Wielomiany. El»bieta Sadowska-Owczorz. 19 listopada 2018

Transkrypt

1 Wielomiany El»bieta Sadowska-Owczorz 19 listopada 2018

2 Wielomianem nazywamy wyra»enie postaci a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = n a k x k. k=0 Funkcj wielomianow nazywamy funkcj W : K K postaci W (x) = a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = n a k x k. k=0 Stopniem stw wielomianu W nazywamy liczb ze zbioru N 0 tak,»e stw = max {k N : a k 0}

3 Wielomianem nazywamy wyra»enie postaci a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = n a k x k. k=0 Funkcj wielomianow nazywamy funkcj W : K K postaci W (x) = a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = n a k x k. k=0 Stopniem stw wielomianu W nazywamy liczb ze zbioru N 0 tak,»e stw = max {k N : a k 0}

4 Wielomianem nazywamy wyra»enie postaci a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = n a k x k. k=0 Funkcj wielomianow nazywamy funkcj W : K K postaci W (x) = a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = n a k x k. k=0 Stopniem stw wielomianu W nazywamy liczb ze zbioru N 0 tak,»e stw = max {k N : a k 0}

5 Dla danych dwóch wielumianów W, V : K K dodawanie i mno»enie deniujemy w nast puj cy sposób: (W + V ) : K K oraz x K (W + V ) (x) = W (x) + V (x) (W V ) : K K oraz x K (W V ) (x) = W (x) V (x) st (W + V ) stw + stv st (W V ) = stw stv Dla danego wielumianu W : K K mno»enie przez liczb deniujemy w nast puj cy sposób: (a W ) : K K oraz x K (a W ) (x) = a W (x) Ponadto, je±li a 0, st (a W ) = stw

6 Dla danych dwóch wielumianów W, V : K K dodawanie i mno»enie deniujemy w nast puj cy sposób: Ponadto (W + V ) : K K oraz x K (W + V ) (x) = W (x) + V (x) (W V ) : K K oraz x K (W V ) (x) = W (x) V (x) st (W + V ) stw + stv st (W V ) = stw stv Dla danego wielumianu W : K K mno»enie przez liczb deniujemy w nast puj cy sposób: (a W ) : K K oraz x K (a W ) (x) = a W (x) Ponadto, je±li a 0, st (a W ) = stw

7 Dla danych dwóch wielumianów W, V : K K dodawanie i mno»enie deniujemy w nast puj cy sposób: Ponadto (W + V ) : K K oraz x K (W + V ) (x) = W (x) + V (x) (W V ) : K K oraz x K (W V ) (x) = W (x) V (x) st (W + V ) stw + stv st (W V ) = stw stv Dla danego wielumianu W : K K mno»enie przez liczb deniujemy w nast puj cy sposób: (a W ) : K K oraz x K (a W ) (x) = a W (x) Ponadto, je±li a 0, st (a W ) = stw

8 Dla danych dwóch wielumianów W, V : K K dodawanie i mno»enie deniujemy w nast puj cy sposób: Ponadto (W + V ) : K K oraz x K (W + V ) (x) = W (x) + V (x) (W V ) : K K oraz x K (W V ) (x) = W (x) V (x) st (W + V ) stw + stv st (W V ) = stw stv Dla danego wielumianu W : K K mno»enie przez liczb deniujemy w nast puj cy sposób: (a W ) : K K oraz x K (a W ) (x) = a W (x) Ponadto, je±li a 0, st (a W ) = stw

9 Twierdzenie Dla danych dwóch wielomianów W, V : K K istnieje dokªadnie jedna para wielomianów P, R : K K, takich,»e W = P V + R, str < stv. Wielomian W jest podzielny przez wielomian V wtedy i tylko wtedy, gdy R 0.

10 Twierdzenie Dla danych dwóch wielomianów W, V : K K istnieje dokªadnie jedna para wielomianów P, R : K K, takich,»e W = P V + R, str < stv. Wielomian W jest podzielny przez wielomian V wtedy i tylko wtedy, gdy R 0.

11 Twierdzenie Dla danych dwóch wielomianów W, V : K K istnieje dokªadnie jedna para wielomianów P, R : K K, takich,»e W = P V + R, str < stv. Wielomian W jest podzielny przez wielomian V wtedy i tylko wtedy, gdy R 0.

12 Twierdzenie Dla danych dwóch wielomianów W, V : K K istnieje dokªadnie jedna para wielomianów P, R : K K, takich,»e W = P V + R, str < stv. Wielomian W jest podzielny przez wielomian V wtedy i tylko wtedy, gdy R 0.

13 Twierdzenie Dla danych dwóch wielomianów W, V : K K istnieje dokªadnie jedna para wielomianów P, R : K K, takich,»e W = P V + R, str < stv. Wielomian W jest podzielny przez wielomian V wtedy i tylko wtedy, gdy R 0. Oznaczenie : V (x) W (x)

14 Pierwiastkiem wielomianu W nazywamy tak liczb a,»e W (a) = 0. Twierdzenie (Bézout) Wielomian W jest podzielny przez dwumian (x a) wtedy i tyko wtedy, gdy a jest pierwiastkiem wielomianu W.

15 Pierwiastkiem wielomianu W nazywamy tak liczb a,»e W (a) = 0. Twierdzenie (Bézout) Wielomian W jest podzielny przez dwumian (x a) wtedy i tyko wtedy, gdy a jest pierwiastkiem wielomianu W.

16 Pierwiastkiem wielomianu W nazywamy tak liczb a,»e W (a) = 0. Twierdzenie (Bézout) Wielomian W jest podzielny przez dwumian (x a) wtedy i tyko wtedy, gdy a jest pierwiastkiem wielomianu W. (x a) W (x) W (a) = 0

17 k-krotnym pierwiastkiem wielomianu W nazywamy tak liczb a,»e (x a) k W (x), (x a) k+1 W (x).

18 k-krotnym pierwiastkiem wielomianu W nazywamy tak liczb a,»e (x a) k W (x), (x a) k+1 W (x).

19 k-krotnym pierwiastkiem wielomianu W nazywamy tak liczb a,»e (x a) k W (x), (x a) k+1 W (x).

20 Twierdzenie Je±li wielomian W (x) = a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 stopnia n o wspóªczynnikach caªkowitych ma pierwiastki wymierne, to s one postaci p q, gdzie p a 0 i q a n.

21 Twierdzenie (Rozkªad wielomianu rzeczywistego na czynniki) Ka»dy wielomian rzeczywisty W mo»na przedstawi w postaci: W (x) = A n (x a i ) α i i=1 gdzie j < 0 dla j = 1,..., m. m j=1 ( x 2 + b j x + c j ) βj, Twierdzenie (Zasadnicze twierdzenie algebry) Ka»dy wielomian zespolony stopnia co najmniej pierwszego ma pierwiastek zespolony. Twierdzenie (Rozkªad wielomianu zespolonego na czynniki) Ka»dy wielomian zespolony W mo»na przedstawi w postaci: W (x) = A n (x a i ) α i. i=1

22 Twierdzenie (Rozkªad wielomianu rzeczywistego na czynniki) Ka»dy wielomian rzeczywisty W mo»na przedstawi w postaci: W (x) = A n (x a i ) α i i=1 gdzie j < 0 dla j = 1,..., m. m j=1 ( x 2 + b j x + c j ) βj, Twierdzenie (Zasadnicze twierdzenie algebry) Ka»dy wielomian zespolony stopnia co najmniej pierwszego ma pierwiastek zespolony. Twierdzenie (Rozkªad wielomianu zespolonego na czynniki) Ka»dy wielomian zespolony W mo»na przedstawi w postaci: W (x) = A n (x a i ) α i. i=1

23 Twierdzenie (Rozkªad wielomianu rzeczywistego na czynniki) Ka»dy wielomian rzeczywisty W mo»na przedstawi w postaci: W (x) = A n (x a i ) α i i=1 gdzie j < 0 dla j = 1,..., m. m j=1 ( x 2 + b j x + c j ) βj, Twierdzenie (Zasadnicze twierdzenie algebry) Ka»dy wielomian zespolony stopnia co najmniej pierwszego ma pierwiastek zespolony. Twierdzenie (Rozkªad wielomianu zespolonego na czynniki) Ka»dy wielomian zespolony W mo»na przedstawi w postaci: W (x) = A n (x a i ) α i. i=1