BLOK I. , x = Korzystając z definicji pochodnej w punkcie, obliczyć pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach:

Transkrypt

1 BLOK I. Rachunek różniczkowy i całkowy. Znaleźć przyrost funkcji f(x) = 3x 3 przy x = zakładając, że przyrost x zmiennej niezależnej jest równy: a), ; b), ;, 5.. Znaleźć iloraz różnicowy funkcji y = f(x) w punkcie x odpowiadający przyrostowi argumentu x. a) f(x) = 3x +, x =, x = ; b) f(x) =, x =, x = ; f(x) = 3x, x =, x =, ; d) f(x) = log x, x = 4, x = 3 4 ; f(x) = x, x =, x =. 3. Korzystając z definicji pochodnej w punkcie, obliczyć pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach: a) f(x) = x x, x = ; b) f(x) = x 3 +, x = ; f(x) = x +, x = ; d) f(x) = 3x, x =. 4. Korzystając z definicji obliczyć pochodne podanych funkcji: a) f(x) = x 3x; b)f(x) = x + ; 3 x; d)f(x) = x.

2 5. Korzystając z odpowiednich wzorów, wyznaczyć pochodną funkcji f(x): a) f(x) = 3 x3 x +x+4; b) f(x) = x 5 x 4 +x 3 3x ; f(x) = (x 3 3x+)(x +x+); d) f(x) = 3x + x ; f(x) = x x + ; f) f(x) = x 3 g) f(x) = (x 3 x + )(x 3 x + x ); h) f(x) = x sin x. x + x ; 6. Korzystając z reguł obliczania pochodnych, policzyć pochodne podanych funkcji: ( ) 3 a) f(x) = (x 4 x + ) 3 x + ; b) f(x) = ; f(x) = x x + ; d) f(x) = sin 3 x; f(x) = cos 4 5x; f) f(x) = tg(cos x); g) f(x) = 7. Obliczyć pochodną funkcji: a) f(x) = e x cosx; b) f(x) = ln ex e x ; f(x) = arccos x ; d) f(x) = ln(cosx); f(x) = 3 x + e x ln; f) f(x) = x x ; g) f(x) = x arctgx. ctg ( x + x). 8. Napisać równania stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach: a) f(x) = x +, x = ; b) f(x) = 3 x3 x +, x = 3; f(x) = sin x e x, x =. 9. Wykorzystując różniczkę funkcji obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia cos 9.. Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji: a) f(x) = x 4 x ; b) f(x) = (x + ) (x ); f(x) = x x + ; d) f(x) = x e x ; f(x) = x ln x.

3 . Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji: a) f(x) = x 3 6x + 9x 4; b) f(x) = x x + ; f(x) = x e x ; d) f(x) = x ln( + x ); f(x) = x x 9.. Jakie wymiary powinna mieć puszka na konserwy w kształcie walca o objętości V = 5πcm 3, aby na jej wykonanie zużyć jak najmniej materiału? 3. Powierzchnia zadrukowanej części afisza ogłoszeniowego ma wynosić 536cm 3, marginesy boczne mają mieć po 4cm, marginesy górny i dolny po 6cm. Jakie powinny być wymiary afisza, aby jego nakład wymagał minimum papieru? 4. Zależność między kosztem K, a wielkością x produkcji pewnego dobra określa wzór K(x) = x3 x + x. Czy istnieje taka wielkość x, przy której koszt K jest najmniejszy? Jeśli tak, to obliczyć jej wielkość. 5. Wydajność pracy pewnego robotnika zmienia się w ciągu ośmiogodzinnego dnia pracy i po upływie t godzin ma wartość W(t) = 5 + 9t t 9 t3. Robotnik rozpoczyna pracę o godzinie 7 : i pracuje bez przerwy do godziny 5 :. O której godzinie wydajność pracy jest największa? 6. Droga wyrażona w metrach, przebyta przez ciało będące w ruchu jednostajnie przyspieszonym zależy od czasu zgodnie ze wzorem s = f(t) = 3t +4t+ (jednostką czasu jest sekunda). Jaka będzie prędkość ciała w piątej sekundzie ruchu? 7. Punkt porusza się po linii prostej tak, że jego odległość s od punktu początkowego po t sekundach wynosi s = f(t) = 3 t3 t +. Znaleźć prędkość punktu po dziesięciu sekundach. 8. Bieguny ogniwa o sile elektromotorycznej E i oporności wewnętrznej ρ (rysunek) połączono przewodnikiem o oporności R. Zbadać, dla jakiej wartości R moc na tej oporności jest największa, - jak wiadomo z fizyki - moc M na oporności R wyraża się wzorem: M = R ( E ρ + R 9. Obliczyć całki nieoznaczone: a) (x 4 + 4x 3 + 7x 4x )dx; b) ). x x 3 dx; x (sin x + x + 3 3x 3 x )dx; d) x x dx; x ( x 3 x dx; f) x 3 x + ) dx. 3

4 . Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części obliczyć całki nieoznaczone: a) x cosxdx; b) x ln xdx; x e x dx; d) x arcctg xdx.. Stosując odpowiednie podstawienia obliczyć podane całki nieoznaczone: 3x a) (x + x 3) 6 (x + )dx; b) + dx; x 3 x dx; d) x 3 dx; f) cos (x 4 ) x e x dx; x x 3 3dx; g). Obliczyć całki stosując rozkład na ułamki proste: dx a) (x 3)(x ) ; b) 3x + x x dx; x 3 + x + x + x + dx; d) x 3 + x x (x + ) dx; dx 3x 3 + x + x x 3 + x; f) dx. x 4 3. Obliczyć całki oznaczone: x a) dx; b) + x π x cos x dx; + x 4 + x dx; sin 4 x cosxdx. d) 3 ln arctgx dx; + x π sin 3x dx; f) ex 4. Wykorzystując całki oznaczone obliczyć pole obszaru x x dx. P = {(x, y) : x y sin x}. 5. Obliczyć pole figury ograniczonej łukiem krzywej y = 4 x x oraz osią x. 6. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywą y = x 3, i prostą y = 4x. 7. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi y = e x, y = e x i prostą x =. 8. Obliczyć pole zawarte pomiędzy parabolami y = 8x, x = 8y. 9. Obliczyć pole figury ograniczonej przez krzywe x + y = 5 i y = x. 4

5 Literatura. L.M. Drużkowski, Analiza matematyczna dla fizyków, cz.i. Podstawy, Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków, (995).. M.Gewert,Z.Skoczylas, Analiza matematyczna, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, (). 3. W.Górniewicz, R.IngardenAnaliza matematyczna dla fizyków. T.-, Wydawnictwo Uniwersytetu Toruńskiego, Toruń, (995). 4. W.Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, cz.i-ii., PWN Warszawa, (993). 5. J.Laszuk, Repetytorium z matematyki, Warszawa, (997). 6. R.Leitner, Zarys matematyki wyższej dla studiów technicznych, cz.i-ii., WNT, Warszawa, (994). 7. A. Sołtysiak, Analiza matematyczna, cz. I, II i III, Wydawnictwo UAM, Poznań, (). 8. T.Supady, Matematyka Nowe Vademecum, Wydawnictwo Tukan Remy, (999). 5