedmiotu SYLABUS A. Informacje ogólne Elementy składowe sylabusu Nazwa jednostki prowadzącej kierunek Nazwa kierunku studiów Poziom kształcenia Profil studiów Forma studiów Kod przedmiotu

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Zastosowania

Pochodna funkcji. Zastosowania Pochodna funkcji Zastosowania Informatyka (sem.1 2015/16) Analiza Matematyczna Temat 3 1 / 33 Niektóre zastosowania pochodnych 1 Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości 2 Pochodna jako narzędzie

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA I

ANALIZA MATEMATYCZNA I ANALIZA MATEMATYCZNA I Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co dwa tygodnie. Zadania po symbolu potrójne karo omawiane są na ćwiczeniach rzadko, ale warto też poświęcić im nieco uwagi. Lista nie zawiera

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych (wykład 14; )

Funkcje wielu zmiennych (wykład 14; ) Funkcje wielu zmiennych (wykład 14; 15.01.07) Przestrzeń dwuwymiarowa, oznaczana w literaturze matematycznej symbolem R 2, może być utożsamiona z parami liczb rzeczywistych: R 2 = {(x 1, x 2 ), x 1, x

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne podanych funkcji: 4 x 2 y 2 ; (b) g(x, y) = e y x 2 1 ; (c) u(x, y) = arc sin xy; (d) v(x, y) = sin(x 2 + y 2 ); (e) w(x, y) = x sin

Bardziej szczegółowo

4.3 Wypukłość, wklęsłość l punkty przegięcia wykresu funkcji

4.3 Wypukłość, wklęsłość l punkty przegięcia wykresu funkcji 4.3 Wypukłość, wklęsłość l punkty przegięcia wykresu funkcji Definicja 4.6. Wykres funkcji różniczkowalnej w punkcie Xo nazywamy wypukłym (odpowiednio wklęsłym) w punkcie xo, jeżeli istnieje takie sąsiedztwo

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. rozszerzonym. dla uczniów technikum. część III

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. rozszerzonym. dla uczniów technikum. część III Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena w nauczaniu matematyki w zakresie rozszerzonym dla uczniów technikum część III Granica ciągu liczbowego 1 Pojęcie granicy ciągu i ciągi zbieżne do zera sporządzać

Bardziej szczegółowo