Funkcje trygonometryczne
|
|
- Jakub Piasecki
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Funkcje trygonometryczne Piotr Rzonsowski Teoria Definicja. Sinusem kąta ostrego α nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α do przeciwprostokątnej sin α = b c. Cosinusem kąta ostrego α nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej przy kącie α do przeciwprostokątnej cos α = a c. Tangensem kąta ostrego α nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α do przyprostokątnej leżącej przy kącie α tg α = b a. Cotangensem kąta ostrego α nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej przy kącie α do przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α ctg α = a b c b sin α = b c tg α = b a α a cos α = a c ctg α = a b Przykład. blicz wartości funkcji sin, cos, tg, ctg, dla kąta α w trójkącie ABC. C c = 5 b = α A B a = 4 Korzystając ze wzorów dostajemy: sin α = b c = 5, cos α = a c = 4 5 tg α = b a = 4, ctg α = a b = 4
2 Definicja. Miara łukowa kąta środkowego w okręgu, to liczba równa stosunkowi długości łuku, na którym oparty jest ten kąt, do długości promienia okręgu r α r l miara łukowa kąta α wynosi l r. Kąt o mierze łukowej nazywamy radianem. radian (w skrócie rad), to miara kąta środkowego, który wycina z okręgu koła łuk o długości równej długości promienia okręgu. Zauważmy, że rad 5, oraz 0, 0 rad r rad r r Definicja. Liczba to stosunek długości okręgu do długości jego średnicy, jest wielkością stałą niezależną od promienia okręgu. miara w stopniach miara łukowa 6 4 Uwaga. Wybrane wartości funkcji trygonometrycznych sin α 0 cos α 0 tg α 0 brak ctg α brak 0 Uwaga. Poniżej podane są wartości liczby, jakie pojawiały się w pracach uczonych świata. Babilończycy (ok. 000 r. p.n.e.):
3 Egipcjanie (ok. 000 r. p.n.e.): ( ) 6 9, Archimedes (III w. p.n.e.):, 4, hinduski matematyk Bhasakara (VII w. n.e.): 54 40, włoski matematyk Leonardo Fibonacci (XIII w.): 864 5, 4599 niemiecki matematyk Gottfried Wilhelm Leibniz (XVII w.): 4 = Chiński matematyk Chang Hing (I w. n. e.): 4 45 Uwaga. Warto pamiętać, że miara łukowa małych kątów jest dobrym przybliżeniem wartości funkcji trygonometrycznych sin i tg, tzn. sin x x oraz tg x x dla dostatecznie małych x. Przykład. Zamień miarę stopniową na miarę łukową dla kąta 40. Zanim zamienimy żądany kąt na radiany zastanówmy się, jak możemy to zrobić dla dowolnego kąta α. W tym celu ułóżmy proporcję Z powyższej proporcji dostajemy równanie 80 α x x 80 = α Dzieląc przez 80 dostajemy wzór na zamianę stopni na radiany: x = α 80 Korzystając z powyższego wzoru dostajemy Zatem w radianach kąt jest równy 9. x = = 9 Przykład. Zamień miarę łukową na miarę stopniową dla wartości 0. Korzystając ponownie z proporcji: i wyznaczając tym razem α dostajemy 80 α x Z powyższego wzoru dostajemy α = x 80. α = Zatem miara w stopniach kąta jest równa = 8 Definicja 4. Kąt skierowany jest to uporządkowana para półprostych o wspólnym początku. Pierwsza półprosta jest nazywana ramieniem początkowym, druga półprosta - ramieniem końcowym, wspólny początek półprostych nazywamy wierzchołkiem kąta.
4 ramię końcowe, B α ramię początkowe, A Kąt skierowany oznaczamy graficznie tak, jak to obrazuje rysunek (łuk kończy się strzałką, aby zaznaczyć ramię końcowe). Kąt skierowany oznaczamy następująco: AB. Mówimy, że dwa kąty skierowane α, β są równe gdy spełniony jest następujący warunek: każdy z tych kątów jest obrazem drugiego za pomocą pewnej translacji lub obrotu albo za pomocą złożenia tych dwóch przekształceń, przy czym w wyniku tych przekształceń ramię początkowe kąta β powinno się nałożyć na ramię początkowe kąta α, a ramię końcowe kąta β na ramię końcowe kąta α. Kątem skierowanym przeciwnym do kąta AB jest kąt BA i każdy kąt równy temu kątowi. Uwaga 4. Niech P = (x, y) będzie dowolnym punktem na płaszczyźnie kartezjańskiej. Wtedy mamy jednoznacznie wyznaczoną półprostą l o początku w środku układu współrzędnych oraz przechodzącą przez punkt P. Ponieważ półprosta l jest wyznaczona jednoznacznie, to również jest jednoznacznie wyznaczony kąt skierowany α pomiędzy półosią dodatnią osi X a półprostą l. Zauważmy, że miara kąta α nie zależy od wyboru punktu P na półprostej l i oczywiście należy do przedziału [0, ). P l α Definicja 5. Niech P = (x, y) będzie punktem, który odpowiada kątowi α z uwagi 4 oraz r = x + y (odległość punktu P od środka układu współrzędnych). Wtedy funkcje trygonometryczne sinus, cosinus, tangens, cotangens kąta α definiujemy za pomocą następujących ilorazów: sin α = y r ; cos α = x r ; tg α = y x, x 0; ctg α = x, y 0. () y 4
5 W ten sposób zdefiniowaliśmy cztery funkcje trygonometryczne dla kątów skierowanych o mierze łukowej od 0 do rad, a więc funkcje, których argumentami są liczby rzeczywiste z przedziału [0, ]. Zauważmy, że funkcja tangens nie jest zdefiniowana dla x = 0, zatem funkcja ta nie jest zdefiniowana, gdy ramię końcowe kąta leży na osi Y, czyli dla kątów rad i rad. Natomiast cotangens nie jest określony dla y = 0, czyli gdy ramię końcowe leży na osi X, stąd dostajemy, że cotangens jest niezdefiniowany dla kątów 0 rad i rad. Przez kąt o mierze ujemnej rozumieć będziemy kąt, w którym ruch od ramienia początkowego do ramienia końcowego odbywa się w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara, przy czym nadal ramię początkowe takiego kąta leży na dodatniej części osi X, a wierzchołek kąta pokrywa się z początkiem układu współrzędnych. W ten sposób poszerza się zakres rozpatrywanych (miar) kątów skierowanych, a więc zakres argumentów funkcji trygonometrycznych do przedziału [, ]. Możliwe wartości miary łukowej kątów od [, ] możemy dalej poszerzyć do zbioru R wszystkich liczb rzeczywistych, wykonując więcej niż jeden pełen obrót ramienia końcowego kąta w kierunku przeciwnym (dla kątów dodatnich) lub zgodnym (dla kątów ujemnych) do ruchu wskazówek zegara. Dla kąta o dowolnej mierze łukowej α R definiujemy funkcje trygonometryczne tak samo jak dla kąta od 0 do, tzn. wybieramy punkt P leżący na ramieniu końcowym kąta α, a następnie korzystamy ze wzorów (). Wykresy sinusa i cosinusa: y f (x) = sin x 6 4 x 5
6 y f (x) = cos x 6 4 Animacja rysująca wykresy funkcji sinus i cosinus(do działania animacji wymagany jest Adobe Reader): Uwaga 5. Z powyższej konstrukcji funkcji trygonometrycznej możemy określić następujące dziedziny i zbiory wartości x sin : R [, ], cos : R [, ], tg : R \ { + k} R, k Z, ctg : R \ {k} R, k Z. Uwaga 6. Zobaczmy, jakie są zależność między funkcjami trygonometrycznymi dla kąta α oraz α. Na początku zaznaczmy te kąty w układzie współrzędnych. P l α α s P Ponieważ każdy punkt na półprostych l i s wyznacza dokładnie ten sam kąt, dlatego przyjmijmy, że punkty P, P są oddalone od punktu o długość jednej jednostki. Możemy zauważyć wtedy, 6
7 że jeżeli punkt P ma współrzędne (x, y) to punkt P = (x, y). Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych dostajemy: sin(α) = y = y = sin( α), cos(α) = x = cos( α), tg(α) = y x = y x = tg( α), ctg(α) = x y = x y = ctg( α). Uwaga. Zastanówmy się w jaki sposób znając jedynie wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów z przedziału [0, ] można odczytywać wartości funkcji trygonometrycznych dla dowolnego kąta. Zacznijmy od sporządzenia rysunku. P A = (0, y) (x, 0) β α Zauważmy, że w ten sposób powstał trójkąt prostokątny AP oraz mamy następującą zależność między kątami: α = β +. Możemy więc obliczyć wartość sin β w trójkącie prostokątnym, x tzn. sin β =. Następnie z własności wartości bezwzględnej i definicji funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta x +y dostajemy: sin β = x x + y = x x + y = cos α
8 Zatem w celu obliczenia cosinusa kąta α z przedziału [, ] wystarczy obliczyć wartość sinusa dla kąta β = α. Dla przykładu obliczmy wartość cos 4, ponieważ 4 mieści się w powyższym przedziale, dlatego możemy skorzystać ze wzoru, który wyprowadziliśmy: cos 4 = cos( 4 + ) = sin 4 = Korzystając z podobnych argumentów możemy wyprowadzić wzory dla kątów z każdej ćwiartki. Nazywamy je wzorami redukcyjnymi I ćwiartka II ćwiartka III ćwiartka IV ćwiartka ϕ α + α α + α α + α α sin ϕ cos α cos α sin α sin α cos α cos α sin α cos ϕ sin α sin α cos α cos α sin α sin α cos α tg ϕ ctg α ctg α tg α tg α ctg α ctg α tg α ctg ϕ tg α tg α ctg α ctg α tg α tg α ctg α sin α + cos α = ; tg α = sin α cos α ; ctg α = cos α sin α ; tg α = ctg α ; tg α + = cos α ; ctg α + = ; sin sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β; sin(α β) = sin α cos β cos α sin β; cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β; cos(α β) = cos α cos β + sin α sin β; sin α = sin α cos α; cos α = cos α sin α; tg α = tg α ; tg α sin α + sin β = sin α+β cos α β ; sin α sin β = cos α+β sin α β ; cos α + cos β = cos α+β cos α β ; cos α cos β = sin α+β sin α β ; sin α = cos α ; cos α = +cos α ; tg x = cos x sin x ; ctg x = +cos x sin x. Wybrane tożsamości trygonometryczne. 8
9 Zadania obowiązkowe Zadanie. Zamień miarę stopniową na łukową dla podanych kątów: a) 5, b) 0, Szkic rozwiązania. Do rozwiązania tego zadania wystarczy skorzystać ze wzoru x = α 80. Uwagi metodologiczne. Przed tym zadaniem na tablicy powinien zostać wyprowadzony powyższy wzór(wyprowadzenie jest w przykładzie ). Wskazówka: Skorzystaj ze wzoru x = α dpowiedź: a) rad, b) rad Zadanie. Zamień miarę łukową na stopniową dla poniższych kątów: a) 6, b) 6, Szkic rozwiązania. Do rozwiązania tego zadania wystarczy skorzystać z wzoru α = x 80. Uwagi metodologiczne. Przed tym zadaniem na tablicy powinien zostać wyprowadzony powyższy wzór (Wyprowadzenie jest w przykładzie ). Wskazówka: Skorzystaj ze wzoru α = x 80. dpowiedź: a) 0, b, 5, Zadanie. Punkt (, 0) obracamy wokół początku układu współrzędnych o kąt α. Znajdź współrzędne punktu P, który otrzymamy, gdy kąt ten jest równy: a) 6, b) 4, Szkic rozwiązania. W każdym przypadku zaczynamy zadanie od zaznaczenia punktu (, 0) w układzie współrzędny, a następnie skonstruowaniu trójkąta prostokątnego którego przeciwprostokątna ma długość. a) P sin 0 0 cos 0 9
10 Z rysunku wynika, że punkt P ma współrzędne P = (cos 0, sin 0 ), stąd dostajemy P = (, ). b) P sin cos 45 Z rysunku wynika, że punkt P ma współrzędne P = (cos 45, sin 45 ), stąd dostajemy P = (, ). Uwagi metodologiczne. Przy tym zadaniu warto wspomnieć o współrzędnych biegunowych. Wskazówka: Narysuj półprostą nachyloną do dodatniej półosi X pod kątem α, a następnie zaznacz na niej punkt w odległości od środka układu współrzędnych i skorzystaj z funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym. dpowiedź: a) P = (, ), b) P = (, ), Zadanie 4. Znajdź najmniejszy kąt dodatni o jaki należy obrócić punkt P = (, 0) wokół początku układu współrzędnych, aby otrzymać punkty: a) B = (, ), b) C = (, ). Szkic rozwiązania. a) Zaczynamy od zaznaczenia punktu w układzie współrzędnych: 0
11 α β B Teraz zauważmy, że α = + β. W celu obliczenia kąta β, możemy wykorzystać trójkąt prostokątny, którego wymiary są pokazane na rysunku. Mamy równość sin β =, a równość ta zachodzi dla kąta β = 4. Stąd dostajemy α = 4 = 5. b) Zaczynamy od zaznaczenia punktu w układzie współrzędnych: B β α Teraz zauważmy, że α = + β. W celu obliczenia kąta β, możemy wykorzystać trójkąt prostokątny, którego wymiary są pokazane na rysunku. Mamy równość sin β =, a równość ta zachodzi dla kąta β = 6. Stąd dostajemy α = 4 6 = 0. Wskazówka: Zaznacz punkt w układzie współrzędnych a następnie skorzystaj z funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym. dpowiedź: a) α = 4 = 5, b) α = 4 6 = 0.
12 Zadanie 5. Korzystając z poniższych informacji obliczyć wartości funkcji sin x, cos x, tg x, ctg x. a) cos x = 4 oraz x ( ; ), b) sin x = oraz x (, ). Wskazówka: Skorzystaj z jedynki trygonometrycznej i sprawdź jaki znak przymuje funkcja sin oraz cos w odpowiednich ćwiartkach. Szkic rozwiązania. a) Na początku skorzystajmy z jedynki trygonometrycznej Stąd dostajemy sin x + cos x =. sin x = sin x = 6 sin x = 4 sin x = 4 Wiemy, że x (, ), więc sin x > 0. Zatem sin x = 4. Teraz możemy obliczyć wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych: tg x = sin x cos x = 4 4 ctg x = cos x sin x = 4 4 = = b) Na początku skorzystajmy z jedynki trygonometrycznej Stąd dostajemy sin x + cos x =. 4 + cos x = cos x = 4 cos x = cos x = Wiemy, że x (, ), więc cos x > 0. Zatem cos x =. Teraz możemy obliczyć wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych: tg x = sin x cos x = = ctg x = cos x sin x =, =.
13 Uwagi metodologiczne. dpowiedź: a) sin x = tg x =, ctg x = 4, cos x = 4, tg x =, ctg x =, b) sin x =, cos x =, Zadanie 6. Wartość podanego wyrażenia jest liczbą dodatnią czy ujemną? Rozwiązać jeden z poniższych przykładów. a) sin 54 cos 4 tg b) c) sin 48 ctg cos 69 d) cos( 5 ) sin 9 tg( 0 ) sin 04 cos 9 ctg( ) Wskazówka: Skorzystaj z okresowości funkcji trygonometrycznej (sin α, cos α-; tg α, ctg α- ), a następnie określ znak funkcji w przedziale [0, ) Szkic rozwiązania. Wiemy, że sinus jest dodatni w pierwszej i drugiej ćwiartce, a ujemny w trzeciej i czwartej; cosinus jest dodatni w pierwszej i czwartej ćwiartce, a ujemy w drugiej i trzeciej; tangens jest dodatni w pierwszej i trzeciej, a ujemny w drugiej i czwartej; cotangens jest dodatni w pierwszej i trzeciej, a ujemny w drugiej i czwartej. a) Ponieważ wiemy, że funkcje sin oraz cos posiadają okres 60, a funkcja tg posiada okres 80. Dlatego możemy zapisać: sin 54 cos 4 tg = sin 8 cos 6 tg( 5 ) Zatem dostajemy, że sin 8 < 0, cos 6 > 0, tg < 0. Ponieważ dwie wartości są ujemne, a jedna dodatnia dlatego ich iloczyn będzie dodatni. b) Ponieważ cos( 5 ) = cos 5 < 0 oraz sin 9 > 0, zatem ich iloraz również jest liczbą ujemną. c) Z okresowości funkcji trygonometrycznych dostajemy: sin 48 ctg cos 69 = sin 48 ctg 9 + cos 69 Stąd mamy sin 48 < 0, ctg 9 > 0, cos 69 < 0, zatem od dwóch wartości ujemnych(sin 48, cos 69 ) odejmujemy wartość dodatnią(ctg 909 ) dlatego wartość wyrażenia jest ujemna. d) Z okresowości funkcji trygonometrycznych dostajemy: tg( 0 ) sin 04 cos 9 ctg( ) = tg 59 sin 4 cos 9 ctg 89 Stąd mamy tg 59 > 0, sin 4 < 0, cos 9 < 0, ctg 89 > 0, zatem wartość tego wyrażenia jest dodatnia. dpowiedź: a) +, b) -, c) -, d) + Zadanie. bliczyć: a) sin 5 ; b) cos 05 ; c) tg 5. Wskazówka: Skorzystaj z wzorów na sin(α ± β) oraz cos(α ± β). Szkic rozwiązania.
14 a) sin 5 = sin( ) = sin 0 cos 45 + sin 45 cos 0 = b) cos 05 = cos( ) = cos 60 cos 45 sin 60 sin 45 = 4 ( ) c) tg 5 = tg(45 0 ) = sin(45 0 ) dpowiedź: a) 4 ( + ), b) 4 ( ), c) + = = 4 ( + ) cos(45 0 ) = sin 45 cos( 0 )+sin( 0 ) cos(45 ) cos 45 cos( 0 ) sin 45 sin( 0 ) = +( ) = ( ) +. + ( ) = Zadanie 8. Korzystając ze wzoru sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β, uzasadnij wybraną tożsamość trygonometryczną: a) sin(α β) = sin α cos β cos α sin β; b) cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β; c) cos(α β) = cos α cos β + sin α sin β. Wskazówka: Skorzystaj z parzystości i nieparzystości funkcji sin, cos oraz wzorów redukcyjnych. Szkic rozwiązania. a) sin(α β) = sin(α + ( β)) = sin α cos( β) + cos α sin( β) = sin α cos β cos α sin β; b) cos(α + β) = sin( (α + β)) = sin(( α) + ( β)) = sin( α) cos( β) + cos( α) sin( β) = cos α cos β sin α sin β; c) cos(α β) = sin( (α β)) sin(( α) + β) = sin( α) cos β + cos( α) sin β = cos α cos β + sin α sin β. Zadanie 9. Sprawdzić tożsamości trygonometryczne: a) sin x tg, 5x + cos x = b) sin ( cos x x) + sin x = (cos x sin x) ;. Wskazówka: Skorzystaj z wzorów które znajdują się na końcu częśći z teorią. Szkic rozwiązania. a) sin x tg, 5x + cos x = sin,5x cos,5x sin,5x cos,5x sin, 5x = ; b) L = sin ( sin x sin x + sin x, P = (sin x cos x) = sin x cos x = sin x; dpowiedź: a) Tak, b) Nie + cos, 5x sin, 5x = sin, 5x + cos, 5x x) + cos x sin x = sin ( x) + sin x sin x = cos x + sin x sin x = Zadania dodatkowe Zadanie 0. Zamień miarę stopniową na łukową dla podanych kątów: a) 60, b) 0, c) 45, d) 5. Wskazówka: Skorzystaj ze wzoru x = α 80. Szkic rozwiązania. Do rozwiązania tego zadania wystarczy skorzystać ze wzoru x = α dpowiedź: a) rad, b) 6 rad, c) 4 rad, d) 6 Zadanie. Zamień miarę łukową na stopniową dla poniższych kątów: 4 80.
15 a) 5 6, b) 5 4, c) 0, d) 9. Wskazówka: Skorzystaj ze wzoru α = x 80. Szkic rozwiązania. Do rozwiązania tego zadania wystarczy skorzystać z wzoru α = x 80. dpowiedź: a) 50, b) 5,c) 99, d) 40 Zadanie. Punkt (, 0) obracamy wokół początku układu współrzędnych o kąt α. Znajdź współrzędne punktu P, który otrzymamy, gdy kąt ten jest równy: a), b) 5, 4 c), d). 6 Wskazówka: Narysuj półprostą nachyloną do półosi X pod kątem α, a następnie zaznacz na niej punkt w odległości od środka układu współrzędnych i skorzystaj z funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym. Szkic rozwiązania. W każdym przypadku zaczynamy zadanie od zaznaczenia punktu P w układzie współrzędny, a następnie skonstruowaniu trójkąta prostokątnego którego przeciwprostokątna ma długość. a) P sin 0 cos Z rysunku wynika, że punkt P ma współrzędne P = ( sin 0, cos 0 ), stąd dostajemy P = (, ). 5
16 b) cos sin 45 P c) Z rysunku wynika, że punkt P ma współrzędne P = ( cos 45, sin 45 ), stąd dostajemy P = (, ). 0 cos 0 0 sin 0 P Z rysunku wynika, że punkt P ma współrzędne P = (cos 0, sin 0 ), stąd dostajemy P = (, ). 6
17 d) 0 P Z rysunku wynika, że punkt P ma współrzędną x = 0, a ponieważ punkt P był oddalony od początku układu o jedną jednostkę, to współrzędne punktu są równe P = (0, ). Uwagi metodologiczne. Przy tym zadaniu warto wspomnieć o współrzędnych biegunowych. dpowiedź: a) P = (, ), b) P = (, ), c) P = (, ), d)p = (0, ) Zadanie. Uzasadnić następujące tożsamości trygonometryczne: tg α+tg β a) tg(α + β) = b) tg(α β) = tg α tg β ; tg α tg β +tg α tg β ; c) tg α = tg α. tg α Wskazówka: a) Rozpisać prawą stronę(zamienić tg α na iloraz sin α/ cos α) a następnie skorzystać z wzorów na sin α ± β, cos α ± β. Dla podpunktów b i c skorzystaj z a. Szkic rozwiązania. a) sin α tg α+tg β tg α tg β = cos α + sin β cos β sin α sin β = ( sin α cos α + sin β cos β ) cos α cos β cos α cos β sin α sin β cos α cos β b) z podpunktu a) oraz własności tg; c) z podpunktu a). sin α cos β+sin β cos α = cos α cos β sin α sin β = sin(α+β) cos(α+β) = tg(α + β); Zadanie 4. Uzasadnić następujące tożsamości trygonometryczne: a) sin α + sin β = sin α+β cos α β ; b) sin α sin β = cos α+β sin α β ; c) cos α + cos β = cos α+β cos α β ; d) cos α cos β = sin α+β sin α β. Wskazówka: Skorzystaj z podstawienia α = u + v, β = u v. Szkic rozwiązania. a) Przyjmijmy oznaczenia α = u + v, β = u v, wtedy dostajemy: sin(u + v) + sin(u v) = sin u cos v + cos u sin v + sin u cos v cos u sin v = sin u cos v
18 Ponieważ u = α+β i v = α β dostajemy sin α + sin β = sin α + β cos α β b) Stosujemy zamianę cos α = sin( α) i cos β = sin( β) i korzystamy z podpunktu a); c) Analogicznie do podpunktu b). Zadanie 5. Uzasadnić następujące tożsamości trygonometryczne: tg x a) tg x+ctg x = sin x; sin x+cos x b) cos x tg x = sin x tg x cos x + ; c) sin(x + y) sin(x y) = sin x sin y; Szkic rozwiązania. a) b) c) tg x tg x+ctg x = sin x cos x sin x cos x + cos x sin x = sin x(sin x cos x) cos x(sin x+cos x) = sin x sin x + cos x tg x = sin x cos x tg x cos x + sin x cos x + cos x sin x tg x = cos x tg x cos x + tg x + tg x = sin x tg x cos x + = sin x cos x + sin x cos x = cos x cos x + = sin(x + y) sin(x + y) = (sin x cos y + sin y cos x)(sin x cos y sin y cos x) = sin x( sin y) sin y( sin x) = sin x sin x sin y sin y + sin x sin y = sin x sin y dpowiedź: a) Tak, b) Tak, c) Tak Zadanie 6. blicz: a) sin + sin + + sin 58 + sin 59 ; b) cos + cos + + cos 8 + cos 9. Wskazówka: a) Korzystamy z wzoru sin α + sin β = sin α+β cos α β i sumujemy skrajne elementy, b) Korzystamy z wzoru cos α + cos β = cos α+β cos α β i sumujemy skrajne elementy Szkic rozwiązania. a) Korzystamy z wzoru sin α + sin β = sin α+β cos α β i sumujemy skrajne elementy, b) Korzystamy z wzoru cos α + cos β = cos α+β cos α β i sumujemy skrajne elementy 8
19 dpowiedź: a) 0, b) 0 Zadania domowe Zadanie. Zamienić miarę stopniową na łukową dla kątów: a) 5, b) 00, c) 0, d). Wskazówka: Skorzystaj ze wzoru x = α 80. dpowiedź: a) 6, b) 5, c) 68 9, d) 45 Zadanie 8. Zamienić miarę łukową na stopniową dla kątów: a) 4, b) 5, c) 0, d) 80. Wskazówka: Skorzystaj ze wzoru α = x 80. dpowiedź: a) 5, b) 4, c) 800, d) Zadanie 9. kreślić znak każdej z funkcji trygonometrycznych dla kątów: a) 0, b) 4. Wskazówka: Narysuj wykres funkcji sin x oraz cos x, a następnie skorzystaj z okresowości funkcji trygonometrycznych. dpowiedź: a) sin < 0, cos < 0, tg > 0, ctg 0 > 0, b) sin( 4 ) > 0, cos( 4 ) < 0, tg( 4 ) < 0, ctg( 4 ) < 0. Zadanie 0. bliczyć, korzystając ze wzorów redukcyjnych oraz okresowości funkcji trygonometrycznych: a) sin, b) ctg 4, c) ctg( 40 ), d) cos. 4 6 dpowiedź: a), b), c), d) Zadanie. Podane liczby uporządkować rosnąco a) a = cos 0, b = cos, c = cos, d = cos ; b) a = ctg, b = ctg, c = ctg, d = ctg. 6 Wskazówka: Skorzystaj z monotoniczności funkcji trygonometrycznych w odpowiednich przedziałach. dpowiedź: a) d < c < b < a, b) c < d < b < a. Literatura 9
20 M. Kurczab, E. Kurczab, E.Świda, Matematyka Podręcznik do liceów i techników klasa, ficyna Edukacyjna, 00. M. Kurczab, E. Kurczab, E.Świda, Matematyka Zbiór zadań do liceów i techników klasa, ficyna Edukacyjna, 00. M. Braun, M. Dobrowolska, M. Karpiński, J. Lech, E. Zamościńska,Matematyka II Zbiór zadań dla liceum i technikum, Gdańskie Wydawnictwo światowe, 005. N. Dróbka, K. Szymański, Zbiór zadań z matematyki dla kl. I i II liceum ogólnokształcącego, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,
Funkcje trygonometryczne
Funkcje trygonometryczne Piotr Rzonsowski Teoria Definicja. Sinusem kąta ostrego nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej sin = b c. Cosinusem kąta ostrego nazywamy
Bardziej szczegółowoRównania i nierówności trygonometryczne
Równania i nierówności trygonometryczne Piotr Rzonsowski Zadanie 1. Obliczyć równania: Zadania obowiązkowe a) cos x = 1, b) tg x =, c) cos( x + π ) =, d) sin x = 1. Wskazówka: (a) Oblicz cos y = 1 a następnie
Bardziej szczegółowoFunkcje trygonometryczne
Funkcje trygonometryczne Sinus kąta ostrego α stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α do długości przeciwprostokątnej: sin α = a : c = a/c Cosinus kąta ostrego α stosunek długości przyprostokątnej
Bardziej szczegółowo8. TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO.
WYKŁAD 6 1 8. TRYGONOMETRIA. 8.1. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO. SINUSEM kąta nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym : =. COSINUSEM
Bardziej szczegółowoMatematyka kompendium 2
Matematyka kompendium 2 Spis treści Trygonometria Funkcje trygonometryczne Kąt skierowany Kąt skierowany umieszczony w układzie współrzędnych Wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30 o, 45 o, 60 o
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA 8. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego (α < 90 ). Stosunki długości boków trójkąta prostokątnego nazywamy funkcjami trygonometrycznymi.
INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy do matury i rekrutacji na studia medyczne Rok 017/018 www.medicus.edu.pl tel. 501 38 39 55 MATEMATYKA 8 FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego
Bardziej szczegółowoTRYGONOMETRIA. 1. Definicje i własności funkcji trygonometrycznych
TRYGONOMETRIA. Definicje i własności funkcji trygonometrycznych Funkcje trygonometryczne kąta ostrego można zdefiniować przy użyciu trójkąta prostokątnego: c a α b DEFINICJA. Sinusem kąta ostrego α w trójkącie
Bardziej szczegółowoTRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA SKIEROWANEGO
TRYGONOMETRIA Trygonometria to dział matematyki, którego przedmiotem badań są związki między bokami i kątami trójkątów oraz tzw. funkcje trygonometryczne. Trygonometria powstała i rozwinęła się głównie
Bardziej szczegółowoFunkcje trygonometryczne. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 1 / 14
XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 1 / 14 Miara kąta Miara kąta kąt mierzymy od ramienia początkowego do końcowego w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (α > 0) kąt zgodny
Bardziej szczegółowoFunkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym
Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym Oznaczenia boków i kątów trójkąta prostokątnego użyte w definicjach Sinus Sinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek przyprostokątnej
Bardziej szczegółowoFunkcje trygonometryczne
Funkcje trygonometryczne Wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30 o, 45 o, 60 o Kąt α [ o ] 30 o 45 o 60 o sin α ½ 2 / 2 3 / 2 cos α 3 / 2 2 / 2 ½ tg α 3 / 3 1 3 ctg α 3 1 3 / 3 Związki między funkcjami
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Bardziej szczegółowoDefinicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego
1 Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego Sinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości przeciwprostokątnej.
Bardziej szczegółowo2 5 C). Bok rombu ma długość: 8 6
Zadanie 1 W trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej 6 i przyprostokątnej sinus większego z kątów ostrych ma wartość: C) Zadanie Krótsza przekątna rombu o długości tworzy z bokiem rombu kąt 60 0. Bok
Bardziej szczegółowoRepetytorium z matematyki ćwiczenia
Spis treści 1 Liczby rzeczywiste 1 2 Geometria analityczna. Prosta w układzie kartezjańskim Oxy 4 3 Krzywe drugiego stopnia na płaszczyźnie kartezjańskiej 6 4 Dziedzina i wartości funkcji 8 5 Funkcja liniowa
Bardziej szczegółowoBlok III: Funkcje elementarne. e) y = 1 3 x. f) y = x. g) y = 2x. h) y = 3x. c) y = 3x + 2. d) y = x 3. c) y = x. d) y = x.
Blok III: Funkcje elementarne III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x y = x y = x y = x III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x + y = 4 x III. Znajdź miejsca zerowe funkcji: a) y = 6 x y = x e) y = x f) y
Bardziej szczegółowoPRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA 3, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0,3 C. 30. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba
Bardziej szczegółowoKLASA I LO Poziom podstawowy (styczeń) Treści nauczania wymagania szczegółowe:
KLASA I LO Poziom podstawowy (styczeń) Treści nauczania wymagania szczegółowe: ZAKRES PODSTAWOWY 7. Planimetria. Uczeń: 1) rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje (także w kontekstach praktycznych)
Bardziej szczegółowoSkrypt 19. Trygonometria: Opracowanie L3
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 19 Trygonometria: 9. Proste
Bardziej szczegółowo1. Wyznacz długości boków trójkąta prostokątnego ABC oraz wartości funkcji trygonometrycznych kąta CABmającdane sin (CAB) = 4 5i BC = 2.
Funkcje trygonometryczne. Wyznacz długości boków trójkąta prostokątnego ABC oraz wartości funkcji trygonometrycznych kąta CABmającdane sin (CAB) = 4 5i BC =..Rozwiążtrójkątprostokatnymającdaneprzyprostokątne
Bardziej szczegółowo? 14. Dana jest funkcja. Naszkicuj jej wykres. Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie? 15. Dana jest funkcja f x 2 a x
FUNKCE FUNKCJA LINIOWA Sporządź tabelkę i narysuj wykres funkcji ( ) Dla jakich argumentów wartości funkcji są większe od 5 Podaj warunek równoległości prostych Wyznacz równanie prostej równoległej do
Bardziej szczegółowoTrigonometria. Funkcje trygonometryczne
1 Trigonometria. Funkcje trygonometryczne Trigonometria to wiedza o zwi azkach miarowych pomiedzy bokami i k atami trójk atów. Takie znaczenie s lowa Trigonometria by lo używane w czasach starożytnych
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt
Bardziej szczegółowoODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN
ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN Gr. 1 Zad. 1. Dane są punkty: P = (-, 1), R = (5, -1), S = (, 3). a) Oblicz odległość między punktami R i S. b) Wyznacz współrzędne środka odcinka PR. c) Napisz równanie
Bardziej szczegółowoWymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM
Zespól Szkół Ogólnokształcących i Zawodowych w Ciechanowcu 23 czerwca 2017r. Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM Strona 1 z 9 1. Geometria płaska trójkąty zna
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowo(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008
Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2019
1 MATEMATYKA - poziom podstawowy klasa 1 MAJ 2019 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron. 2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to przeznaczonym.
Bardziej szczegółowoFunkcją sinus kąta α nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α do przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym, i opisujemy jako:
1. Trygonometria 1.1Wprowadzenie Jednym z podstawowych działów matematyki który wykorzystywany jest w rozwiązywaniu problemów technicznych jest trygonometria. W szkole średniej wprowadzone zostały podstawowe
Bardziej szczegółowoDział I FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE
MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: III Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Miara kąta. Sprawnie operuje pojęciami:
Bardziej szczegółowoPRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0, C. 0. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba
Bardziej szczegółowo1 Funkcje elementarne
1 Funkcje elementarne Funkcje elementarne, które będziemy rozważać to: x a, a x, log a (x), sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arc ctg(x). 1.1 Funkcje x a. a > 0, oraz a N
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania
Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi. Podanie dziedziny funkcji f:
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowoBAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA
BAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA 1. Podaj zbiór wartości i monotoniczność funkcji: b) c) j) k) l) wskazówka: - oblicz wierzchołek (bez miejsc zerowych!) i naszkicuj wykres (zwróć uwagę na
Bardziej szczegółowoPraca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015
Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 2 6 + 3 1. Oblicz 3. 3 x 1 3x 2. Rozwiąż nierówność > x. 2 3 3. Funkcja f przyporządkowuje każdej
Bardziej szczegółowoRachunek wektorowy - wprowadzenie. dr inż. Romuald Kędzierski
Rachunek wektorowy - wprowadzenie dr inż. Romuald Kędzierski Graficzne przedstawianie wielkości wektorowych Długość wektora jest miarą jego wartości Linia prosta wyznaczająca kierunek działania wektora
Bardziej szczegółowoFunkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.
Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w
Bardziej szczegółowoOstatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r.
Ostatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r. Spis treści 1. Funkcja liniowa 5 2. Funkcja kwadratowa 7 3. Trygonometria 11 4. Ciagi liczbowe 13 5. Wielomiany 15 6. Funkcja wykładnicza 17 7. Funkcja wymierna
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2011/12
168. Uporządkować podane liczby w kolejności niemalejącej. sin50, cos80, sin170, cos200, sin250, cos280. 169. Naszkicować wykres funkcji f zdefiniowanej wzorem a) f(x) = sin2x b) f(x) = cos3x c) f(x) =
Bardziej szczegółowona postać kanoniczną, podaj współrzędne wierzchołka paraboli i określ czy jej ramiona są skierowane w górę czy w dół.
Zadania na poprawkę dla sa f x x 1x na postać kanoniczną, podaj współrzędne wierzchołka paraboli i określ czy jej ramiona są skierowane w górę czy w dół. 1. Zamień postać ogólną funkcji kwadratowej 5.
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x
WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania
Bardziej szczegółowoZagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony
Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres
Bardziej szczegółowoKLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń)
KLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń) Treści nauczania wymagania szczegółowe: ZAKRES PODSTAWOWY: 1) na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x), y = c f(x), y =
Bardziej szczegółowoPrzygotowanie do poprawki klasa 1li
Zadanie Rozwiąż równanie x 6 5 x 4 Przygotowanie do poprawki klasa li Zadanie Rozwiąż nierówność x 4 x 5 Zadanie Oblicz: a) 9 b) 6 5 c) 64 4 d) 6 0 e) 8 f) 7 5 6 Zadanie 4 Zapisz podane liczby bez znaku
Bardziej szczegółowoW tym rozdziale przypomnimy wiadomości o funkcjach trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym.
ONOMETRYCZNE A B FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO W tym rozdziale przypomnimy wiadomości o funkcjach trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. 1. Sinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM
WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM Klasa pierwsza A, B, C, D, E, G, H zakres podstawowy. LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą jeśli: podaje
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna
Arkusz A01 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba log 1 3 3 27 jest równa:
Bardziej szczegółowoKLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI
Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości
Bardziej szczegółowoWzory funkcji cyklometrycznych (kołowych)
Wzory funkcji cyklometrycznych (kołowych) Mateusz Kowalski www.kowalskimateusz.pl 19.07.01 Streszczenie Wzory funkcji cyklometrycznych wraz z wyprowadzeniami. 1 A co to za funkcje? Funkcje cyklometryczne
Bardziej szczegółowoPLAN WYNIKOWY DLA KLASY PIERWSZEJ POZIOM PODSTAWOWY. I. Liczby (20 godz.) ( b ) 2
PLAN WYNIKOWY DLA KLASY PIERWSZEJ POZIOM PODSTAWOWY I. Liczby (0 godz.) TEMAT ZAJĘĆ Zapis dziesiętny liczby rzeczywistej Wzory skróconego mnoŝenia Nierówności liniowe Przedziały liczbowe Powtórzenie przedstawiać
Bardziej szczegółowodr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE
dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowo7. Funkcje elementarne i ich własności.
Misztal Aleksandra, Herman Monika 7. Funkcje elementarne i ich własności. Definicja funkcji elementarnej Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe potęgowe, np. wykładnicze logarytmiczne
Bardziej szczegółowoDr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz
Dr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz Dr inż. Janusz Dębiński 1 2.1. Przestrzeń i płaszczyzna Podstawowe definicje Punkt - najmniejszy bezwymiarowy
Bardziej szczegółowoPrzykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym
Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych
Centralna Komisja Egzaminacyjna Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki listopad 009 Klucz odpowiedzi do
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ MATEMATYKA - poziom podstawowy klasa 1
1 MATEMATYKA - poziom podstawowy klasa 1 MAJ 2016 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 17 stron. 2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to przeznaczonym.
Bardziej szczegółowo( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x
Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II
ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowo2 cos α 4. 2 h) g) tgx. i) ctgx
ZESTAW I - FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE - powtórzenie. Znajdź wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych, jeśli: sin α b). Oblicz wartość wyrażenia: tg ctg 77 = b) sin 0 (cos ) = c) sin = d) [( sin 0
Bardziej szczegółowoTematy: zadania tematyczne
Tematy: zadania tematyczne 1. Ciągi liczbowe zadania typu udowodnij 1) Udowodnij, Ŝe jeŝeli liczby,, tworzą ciąg arytmetyczny ), to liczby,, takŝe tworzą ciąg arytmetyczny. 2) Ciąg jest ciągiem geometrycznym.
Bardziej szczegółowoPRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM
PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM Zad.1. (0-1) Liczba 3 8 3 3 9 2 A. 3 3 Zad.2. (0-1) jest równa: Liczba log24 jest równa: B. 3 32 9 C. 3 4 D. 3 5 A. 2log2 + log20 B. log6 + 2log2
Bardziej szczegółowoZadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.
Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 017/018 19 grudnia 017 1 1 Klasy pierwsze - poziom podstawowy 1. Dane są zbiory
Bardziej szczegółowoSPRAWDZIAN Z 1. SEMESTRU KLASY 2 ROZSZ
www.zadania.info NJWIEKSZY INTERNETOWY ZIÓR ZŃ Z MTEMTYKI SPRWZIN Z 1. SEMESTRU KLSY 2 ROZSZ ZNIE 1 (5 PKT) Funkcja f określona jest wzorem f (x) = (3m 5)x 2 (2m 1)x + 0, 25(3m 5). Wyznacz te wartości
Bardziej szczegółowopostaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n
Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany:
Bardziej szczegółowoWykłady z matematyki Liczby zespolone
Wykłady z matematyki Liczby zespolone Rok akademicki 015/16 UTP Bydgoszcz Liczby zespolone Wstęp Formalnie rzecz biorąc liczby zespolone to punkty na płaszczyźnie z działaniami zdefiniowanymi następująco:
Bardziej szczegółowoTwierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg i o czworokącie opisanym na okręgu.
Twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg i o czworokącie opisanym na okręgu. Adrian Łydka Bernadeta Tomasz Teoria Definicja 1. Klasyfikacja czworokątów (wypukłych): Trapez jest czworokątem, w którym
Bardziej szczegółowoWSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460
WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT460 Listy zadań Literatura polecana. M.Gewert, Z.Skoczylas Wstęp do analizy i algebry. Teoria,przykłady,zadania.,Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 04.. D.Zakrzewska, M.Zakrzewski,
Bardziej szczegółowoNOWA FORMUŁA EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MMA 2018 UZUPEŁNIA ZDAJĄCY. miejsce na naklejkę UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 018 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 1 sierpnia 018
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka 3. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Zakres podstawowy i rozszerzony
MATeMAtyka 3 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne
Bardziej szczegółowoIn the paper we describe how to introduce the trigonometric functions using their functional characteristics and the Eisenstein series.
!" #$ %&' ( +*",-".0/1"3"4"5"67498:"5";=6?,@"A"-B5"-BCD4E?,@"
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2019
1 MATEMATYKA - poziom podstawowy klasa 1 MAJ 2019 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron. 2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to przeznaczonym.
Bardziej szczegółowoZADANIE 1 Ciag (a n ), gdzie n 1, jest rosnacym ciagiem geometrycznym. Wyznacz wartość największa 2xa 6 a 2 a 4 a 3 x 2 a 3 a 6. ZADANIE 2 ZADANIE 3
ZADANIE Ciag (a n ), gdzie n, jest rosnacym ciagiem geometrycznym. Wyznacz wartość największa funkcji f (x) = 2xa 6 a 2 a 4 a 3 x 2 a 3 a 6. ZADANIE 2 Długości boków trójkata tworza ciag geometryczny.
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy
KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Matematyka Poziom podstawowy Marzec 09 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź. D 8 9 8 7. D. C 9 8 9 8 8 9 8 9 8 ( 89 )
Bardziej szczegółowoCzęść całkowita i ułamkowa, funkcje trygonometryczne, podstawowe własności funkcji
Sprawdzian nr 2: 25..204, godz. 8:5-8:40 (materiał zad. -48) Sprawdzian nr 3: 9.2.204, godz. 8:5-8:40 (materiał zad. -88) Część całkowita i ułamkowa, funkcje trygonometryczne, podstawowe własności funkcji
Bardziej szczegółowoZakres na egzamin poprawkowy w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Podręcznik klasa 1 ZAKRES PODSTAWOWY i ROZSZERZONY
MATEMATYKA Klasa TMB Zakres na egzamin poprawkowy w r. szk. 013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Podręcznik klasa 1 ZAKRES PODSTAWOWY i ROZSZERZONY (zakres rozszerzony - czcionką pogrubioną) Hasła programowe Wymagania
Bardziej szczegółowoZakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/
Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony
Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem
Bardziej szczegółowoSTEREOMETRIA. Poziom podstawowy
STEREOMETRIA Poziom podstawowy Zadanie ( 8 pkt ) W stożku tworząca o długości jest nachylona do powierzchni podstawy pod kątem, którego tangens jest równy Oblicz stosunek pola powierzchni bocznej do pola
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna
Arkusz A04 2 Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba π spełnia nierówność: A. + 1 > 5 B. 1 < 2 C. + 2 3 4
Bardziej szczegółowoKurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI - MODUŁ 11 Teoria planimetria
1 Pomimo, że ten dział, to typowa geometria wydawałoby się trudny dział to paradoksalnie troszkę tu odpoczniemy, jeśli chodzi o teorię. Dlaczego? Otóż jak zapewne doskonale wiesz, na maturze otrzymasz
Bardziej szczegółowoKatalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć
Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie rozszerzonym. Klasa 2 1. TRYGONOMETRIA STOPIEŃ UMIEJĘTNOŚCI UCZNIA Dopuszczający Zna i
Bardziej szczegółowoWykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2
Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych
Bardziej szczegółowo11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).
1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-R_P-08 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 008 Czas pracy 80 minut Instrukcja
Bardziej szczegółowoDydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjny (wykłady)
Dydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjny (wykłady) Wykład nr 9: Geometria w szkole geometria dynamiczna, miejsca geometryczne, przekształcenia geometryczne Semestr zimowy 2018/2019 DGS = Dynamic Geometry
Bardziej szczegółowoA. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla
Zadanie 1 Liczba jest równa A. B. C. 10 D. Odpowiedź B. Zadanie 2 Liczba jest równa A. 3 B. 2 C. D. Odpowiedź D. Zadanie 3. Liczba jest równa Odpowiedź D. Zadanie 4. Liczba osobników pewnego zagrożonego
Bardziej szczegółowoPLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO
PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Lp. Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe I Granica i pochodna funkcji. Uczeń: Uczeń: 1 Powtórzenie wiadomości o granicy ciągu,
Bardziej szczegółowoPlan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA
Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA Szkoła: Liceum Ogólnokształcące Klasa: pierwsza Poziom nauczania: podstawowy Numer programu: DPN-5002-31/08 Podręcznik: MATEMATYKA Anna Jatczak, Monika Ciołkosz,
Bardziej szczegółowoTO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH )
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH ) PAKIET ZADAŃ (zadania wybrano ze zbiorów autorów i wydawnictw: Kiełbasa, Res Polona,
Bardziej szczegółowotrygonometria Trygonometria to dział matematyki, który bada związki między bokami i kątami trójkątów.
Trygonometria to dział matematyki, który bada związki między bokami i kątami trójkątów. Funkcje trygonometryczne dla kątów ostrych to stosunki długości odpowiednich dwóch boków trójkąta prostokątnego.
Bardziej szczegółowoRównania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne
Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne Paweł Foralewski Teoria Ponieważ funkcje wykładnicza i logarytmiczna zostały wprowadzone wcześniej, tutaj przypomnimy tylko definicję logarytmu i jego
Bardziej szczegółowoWskazówki do zadań testowych. Matura 2016
Wskazówki do zadań testowych. Matura 2016 Zadanie 1 la każdej dodatniej liczby a iloraz jest równy.. C.. Korzystamy ze wzoru Zadanie 2 Liczba jest równa.. 2 C.. 3 Zadanie 3 Liczby a i c są dodatnie. Liczba
Bardziej szczegółowoOCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY
OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY Numer zadania... Etapy rozwiązania zadania Przekształcenie wzoru funkcji do żądanej postaci f( x) = + lub f( x) =. x x I sposób rozwiązania podpunktu b). Zapisanie
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna
Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem
Bardziej szczegółowo