Pochodna funkcji. Niech f : A R, a A i załóżmy, że istnieje α > 0 taka, że

Transkrypt

1 Niec f : A R, a A i załóżmy, że istnieje α > 0 taka, że (a α, a + α) A.

2 Niec f : A R, a A i załóżmy, że istnieje α > 0 taka, że (a α, a + α) A. Definicja Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie a nazywamy funkcję ϕ: ( α, 0) (0, α) R zdefiniowaną wzorem ϕ() := f (a + ) f (a)

3 Niec f : A R, a A i załóżmy, że istnieje α > 0 taka, że (a α, a + α) A. Definicja Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie a nazywamy funkcję ϕ: ( α, 0) (0, α) R zdefiniowaną wzorem ϕ() := f (a + ) f (a) Definicja Jeżeli istnieje granica (w sensie właściwym) lim ϕ(), 0 to mówimy, że f jest różniczkowalna w punkcie a, a liczbę f (a) := lim 0 ϕ() nazywamy pocodną funkcji f w punkcie a.

4 Funkcja pocodna Definicja Funkcja f : A R jest różniczkowalna, jeżeli jest różniczkowalna w każdym punkcie zbioru A.

5 Funkcja pocodna Definicja Funkcja f : A R jest różniczkowalna, jeżeli jest różniczkowalna w każdym punkcie zbioru A. Definicja Jeżeli f : A R jest różniczkowalna, to definiuje ona funkcję f : A R x f (x), którą nazywamy funkcją pocodną funkcji f.

6 Interpretacja geometryczna 3 Q f a f a P 19 4 Równanie siecznej PQ y f (a) = f (a + ) f (a) (x a)

7 Interpretacja geometryczna Q f a f a P 19 4 Równanie siecznej PQ y f (a) = f (a + ) f (a) (x a)

8 Interpretacja geometryczna f a f a P 19 4 Równanie siecznej PQ y f (a) = f (a + ) f (a) (x a)

9 Interpretacja geometryczna Q f a f a P 19 4 Równanie siecznej PQ y f (a) = f (a + ) f (a) (x a)

10 Interpretacja geometryczna 3 Q f a f a P 19 4 Równanie siecznej PQ y f (a) = f (a + ) f (a) (x a)

11 Interpretacja geometryczna 3 Q f a f a P 19 4 Równanie siecznej PQ y f (a) = f (a + ) f (a) (x a)

12 Interpretacja geometryczna 3 2 Q f a f a P 19 4 Równanie siecznej PQ y f (a) = f (a + ) f (a) (x a)

13 Interpretacja geometryczna Q 2 P 19 4 f a f a Równanie siecznej PQ y f (a) = f (a + ) f (a) (x a)

14 Interpretacja geometryczna P Q 19 4 f a f a Równanie siecznej PQ y f (a) = f (a + ) f (a) (x a)

15 Interpretacja geometryczna P Q 19 4 Równanie siecznej PQ y f (a) = f (a + ) f (a) (x a)

16 Interpretacja geometryczna P = (a, f (a)) Q = (a +, f (a + )) Zakładając, że funkcja f jest ciągła zacodzi implikacja 0 Q P, czyli sieczna PQ dąży do stycznej do wykresu funkcji f w punkcie P.

17 Interpretacja geometryczna Wniosek Jeżeli f jest różniczkowalna w punkcie a, to istnieje styczna do wykresu funkcji f w punkcie (a, f (a)), której równanie ma postać y f (a) = f (a)(x a).

18 Interpretacja geometryczna Wniosek Jeżeli f jest różniczkowalna w punkcie a, to istnieje styczna do wykresu funkcji f w punkcie (a, f (a)), której równanie ma postać y f (a) = f (a)(x a). Wniosek Jeżeli f jest różniczkowalna w punkcie a, to liczba f (a) jest współczynnikiem kierunkowym prostej l stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (a, f (a)). Innymi słowy f (a) = tg (γ), gdzie γ jest kątem jaki tworzy styczna l z osią x.

19 Różniczkowalność a ciągłość Twierdzenie Jeżeli funkcja f : A R jest różniczkowalna w punkcie a A, to jest w tym punkcie ciągła. W konsekwencji: Jeśli f jest różniczkowalna, to jest ciągła.

20 Różniczkowalność a ciągłość Twierdzenie Jeżeli funkcja f : A R jest różniczkowalna w punkcie a A, to jest w tym punkcie ciągła. W konsekwencji: Jeśli f jest różniczkowalna, to jest ciągła.

21 Różniczkowalność a ciągłość Twierdzenie Jeżeli funkcja f : A R jest różniczkowalna w punkcie a A, to jest w tym punkcie ciągła. W konsekwencji: Jeśli f jest różniczkowalna, to jest ciągła. Funkcje ciągłe, które nie są różniczkowalne: m : R R m(x) := x

22 Różniczkowalność a ciągłość Twierdzenie Jeżeli funkcja f : A R jest różniczkowalna w punkcie a A, to jest w tym punkcie ciągła. W konsekwencji: Jeśli f jest różniczkowalna, to jest ciągła. Funkcje ciągłe, które nie są różniczkowalne: s : R R { x sin 1 s(x) := x, dla x 0; 0, dla x =

23 Różniczkowanie funkcji elementarnyc

24 Różniczkowanie kombinacji liniowej funkcji Twierdzenie Jeżeli funkcje f, g : A R są różniczkowalne w punkcie a oraz α, β R, to funkcja αf + βg jest różniczkowalna w tym punkcie oraz (αf + βg) (a) = αf (a) + βg (a).

25 Różniczkowanie kombinacji liniowej funkcji Twierdzenie Jeżeli funkcje f, g : A R są różniczkowalne w punkcie a oraz α, β R, to funkcja αf + βg jest różniczkowalna w tym punkcie oraz (αf + βg) (a) = αf (a) + βg (a). Uwaga Powyższe twierdzenie orzeka, że różniczkowanie jest operacją liniową.

26 Różniczkowanie iloczynu Twierdzenie Jeżeli funkcje f, g : A R są różniczkowalne w punkcie a, to fg jest różniczkowalna w tym punkcie oraz (fg) (a) = f (a)g(a) + f (a)g (a).

27 Różniczkowanie ilorazu Twierdzenie Jeżeli funkcje f, g : A R są różniczkowalne w punkcie a oraz g(a) 0, to f /g jest różniczkowalna w tym punkcie oraz ( ) f (a) = f (a)g(a) f (a)g (a) g g(a) 2.