PLAN RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE II (zakres rozszerzony)

Transkrypt

1 DZIAŁ PROGRAMOWY JEDNOSTKA LEKCYJNA 1 Program nauczania: Matematyka z plusem Liczba godzin nauki w tygodniu: 5 Planowana liczba godzin w ciągu roku: 160 PLAN RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE II (zakres rozszerzony) Podręczniki i książki pomocnicze Gdańskiego Wydawnictwa Oświatowego: Matematyka II. Podręcznik dla liceum i technikum. Zakres roszerzony. Nowa wersja M. Dobrowolska, M. Karpiński, J. Lech, M.M. Karpiński Matematyka II. Zbiór zadań M. Braun, M. Dobrowolska, M. Karpiński, J. Lech, E. Zamościńska Matematyka II. Sprawdziany U. Sawicka Patrzałek, D. Figura, B. Jeleńska, A. Wola, W. Urbańczyk. PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE II WRAZ Z PLANEM WYNIKOWYM (ZAKRES ROZSZERZONY) Kategorie celów nauczania: A zapamiętanie wiadomości B rozumienie wiadomości C stosowanie wiadomości w sytuacjach typowych D stosowanie wiadomości w sytuacjach problemowych Poziomy wymagań edukacyjnych: K konieczny ocena dopuszczająca (2) P podstawowy ocena dostateczna (3) R rozszerzający ocena dobra (4) D dopełniający ocena bardzo dobra (5) W wykraczający ocena celująca (6) CELE KSZTAŁCENIA W UJĘCIU OPERACYJNYM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ JEDNOSTKA TEMATYCZNA podstawowe ponadpodstawowe KATEGORIA A Uczeń zna: KATEGORIA B Uczeń rozumie: KATEGORIA C Uczeń potrafi: KATEGORIA D Uczeń potrafi: 1 Lekcja organizacyjna. 2 4 Potęgi. definicję potęgi o wykładniku naturalnym i całkowitym ujemnym pojęcie notacji wykładniczej potrzebę stosowania notacji wykładniczej w praktyce obliczać potęgi o wykładnikach naturalnych i całkowitych ujemnych zapisywać liczby w postaci potęg zapisywać liczby w postaci iloczynu potęg rozwiązywać nietypowe zadania z zastosowaniem działań na potęgach (D W) porównywać ilorazowo i różnicowo liczby podane

2 Potęgi, pierwiastki, logarytmy 28 h 2 prawa działań na potęgach 5 7 Pierwiastki. definicję pierwiastka arytmetycznego n tego stopnia (n N i n > 1) prawa działań na pierwiastkach; w tym wzór na obliczanie pierwiastka n tego stopnia z n tej potęgi oraz wzór na obliczanie n tej potęgi pierwiastka n tego stopnia 8 9 Potęgi o wykładnikach wymiernych. definicję potęgi o wykładniku wymiernym prawa działań na potęgach definicję pierwiastka arytmetycznego n tego stopnia (n N i n > 1) jak oblicza się pierwiastek n tego stopnia z n tej potęgi oraz jak oblicza się n tą potęgę pierwiastka n tego stopnia z liczby nieujemnej definicję potęgi o wykładniku wymiernym zapisywać liczby w notacji wykładniczej mnożyć i dzielić potęgi o jednakowych podstawach mnożyć i dzielić potęgi o jednakowych wykładnikach przedstawiać potęgi w postaci iloczynu i ilorazu potęg o jednakowych podstawach przedstawiać potęgi w postaci iloczynu i ilorazu potęg o jednakowych wykładnikach potęgować potęgi przedstawiać potęgi jako potęgi potęg porównywać potęgi (P-R) potęgować iloczyny i ilorazy doprowadzać wyrażenia do najprostszych postaci, stosując działania na potęgach obliczać wartości wyrażeń arytmetycznych, w których występują potęgi przekształcać wyrażenia algebraiczne, w których występują potęgi tekstowe z zastosowaniem potęg (R) stosować notację wykładniczą do zamiany jednostek (R) obliczać pierwiastki n tego stopnia (n N i n > 1) obliczać wartości wyrażeń arytmetycznych zawierających pierwiastki obliczać pierwiastki iloczynu i ilorazu liczb nieujemnych obliczać iloczyny i ilorazy pierwiastków z liczb nieujemnych wyłączać czynnik przed znak pierwiastka włączać czynnik pod pierwiastek oszacować wartość wyrażenia arytmetycznego zawierającego pierwiastek usunąć niewymierność z mianownika obliczać potęgi o wykładnikach wymiernych zapisywać potęgi o wykładnikach wymiernych w postaci pierwiastków (K-P) w notacji wykładniczej (R) obliczać wartości wyrażeń arytmetycznych zawierających pierwiastki przekształcać wyrażenia zawierające potęgi i pierwiastki (R) porównać wyrażenia zawierające pierwiastki (D) przekształcać wyrażenia arytmetyczne z zastosowaniem praw działań na potęgach o wykładnikach wymiernych

3 Potęgi o wykładnikach rzeczywistych. o wykładnikach wymiernych pojęcia potęg o wykładnikach : - całkowitym - wymiernym - rzeczywistym prawa działań na potęgach Logarytmy. pojęcie logarytmu pojęcia: logarytm dziesiętny oraz logarytm naturalny własności logarytmów Własności logarytmów Funkcje wykładnicze Funkcje logarytmiczne Równania i nierówności wykładnicze. twierdzenia o: logarytmie iloczynu logarytmie ilorazu logarytmie potęgi zmianie podstawy logarytmu definicję funkcji wykładniczej własności funkcji wykładniczych definicję funkcji logarytmicznej własności funkcji logarytmicznych własność różnowartościowości funkcji wykładniczej równań wykładniczych (K R) nierówności wykładniczych pojęcia potęg o wykładnikach : - całkowitym - wymiernym - rzeczywistym prawa działań na potęgach pojęcie logarytmu pojęcia: logarytm dziesiętny oraz logarytm naturalny własności logarytmów twierdzenia o: logarytmie iloczynu logarytmie ilorazu logarytmie potęgi zmianie podstawy logarytmu definicję funkcji wykładniczej własności funkcji wykładniczych definicję funkcji logarytmicznej własności funkcji logarytmicznych własność różnowartościowości funkcji wykładniczej równań wykładniczych (K R) nierówności wykładniczych porównywać potęgi o wykładnikach wymiernych (P-R) wykonywać działania na potęgach o wykładnikach wymiernych (P-R) obliczać potęgi o wykładnikach wymiernych (K-R) zapisywać liczby w postaci potęg wykonywać działania na potęgach (K-R) porównywać potęgi o wykładnikach rzeczywistych (P-R) obliczać logarytmy (K R) wykorzystywać kalkulator do obliczania logarytmów dziesiętnych oraz naturalnych rozwiązywać równania, stosując definicję logarytmu (K R) wykonywać działania na logarytmach, stosując poznane twierdzenia sporządzać wykresy i określać własności funkcji wykładniczych dopasowywać wzory do wykresów funkcji wykładniczych zapisywać wzory funkcji wykładniczych spełniających określone warunki sporządzać wykresy i określać własności funkcji logarytmicznych dopasowywać wzory do wykresów funkcji logarytmicznych (PR) zapisywać wzory funkcji logarytmicznych spełniających dane warunki rozwiązywać równania wykładnicze (K R) rozwiązywać nierówności wykładnicze z zastosowaniem działań na potęgach (R-D) z zastosowaniem definicji oraz własności logarytmów z zastosowaniem poznanych twierdzeń z zastosowaniem funkcji wykładniczych i ich własności (R-W) z zastosowaniem funkcji logarytmicznych i ich własności (R-W) rozwiązywać równania i nierówności wykładnicze (R W)

4 Wielomiany 23 h Równania i nierówności logarytmiczne Zastosowania funkcji wykładniczych i logarytmicznych. 27 Powtórzenie wiadomości. własność różnowartościowości funkcji logarytmicznej równań logarytmicznych (K R) nierówności logarytmicznych własność różnowartościowości funkcji logarytmicznej równań logarytmicznych (K R) nierówności logarytmicznych potrzebę stosowania funkcji wykładniczych i logarytmicznych do opisu zjawisk z różnych dziedzin (R W) rozwiązywać równania logarytmiczne (K R) rozwiązywać nierówności logarytmiczne określać własności funkcji wykładniczych i logarytmicznych opisujących zjawiska z różnych dziedzin (D) rozwiązywać równania i nierówności logarytmiczne (R W) rozwiązywać układy równań logarytmicznych i wykładniczych (D W) stosować model wykładniczy do opisu wielkości, które zmieniają się w stałym tempie (R W) Praca klasowa i jej omówienie Przykłady wielomianów Rozkład wielomianu na czynniki Równania wielomianowe. pojęcia: jednomian, wielomian stopnia n, wielomian zerowy, wielomiany równe, dwumian, trójmian, trójmian kwadratowy pojęcie rozkładu wielomianu na czynniki wzory skróconego mnożenia: kwadrat sumy, kwadrat różnicy, różnica kwadratów dwóch wyrażeń, suma i różnica sześcianów, sześcian sumy i sześcian różnicy dwóch wyrażeń własność rozkładu wielomianu na czynniki stopnia co najwyżej drugiego pojęcie równania wielomianowego stopnia n pojęcie pierwiastka pojęcia: jednomian, wielomian stopnia n, wielomian zerowy, wielomiany równe, dwumian, trójmian, trójmian kwadratowy pojęcie rozkładu wielomianu na czynniki wzory skróconego mnożenia: kwadrat sumy, kwadrat różnicy, różnica kwadratów dwóch wyrażeń, suma i różnica sześcianów, sześcian sumy i sześcian różnicy dwóch wyrażeń własność rozkładu wielomianu na czynniki stopnia co najwyżej drugiego pojęcie równania wielomianowego stopnia n pojęcie pierwiastka wielo- określać stopień wielomianu dodawać, odejmować, mnożyć wielomiany (K R) przekształcać wielomiany do najprostszej postaci (K-R) przedstawiać wyrażenia w postaci jednomianów (K- P) obliczać wartości wielomianów obliczać, dla jakich wartości współczynników wielomiany są równe rozkładać wielomiany na czynniki, stosując: wyłączanie wspólnego czynnika poza nawias, wzory skróconego mnożenia metodę grupowania wyrazów (K D) rozwiązywać równania wielomianowe (K D) znajdować pierwiastki danych wielomianów wykonywać działania na wielomianach i przedstawiać otrzymane wielomiany w najprostszej postaci obliczać wartości współczynników wielomianu, gdy dane są wartości wielomianu dla określonych wartości zmiennych podawać przykłady wielomianów spełniających określone warunki określać, dla jakich wartości zmiennej wielomian przyjmuje wartości dodatnie, ujemne (P D) uzasadniać, że dane wielomiany spełniają określone warunki (R W) podawać przykłady wielomianów spełniających określone warunki (R-W)

5 Dzielenie wielomianów. 39 Twierdzenie Bezouta Równania wielomianowe (cd.) Rozwiązania wymierne równań wielomianowych Nierówności wielomianowe. wielomianu pojęcie k-krotnego pierwiastka wielomianu pojęcie postaci iloczynowej wielomianu drugiego stopnia określenie podzielności wielomianu przez dwumian metodę dzielenia wielomianu przez jednomian metodę dzielenia wielomianu przez dwumian (K R) pojęcie reszty z dzielenia wielomianu przez dwumian twierdzenie Bezouta własność wielomianu dotyczącą reszty z dzielenia wielomianu W (x) przez (x a) zastosowanie twierdzenia Bezouta do rozwiązywania równań wielomianowych twierdzenie o rozwiązaniach całkowitych równania twierdzenie o rozwiązaniach wymiernych równania wielomianowego pojęcie nierówności wielomianowej mianu pojęcie k-krotnego pierwiastka wielomianu pojęcie postaci iloczynowej wielomianu drugiego stopnia określenie podzielności wielomianu przez dwumian metodę dzielenia wielomianu przez jednomian metodę dzielenia wielomianu przez dwumian (K R) pojęcie reszty z dzielenia wielomianu przez dwumian (K R) twierdzenie Bezouta własność wielomianu dotyczącą reszty z dzielenia wielomianu W (x) przez ( x a) potrzebę stosowania twierdzenia Bezouta do rozwiązywania równań wielomianowych twierdzenie o rozwiązaniach całkowitych równania twierdzenie o rozwiązaniach wymiernych równania wielomianowego pojęcie nierówności wielomianowej i ustalać ich krotności (P D) dzielić wielomiany przez jednomiany i przez dwumiany (P D) podawać przykłady wielomianów podzielnych przez dane dwumiany obliczać resztę z dzielenia wielomianu znajdować wielomiany spełniające określone warunki wykonywać dzielenie wielomianu przez dwumian, korzystając ze schematu Hornera (R) rozwiązywać równania, korzystając z twierdzenia Bezouta (P D) sprawdzać, czy dana liczba jest pierwiastkiem wielomianu rozkładać wielomiany na czynniki stopnia pierwszego rozwiązywać równania wielomianowe, stosując twierdzenie o rozwiązaniach całkowitych sprawdzać, czy dana liczba wymierna jest rozwiązaniem równania wielomianowego znajdować wszystkie rozwiązania wymierne danych równań wielomianowych (P D) uzasadniać niewymierność liczb, korzystając z twierdzenia o rozwiązaniach wymiernych rozwiązywać nierówności wielomianowe, wykorzystując wiedzę o znaku iloczynu dwóch liczb oraz wykresy funkcji liniowej i kwadratowej rozwiązywać nierówności wielomianowe, korzystając z twierdzenia Bezouta (K R) ustalać liczbę rozwiązań równania wielomianowego ustalać wartości parametrów, dla których wielomian ma określoną liczbę pierwiastków uzasadniać własności wielomianów (R W) znajdować wielomiany spełniające określone warunki znajdować wielomiany spełniające określone warunki, korzystając ze schematu Hornera znajdować resztę z dzielenia wielomianu przez wielomian (R-W), korzystając z twierdzenia Bezouta, korzystając z twierdzenia o rozwiązaniach całkowitych równania wielomianowego uzasadniać, że dane równanie wielomianowe nie ma pierwiastków wymiernych określać, dla jakich wartości parametru dane równanie wielomianowe ma pierwiastek wymierny określać, dla jakich wartości parametru zbiorem rozwiązań nierówności wielomianowej jest dany zbiór z zastosowaniem nierówności

6 Figury i przekształcenia 25 h Funkcje wielomianowe Nierówności wielomianowe (cd.). 50 Powtórzenie wiadomości Praca klasowa i jej omówienie Przekształcenia geometryczne. Symetrie. pojęcie funkcji wielomianowej własności funkcji wielomianowych sposób szkicowania wykresu przedstawiającego zmianę znaku wartości funkcji wielomianowej (K-P) pojęcia przekształcenia geometrycznego pojęcie izometrii pojęcie obrazu punktu (figury) w przekształceniu geometrycznym pojęcia: symetria osiowa i środkowa pojęcia: figura osiowosymetryczna oraz oś symetrii figury pojęcia: figura środkowosymetryczna oraz środek symetrii figury Przesunięcie pojęcia: wektor, wektor zerowy, wektory równe, wektory przeciwne pojęcie przesunięcia równoległego o wektor Działania na wektorach Przekształcenia w układzie współrzędnych. pojęcia: suma wektorów, różnica wektorów, iloczyn wektora przez liczbę własności działań na wektorach zależności między współrzędnymi punktów symetrycznych względem osi pojęcie funkcji wielomianowej własności funkcji wielomianowych sposób szkicowania wykresu przedstawiającego zmianę znaku wartości funkcji wielomianowej (K-P) pojęcia przekształcenia geometrycznego pojęcie izometrii pojęcie obrazu punktu (figury) w przekształceniu geometrycznym pojęcia: symetria osiowa i środkowa pojęcia: figura osiowosymetryczna oraz oś symetrii figury pojęcia: figura środkowosymetryczna oraz środek symetrii figury pojęcia: wektor, wektor zerowy, wektory równe, wektory przeciwne pojęcie przesunięcia równoległego o wektor pojęcia: suma wektorów, różnica wektorów, iloczyn wektora przez liczbę własności działań na wektorach zależności między współrzędnymi punktów symetrycznych względem osi określać dziedzinę funkcji badać własności funkcji wielomianowych (K-D) rozwiązywać nierówności wielomianowe (K-D) wyznaczać punkty (figury) symetryczne do danych względem danej prostej oraz proste, względem których dane punkty są symetryczne wskazywać figury osiowo i środkowosymetryczne wskazywać osie i środki symetrii danych figur wyznaczać punkty (figury) symetryczne do danych względem danego punktu wskazywać wektory równe i wektory przeciwne wskazywać obrazy punktów w przesunięciu równoległym o dany wektor rysować obrazy figur w przesunięciu równoległym o dany wektor (K-P) wykonywać działania na wektorach (K R) wyznaczać współrzędne punktów symetrycznych do danych punktów względem osi lub początku układu wielomianowych (R-D) podawać przykłady funkcji wielomianowych spełniających określone warunki (R-D) szkicować wykresy funkcji wielomianowych (R-D) znajdować argumenty, dla których dane funkcje wielomianowe spełniają określone warunki (R-D) z zastosowaniem symetrii osiowej i środkowej z zastosowaniem przesunięcia równoległego z zastosowaniem działań na wektorach uzasadniać twierdzenia, korzystając z własności wektorów i własności działań na wektorach (R W), korzystając z zależności między współrzędnymi punktów

7 7 układu współrzędnych zależności między współrzędnymi punktów symetrycznych względem początku układu współrzędnych wzór na współrzędne środka odcinka Równanie prostej. pojęcia: ogólne równanie prostej, kierunkowe równanie prostej pojęcie współczynnika kierunkowego prostej związek między tangensem kąta nachylenia prostej y = ax + b do osi x a jej współczynnikiem kierunkowym warunek równoległości prostych warunek prostopadłości prostych Interpretacja graficzna nierówności liniowej Długość odcinka. Równanie okręgu. interpretację geometryczną nierówności liniowych z dwiema niewiadomymi oraz układów takich nierówności wzór na odległość punktów na płaszczyźnie (wzór na długość odcinka) równanie okręgu (R) warunek koła (R) interpretację geometryczną zbioru punktów, których współrzędne spełniają określone warunki (R) Proste i okręgi. wzajemne położenia prostej i okręgu na płaszczyźnie układu współrzędnych zależności między współrzędnymi punktów symetrycznych względem początku układu współrzędnych wzór na współrzędne środka odcinka pojęcia: ogólne równanie prostej, kierunkowe równanie prostej pojęcie współczynnika kierunkowego prostej związek między tangensem kąta nachylenia prostej y = ax + b do osi x a jej współczynnikiem kierunkowym interpretację geometryczną układu dwóch równań liniowych interpretację geometryczną nierówności liniowych z dwiema niewiadomymi oraz układów takich nierówności równanie okręgu (R) warunek koła (R) interpretację geometryczną zbioru punktów, których współrzędne spełniają określone warunki (R) wzór określający odległość punktu od prostej współrzędnych wyznaczać współrzędne obrazów danych punktów w symetrii względem prostej równoległej do osi x oraz osi y wyznaczać równanie prostej, względem której dane punkty są symetryczne wyznaczać środek symetrii figury złożonej z dwóch punktów przekształcać ogólne równanie prostej na równanie kierunkowe i odwrotnie obliczać współrzędne punktów przecięcia danej prostej z osiami układu znajdować równanie prostej: przechodzącej przez dwa dane punkty przechodzącej przez dany punkt i równoległej do danej prostej przechodzącej przez dany punkt i prostopadłej do danej prostej określać liczbę rozwiązań układu równań liniowych, korzystając z jego interpretacji geometrycznej sprawdzać, czy dane trzy punkty są współliniowe sprawdzać, czy dany punkt należy do podzbioru płaszczyzny opisanego nierównością lub układem nierówności opisywać za pomocą nierówności lub układu nierówności zaznaczony zbiór punktów zaznaczać w układzie współrzędnych zbiór punktów, których współrzędne spełniają dane warunki obliczać odległość punktów na płaszczyźnie (długość odcinka) z zastosowaniem obliczeń długości odcinka (P-R) wyznaczać równanie okręgu o danym środku i promieniu dot. okręgu (R) wyznaczać współrzędne punktów wspólnych: symetrycznych względem osi lub początku układu współrzędnych (R) z zastosowaniem przekształceń w układzie współrzędnych obliczać, dla jakich wartości parametrów dany układ dwóch równań liniowych ma określoną liczbę rozwiązań obliczać miarę kąta, pod jakim przecinają się proste o danych równaniach dotyczące równania prostej (R W) opisywać za pomocą układu nierówności figury (D W) zaznaczać w układzie współrzędnych zbiory punktów, których współrzędne spełniają określone warunki i opisywać zaznaczone zbiory punktów z zastosowaniem równania okręgu i nierówności koła wyznaczać równania okręgów spełniających określone warunki

8 Trygonometria 38 h Wektory w układzie współrzędnych Działania na wektorach (cd.). 75 Powtórzenie wiadomości Praca klasowa i jej omówienie. 78 Funkcje trygonometryczne kąta ostrego. 79 Kąty o miarach dodatnich i ujemnych. wzór określający odległość punktu od prostej pojęcia: współrzędne wektora, długość wektora sposób pozwalający wyznaczyć współrzędne obrazu punktu w przesunięciu równoległym o dany wektor wzory na współrzędne sumy, różnicy wektorów oraz współrzędne iloczynu danego wektora przez liczbę warunek równoległości wektorów definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym wartości funkcji trygonometrycznych kątów o miarach 30, 45º, 60º pojęcia: kąt o mierze dodatniej, kąt o mierze ujemnej pojęcie kąta umieszczonego w układzie współrzędnych pojęcia: współrzędne wektora, długość wektora sposób pozwalający wyznaczyć współrzędne obrazu punktu w przesunięciu równoległym o dany wektor wzory na współrzędne sumy, różnicy wektorów oraz współrzędne iloczynu danego wektora przez liczbę warunek równoległości wektorów pojęcia: funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym pojęcia: kąt o mierze dodatniej, kąt o mierze ujemnej pojęcie kąta umieszczonego w układzie współrzędnych prostych i okręgów dwóch okręgów, okręgu i paraboli (P D) obliczać odległości punktu od prostej oraz między dwiema prostymi wyznaczać współrzędne i obliczać długości wektorów wyznaczać współrzędne obrazów punktów w przesunięciu równoległym o dany wektor obliczać współrzędne sumy oraz różnicy danych wektorów obliczać współrzędne iloczynu danego wektora przez liczbę rozwiązywać trójkąty prostokątne (P-R) konstruować kąty ostre, mając dane wartości funkcji trygonometrycznych korzystać z tablic wartości funkcji trygonometrycznych rysować kąty dodatnie i ujemne o danych miarach zaznaczać w układzie współrzędnych kąty o podanych miarach (K-P) ustalać, w której ćwiartce układu wyznaczać równania stycznych do danych okręgów spełniających określone warunki dotyczące wzajemnego położenia prostej i okręgu oraz obliczania odległości punktu od prostej (R) wyznaczać wartości parametrów, dla których wektor spełnia określone warunki z zastosowaniem obliczania współrzędnych i długości wektorów oraz współrzędnych obrazów punktów w przesunięciach równoległych o dane wektory z zastosowaniem obliczania współrzędnych sumy, różnicy danych wektorów oraz iloczynu danego wektora przez liczbę z zastosowaniem warunku równoległości wektorów stosując wiadomości o funkcjach trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym (R-D) porządkować kąty ostre, znając wartości ich funkcji trygonometrycznych i odwrotnie (R-D) podawać przykłady kątów spełniających określone warunki (R)

9 80-82 Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta Podstawowe związki między funkcjami trygonometrycznymi Wykres funkcji y = sin α Wykres funkcji y = cos α. współrzędnych leży drugie ramię kąta o podanej mierze definicje funkcji trygonometrycznych definicje funkcji trygono- obliczać wartości funkcji dowolnego kąta metrycznych dowolnego kąta trygonometrycznych kąta, gdy dane są współrzędne punktu leżącego na drugim znaki wartości funkcji ramieniu kąta trygonometrycznych kątów z ustalać znaki wartości funkcji poszczególnych ćwiartek trygonometrycznych kątów układu współrzędnych z poszczególnych ćwiartek układu zależności: określać, w której ćwiartce układu leży sin(α + k 360⁰) = sin α końcowe ramię kąta, mając dane wartości cos(α + k 360⁰ ) = cos α funkcji trygonometrycznych kąta tg(α + k 180⁰) = tg α obliczać wartości funkcji trygonometrycznych kątów, których końcowe ramię leży na prostej o równaniu y = ax rysować w układzie kąt, mając dane wartości funkcji trygonometrycznych związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta (tożsamości trygonometryczne) sposób sporządzania wykresu funkcji y = sin α własności funkcji y = sin α wzory: sin α = sin (α + k 360º) sin α = sin (180º α) sin ( α ) = sin α związek cos α = sin (α +90º) sposoby sporządzania wykresu funkcji y = cos α własności funkcji y = cos α związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta własności funkcji y = sin α wzory: sin α = sin (α + k 360º ) sin α = sin (180º α) sin ( α ) = sin α związek cos α = sin (α +90º) sposoby sporządzania wykresu funkcji y = cos α własności funkcji y = cos α obliczać wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych, gdy dana jest jedna z nich (K R) sprawdzać tożsamości trygonometryczne (P D) upraszczać wyrażenia zawierające funkcje trygonometryczne (P D) ustalać najmniejszą i największą wartość wyrażenia zawierającego funkcje trygonometryczne (P D) narysować wykres funkcji y = sin α, wykorzystując koło trygonometryczne odczytywać z wykresu własności funkcji y = sin α ustalać znak, obliczać i porównywać wartości funkcji sinus dla podanego kąta, korzystając z sinusoidy z zastosowaniem wzoru na pole trójkąta narysować wykres funkcji y =cos α, wykorzystując koło trygonometryczne lub związek cos α = sin (α +90º) odczytywać z wykresu własności funkcji y = cos α (K-R) ustalać znak funkcji cosinus dla podanego 9 obliczać wartości funkcji trygonometrycznych danych kątów dodatnich i ujemnych, wykorzystując definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym oraz wartości funkcji trygonometrycznych kątów o miarach 30⁰, 45⁰, 60⁰(P D) podawać wszystkie kąty spełniające określone warunki, korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych obliczać wartości wyrażeń, w których występują funkcje trygonometryczne dowolnych kątów, wykorzystując podstawowe tożsamości trygonometryczne ustalać wartości funkcji sinus dowolnego kąta, wykorzystując tablice wartości funkcji trygonometrycznych oraz: sin α = sin (α + k 360º) sin α = sin (180º α) sin ( α ) = sin α (R) znajdować argumenty, dla których funkcja sinus spełnia określone warunki ustalać wartości funkcji cosinus dowolnego kąta, wykorzystując tablice wartości funkcji trygonometrycznych oraz wzory: cos α = cos (α +k 360º) cos α = cos (180º α)

10 Wykres funkcji y = tg α wzory: cos α = cos (α +k 360º), cos α = cos (180º α) cos ( α ) = cos α wykres funkcji y = tg α pojęcie asymptoty wykresu własności funkcji tangens związki: tg α = tg(α + 180º) tg( α ) = tg(α) zasadę sporządzania wykresów funkcji: y = f (x), y = f (x + a), gdy dany jest wykres funkcji y = f (x) Miara łukowa kąta. wzór na długość łuku definicję miary łukowej kąta środkowego zależność między miarą łukową a stopniową kąta Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej. 98 Powtórzenie. własności funkcji trygonometrycznych zmiennej rzeczywistej (P D) własności funkcji: okresowość, parzystość, nieparzystość pojęcie asymptoty wykresu własności funkcji tangens związki: tg α = tg(α + 180º) tg( α ) = tg(α) zasadę sporządzania wykresów funkcji: y = f (x), y = f (x + a), gdy dany jest wykres funkcji y = f (x) wzór na długość łuku definicję miary łukowej kąta środkowego jednostkę miary łukowej kąta zależność między miarą łukową a stopniową kąta własności funkcji trygonometrycznych zmiennej rzeczywistej (P D) własności funkcji: okresowość, parzystość, nieparzystość kąta, korzystając z cosinusoidy obliczać wartości funkcji cosinus dla podanych kątów, wykorzystując cosinusoidę porównywać wartości i własności funkcji y = sin α i y = cos α narysować wykres funkcji y = tg α, wykorzystując koło trygonometryczne odczytywać własności funkcji y = tg α z wykresu (R) korzystać z wzorów redukcyjnych (P D) obliczać miarę łukową kąta środkowego, stosując wzór na miarę łukową kąta środkowego zamieniać miarę łukową kąta na miarę stopniową i odwrotnie rysować wykresy funkcji trygonometrycznych zmiennej rzeczywistej i określać ich własności (P D) wyznaczać argumenty, dla których funkcje trygonometryczne przyjmują określone wartości cos ( α ) = cos α (R) znajdować argumenty, dla których wartości funkcji cosinus spełniają określone warunki ustalać argumenty, dla których wartości funkcji sinus i cosinus spełniają określone warunki ustalać argumenty, dla których wartości funkcji trygonometrycznych spełniają określone warunki ustalać wartości funkcji dowolnego kąta, wykorzystując tablice oraz związki: tg α = tg (α + k 180º) tg ( α )= tg α (R) znajdować argumenty, dla których wartości funkcji tangens spełniają określone warunki z zastosowaniem miary łukowej i stopniowej określać własności funkcji trygonometrycznych zmiennej rzeczywistej (okresowość, parzystość, nieparzystość) (R) wyznaczać argumenty, dla których wartości funkcji spełniają dane warunki Praca klasowa i jej omówienie Funkcje 102 y = sin ax, y = a sin x... zasady sporządzania wykresów funkcji y = sin ax, y = a sin x... zasady sporządzania wykresów funkcji y =sin ax, y = a sin x... rysować wykresy funkcji y = sin ax, y = a sin x... odczytywać własności funkcji y = sin ax, y = a sin x..., korzystając z ich wykresów określać wzory funkcji y = sin ax, y = a sin x... spełniających określone warunki rysować wykresy funkcji

11 Ciągi 20 h Przekształcanie wykresów funkcji. Równania trygonometryczne. Sinus i cosinus sumy i różnicy kątów. Suma i różnica sinusów i cosinusów kątów. 113 Powtórzenie zasady sporządzania wykresów funkcji: y = f(x), y = f(x + a)+ b, y = f(x), gdy dany jest wykres funkcji y = f(x) (P D) równań i nierówności trygonometrycznych (P D) sposoby zapisywania rozwiązań niektóre wzory trygonometryczne (D) wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów wzory na sinus i cosinus podwojonego kąta wzory na sumę i różnicę sinusów i cosinusów kątów zasady sporządzania wykresów funkcji: y = f(x), y = f(x + a)+ b, y = f(x), gdy dany jest wykres funkcji y = f(x) (P D) sposoby wykorzystania wykresów funkcji trygonometrycznych do rozwiązywania równań i nierówności równań i nierówności trygonometrycznych (P D) przydatność wzorów na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów do wyznaczania dokładnych wartości funkcji trygonometrycznych nietypowych kątów np. 75⁰ przydatność wzorów na sinus i cosinus podwojonego kąta w rozwiązywaniu równań trygonometrycznych przydatność wzorów na sumę i różnicę sinusów i cosinusów kątów przy rozwiązywaniu równań i dowodzeniu tożsamości trygonometrycznych sporządzać wykresy przekształconych funkcji, mając dany wykres funkcji y = f(x) (P D) odczytywać własności funkcji z wykresów (P D) rozwiązywać równania trygonometryczne postaci sin x = a, cos x = a, tg x = a, rozwiązywać proste nierówności trygonometryczne, np. sin x a (P D) stosować wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów do wyznaczania dokładnych wartości funkcji trygonometrycznych nietypowych kątów rozwiązywać proste równania i nierówności trygonometryczne, stosując wzory na sinus i cosinus podwojonego kąta stosować wzory na sumę i różnicę sinusów i cosinusów kątów do uproszczenia wyrażeń zawierających funkcje trygonometryczne y = sin ax, y = a sin x... i określać ich własności (R W) przekształcać wykresy funkcji trygonometrycznych (R W) rozwiązywać trudniejsze równania i nierówności trygonometryczne (R W) np. sin 2x = 1/2 sin 2 x +cos x =1 cos 2x < 1/2 rozwiązywać trudniejsze równania i nierówności trygonometryczne, stosując wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów stosować wzory na sumę i różnicę sinusów i cosinusów kątów w rozwiązywaniu równań i dowodzeniu tożsamości trygonometrycznych Praca klasowa i jej omówienie. Przykłady ciągów. pojęcia: ciąg, wyrazy ciągu pojęcia: ciąg skończony, ciąg nieskończony pojęcie ciągu liczbowego pojęcie wzoru ogólnego ciągu pojęcie wzoru rekurencyjnego ciągu pojęcia: ciąg, wyrazy ciągu pojęcia: ciąg skończony, ciąg nieskończony pojęcie ciągu liczbowego sposób określania ciągu za pomocą wzoru ogólnego sposób określania ciągu zapisywać dowolne wyrazy ciągów na podstawie ich wzorów ogólnych zapisywać dowolne wyrazy ciągów na podstawie ich wzorów rekurencyjnych podawać przykłady ciągów określać monotoniczność ciągu na podstawie wzoru ogólnego określać monotoniczność ciągu na podstawie wzoru rekurencyjnego obliczać sumę k początkowych wyrazów ciągu na podstawie jego wzoru ogólnego obliczać kolejne wyrazy ciągu oraz określać ogólny wzór ciągu na podstawie danego wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu znajdować wzór ogólny ciągu

12 Ciągi arytmetyczne. Ciągi geometryczne. pojęcia: monotoniczność ciągu, ciąg malejący, ciąg rosnący, ciąg stały pojęcia: ciąg arytmetyczny, różnica ciągu arytmetycznego wzór ogólny ciągu arytmetycznego wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego pojęcia: ciąg geometryczny, iloraz ciągu geometrycznego wzór ogólny ciągu geometrycznego wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego pojęcie średniej geometrycznej dwóch liczb nieujemnych za pomocą wzoru rekurencyjnego pojęcia: ciąg malejący, ciąg rosnący, ciąg stały pojęcia: ciąg arytmetyczny, różnica ciągu arytmetycznego wzór ogólny ciągu arytmetycznego wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego pojęcia: ciąg geometryczny, iloraz ciągu geometrycznego wzór ogólny ciągu geometrycznego wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego pojęcie średniej geometrycznej dwóch liczb nieujemnych określać ciąg za pomocą wzoru ogólnego (P D) określać ciąg za pomocą wzoru rekurencyjnego obliczać różnicę i kolejne wyrazy danego ciągu arytmetycznego obliczać dowolne wyrazy ciągu arytmetycznego, gdy dane są jeden wyraz i różnica ciągu lub dwa dowolne wyrazy tego ciągu (K R) podawać przykłady ciągów arytmetycznych spełniających dane warunki zapisywać wzory ciągów arytmetycznych zapisywać wzory ogólne ciągów arytmetycznych określonych rekurencyjnie i odwrotnie obliczać sumę kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego (K R) sprawdzać, czy dana liczba jest wyrazem danego ciągu arytmetycznego ustalać, ile wyrazów ma podany ciąg arytmetyczny obliczać ilorazy oraz kolejne wyrazy danych ciągów geometrycznych sprawdzać, czy podany ciąg jest ciągiem geometrycznym zapisywać dowolne wyrazy ciągu geometrycznego, gdy dany jest: iloraz i dowolny wyraz tego ciągu dwa dowolne wyrazy ciągu geometrycznego (K R) sprawdzać, czy dana liczba jest wyrazem danego ciągu geometrycznego określać monotoniczność ciągów geometrycznych (R) zapisywać wzory ogólne ciągów geometrycznych określonych rekurencyjnie i odwrotnie (P D) obliczać sumę wyrazów ciągu geometrycznego z zastosowaniem procentu prostego i składanego określonego rekurencyjnie (R-W) określać wartości parametru, dla którego podane wyrażenia są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego (R) dotyczące ciągu arytmetycznego rozwiązywać równania, których jedna strona jest sumą wyrazów ciągu arytmetycznego obliczać wartości zmiennych, które wraz z danymi liczbami tworzą ciąg geometryczny dotyczące ciągów geometrycznych (R W) Procent składany. pojęcia: procent prosty, procent składany pojęcia: procent prosty, procent składany z zastosowaniem procentu prostego i składanego 127- Granice ciągów definicję granicy ciągu definicję granicy ciągu obliczać granice niektórych ciągów (P-D) na podstawie wzoru ogólnego

13 Wielokąty. Figury podobne 12 h pojęcia: ciąg zbieżny, ciąg rozbieżny, ciąg rozbieżny do +, ciąg rozbieżny do, warunek zbieżności i rozbieżności ciągu geometrycznego Obliczanie granic Szeregi geometryczne 133 Powtórzenie wiadomości Praca klasowa i jej 135 omówienie. własności granic ciągów własności granic ciągów rozbieżnych symbole nieoznaczone pojęcie szeregu geometrycznego wzór na sumę wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o ilorazie q < 1 pojęcia: ciąg zbieżny, ciąg rozbieżny, ciąg rozbieżny do +, ciąg rozbieżny do, warunek zbieżności i rozbieżności ciągu geometrycznego własności granic ciągów własności granic ciągów rozbieżnych pojęcie szeregu geometrycznego wzór na sumę wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o ilorazie q < 1 podawać przykłady ciągów zbieżnych oraz rozbieżnych określać zbieżność oraz rozbieżność ciągu na podstawie jego wykresu (P-D) obliczać granice ciągów z wykorzystaniem własności granic (P-R) obliczać sumy szeregów geometrycznych (P-R) określać zbieżność oraz rozbieżność ciągu (R-D) określać wartość parametru, dla którego granica danego ciągu spełnia określone warunki (R-D) obliczać granice ciągów z wykorzystaniem własności granic (R-D) z zastosowaniem obliczania sum szeregów geometrycznych (R W) Wielokąty podobne. Jednokładność. Cechy podobieństwa trójkątów. Twierdzenie Talesa. pojęcie figur podobnych pojęcie skali podobieństwa własności figur podobnych pojęcie jednokładności własności figur jednokładnych cechy podobieństwa trójkątów twierdzenie Talesa twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa pojęcie figur podobnych pojęcie skali podobieństwa własności figur podobnych pojęcie jednokładności własności figur jednokładnych cechy podobieństwa trójkątów twierdzenie Talesa twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa rozpoznawać figury podobne znajdować długości boków wielokątów podobnych, gdy dana jest skala podobieństwa i odwrotnie (R) rozpoznawać figury jednokładne konstruować figury jednokładne obliczać współrzędne obrazów punktów w jednokładności o danym środku i skali z zastosowaniem cech podobieństwa trójkątów (K R) stosować twierdzenie Talesa oraz twierdzenie do niego odwrotne w zadaniach rachunkowych stosować twierdzenie Talesa w zadaniach konstrukcyjnych z zastosowaniem własności podobieństwa obliczać współrzędne środka jednokładności, gdy dane są współrzędne punktu i jego obrazu obliczać skalę jednokładności, gdy dane są współrzędne środka jednokładności oraz punktu i jego obrazu, stosując definicję i własności jednokładności (RD) z zastosowaniem twierdzenia Talesa i twierdzenia do niego odwrotnego

14 Statystyka 10 h Pola figur podobnych. zależność między stosunkiem pól figur podobnych a skalą podobieństwa 145 Powtórzenie wiadomości Praca klasowa i jej omówienie. 148 Przybliżenia. sposoby zaokrąglania liczb Średnia arytmetyczna, mediana, dominanta. pojęcie średniej arytmetycznej pojęcia: mediana, dominanta pojęcia: dolny kwartyl, górny kwartyl, rozstęp danych, rozstęp międzykwartylowy (R) zależność między stosunkiem pól figur podobnych a skalą podobieństwa potrzebę zaokrąglania liczb różnicę między błędem bezwzględnym a błędem względnym pojęcie średniej arytmetycznej pojęcia: mediana, dominanta pojęcia: dolny kwartyl, górny kwartyl, rozstęp danych, rozstęp międzykwartylowy (R) obliczać pola figur podobnych obliczać skalę podobieństwa, gdy dane są pola figur podobnych wykonywać obliczenia na liczbach rzeczywistych oraz szacować różne wielkości i wyniki działań obliczać błędy bezwzględne i błędy względne przybliżeń obliczać dokładne wartości, znając błąd bezwzględny oraz rodzaj przybliżenia (P-R) obliczać średnią arytmetyczną, medianę i dominantę (K R) rysować diagramy pudełkowe oraz obliczać dolny i górny kwartyl oraz rozstęp danych i rozstęp międzykwartylowy Średnia ważona. pojęcie średniej ważonej pojęcie średniej ważonej obliczać średnie ważone zestawu danych Odchylenie standardowe. pojęcie odchylenia standardowego 155 Powtórzenie wiadomości Praca klasowa i jej 157 omówienie Pozostałe godziny do dyspozycji nauczyciela 160 pojęcie odchylenia standardowego interpretację wartości przeciętnej i odchylenia standardowego obliczać odchylenie standardowe interpretować wartości przeciętne i odchylenia standardowe 14 dotyczące pól figur podobnych z zastosowaniem obliczania średniej arytmetycznej, mediany i dominanty z zastosowaniem obliczania dolnego i górnego kwartyla oraz rozstępu danych i rozstępu międzykwartylowego (R-W) z zastosowaniem obliczania średniej ważonej (D) z zastosowaniem obliczania odchylenia standardowego