2 Funkcjetrygonometryczne.

Transkrypt

1 Katedra Matematki Funkcjetrgonometrczne.. Kąt i jego miara MATEMATYKA- zajęcia wrównawcze kierunek: Automatka i Robotka rok ak. 009/00 Definicja. Części płaszczzn ograniczone dwiema półprostmi p i wchodzącmi ze wspólnegopunktuonazwamkątami,przczmkątjestkątemwpukłm,zaśβkątemwklęsłm. Półproste k i l nazwam ramionami tch kątów, a punkt O ich wierzchołkiem. β O p Miara stopniowa stosowana w geometrii oparta jest na podziale pełnego kąta na 60 równch części,tzn.60.dalszegopodziałudokonujesięwsstemiesześćdziesiątkowm,tzn. =60 (minut), =60 (sekund). Do ilościowego opisu kąta stosuje się również tzw. miarę łukową. MiarąłukowąkątanazwamliczbębędącąstosunkiemdługościlłukuokręguośrodkuwO, zawartego wewnątrz kąta, do promienia okręgu r. Jednostką miar łukowej jest radian(rad) będąc miarą kąta, którego długość łuku okręgu l jest równa promieniowi okręgu. rad= ,8 =57,958 O r l p = l r Kąt, którego jedno ramię p wróżniam jako początkowe, a drugie jako końcowe nazwam kątem skierowanm. O p Kąt skierowan otrzmujem przez obrót na płaszczźnie półprostej wchodzącej z ustalonego punktu O. Jeżeli kierunek obrotu jest przeciwn do ruchu wskazówek zegara, to przjmujem, że kąt ma miarę dodatnią, a jeżeli kierunek jest zgodn z ruchem wskazówek zegara, to kąt ma miarę ujemną. Wgeodezjikątpłaskimierzsięwgradusach.Kątpełnodpowiada400gradusom. Projekt współfinansowan ze środków Unii Europejskiej

2 Katedra Matematki MATEMATYKA- zajęcia wrównawcze kierunek: Automatka i Robotka rok ak. 009/00. Funkcje trgonometrczne kąta skierowanego Niech będzie miarą dowolnego kąta skierowanego na płaszczźnie XOY. Wówczas r P(,) sin( ) : R sin= r, cos( ) : R cos= r, { } tg( ) : R\ +k:k Z tg=, ctg( ) : R\{k:k Z} ctg=.. Związki międz funkcjami trgonometrcznmi tego samego argumentu R sin +cos = R\{ +k:k Z} tg= sin cos, R\{k:k Z} ctg= cos sin, R\{ k :k Z} tg ctg=..4 Funkcje trgonometrczne podwojonego argumentu oraz sum i różnic argumentów sin(±β) = sincosβ±cossinβ, cos(±β) = coscosβ sinsinβ, sin = sincos, cos = cos sin =cos = sin..5 Okresowość funkcji trgonometrcznch Funkcje sin( ) i cos( ) są funkcjami okresowmi o okresie podstawowm, natomiast funkcje tg( ) i ctg( ) są funkcjami okresowmi o okresie podstawowm, tzn. sin(+k)=sin, k Z, cos(+k)=cos, k Z, tg(+k)=tg, k Z, ctg(+k)=ctg, k Z. Projekt współfinansowan ze środków Unii Europejskiej

3 Katedra Matematki MATEMATYKA- zajęcia wrównawcze kierunek: Automatka i Robotka rok ak. 009/00.6 Parzstość funkcji trgonometrcznch Funkcja cos( ) jest funkcją parzstą, zaś pozostałe funkcje są nieparzste, tzn.: cos( )=cos, sin( )= sin,tg( )=tg,ctg( )= ctg..7 Znaki funkcji trgonometrcznch w poszczególnch ćwiartkach Zakreskąta; (0,90 ) (90,80 ) (80,70 ) (70,60 ) ( ) ( ( 0,,), ( ),) sin + + cos + + tg + + ctg Wartości funkcji trgonometrcznch podstawowch argumentów = Kątwstopniach Miarałukowa 0 6 sin 0 cos tg 0.9 Wzorredukcjne 4 ctg sinβ cos cos sin sin cos cos sin sin cosβ sin sin cos cos sin sin cos cos tgβ ctg ctg tg tg ctg ctg tg tg ctgβ tg tg ctg ctg tg tg ctg ctg β= UWAGA! Wzor redukcjne można zapamiętać stosując dwie zasad: ZASADA I: Ustalanie znaku, patrz.7. ZASADAII:W okolicach i funkcjazmieniasięnakofunkcję(tzn.sin( )nacos( ),cos( ) nasin( ),tg( )nactg( )ictg( )natg( )). Projekt współfinansowan ze środków Unii Europejskiej 4

4 Katedra Matematki MATEMATYKA- zajęcia wrównawcze kierunek: Automatka i Robotka rok ak. 009/00.0 Wkres funkcji trgonometrcznch Niech będzie argumentem funkcji trgonometrcznch. Wted mam następując opis tch funkcji=sin,=cos,=tgi=ctg. arc() - - Rsunek : Konstrukcja sinusoid. arc() - - Rsunek : Konstrukcja cosinusoid. =sin - Rsunek : Wkres funkcji sin( )(sinusoida). Projekt współfinansowan ze środków Unii Europejskiej 5

5 Katedra Matematki MATEMATYKA- zajęcia wrównawcze kierunek: Automatka i Robotka rok ak. 009/00 =cos - Rsunek 4: Wkres funkcji cos( )(cosinusoida). =tg - - Rsunek 5: Wkres funkcji tg( )(tangensoida) =ctg - - Rsunek 6: Wkres funkcji ctg( )(cotangensoida). Projekt współfinansowan ze środków Unii Europejskiej 6