Matematyka dyskretna Lista zada«
|
|
- Teresa Orzechowska
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Matematyka dyskretna Lista zada«informatyka, WPPT PWr semestr letni 208/209 Rozgrzewka Niech k, n N oraz x, y R Przez [n] oznaczamy zbiór {, 2, 3,, n} Przez P (A zbiór pot gowy zbioru A silnia dolna: x k = x(x (x k +, x 0 = silnia górna: x k = x(x + (x + k, x 0 = symbol Newtona: ( x k = x k k! dwumian Newtona: (x + y n = n k=0 k x k y n k Zad Na ile sposobów mo»na ustawi 8 osób w szeregu? A na ile w kóªku? Zad 2 Na ile sposobów mo»na na szachownicy ustawi 8 wie» tak, aby»adne dwie si nie biªy, je±li wie»e s nierozró»nialne? A na ile, je±li s rozró»nialne? Zad 3 Przyjmijy,»e kod PIN mo»e by dowolnym ukªadem czterech cyfr Ile jest PIN-ów, w których jaka± cyfra si powtarza? Zad 4 Rozwa»my wszystkie ci gi dªugo±ci n o wyrazach P, I, K, A, C, H, U Ile jest wszystkich takich ci gów? Ile takich, w których»adna litera nie wyst puje 2 razy pod rz d? Ile takich,»e w±ród ka»dych kolejnych 7 wyrazów wyst puje wszystkie siedem liter? Zad 5 Znajd¹ liczb dzielników liczby 6000 Zad 6 Na pªaszczy¹nie jest 2 punktów Ile trójk tów wyznaczaj te punkty, je±li»adne trzy nie s wspóªliniowe? A ile, je±li 5 punktów le»y na jedenj prostej, a poza tym»adne trzy nie s wspóªliniowe? Zad 7 Na ile sposobów mo»na przej± po kracie 5 8 poruszaj c si tylko w gór lub w prawo? Zad 8 Ile razy wykonywana jest operacja OP wewn trz p tli for i= to n do for j=i to n do OP(i,j? Zad 9 Oblicz n n, n, ( k, ( k Zad 0 Ile jest funkcji cz ±ciowych ze zbioru n elementowego w zbiór m elementowy? (Funkcja cz ±ciowa z X w Y to funkcja f : X Y, gdzie X X Zad Wyznacz moc zbiorów {(A, B P ([n] 2 : A B} oraz {(A, B, C P ([n] 3 : A B C} Zad 2 Wyznacz moc zbioru {k [000] : 2 k 5 k 7 k} Zad 3 Niech X i = [n] {i} dla i [n] Wyznacz moc zbioru S n = {A P ([n] [n] : ( i [n](a X i } Oblicz lim n S n /2 n2
2 2 Wspóªczynniki dwumianowe, to»samo±ci kombinatoryczne Zad 4 Zapisz za pomoc jednego symbolu Newtona n k=0 k 2 Zad 5 Oblicz ( ( 0 + ( ( 0 50 oraz ( 0 + ( ( ( 0 Zad 6 Uogólnij rozwi zanie zadania 7 z poprzedniej listy na krat k m Wykorzystaj to zadanie do udowodnienia to»samo±ci Pascala ( ( ( n n n = + k k k 0 Zad 7 Ile jest podzbiorów mocy parzystej zbioru n-elementowego? Zad 8 Policz na dwa sposoby, ile jest mo»liwo±ci wyboru trzech rozdziaªów z ksi»ki maj cej ich n +, aby udowodni to»samo± n ( ( k n + = 2 3 k=2 Wyprowad¹ z niej wzór na sum kwadratów Uogólnij to»samo± tak, by otrzyma wzór na + m+ Zad 9 Przedstaw dowód kombinatoryczny oraz algebraiczny to»samo±ci k ( k( j = n j j k j Zad 20 Znajd¹ zwart posta sum n k=0 k k+ oraz n ( k k=0 k k+ Zad 2 Znajd¹ zwart posta sumy n k= k k 2 Skorzystaj z to»samo±ci n k= k k = n 2 n Zad 22 Wyznacz n k=0 ( k k 2 Wskazówka: skorzystaj z tego,»e ( x 2 n = ( x n ( + x n Zad 23 Poka»,»e iloczyn k kolejnych liczb naturalnych dzieli si przez k! Zad 24 Zaªó»my,»e p jest liczb pierwsz oraz 0 < k < p Poka»,»e p ( p k 2 Poka»,»e je±li p jest liczb pierwsz oraz a, b N, to (a + b p (a p + b p ( mod p 3 Wyprowad¹ z poprzedniego podpunktu Maªe Twierdzenie Fermata 2
3 3 Zliczanie, wzór wª cze«i wyª cze«wzór wª cze«i wyª cze«dla zbiorów sko«czonych A, A 2,, A n prawd jest,»e A A 2 A n = n A i i= i<j n A i A j + i<j<k n A i A j A k +( n+ A A 2 A n Zad 25 Ile jest rozmieszcze«uporz dkowanych k ró»nych elementów w n ró»nych pudeªkach (pudeªko mo»e by puste, kolejno± elementów w pudeªku ma znaczenie? Zad 26 Ile rozwi za«w zbiorze liczb caªkowitych nieujemnych ma równanie a + a a n = k? A ile w zbiorze liczb caªkowitych dodatnich? Zad 27 Znajd¹ liczb czwórek (a, a 2, a 3, a 4 liczb caªkowitych nieujemnych, które speªniaj warunek a a 2 a 3 a 4 n Zad 28 Ile jest funkcji rosn cych f : {, 2,, n} {, 2,, k}? Zad 29 Policz, ile jest liczb pierwszych mniejszych od 00 Zad 30 Ile jest liczb 3-cyfrowych takich,»e ka»da cyfra wyst puje w nich cho raz? Zad 3 Niech n Funkcja Eulera ϕ(n liczy, ile jest liczb naturalnych w przedziale [, n] wzgl dnie pierwszych z n Poka»,»e je±li n jest iloczynem trzech ró»nych liczb pierwszych n = pqr, to ϕ(n = n( p ( q ( r Zad 32 Znajd¹ liczb ci gów dªugo±ci 2n takich,»e ka»da liczba i {, 2,, n} wyst puje dokªadnie dwa razy, przy czym»adne dwa kolejne wyrazy nie s równe Zad 33 Poka»,»e (n + m k = Wskazówka: Podziel obie strony równo±ci przez k! k s=0 ( k n s m k s s Zad 34 Poka»,»e x k = ( k ( x k, a nast pnie udowodnij (n + m k = k s=0 ( k n s m k s s 3
4 4 Zasada szuadkowa Dirichleta, wzór Stirlinga Wzór Stirlinga: n! 2πn e n Zad 35 Niech A b dzie ustalonym dziesi cioelementowym podzbiorem zbioru {, 2,, 50} Udowodnij,»e w zbiorze A istniej dwa ró»ne pi cioelementowe podzbiory takie,»e sumy wszystkich elementów ka»dego z nich s równe Zad 36 Niech a, a 2,, a n b d, niekoniecznie ró»nymi, liczbami caªkowitymi Poka»,»e suma pewnych spo±ród nich jest wielokrotno±ci liczby n Zad 37 Udowodnij,»e na Facebooku musz istnie dwie osoby, które maj tak sam liczb znajomych (zakªadamy,»e relacja znajomo±ci jest symetryczna, oraz»e na facebooku jest zarejestrowana wi cej ni» jedna osoba Zad 38 Udowodnij,»e dla dowolnych liczb naturalnych k n mamy ( k n e k k k k Zad 39 Zastosuj wzór Stirlinga do wyznaczenia przybli»e«liczb ( ( 2n n oraz n n/2 Zad 40 Poka»,»e k= 2k 2k 2k 2k+ = lim n 24n (n! 4 ((2n! 2 (2n+ Zad 4 Funkcj specjaln gamma deniuje si nast puj co Γ(z = 0 t z e t dt Z czym kojarzysz to wyra»enie? Rozszerza ona poj cie silni na liczby rzeczywiste, a nawet zespolone Je»eli cz ± rzeczywista liczby z jest dodatnia, to caªka ta jest zbie»na bezwzgl dnie Oblicz Γ( 2 Caªkuj c przez cz ±ci poka»,»e Γ(z + = zγ(z 3 Niech n N Wyra¹ n! za pomoc funkcji gamma 4
5 5 Liczby Stirlinga II rodzaju, liczby Bella Liczby Stirlinga II rodzaju (liczba podziaªów zbioru mocy n na k niepustych podzbiorów Dla k, n > 0 { } { } { } { } { } n n n n 0 = + k, = 0, = k k k 0 0 Liczby Bella (liczba partycji zbioru mocy n: B n = n { n k=0 k} Dla n 0 n ( n B n+ = B k, B 0 = k k=0 Zad 42 Niech n 3 Udowodnij,»e funkcji na f : A B, gdzie A = n, B = 3, jest 3 n 3 2 n +3 Podaj wzór na { n 3} Zad 43 Niech X = n, Y = k Przypomnij z wykªadu wzór na liczb surjekcji (funkcji na f : X na Y Wyra¹ liczb surjekcji wykorzystuj c liczb Stirlinga drugiego rodzaju Podaj wzór na { n k} Zad 44 Uzasadnij,»e { } n + = m + n ( { } n k k m Wykorzystaj t to»samo± do uzasadnienia zale»no±ci rekurencyjnej dla liczb Bella Zad 45 Rozwi» jeszcze raz zadanie 30 Tym razem u»yj liczb Stirlinga II rodzaju k=m Zad 46 Uzasadnij,»e { } n = k r i r +r 2++r k =n ( n r, r 2,, r k /k! 5
6 6 Permutacje Rz d permutacji σ S n to najmniejsza dodatnia liczba k taka,»e σ k = id Wektor inwersji premutacji σ S n to v = [v, v 2,, v n ], gdzie v i = {k [n] : k < i σ(k > σ(i} dla i [n] Zad 47 Niech σ = ( Wyznacz rozkªad σ na cykle Znajd¹ znak σ, przedstaw j jako zªo»enie transpozycji, przedstaw j jako zªo»enie transpozycji elementów s siednich i wyznacz jej wektor inwersji Zad 48 Niech σ S n Jak zmieni si σ po zªo»eniu z transpozycj τ = (i j z prawej strony (i j? A jak po zªo»eniu z τ z lewej strony? Poka»,»e zªo»enie z transpozycj zmienia znak permutacji, tzn sgn(σ τ = sgn(τ σ = sgn(σ Zad 49 Ile spo±ród permutacji z S n ma t wªasno±,»e jedynka nale»y do cyklu o dªugo±ci k? Zad 50 Permutacja σ S n ma rozkªad na k rozª cznych cykli mocy c,, c k Wyznacz znak i rz d σ Zad 5 Inwolucj nazywamy permutacj σ S n tak,»e σ 2 = id Wyka»,»e ka»da permutacja jest zªo»eniem dwóch inwolucji Zad 52 Znajd¹ liczb inwolucji z S n nie maj cych punktów staªych Zad 53 Ustalmy liczb n > Poka»,»e funkcja sgn : S n {, } jest epimorzmem (homomorzmem na grup (S n, oraz ({, }, 2 Wyznacz j dro odwzorowania sgn 3 Wyznacz moc j dra odwzorowania sgn Zad 54 Czy absolutnie roztargniona sekretarka ma wi ksz szans na wªo»enie cho by jednego listu do wªa±ciwej koperty, gdy ma ona do wysªania 5 listów, czy wówczas, gdy ma do wysªania 6 listów? Zad 55 Na ile sposobów mo»na ustawi na szachownicy 8 jednakowych wie» tak, aby»adne dwie si nie biªy, a ponadto»adna z nich nie znajdowaªa si na przek tnej A B2 H8? 6
7 7 Liczby Stirlinga I rodzaju, liczby harmoniczne Liczby Stirlinga I rodzaju, nieznakowane (liczba podziaªów zbioru mocy n na k rozª cznych cykli Dla k, n > [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] n n n = + (n, = 0, = k k k 0 n-ta liczba harmoniczna to H n = n k= k Funkcja dzeta Riemanna: ζ(r = k= k r Zad 56 Poka»,»e dla n 3 liczby Bella speªniaj B n < n! (Dla n {0,, 2} mamy B n = n! Zad 57 Rozwa»my przestrze«liniow wielomianów stopnia co najwy»ej n nad liczbami rzeczywistymi Wiemy,»e E = {x i : i = 0,, n} oraz F = {x i : i = 0,, n} s bazami tej przestrzeni Na wykªadzie pokazali±my,»e znakowane liczby Stirlinga I rodzaju s(n, k = ( n+k[ n k] s wspóªczynnikami przej±cia z bazy E do bazy F Rozwa»my jeszcze jedn baz G = {x i : i = 0,, n} Poka»,»e nieznakowane liczby Stirlinga I rodzaju [ n k] s wspóªczynnikami przej±cia z bazy E do bazy G Zad 58 Doko«cz z wykªadu dowód tego,»e ±rednia liczba cykli w rozkªadzie na cykle rozª czne permutacji wybranej z S n jednostajnie wynosi H n Zad 59 Poka»,»e [ ] n+ 2 = n!hn Zad 60 Jakie jest prawdopodobie«stwo wylosowania z grupy S n permutacji skª daj cej si z jednego cyklu? A z dwóch? (Losujemy zgodnie z rozkªadem jednostajnym Zad 6 Poka»,»e n k= H k = nh n n Zad 62 Oblicz granice lim n 3n k=2n k oraz lim n n k=0 2k+ Zad 63 Poka»,»e ζ(2 < 2 Przypomnij i zapami taj, ile wynosi ζ(2 Zad 64 Wyznacz sum r=2 (ζ(r 7
8 8 Funkcje tworz ce Funkcj tworz c ci gu {a n } nazywamy A(x = n=0 a nx n Zad 65 Znajd¹ funkcje tworz ce ci gów: a n = /3, b n = (/3 n, c n = 5 n /n!, d n = n, e n = ( n+ Zad 66 Jakim ci gom odpowiadaj funkcje tworz ce: 3x, x 2 +3x, +x 2, xe 2x, 5 6x+x 2, ( x k, x k ( x k, ( + x k + ( x k, (+x 2 ( x 4? Zad 67 Podaj funkcj tworz c liczb Stirlinga I rodzaju, tzn ci gu a n = [ m n] dla ustalonego m Zad 68 Niech A(x oraz B(x b d funkcjami tworz cymi ci gów {a n } n 0 oraz {b n } n 0, odpowiednio Uzasadnij,»e A(x + B(x jest funkcj tworz c ci gu {a n + b n } n 0, 2 ca(x, gdzie c R, jest funckj tworz c ci gu {ca n } n 0, 3 A (x jest funkcj tworz c ci gu {(n + a n+ } n 0 Zad 69 Dany jest ci g a 0 = 2, a n+ = 2a n + Znajd¹ wzór na wyraz ogólny ci gu a n metod funkcji tworz cych Zad 70 Niech c n oznacza liczb ci gów dªugo±ci n utworzonych z liczb ze zbioru {0,, 2} tak, aby ani dwie jedynki ani dwie dwójki nie wyst powaªy w nich bezpo±rednio po sobie Np c 3 = 7: 000, 00, 002, 00, 02, 020, 02, 00, 0, 02, 20, 2, 200, 20, 202, 20, 22 Znajd¹ wzór rekurencyjny na c n, a nast pnie wyznacz wzór nierekurencyjny na c n Zad 7 Niech d n oznacza liczb sposobów otrzymania liczby n jako sumy oczek przy rzutach ko±ci, np d 4 = 8 : (,,,, (,, 2, (, 2,, (2,,, (2, 2, (, 3, (3,, (4 (kolejno± otrzymania poszczególnych skªadowych ma znaczenie Poka»,»e d n jest wspóªczynnikiem przy x n w nast puj cym wielomianie: ( x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 Zad 72 Niech p n oznacza liczb ró»nych podziaªów liczby naturalnej n, np 5 mo»na zapisa na 7 sposobów: 5, 4+, 3+2, 3++, 2+2+, 2+++, ++++ (kolejno± nie ma znaczenia Niech d n oznacza liczb tych podziaªów, w których liczby si nie powtarzaj, r n liczb podziaªów, które zawieraj tylko liczby nieparzyste, czyli np p 5 = 7, d 5 = 3 (5, 4 +, 3 + 2, r 5 = 3 (5, 3 + +, Znajd¹ funkcje tworz ce dla p n, d n, r n i wywnioskuj,»e d n = r n dla ka»dego n Zad 73 Poka»,»e liczby Catalana speªniaj C n = n k=2 n+k k, C n = ( ( 2n n 2n n+ oraz Cn+ = 2(2n+ n+2 C n Przypomnij ich dwie dowolne interpretacje kombinatoryczne Zbadaj asymptotyk C n 8
9 9 Rekurencja liniowa Klasy kombinatoryczne Zad 74 Liczbami Lucasa nazywamy elementy ci gu {L n } speªniaj cego równanie L n+2 = L n+ + L n, gdzie L 0 = 2 oraz L = Znajd¹ wzór ogólny na L n Zad 75 Wyznacz metod równania charakterystycznego rozwi zanie ogólne oraz szczególne poni»- szych jednorodnych rekurencji liniowych: a 0 = 0, a =, a n+2 = 4a n+ 4a n, a 0 =, a = 4, a n+2 = 2a n+ 2a n, a 0 = 0, a =, a 2 = 2, a n+3 = 4a n+2 5a n+ + 2a n Zad 76 Na ile sposobów mo»na pokry szachownic o wymiarach 2 n kostkami o wymiarach 2? A na ile, je±li mamy do dyspozycji tak»e kostki 2 2? Zad 77 Rozwi» równanie niejednorodne a n+2 = a n+ + a n +, gdzie a 0 = 0 oraz a = Wskazówka: a wyznacz najpierw ogólne rozwi zanie równania ã n+2 = ã n+ + ã n ; b spróbuj znale¹ ci g staªy, który jest rozwi zaniem równania a n+2 = a n+ + a n + ; c zbuduj rozwi zanie równania korzystaj c z a i b Zad 78 Niech A = ({a, b}, A, gdzie a A = 2 i b A = 3 oraz B = ({c}, B, gdzie c B = 3 Jak wygl daj klasy kombinatoryczne A + B oraz A B? Wyznacz A(x, B(x, (A + B(x oraz (A B(x 2 Wyznacz SEQ(A(x, MSET (A(x oraz P SET (A(x 3 Podaj interpretacje kombinatoryczne liczb [x n ]A(x, [x n ]SEQ(A(x oraz [x n ]MSET (A(x 4 Wyznacz (w dowolny sposób [x 00 ]MSET (A(x 5 Niech SEQ(A(x = n 0 b nx n Znajd¹ wzór rekurencyjny na ci g b n Zad 79 Niech A b dzie klas kombinatoryczn liczb parzystych, za± B klas kombinatoryczn liczb nieparzystych Wyznacz A(x, B(x oraz (A + B(x Przypomnij, jak wygl da N (x Zad 80 Niech A = ({a, a 2,, a k },, gdzie a = a 2 = = a k = Wyznacz MSET (A(x Znajd¹ wzór na [x n ]MSET (A(x Zad 8 Na ile sposobów mo»na wyrazi liczb 99 za pomoc liczb, 5, 0, 25 (kolejno± nie ma znaczenia? Zad 82 Korzystaj c ze wzoru CY CLE(A(x = ϕ(n n n ln A(x n oblicz, ile ró»nych cykli dªugo±ci mo»na utworzy z dwóch ró»nych elementów? A ile z trzech ró»nych elementów? Zad 83 Zastosuj wzór na CY CLE(A(x z powy»szego zadania do klasy kombinatorycznej zªo»onej z jednego elementu o wadze Wyja±nij, co si staªo Zad 84 Znajd¹ wzór na funkcj tworz c klasy kombinatorycznej drzew takich,»e ka»dy w zeª ma 0, lub 2 dzieci (tzw drzewa Motzkina, przy czym kolejno± poddrzew ma znaczenie Przez wag drzewa rozumiemy liczb jego wszystkich w zªów (zarówno w zªów wewn trznych, jak i li±ci 9
Metodydowodzenia twierdzeń
1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych
Bardziej szczegółowoA = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta
Bardziej szczegółowoELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno±
ELEMENTARNA TEORIA LICZB IZABELA AGATA MALINOWSKA N = {1, 2,...} 1. Podzielno± Denicja 1.1. Niepusty podzbiór A zbioru liczb naturalnych jest ograniczony, je»eli istnieje taka liczba naturalna n 0,»e m
Bardziej szczegółowoWybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb
Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Cz ± I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szyma«ski Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Pozna«2007 2 Podstawowe zasady i prawa przeliczania
Bardziej szczegółowoZadania z PM II A. Strojnowski str. 1. Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematyki seria 2
Zadania z PM II 010-011 A. Strojnowski str. 1 Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematyki seria Zadanie 1 Niech A = {1,, 3, 4} za± T A A b dzie relacj okre±lon wzorem: (a, b) T, gdy n N a n = b. a) Ile
Bardziej szczegółowoWst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki
Wst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki 1 Zadania na wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki Zad. 1. Ile istnieje ró»nych liczb czterocyfrowych zakªadaj c,»e cyfry nie powtarzaj si a
Bardziej szczegółowoFunkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze
Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Cz ± I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szyma«ski Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Pozna«2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zale»no±ci
Bardziej szczegółowoZadania. 4 grudnia k=1
Zadania 4 grudnia 205 Zadanie. Poka»,»e dla dowolnych liczb zespolonych z,..., z n istnieje zbiór B {,..., n}, taki,»e n z k π z k. k B Zadanie 2. Jakie warunki musz speªnia ci gi a n i b n, aby istniaªy
Bardziej szczegółowoInterpolacja funkcjami sklejanymi
Interpolacja funkcjami sklejanymi Funkcje sklejane: Zaªó»my,»e mamy n + 1 w zªów t 0, t 1,, t n takich,»e t 0 < t 1 < < t n Dla danej liczby caªkowitej, nieujemnej k funkcj sklejan stopnia k nazywamy tak
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoMateriaªy do Repetytorium z matematyki
Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (
Bardziej szczegółowoXVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne
1 XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne Kategoria: klasa VIII szkoªy podstawowej i III gimnazjum Olsztyn, 16 maja 2019r. Zad. 1. Udowodnij,»e dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z speªniaj cych
Bardziej szczegółowoZbiory i odwzorowania
Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):
Bardziej szczegółowoPodstawy matematyki dla informatyków
Podstawy matematyki dla informatyków Wykªad 6 10 listopada 2011 W poprzednim odcinku... Zbiory A i B s równoliczne (tej samej mocy ), gdy istnieje bijekcja f : A 1 1 B. Piszemy A B lub A = B. na Moc zbioru
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoWielomiany. El»bieta Sadowska-Owczorz. 19 listopada 2018
Wielomiany El»bieta Sadowska-Owczorz 19 listopada 2018 Wielomianem nazywamy wyra»enie postaci a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = n a k x k. k=0 Funkcj wielomianow nazywamy funkcj W :
Bardziej szczegółowoLiniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach
Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Teoria obowi zuje z wykªadu, dlatego te» zostan tutaj przedstawione tylko podstawowe denicje, twierdzenia i wzory. Denicja 1. Równanie
Bardziej szczegółowoWielomiany o wspóªczynnikach rzeczywistych
Wielomiany o wspóªczynnikach rzeczywistych Wielomian: W (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n 2 +... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 wspóªczynniki wielomianu: a 0, a 1, a 2,..., a n 1, a n ; wyraz wolny: a 0
Bardziej szczegółowoCiaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1
Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Denicja ciaªa Niech F b dzie zbiorem, i niech + (dodawanie) oraz (mno»enie) b d dziaªaniami na zbiorze F. Denicja. Zbiór F wraz z dziaªaniami + i nazywamy ciaªem,
Bardziej szczegółowodet A := a 11, ( 1) 1+j a 1j det A 1j, a 11 a 12 a 21 a 22 Wn. 1 (Wyznacznik macierzy stopnia 2:). = a 11a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32
Wyznacznik Def Wyznacznikiem macierzy kwadratowej nazywamy funkcj, która ka»dej macierzy A = (a ij ) przyporz dkowuje liczb det A zgodnie z nast puj cym schematem indukcyjnym: Dla macierzy A = (a ) stopnia
Bardziej szczegółowoZbiory ograniczone i kresy zbiorów
Zbiory ograniczone i kresy zbiorów Def.. Liczb m nazywamy ograniczeniem dolnym a liczb M ograniczeniem górnym zbioru X R gdy (i) x m; (ii) x M. Mówimy,»e zbiór X jest ograniczony z doªu (odp. z góry) gdy
Bardziej szczegółowo2 Podstawowe obiekty kombinatoryczne
2 Podstawowe obiety ombinatoryczne Oznaczenia: N {0, 1, 2,... } zbiór liczb naturalnych. Dla n N przyjmujemy [n] {1, 2,..., n}. W szczególno±ci [0] jest zbiorem pustym. Je±li A jest zbiorem so«czonym,
Bardziej szczegółowo3. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka
EGZAMIN MAGISTERSKI, 26.06.2017 Biomatematyka 1. (8 punktów) Rozwój wielko±ci pewnej populacji jest opisany równaniem: dn dt = rn(t) (1 + an(t), b gdzie N(t) jest wielko±ci populacji w chwili t, natomiast
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
Bardziej szczegółowoWykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Bardziej szczegółowoPodzbiory Symbol Newtona Zasada szuadkowa Dirichleta Zasada wª czania i wyª czania. Ilo± najkrótszych dróg. Kombinatoryka. Magdalena Lema«ska
Kombinatoryka Magdalena Lema«ska Zasady zaliczenia przedmiotu Zasady zaliczenia przedmiotu Maksymalna ilo± punktów to 100 punktów = 100 procent. Zasady zaliczenia przedmiotu Maksymalna ilo± punktów to
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne
Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne Šukasz Dawidowski Nocne powtórki maturalne 28 kwietnia 2014 r. Troch teorii Funkcj f : R R dan wzorem: f (x) = ax 2 + bx + c gdzie a 0 nazywamy funkcj
Bardziej szczegółowo1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna Liczby w pami ci komputera przedstawiamy w ukªadzie dwójkowym w postaci zmiennopozycyjnej Oznacza to,»e s one postaci ±m c, 01 m < 1, c min c c max, (1) gdzie m nazywamy
Bardziej szczegółowoZagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna
Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?
Bardziej szczegółowoSemestr letni 2014/15
Wst p do arytmetyki modularnej zadania 1. Jaki dzie«tygodnia byª 17 stycznia 2003 roku, a jaki b dzie 23 sierpnia 2178 roku? 2. Jaki dzie«tygodnia byª 21 kwietnia 1952 roku? 3. W jaki dzie«odbyªa si bitwa
Bardziej szczegółowoWykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.
Bardziej szczegółowoZadania z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki. Semestr II.
Zadania z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki. Semestr II. Poni»sze zadania s wyborem zada«z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki jakie przeprowadziªem w ci gu ostatnich lat. Marek Zawadowski Zadanie 1 Napisz
Bardziej szczegółowoInformacje pomocnicze
Funkcje wymierne. Równania i nierówno±ci wymierne Denicja. (uªamki proste) Wyra»enia postaci Informacje pomocnicze A gdzie A d e R n N (dx e) n nazywamy uªamkami prostymi pierwszego rodzaju. Wyra»enia
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoZad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA. W obu podpunktach zakªadamy,»e kolejno± ta«ców jest wa»na.
Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zadanko 1 (12p.) Na imprezie w Noc Kupaªy s 44 dziewczyny. Nosz one 11 ró»nych imion, a dla ka»dego imienia s dokªadnie 4 dziewczyny o tym imieniu przy czym ka»da
Bardziej szczegółowoW poprzednim odcinku... Podstawy matematyki dla informatyków. Relacje równowa»no±ci. Zbiór (typ) ilorazowy. Klasy abstrakcji
W poprzednim odcinku... Podstawy matematyki dla informatyków Rodzina indeksowana {A t } t T podzbiorów D to taka funkcja A : T P(D),»e A(t) = A t, dla dowolnego t T. Wykªad 3 20 pa¹dziernika 2011 Produkt
Bardziej szczegółowo1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci
Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,
Bardziej szczegółowoVincent Van GOGH: M»czyzna pij cy li»ank kawy. Radosªaw Klimek. J zyk programowania Java
J zyk programowania JAVA c 2011 Vincent Van GOGH: M»czyzna pij cy li»ank kawy Zadanie 6. Napisz program, który tworzy tablic 30 liczb wstawia do tej tablicy liczby od 0 do 29 sumuje te elementy tablicy,
Bardziej szczegółowoZadanie 1. (8 punktów) Dana jest nast puj ca macierz: M =
Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach 1. (8 punktów) Dana jest nast puj ca macierz: M = 2 14 2 10 8 0 10 8. a) Znajd¹ rozwi zanie dwuosobowej gry o sumie zero maj cej powy»sz macierz wypªat. b) Przyjmuj
Bardziej szczegółowoO pewnym zadaniu olimpijskim
O pewnym zadaniu olimpijskim Michaª Seweryn, V LO w Krakowie opiekun pracy: dr Jacek Dymel Problem pocz tkowy Na drugim etapie LXII Olimpiady Matematycznej pojawiª si nast puj cy problem: Dla ka»dej liczby
Bardziej szczegółowoJAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1
J zyki formalne i operacje na j zykach J zyki formalne s abstrakcyjnie zbiorami sªów nad alfabetem sko«czonym Σ. J zyk formalny L to opis pewnego problemu decyzyjnego: sªowa to kody instancji (wej±cia)
Bardziej szczegółowoRelacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.
Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór
Bardziej szczegółowoStrategia czy intuicja?
Strategia czy intuicja czyli o grach niesko«czonych Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 29 sierpnia 2009 Denicja gry Najprostszy przypadek: A - zbiór (na ogóª co najwy»ej przeliczalny),
Bardziej szczegółowoUkªady równa«liniowych
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0 in» 7 listopada 206 Ukªady równa«liniowych Informacje pomocnicze Denicja Ogólna posta ukªadu m równa«liniowych z n niewiadomymi x, x, x n, gdzie m, n N jest nast
Bardziej szczegółowoMatematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski
Matematyka 1 Šukasz Dawidowski Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Pochodna funkcji Niech a, b R, a < b. Niech f : (a, b) R b dzie funkcj oraz x, x 0 (a, b) b d ró»nymi punktami przedziaªu (a, b). Wyra»enie
Bardziej szczegółowoGeometria Algebraiczna
Geometria Algebraiczna Zadania domowe: seria 1 Zadania 1-11 to powtórzenie podstawowych poj z teorii kategorii. Zapewne rozwi zywali Pa«stwo te zadania wcze±niej, dlatego nie b d one omawiane na wiczeniach.
Bardziej szczegółowoProste modele o zªo»onej dynamice
Proste modele o zªo»onej dynamice czyli krótki wst p do teorii chaosu Tomasz Rodak Festiwal Nauki, Techniki i Sztuki 2018 April 17, 2018 Dyskretny model pojedynczej populacji Rozwa»my pojedyncz populacj
Bardziej szczegółowo1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0
1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f()=0 1.1 Metoda bisekcji Zaªó»my,»e funkcja f jest ci gªa w [a 0, b 0 ]. Pierwiastek jest w przedziale [a 0, b 0 ] gdy f(a 0 )f(b 0 ) < 0. (1) Ustalmy f(a 0
Bardziej szczegółowo1. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: 2. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie: +j +j 3 Re z = Im z = 5 z ( j) = z j z +
Bardziej szczegółowoCAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016
WYKŠAD CAŠKA NIEOZNACZONA Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 8 lutego 06 Denicja CAŠKA NIEOZNACZONA Funkcja F jest funkcja pierwotn funkcji f na przedziale A, je»eli Zauwa»my,ze F (x) = f (x), dla ka»dego
Bardziej szczegółowox y x y x y x + y x y
Algebra logiki 1 W zbiorze {0, 1} okre±lamy dziaªania dwuargumentowe,, +, oraz dziaªanie jednoargumentowe ( ). Dziaªanie x + y nazywamy dodawaniem modulo 2, a dziaªanie x y nazywamy kresk Sheera. x x 0
Bardziej szczegółowoKurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP
Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Część III Funkcja wymierna, potęgowa, logarytmiczna i wykładnicza Magdalena Alama-Bućko Ewa Fabińska Alfred Witkowski Grażyna Zachwieja Uniwersytet Technologiczno
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski
Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej
Bardziej szczegółowo2 Liczby rzeczywiste - cz. 2
2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 W tej lekcji omówimy pozostaªe tematy zwi zane z liczbami rzeczywistymi. 2. Przedziaªy liczbowe Wyró»niamy nast puj ce rodzaje przedziaªów liczbowych: (a) przedziaªy ograniczone:
Bardziej szczegółowoAlgebra Liniowa 2. Zadania do samodzielnych wicze«wydziaª Elektroniki, I rok Karina Olszak i Zbigniew Olszak
Algebra Liniowa 2 Zadania do samodzielnych wicze«wydziaª Elektroniki, I rok Karina Olszak i Zbigniew Olszak Podobie«stwo macierzy, diagonalizacja macierzy 1. Znale¹ macierze przeksztaªcenia liniowego T
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoInformatyka. z przedmiotu RACHUNEK PRAWDOPODOBIE STWA
Informatyka Zbiór przykªadowych prac kontrolnych oraz przykªadowych zada«egzaminacyjnych z przedmiotu RACHUNEK PRAWDOPODOBIE STWA Sprawdzian 1, M09-02 Zadanie 1 (1p) W rzucie dwiema kostkami obliczy prawdopodobie«stwo
Bardziej szczegółowoPrzekroje Dedekinda 1
Przekroje Dedekinda 1 O liczbach wymiernych (tj. zbiorze Q) wiemy,»e: 1. zbiór Q jest uporz dkowany relacj mniejszo±ci < ; 2. zbiór liczb wymiernych jest g sty, tzn.: p, q Q : p < q w : p < w < q 3. 2
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej Denicja 1. Niech X = R n b dzie przestrzeni unormowan oraz d(x, y) = x y.
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYK ADOWY ZESTAW ZADA NR 2. Miejsce na naklejk z kodem szko y CKE MARZEC ROK Czas pracy 150 minut
Miejsce na naklejk z kodem szko y CKE MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY MARZEC ROK 2008 PRZYK ADOWY ZESTAW ZADA NR 2 Czas pracy 150 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny zawiera
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl. Przykłady zadań egzaminacyjnych (do liczenia lub dowodzenia)
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl Przykłady zadań egzaminacyjnych (do liczenia lub dowodzenia) 1. Ile układów kart w pokerze to Dwie pary? Dwie pary to układ 5 kart
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoArkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne
Arkusz maturalny Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 1. 9 8 2. 0, (1) 3. 8 9 4. 0, (8) 3 4 4 4 1 jest liczba Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 3 4 4 4
Bardziej szczegółowoInterpolacja Lagrange'a, bazy wielomianów
Rozdziaª 4 Interpolacja Lagrange'a, bazy wielomianów W tym rozdziale zajmiemy si interpolacj wielomianow. Zadanie interpolacji wielomianowej polega na znalezieniu wielomianu stopnia nie wi kszego od n,
Bardziej szczegółowoInformacje pomocnicze:
dr Krzysztof yjewski Informatyka; S-I 0.in». 7 grudnia 06 Rachunek caªkowy funkcji jednej zmiennej. Caªka nieoznaczona. przydatne wzory: Informacje pomocnicze: Lp. Wzór Uwagi. dx = x c. adx = ax c 3. x
Bardziej szczegółowoŸ1 Oznaczenia, poj cia wst pne
Ÿ1 Oznaczenia, poj cia wst pne Symbol sumy, j, k Z, j k: k x i = x j + x j+1 + + x k. i=j Przykªad 1.1. Oblicz 5 i=1 2i. Odpowied¹ 1.1. 5 i=1 2i = 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62.
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
UNIWERSYTET IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU Jerzy Jaworski, Zbigniew Palka, Jerzy Szyma«ski Matematyka dyskretna dla informatyków uzupeænienia Pozna«007 A Notacja asymptotyczna Badaj c du»e obiekty kombinatoryczne
Bardziej szczegółowoX WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne)
X WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne) Zadanie 1 Obecnie u»ywane tablice rejestracyjne wydawane s od 1 maja 2000r. Numery rejestracyjne aut s tworzone ze zbioru
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
EGZAMIN MAGISTERSKI, 12.09.2018r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach Zadanie 1. (8 punktów) W modelu rezerwy R n = u + n (W 1 + + W n ) wiemy,»e W i s iid o rozkªadzie geometrycznym na 0, 1, 2,...
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I 0 lic 21 maja 2018 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(, y b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu
Bardziej szczegółowoWBiA Architektura i Urbanistyka. 1. Wykonaj dziaªania na macierzach: Które z iloczynów: A 2 B, AB 2, BA 2, B 2 3, B = 1 2 0
WBiA Architektura i Urbanistyka Matematyka wiczenia 1. Wykonaj dziaªania na macierzach: 1) 2A + C 2) A C T ) B A 4) B C T 5) A 2 B T 1 0 2 dla A = 1 2 1 1 0 B = ( 1 2 1 0 1 ) C = 1 2 1 0 2 1 0 1 2. Które
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/10 Podziały i liczby Stirlinga Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju) to liczba permutacji
Bardziej szczegółowoMatematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej
Matematyka wykªad 1 Macierze (1) Andrzej Torój Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej 17 wrze±nia 2011 Plan wykªadu 1 2 3 4 5 Plan prezentacji 1 2 3 4 5 Kontakt moja strona internetowa:
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
EGZAMIN MAGISTERSKI, 12.09.2018r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach Zadanie 1. (8 punktów) O rozkªadzie pewnego ryzyka S wiemy,»e: E[(S 20) + ] = 8 E[S 10 < S 20] = 13 P (S 20) = 3 4 P (S 10) = 1
Bardziej szczegółowoFunkcje jednej zmiennej. Granica, ci gªo±. (szkic wykªadu)
Funkcje jednej zmiennej Granica, ci gªo± (szkic wykªadu) opracowaªa Gra»yna Ciecierska 1 Granica funkcji Denicja Niech 0 R, r > 0 Otoczeniem punktu 0 o promieniu r nazywamy przedziaª ( 0 r, 0 +r) Otoczeniem
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Jan Rodziewicz-Bielewicz, Wydziaª Informatyki ZUT May 8, 2019 8 Struktury algebraiczne ZASTOSOWANIE: Kryptograa. 1. Sprawdzi, czy jest dziaªaniem wewn trznym: (a) y y w zbiorze Q,
Bardziej szczegółowo1 Granice funkcji wielu zmiennych.
AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.
Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,
Bardziej szczegółowo1 0 Je»eli wybierzemy baz A = ((1, 1), (2, 1)) to M(f) A A =. 0 2 Daje to znacznie lepszy opis endomorzmu f.
GAL II 2012-2013 A Strojnowski str1 Wykªad 1 Ten semestr rozpoczniemy badaniem endomorzmów sko«czenie wymiarowych przestrzeni liniowych Denicja 11 Niech V b dzie przestrzeni liniow nad ciaªem K 1) Przeksztaªceniem
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoRównania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010
WFTiMS 23 marca 2010 Spis tre±ci 1 Denicja 1 (równanie ró»niczkowe pierwszego rz du) Równanie y = f (t, y) (1) nazywamy równaniem ró»niczkowym zwyczajnym pierwszego rz du w postaci normalnej. Uwaga 1 Ogólna
Bardziej szczegółowoEkstremalnie maªe zbiory
Maªe jest pi kne Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Nadarzyn, 27.08.2011 Zbiory silnie miary zero Przypomnienie Zbiór X [0, 1] jest miary Lebesgue'a zero, gdy dla ka»dego ε > 0 istnieje ci
Bardziej szczegółowoZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI
Zadanie 51. ( pkt) Rozwi równanie 3 x 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x 3y 5 Rozwi uk ad równa. x y 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwi nierówno x 6x 7 0. ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 54. ( pkt) 3 Rozwi
Bardziej szczegółowoMatematyka. Justyna Winnicka. rok akademicki 2016/2017. Szkoªa Gªówna Handlowa
Matematyka Justyna Winnicka Szkoªa Gªówna Handlowa rok akademicki 2016/2017 kontakt, konsultacje, koordynator mail: justa_kowalska@yahoo.com, jkowal4@sgh.waw.pl, justyna.winnicka@sgh.waw.pl konsultacje:
Bardziej szczegółowoWektory w przestrzeni
Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem
Bardziej szczegółowoPodstawy matematyki dla informatyków. Funkcje. Funkcje caªkowite i cz ±ciowe. Deniowanie funkcji. Wykªad pa¹dziernika 2012
Podstawy matematyki dla informatyków Wykªad 3 Funkcje 18 pa¹dziernika 2012 Deniowanie funkcji Funkcje caªkowite i cz ±ciowe Denicja wprost: f (x) = x + y f = λx. x + y Denicja warunkowa: { n/2, je±li n
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoRACHUNEK ZBIORÓW 2 A B = B A
RCHUNEK ZIORÓW 2 DZIŁNI N ZIORCH Sum (uni ) zbiorów i nazywamy zbiór, którego elementami s wszystkie elementy nale ce do zbioru lub do zbioru. = {x : x x } ZDNIE = = = Wyznacz sumy:,, C, D, E, D E dla
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności
Bardziej szczegółowo5. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach ( Niezale»ne szkody maja rozkªady P (X i = k) = exp( 1)/k!, P (Y i = k) = 4+k ) k (1/3) 5 (/3) k, k = 0, 1,.... Niech S = X 1 +... + X 500 + Y 1 +... + Y 500. Skªadka
Bardziej szczegółowoKolokwium Zadanie 1. Dla jakich warto±ci parametrów a i b funkcja sklejona
Kolokwium 3 0.0. Zadanie. Dla jakich warto±ci parametrów a i b funkcja sklejona a : π, f() = cos() : π < π, a + b : π < jest ci gªa? Rozwi zanie: Funkcja jest ci gªa we wszystkich punktach poza, by mo»e,
Bardziej szczegółowoMATERIA DIAGNOSTYCZNY Z MATEMATYKI
dysleksja MATERIA DIAGNOSTYCZNY Z MATEMATYKI Arkusz II POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 150 minut Instrukcja dla ucznia 1. Sprawd, czy arkusz zawiera 12 ponumerowanych stron. Ewentualny brak zg o przewodnicz
Bardziej szczegółowoPRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI
PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Zestaw P POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla pisz cego 1. Sprawd, czy arkusz zawiera 17 stron.. W zadaniach od 1. do 0. s podane 4 odpowiedzi:
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoOba zbiory s uporz dkowane liniowo. Badamy funkcj w pobli»u kresów dziedziny. Pewne punkty szczególne (np. zmiana denicji funkcji).
Plan Spis tre±ci 1 Granica 1 1.1 Po co?................................. 1 1.2 Denicje i twierdzenia........................ 4 1.3 Asymptotyka, granice niewªa±ciwe................. 7 2 Asymptoty 8 2.1
Bardziej szczegółowoZADANIA. Maciej Zakarczemny
ZADANIA Maciej Zakarczemny 2 Spis tre±ci 1 Algebra 5 2 Analiza 7 2.1 Granice iterowane, granica podwójna funkcji dwóch zmiennych....... 7 2.2 Caªki powierzchniowe zorientowane...................... 8 2.2.1
Bardziej szczegółowoElementy geometrii w przestrzeni R 3
Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi
Bardziej szczegółowo