SPRAWDZIAN Z 1. SEMESTRU KLASY 2 ROZSZ

Transkrypt

1 NJWIEKSZY INTERNETOWY ZIÓR ZŃ Z MTEMTYKI SPRWZIN Z 1. SEMESTRU KLSY 2 ROZSZ ZNIE 1 (5 PKT) Funkcja f określona jest wzorem f (x) = (3m 5)x 2 (2m 1)x + 0, 25(3m 5). Wyznacz te wartości parametru m R, dla których najmniejsza wartość funkcji f jest liczba dodatnia. ZNIE 2 (5 PKT) Zbadaj, na podstawie definicji, monotoniczność funkcji f (x) = 0, 5x 2 w zbiorze R +. ZNIE 3 (5 PKT) Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których funkcja f (x) = (m 2 1)x 2 2mx + 4m + 5 jest rosnaca w przedziale ( ; 1) i malejaca w przedziale (1; + ). ZNIE 4 (5 PKT) Funkcja kwadratowa określona wzorem f (x) = x 2 + bx + c osiaga wartości ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy x ( 2, 4). a) Wyznacz wartości współczynników b i c. b) Oblicz, dla jakich argumentów x, wartości funkcji f sa mniejsze od wartości funkcji kwadratowej g(x) = 3x 2 6x 6. c) Rozwiaż równanie g(x 1) = f (1). ZNIE 5 (5 PKT) Funkcja kwadratowa f (x) = ax 2 + bx + 4, osiaga wartości ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy x (, 3) (1, + ). a) Wyznacz wartości współczynników a i b. b) Napisz postać kanoniczna funkcji f. c) Podaj wzór funkcji kwadratowej g, której wykres otrzymamy przesuwajac wykres funkcji f o wektor u = [2, 10 3 ]. d) Wyznacz te argumenty x, dla których f (x) 4. 1

2 NJWIEKSZY INTERNETOWY ZIÓR ZŃ Z MTEMTYKI ZNIE 6 (5 PKT) ana jest funkcja y = x 2 + 4x. Napisz wzór funkcji otrzymanej po przesunięciu danej funkcji o wektor u = [ 2, 3]. Narysuj oba wykresy. ZNIE 7 (5 PKT) ane sa funkcje f (x) = 2x 2 + x m i g(x) = mx 2 2mx + 3. la jakich wartości parametru m wykresy funkcji f i g przecinaja się w dwóch punktach, których odcięte maja różne znaki? ZNIE 8 (5 PKT) ana jest funkcja f (x) = x 2 + x sin 2 α 2π, dla α 0, 2π. a) Wyznacz wszystkie wartości parametru α, dla których osia symetrii wykresu tej funkcji jest prosta x = 1 2. b) Wykaż, że nie istnieje taka wartość parametru α, dla której do wykresu funkcji f należy punkt P = (1, 2π). ZNIE 9 (5 PKT) Wykres funkcji f, określonej dla x R następujacym wzorem f (x) = (a 3)x 2 2ax + 3a 6 przecina dodatnia półoś Ox w dwóch różnych punktach. a) Oblicz wartość wyrażenia (a 1)(8 a)(a 7)(2a 3) (a 1)(8 a)(a 7)(2a 3). b) Uzasadnij, że dla każdych dwóch liczb rzeczywistych m > n > 0 spełniona jest nierówność f ( m 2 ) > f ( n 2 ). ZNIE 10 (5 PKT) any jest trójkat równoboczny. Okrag o średnicy przecina bok w punkcie. Wykaż, że =. 2

3 NJWIEKSZY INTERNETOWY ZIÓR ZŃ Z MTEMTYKI ZNIE 11 (5 PKT) W trójkacie równobocznym obrano na boku taki punkt E, że E : E = 1 : 2. Oblicz tangens kata E. ZNIE 12 (5 PKT) Uzasadnij, że nie istnieje trójkat prostokatny, w którym przeciwprostokatna ma długość 24, a katy ostre α i β sa takie, że cos α = 3 4 i tg β = 3 4. ZNIE 13 (5 PKT) Trójkaty prostokatne równoramienne i E sa położone tak, jak na poniższym rysunku (w obu trójkatach kat przy wierzchołku jest prosty). Wykaż, że = E. E ZNIE 14 (5 PKT) Miara jednego z katów ostrych w trójkacie prostokatnym jest równa α. a) Uzasadnij, że spełniona jest nierówność sin α tg α < 0. b) la sin α = oblicz wartość wyrażenia cos 3 α + cos α sin 2 α. ZNIE 15 (5 PKT) ługości a i b przyprostokatnych trójkata prostokatnego spełniaja równość a 2 6ab 7b 2 = 0. a) Oblicz tangensy katów ostrych tego trójkata. b) Uzasadnij, że pole tego trójkata jest równe 14 1 a2. 3

4 NJWIEKSZY INTERNETOWY ZIÓR ZŃ Z MTEMTYKI ZNIE 16 (5 PKT) Trójkaty i E sa równoboczne. Punkty, i E leża na jednej prostej. Punkty K, L i M sa środkami odcinków, E i (zobacz rysunek). Wykaż, że punkty K, L i M sa wierzchołkami trójkata równobocznego. M K L E ZNIE 17 (5 PKT) W trapez, gdzie i >, wpisano okrag (patrz rysunek). wusieczna kata ostrego przy wierzchołku jest prostopadła do ramienia. a) Wykaż, że dwusieczna kata przy wierzchołku jest równoległa do ramienia. b) Oblicz :. ZNIE 18 (5 PKT) W trapezie ramiona maja długości = 10 oraz = 17, zaś tangens kata nachylenia ramienia do dłuższej podstawy wynosi 3 4. Wiedz ac, że w dany trapez można wpisać okrag oblicz a) pole trapezu, b) pole trójkata. 4

5 NJWIEKSZY INTERNETOWY ZIÓR ZŃ Z MTEMTYKI ZNIE 19 (5 PKT) W trapez wpisano okrag. Punkt styczności okręgu z dłuższa podstawa trapezu dzieli tę podstawę na odcinki długości 2,5 dm i 4 dm. Wysokość trapezu ma długość 4 dm. Oblicz obwód tego trapezu. ZNIE 20 (5 PKT) Na okręgu o danym promieniu r opisano trapez równoramienny o dłuższej podstawie i krótszej. Punkt styczności K dzieli ramię tak, że K K = 2 3. a) Wyznacz długość ramienia tego trapezu. b) Oblicz cosinus kata. ZNIE 21 (5 PKT) W trapez prostokatny wpisano okrag, przy czym punkt S jest środkiem tego okręgu, a punkt T jest punktem styczności okręgu wpisanego z dłuższym ramieniem. Oblicz pole tego trapezu, jeśli S = 10 i T = 8 5. T S 5