W tym rozdziale przypomnimy wiadomości o funkcjach trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym.

Transkrypt

1

2 ONOMETRYCZNE A B FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO W tym rozdziale przypomnimy wiadomości o funkcjach trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. 1. Sinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości przeciwprostokątnej. Oblicz sin α i sin β.. Przypomnij określenia pozostałych dwóch funkcji trygonometrycznych cosinusa i tangensa i oblicz wartości tych funkcji dla kątów α i β. Przy oznaczeniach takich jak na rysunku obok funkcje trygonometryczne kąta ostrego α są określone następująco: sin α = a c cos α = b c tg α = a b Wartości sin α, cosα, tg α zależą wyłącznie od miary kąta α, a nie zależą od wielkości trójkąta. Jeśli znamy miarę kąta, to wartości funkcji trygonometrycznych tego kąta możemy obliczyć za pomocą kalkulatora lub odczytać z tablic trygonometrycznych zob. tabela na końcu książki). I na odwrót jeśli znamy wartość dowolnej funkcji trygonometrycznej danego kąta, możemy znaleźć jego miarę. 1. Korzystając z kalkulatora lub z tabeli na końcu książki, podaj w zaokrągleniu do części setnych) wartości: sin 3, tg7, cos65.. Ustal miary kątów ostrych α, β i γ, jeśli sinα =0,6, cosβ = 1, tgγ = Wyniki podaj w zaokrągleniu. Warto pamiętać, że dla większości kątów wartości funkcji trygonometrycznych, które można odczytać z tablic trygonometrycznych, podane są w przybliżeniu. Dla niektórych kątów, np. 30,45 i60, można podać dokładne wartości funkcji trygonometrycznych. Zebrano je w tabelce obok. α sin α 1 cos α 3 tg α Uwaga. Wartości funkcji trygonometrycznych podane w tabelce można obliczyć, korzystając z tego, że trójkąt o kątach 30,60 i90 to połowa trójkąta równobocznego, a trójkąt o kątach 45,45 i90 to połowa kwadratu. 194 TRYGONOMETRIA

3 Gdy znamy miarę jednego z kątów ostrych oraz długość jednego boku trójkąta prostokątnego, możemy obliczyć długości pozostałych jego boków. P Krótsza z przyprostokątnych trójkąta prostokątnego ma długość 4, a jeden z kątów ma miarę 75. Oblicz długości pozostałych boków tego trójkąta =15 Najkrótszy bok trójkąta leży naprzeciw najmniejszego kąta. x 4 =tg75 x =4 tg 75 x 4 3,731 14,93 tg 75 odczytujemy z tabeli lub obliczamy za pomocą kalkulatora. 4 y =sin15 y = y 4 sin ,588 15,46 Można też zapisać równanie 4 y =cos75. sin 15 odczytujemy z tabeli lub obliczamy za pomocą kalkulatora. Odp. Pozostałe boki trójkąta mają długości około 14,93 i około 15,46. Funkcje trygonometryczne pozwalają także ustalić miary kątów ostrych w trójkącie prostokątnym o danych bokach. P W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość 4, a przeciwprostokątna długość 5. Oblicz miary kątów ostrych tego trójkąta. cos α = 4 5 0,89 Obliczamy wartość odpowiedniej funkcji trygonometrycznej. α 7 Miarę kąta α odczytujemy z tabeli lub obliczamy za pomocą kalkulatora. β =90 α 63 Odp. Kąty ostre trójkąta mają miary około 7 iokoło63. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO 195

4 CIEKAWOSTKA Oprócz sinusa, cosinusa i tangensa są jeszcze trzy, rzadziej używane, funkcje trygonometryczne kąta: secans w skrócie sec), cosecans w skrócie cosec) i cotangens w skrócie ctg). Określa się je następująco: 1 Wynika stąd, że sec α = cos α, cosecα = 1 sin α, ctgα = 1. Zauważ, że tg α oprócz tych sześciu funkcji trygonometrycznych nie ma już innych, które można by określić jako ilorazy długości boków trójkąta prostokątnego, gdyżztrzechliczba, b, c można utworzyć tylko sześć ilorazów. Funkcję secans wprowadził i wykorzystał Mikołaj Kopernik w swoim słynnym dziele De revolutionibus orbium coelestium. ZADANIA 1. Oblicz wartości podanych funkcji trygonometrycznych kątów α i β.. Skonstruuj kąt α, wiedząc,że: a) sin α = 3 b) cos α =0,4 c) tg α =3 3. Oblicz długości odcinków oznaczonych literami. 4. Oblicz długości odcinków oznaczonych literami. 196 TRYGONOMETRIA

5 5. W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ostrych ma miarę α, akrótszaprzyprostokątna ma długość a. Oblicz długość przeciwprostokątnej tego trójkąta, jeśli: a) α =30, a =15 b) α =60, a =5 c) α =58, a =10 6. Oblicz miary kątów ostrych trójkąta prostokątnego, w którym: a) jedna z przyprostokątnych ma długość 8, a przeciwprostokątna długość 10, b) przyprostokątne mają długości 9 i a) Uporządkuj liczby sin α, cosα itgα w kolejności od najmniejszej do największej, wiedząc, że 0 < α <1. b) Uporządkuj kąty α, β i γ wkolejnościodkąta o najmniejszej mierze do kąta o mierze największej, wiedząc, że sin α =cosβ =tgγ = Okrąg na rysunku obok ma promień długości 1, aprostek i l są styczne do tego okręgu. Zapisz za pomocą funkcji trygonometrycznych kąta α długości zaznaczonych odcinków. 9. a) Jakie pole ma trójkąt równoramienny, w którym podstawa ma długość a, natomiast kąt przy podstawie ma miarę α? b) Jaki jest obwód rombu o kącie ostrym β i krótszej przekątnej długości d? c) Jaką długość ma cięciwa okręgu o promieniu r, na której oparty jest kąt wpisany omierzeγ? d) Jaki jest obwód trapezu prostokątnego o kącie ostrym α i podstawach długości a i b b > a)? 10. a) Fotografia obok przedstawia tzw. diabelski młyn w pewnym lunaparku. Średnica jego koła wynosi 35 m. Zawieszono na nim 36 wagoników. W najniższym położeniu wagonik wisi ok. 0,5 m nad ziemią. Jak wysoko nad ziemią znajduje się wagonik oznaczony na fotografii literą A, a jak wysoko wagonik oznaczony literą B? b) Największe na świecie koło widokowe London Eye zob. fotografia na okładce) ma średnicę 135 m. Zawieszono na nim 3 gondole. Oblicz różnicę między wysokościami, na których znajdują się sąsiadujące ze sobą gondole, w momencie gdy jedna z nich znajduje się w najwyższym punkcie. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO 197

6 TEST T1. Obwód trójkąta przedstawionego na rysunku, zaokrąglony do pełnych centymetrów, jest równy: A. 5 cm B. 48 cm C. 47 cm D. 39 cm T. Trójkąt ma boki o długościach 3 m, 4 m i 5 m. Miara najmniejszego kąta tego trójkąta, po zaokrągleniu do pełnych stopni, jest równa: A. 8 B. 3 C. 37 D. 43 T3. Prostopadłościenne pudełko oparte jest dwiema krawędziami o ścianę i podłogę, tak jak przedstawiono na rysunku. Odległość najwyżej położonego wierzchołka tego pudełka od podłogi po zaokrągleniu do pełnych centymetrów) jest równa: A. 5 cm B. 58 cm C. 64 cm D. 71 cm DATNICH KĄTY O MIARACH DODATNICH IUJEMNYCH Przyjrzyj się fotografii. Żółta wskazówka, służąca do ustawiania godziny budzenia, pokazuje godzinę Wyobraź sobie, że tę wskazówkę obrócono o30. Na którą godzinę nastawiony byłby wówczas budzik? Na tak postawione pytanie nie można jednoznacznie odpowiedzieć, dopóki nie ustalimy, w którą stronę obracamy wskazówkę. Gdybyśmy obracali ją zgodnie z ruchem wskazówek zegara, wskazywałaby godzinę 8 00, a gdybyśmy obracali w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, wskazywałaby godzinę Półprosta obracająca się wokół swojego początku zakreśla pewien kąt. Przyjmujemy, że miara tego kąta jest dodatnia, jeśli półprosta obraca się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Gdy półprosta obraca się zgodnie z ruchem wskazówek zegara, to zakreślony kąt ma miarę ujemną. 198 TRYGONOMETRIA

7 Na rysunku poniżej zaznaczono dwa kąty utworzone przez obracającą się półprostą. Strzałka na rysunku pozwala określić, które ramię jest początkowe, a które końcowe wskazuje kierunek obrotu półprostej). Pierwszy z kątów jest dodatni, a drugi ujemny. A Pod rysunkami podano miary kątów zaznaczonych czarnymi strzałkami. Podaj miary pozostałych kątów zaznaczonych na tych rysunkach. Kolejną fotografię wykonano po przestawieniu wskazówki z godziny 7 00 na godzinę Zastanów się, w jaki sposób obracano tę wskazówkę. Można było to zrobić na kilka różnych sposobów. Na przykład wykonać wskazówką pełen obrót o 360 ) i jeszcze obrócić ją o 60. Aby opisać sytuację, w której półprosta wykonuje więcej niż jeden pełny obrót wokół swojego początku, przyjmujemy, że miara kąta może być większa niż 360 lub mniejsza niż 360. B Na każdym z poniższych rysunków dwie półproste tworzą kąt ostry 6.Podaj miary zaznaczonych kątów. KĄTY O MIARACH DODATNICH I UJEMNYCH 199

8 Omówimy teraz położenie kątów w układzie współrzędnych. Gdy będziemy mówić o kącie umieszczonym w układzie współrzędnych, to zawsze będziemy mieli na myśli kąt, którego wierzchołek leży w początku układu współrzędnych, a początkowe ramię na nieujemnej części osi x. C W której ćwiartce układu współrzędnych leży końcowe ramię kąta α, jeśli: 1. α =36. α = α = α = α = α = α = α = α = 1000 D Narysuj układ współrzędnych. Wskaż początkowe i końcowe ramię kąta α. 1. α = 450. α = α = 1800 Jeśli końcowe ramię kąta umieszczonego w układzie współrzędnych leży na osi y lub na osi x, to jego miara jest wielokrotnością 90. E 1. Zaznacz w układzie współrzędnych kąt α =50, a następnie kąty: , i Podaj miary kilku kątów dodatnich i ujemnych, które umieszczone w układzie współrzęnych mają takie same ramiona końcowe jak kąt β =0. Zauważ, że ramiona końcowe kątów: α, α+360, α 360, α+ 360, α 360, α itd. się pokrywają. Dla dowolnej liczby całkowitej k ramię końcowe kąta α pokrywa się z ramieniem końcowym kąta α + k TRYGONOMETRIA

9 ZADANIA 1. Pokrętło zamka szyfrowego jest ustawione na cyfrze 0 zob. rysunek). a) Aby otworzyć zamek, pokrętło należy obrócić kolejnookąty36, 108 i 396. Z jakich trzech cyfr składa się szyfr tego zamka? b) O jakie kąty należy kolejno obracać pokrętło, aby otworzyć zamek, który ma nastawiony szyfr 375?. Miarę kąta α podano pod rysunkiem. Podaj miary pozostałych kątów zaznaczonych strzałkami. 3. Dwie narysowane proste przecinają się pod kątem ostrym 37. Podaj miarę zaznaczonego kąta. 4. Podaj trzy przykłady kątów dodatnich i trzy przykłady kątów ujemnych umieszczonych w układzie współrzędnych tak, że ich ramiona końcowe leżą: a) w I ćwiartce układu współrzędnych, c) w IV ćwiartce układu współrzędnych, b) w III ćwiartce układu współrzędnych, d) na dodatniej części osi y. 5. Dla każdego z podanych kątów ustal, w której ćwiartce leżałoby jego końcowe ramię, gdybyśmy umieścili go w układzie współrzędnych Kąt o podanej mierze jest umieszczony w układzie współrzędnych. Podaj współrzędne trzech punktów, które leżą na końcowym ramieniu tego kąta. a) 90 b) 180 c) 70 d) 70 e) Narysuj w układzie współrzędnych kąt o mierze: a) 45 b) 135 c) 135 d) 315 e) 405 KĄTY O MIARACH DODATNICH I UJEMNYCH 01

10 8. Podaj przykłady kilku kątów umieszczonych w układzie współrzędnych, których ramiona pokrywają się z ramionami kąta o mierze Podaj przykłady kilku kątów o końcowym ramieniu leżącym w II ćwiartce układu współrzędnych, których miary są: a) mniejsze od 1000, b) większe od Punkt P = 5, ) leży na końcowym ramieniu kąta α zob. rysunek). Jakie współrzędne mają punkty P 1, P, P 3 i P 4? Wyraź za pomocą α przykłady kątów umieszczonych w układzie współrzędnych, których ramię końcowe przechodzi przez punkt P 3. TEST T1. Zegar wskazywał godzinę Wskazówki zegara cofnięto tak, że obecnie wskazuje 55. O jaki kąt obrócono wskazówkę minutową? A. 30 B. 330 C. 390 D. 40 T. Wierzchołek kąta o mierze 700 leży w początku układu współrzędnych, a ramię początkowe leży na osi x. Ramię końcowe tego kąta leży: A. w I ćwiartce układu współrzędnych B. w II ćwiartce układu współrzędnych C. w III ćwiartce układu współrzędnych D. w IV ćwiartce układu współrzędnych ZNE A FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE DOWOLNEGO KĄTA Zaznacz w układzie współrzędnych punkty A = 4, 0) i B = 4, 3). Punkty te oraz punkt O = 0,0) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta AOB w tym trójkącie. 0 TRYGONOMETRIA

11 sin α = b OP cos α = a OP tg α = b a Jeżeli kąt ostry α umieścimy w układzie współrzędnych tak jak na rysunku obok) i na ramieniu końcowym tego kąta obierzemy punkt P =a, b) różny od 0, 0), to będziemy mogli zapisać funkcje trygonometryczne kąta α za pomocą współrzędnych punktu P tzn. liczb a i b) orazdługości odcinka OP. Taką interpretację można wykorzystać do określenia funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta. Niech α będzie dowolnym kątem umieszczonym w układzie współrzędnych wierzchołek kąta α leży w punkcie 0, 0), a początkowe ramię na nieujemnej części osi x). Wybieramy na końcowym ramieniu kąta α punkt P różny od wierzchołka kąta. Przypomnijmy, że pierwszą współrzędną punktu w układzie współrzędnych nazywamy odciętą, a drugą rzędną). OP = r = x + y Sinusem kąta α nazywamy stosunek rzędnej punktu P do odległości tego punktu od początku układu współrzędnych. Cosinusem kąta α nazywamy stosunek odciętej punktu P do odległości tego punktu od początku układu współrzędnych. Jeśli odcięta punktu P jest różna od zera, to tangensem kąta α nazywamy stosunek rzędnej punktu P do odciętej tego punktu. sin α = y r cos α = x r tg α = y x Zauważ, że jeśli punkty P 1 =x 1, y 1 ) i P = x, y ) leżą na końcowym ramieniu kąta α zob.rysunek),tozpodobieństwa trójkątów prostokątnych OA 1 P 1 i OA P wynikają równości: r 1 = OP 1 r = OP x 1 r 1 = x r y 1 r 1 = y r y 1 x 1 = y x Zatem wartości funkcji trygonometrycznych kąta α nie zależą od tego, który z punktów na końcowym ramieniu kąta wybierzemy. Uwaga. Łatwo można uzasadnić, że także wtedy, gdy końcowe ramię kąta leży na jednej z osi układu współrzędnych, wartości funkcji trygonometrycznych nie zależą od tego, jaki punkt na ramieniu końcowym kąta wybieramy. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE DOWOLNEGO KĄTA 03

12 Definicje funkcji trygonometrycznych pozwalają obliczać wartości tych funkcji dla kątów innych niż ostre. Z definicji tych wynika, że tg α może być dowolną liczbą, a sin α i cosα to liczby z przedziału 1;1, gdyż dla dowolnego punktu P =x, y) zachodząnierówności x x + y i y x + y. Na rysunku zaznaczono kąt α, któregokoń- cowe ramię przechodzi przez punkt 6, ). Z definicji funkcji trygonometrycznych wynika, że: sin α = y r = 10 = cos α = x r = 6 10 = tg α = y x = 6 = 1 3 B Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kątów α, β i γ. C 1. Końcowe ramię pewnego kąta α leży w III ćwiartce układu współrzędnych. Które z liczb: sin α, cosα, tgα są ujemne?. Określ, które z liczb: sin 100, cos 00, tg 50 są dodatnie, a które ujemne. D 1. Oblicz sin 90,cos90, sin 180, cos 180, tg Tangens kąta 90 nie jest określony. Podaj przykłady innych kątów, których tangens nie jest określony. Najważniejsze informacje o wartościach funkcji trygonometrycznych kątów od 0 do 360 przedstawione są w poniższej tabeli. ćwiartka I II III IV α 0 0 ;90 ) ; 180 ) ; 70 ) ; 360 ) 360 sin α cos α tg α Znak + oznacza wartość dodatnią, znak oznacza wartość ujemną, oznacza, że funkcja nie jest określona. 04 TRYGONOMETRIA

13 Z tabeli możemy odczytać na przykład, że jeśli końcowe ramię kąta leży w I ćwiartce układu współrzędnych, to wartości wszystkich funkcji trygonometrycznych tego kąta są dodatnie. Gdy natomiast końcowe ramię leży w II ćwiartce układu współrzędnych, to dodatnią wartość ma tylko sinus kąta. Reguły dotyczące znaków funkcji trygonometrycznych pomaga zapamiętać wierszyk: W pierwszej wszystkie są dodatnie, w drugiej tylko sinus, w trzeciej tylko tangens, awczwartej cosinus. E 1. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kątów 405, 765 oraz 540, które zaznaczono poniżej.. Określ, które z podanych liczb są dodatnie, a które ujemne. sin 100 ) cos 770 tg 500 ) Wiemy już, że dla dowolnej liczby całkowitej k ramię końcowe kąta α pokrywa się z ramieniem końcowym kąta α + k 360. Wobec tego zachodzą równości: sin α + k 360 )=sinα cos α + k 360 )=cosα tg α + k 360 )=tgα Uwaga. W jednym z następnych rozdziałów pokażemy też, że tg α+k 180 )=tgα. F Podaj kilka kątów dodatnich i ujemnych), dla których wartości wszystkich funkcji trygonometrycznych są takie same jak dla kąta: FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE DOWOLNEGO KĄTA 05

14 ZADANIA 1. Znajdź punkt o obu współrzędnych całkowitych leżący na końcowym ramieniu zaznaczonego kąta. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych tego kąta.. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kątów α, β i γ. 3. Wykaż, że tangens zaznaczonego kąta α jest równy współczynnikowi kierunkowemu prostej. Wskazówka. Prosta y = ax + b jest równoległa do prostej y = ax. 4. a) Dla których kątów spośród wymienionych poniżej sinus jest liczbą dodatnią? b) Dla których kątów spośród z wymienionych poniżej cosinus jest liczbą ujemną? c) Dla których kątów spośród z wymienionych poniżej tangens jest liczbą dodatnią? Ustal, gdzie leży końcowe ramię odpowiedniego kąta, i oblicz: a) sin 90, cos 70, tg 180, sin 180 ), cos 70, tg 900 ) b) cos 180 ) + tg 360, sin 810 cos 90 ), tg 540 ) sin 70 ) c) tg 70 ) cos90 sin 70, sin tg 180 ) cos 540 ) + sin 450 ), cos 0 sin 90 ) tg 0 + cos 180 ) 06 TRYGONOMETRIA

15 6. Czy wartość podanego wyrażenia jest liczbą dodatnią, ujemną czy równą 0? a) tg 00 cos 100 ) c) tg 40 ) cos 90 ) + sin 460 ) b) tg 3 sin 540 ) d) cos 310 tg 15 ) tg 17 ) 7. Podaj przykłady trzech kątów spełniających warunek: a) cos α =0 c) cos α = 1 e) sin α =0 b) sin α =1 d) tg α =0 f) tg α = 1 8. Ustal, w której ćwiartce układu współrzędnych może leżeć końcowe ramię kąta α, jeżeli: a) cos α = 0,17 c) tg α =,15 e) cos α <0 i tgα >0 b) sin α = 0,37 d) tg α = f) sin α >0 i cosα >0 9. Narysuj w układzie współrzędnych taki kąt α, by: a) sin α = 0,8 i cos α >0 b) cos α =0, i sinα <0 c) tg α = 1 3 i sinα <0 10. Narysuj w układzie współrzędnych dwa różne kąty α i β spełniające warunek: a) sin α =sinβ = 1 3 b) cos α =cosβ =0,4 c) tg α =tgβ = Trójkąt prostokątny o kątach ostrych 30 i 60 to połowa trójkąta równobocznego. Zatem jeśli krótsza przyprostokątna tego trójkąta ma długość 1, to pozostałe boki mają długości i 3. Pokażemy teraz, jak korzystając z tego faktu, można obliczyć wartości funkcji trygonometrycznych kąta Rysujemy kąt 150 wukładziewspółrzędnych. Ponieważ 150 = , na rysunku możemy zaznaczyć trójkąt prostokątny o bokach 1,, 3tak,aby przeciwprostokątna leżała na końcowym ramieniu kąta Ustalamy współrzędne punktu P, który jest wierzchołkiem zaznaczonego trójkąta. Punkt ten leży w II ćwiartce układu współrzędnych, więc P = 3, 1). 3. Obliczamy wartości funkcji trygonometrycznych kąta 150. sin 150 = 1 cos 150 = 3 tg 150 = 1 3 = Korzystając z metody opisanej w ramce, oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta 40. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE DOWOLNEGO KĄTA 07

16 1. Oblicz: a) sin 10 b) tg 60 ) c) cos 10 d) tg 300 e) sin 510 ) 13. Oblicz wartości wszystkich funkcji trygonometrycznych kąta Oblicz: a) sin 5 b) tg 135 ) c) cos 315 ) 15. Oblicz wartość wyrażenia: a) sin α +sinα +sin3α dla α =45 b) cos α +cosα +cos3α dla α = 30 c) tg α +tgα +tg3α dla α = a) Jaka może być największa, a jaka najmniejsza wartość sin α? b) Jaką najmniejszą, a jaką największą wartość mogą mieć podane wyrażenia? sinα cos α sin α 1 3 cos α 0,6 c) Dla jakich wartości a wyrażenie 1 a może być równe sinusowi pewnego kąta? 17. Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych, znajdź wszystkie kąty, które spełniają warunek 0 α 360 oraz równość: a) sin α cos α =0 b) sin α =cosα c) tg α =1 TEST T1. Ramię końcowe kąta α przedstawionego na rysunku przechodzi przez punkt 3, ). Która z wartości funkcji trygonometrycznych tego kąta jest prawidłowa? A. sin α = C. tg α = 5 3 B. cos α = 3 D. sin α = T. Dla którego z poniższych kątów wartości wszystkich trzech funkcji trygonometrycznych są dodatnie? A. 300 B. 00 C. 300 D. 400 T3. Przybliżone wartości funkcji trygonometrycznych dla kąta o mierze 0 wynoszą sin 0 0,34, cos 0 0,94 i tg 0 0,36. Która z przybliżonych wartości funkcji trygonometrycznych kąta o mierze 0 jest błędna? A. sin 0 ) 0,34 B. cos 0 ) 0,94 C. tg 0 ) 0,36 D. cos 0 ) 0,34 08 TRYGONOMETRIA

17 ZWIĄZKI MIĘDZY PODSTAWOWE ZWIĄZKI MIĘDZY FUNKCJAMI TRYGONOMETRYCZNYMI A Niech P = x, y) oznacza punkt leżący na końcowym ramieniu kąta α, O = 0, 0) i niech r oznacza długość odcinka OP. Przedstaw podane niżej wyrażenia za pomocą x, y i r. B sin α cos α sin α +cos α Poniżej zapisano zależności między funkcjami trygonometrycznymi kąta ostrego, które poznałeś w pierwszej klasie. Tożsamości te zachodzą nie tylko dla kątów ostrych, ale także dla wszystkich kątów, dla których określone są odpowiednie funkcje trygonometryczne. Pierwsza z równości, zwana jedynką trygonometryczną, zachodzi dla wszystkich kątów. Druga równość prawdziwa jest dla kątów, których tangens jest określony. sin α +cos α =1 tg α = sin α cos α Uzasadnimy, że dla dowolnego kąta α zachodzi równość sin α +cos α =1. Dowód Niech P =x, y) oznacza punkt leżący na końcowym ramieniu kąta α, ar odległość punktu P od początku układu współrzędnych. sin α = y r Wobec tego: sin α +cos α = cos α = x r, gdzie r = x + y y r Udowodnij, że tg α = sin α cos α. P Oblicz tg α, wiedząc,żesinα = 7. cos α =1 sin α ) ) + x y = + x = r r r r =1 cos α = tg α = cos α = lub cos α = = 3 5 = 5 15 lub tg α = Obliczamy wartość cosinusa, korzystając z tożsamości sin α +cos α =1. = 5 15 PODSTAWOWE ZWIĄZKI MIĘDZY FUNKCJAMI TRYGONOMETRYCZNYMI 09

18 P Wiedząc, że tg α = 5 i 90 < α < 180, oblicz sin α i cosα. sin α sin α = 5, więc sin α = 5cosα Korzystamy z tożsamości tg α = cos α cos α. 5 cos α) +cos α =1 Korzystamy z jedynki trygonometrycznej. 5 cos α +cos α =1 cos α = 1 6 cos α = lub cos α = 6 6 cos α <0, więc cosα = 6 ) 6 sin α = 5 = Z warunku 90 < α < 180 wynika, że cos α <0. Wcześniej ustaliliśmy, że sin α = 5cosα. ZADANIA 1. a) Oblicz sin α, gdy cosα = 3 4. b) Oblicz cos α, gdy sin α = 0,8. c) Oblicz sin α, gdy cosα = 1 5 i 180 < α < 360. d) Oblicz cos α, gdy sinα = 3 i 70 < α < a) Oblicz tg α, gdy sinα = 0,8 i cos α =0,6. b) Oblicz cos α, gdy sinα = i tgα = 1 3. c) Oblicz sin α, gdy tgα = 5 5 i cosα = Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta α, gdy: a) sin α = 3 5 i 70 < α < 360 d) cos α = 1 5 i 90 < α <0 b) cos α = 3 i 90 < α <0 e) tg α = 3 i 360 < α < 70 c) sin α = 1 4 i 0 < α <90 f) tg α = 1 i 90 < α < Uzasadnij, że nie istnieje kąt α, dlaktórego: a) sin α = 3 4 i cosα = 1 4 c) tg α = 6 i cosα = 1 3 b) sin α = 3 5, cosα = 4 5 i tgα = 3 4 d) sin α = 3 i tgα = TRYGONOMETRIA

19 5. Uzasadnij tożsamość: a) tg α sin α =tg α sin α d) 1 1+tg α b) cos α tg α +sinα = 1 sin α c) cos α +tgα = 1 sin α 1 cos α =1 sinα)1 + sin α) e) cos α tg α + 1 tg α ) =tg α 1 tg α f) 1 sin α cos α =sin 4 α +cos 4 α 6. Uprość wyrażenie: a) sin α tg α +cosα c) sin α +cosα) sinα cosα) ) ) b) tg α 1 d) 1 cos α cos α 1 1 sin α 1 7. Oblicz cos α, jeśli: a) tgα = 3 sin α b) sin α +cosα +1=0 d) 1 c) 3sin α +7cosα +3=0 ) tg α + 1 = 1 tg α sin α 8. Ustal, jaką najmniejszą i jaką największą wartość może przyjąć wyrażenie: a) 1 cos α c) 5 3sin α cos α b) sin α cos α d) 1 cos α +3sin α 9. a) Niech sin α cos α = a oraz 180 < α < 70.Wyraźzapomocąa wartość wyrażenia sin α cosα) oraz wyrażenia sin α +cosα. b) Niech sin β +cosβ = b oraz 90 < β < 180.Wyraźzapomocąb wartość wyrażenia sin β cos β oraz wyrażenia sin β cosβ. TEST T1. Jeśli cos α = 1 3 i 70 < α < 360,totangenskątaα jest równy: A. B. 4 C. 1 D. T. Wyrażenie+tg α + 1 można przekształcić do postaci: tg α A. 1 sin α + 1 cos α B. 3 sin α cos α C. sin α cos α sin α cos α) D. 1+tg α tg α T3. Które z poniższych wyrażeń przyjmuje tę samą wartość dla wszystkich miar kątów, dla których jest określone? A. tg α + 1 C. sin α tg α +cosα) sinα cosα) B.1 sinα cosα) D. tg α sin α cos α PODSTAWOWE ZWIĄZKI MIĘDZY FUNKCJAMI TRYGONOMETRYCZNYMI 11

20 KRES FUNKCJI WYKRES FUNKCJI y=sinα A 1. Promień narysowanego okręgu ma długość 1. Podaj współrzędne punktu A.. Określ za pomocą funkcji trygonometrycznych, jakie współrzędne ma punkt wspólny okręgu i końcowego ramienia dowolnego kąta α. Tę własność wykorzystamy przy rysowaniu wykresu funkcji y =sinα. Składa się on z punktów, których pierwsza współrzędna jest miarą kąta wyrażoną w stopniach, a druga sinusem tego kąta. Ponieważ sin 0 =0 i sin90 = 1, punkty 0,0) oraz 90,1) należą do wykresu. Kąt α na rysunku obok jest kątem środkowym w okręgu o promieniu długości 1. Punkt P leży na końcowym ramieniu tego kąta, zatem odległość tego punktu od początku układu współrzędnych jest równa 1. Wobec tego druga współrzędna punktu P jest równa sin α. Uwaga. Tak samo łatwo wykazać, że pierwsza współrzędna punktu P jest równa cos α. Aby zaznaczyć inny punkt wykresu, np. odpowiadający kątowi 40, posłużymy się tzw. kołem trygonometrycznym. Rysujemy koło o promieniu długości 1 i zaznaczamy w nim kąt o mierze 40. Długość odcinka AB jest równa sin 40. Postępując w analogiczny sposób jak powyżej, możemy zaznaczyć kolejne punkty wykresu funkcji y =sinα. Wszystkie punkty należące do tego wykresu dla argumentów 0 α 90 tworzą linię, którą przedstawiono na rysunku obok. 1 TRYGONOMETRIA

21 Postępując w podobny sposób, możemy narysować wykres funkcji y =sinα dla kątów większych od 90. Na powstawanie omawianego wykresu można spojrzeć nieco inaczej. Wyobraźmy sobie, że punkt położony na okręgu o promieniu długości 1 obracamy wokół środka okręgu przeciwnie do ruchu wskazówek zegara). Fragment wykresu narysowany powyżej odpowiada jednemu pełnemu obrotowi. Łatwo sobie wyobrazić, że po kolejnym obrocie otrzymamy linię o takim samym kształcie, stanowiącą wykres funkcji dla kątów większych od 360 i nie większych od 70. W ten sam sposób możemy kontynuować rysowanie wykresu dla kątów dodatnich większych od 70. Jeśli punkt na okręgu będziemy obracać w przeciwnym kierunku zgodnie z ruchem wskazówek zegara), otrzymamy fragment wykresu dla kątów ujemnych. Otrzymaliśmy w ten sposób sinusoidę, czyli wykres funkcji y =sinα. B 1. Korzystając z rysunku przedstawionego obok, sporządź z kartonu szablon, który pozwala narysować wykres funkcji y = sinα.. Sinusoidę można narysować, posługując się mniejszymi szablonami, np. jednym z pokazanych obok. Wyjaśnij, w jaki sposób można wykonywać rysunki, korzystając z takich szablonów. WYKRES FUNKCJI y=sinα 13

22 Z wykresu funkcji y =sinα można odczytać różne jej własności. Na przykład: Wartość sin α nie może być liczbą większą od 1 ani mniejszą od 1. Zbiorem wartości funkcji y = sin α jest przedział 1; 1. 1 sin α 1 Dla argumentów różniących się o 360 wartości funkcji są takie same. sin α =sinα )=sinα 360 )=sinα )=... sin α =sinα + k 360 ), gdzie k Największą wartość równą 1) funkcja przyjmuje dla argumentów: 90, , , , , itd. sin α =1 dla α =90 + k 360, gdzie k Funkcja ma nieskończenie wiele miejsc zerowych. Miejscami zerowymi są argumenty: 0, 180, 180, 180, 180 itd. sin α =0 dla α = k 180,gdzie k Funkcja przyjmuje wartości dodatnie, gdy: 0 < α < 180 lub 360 < α < lub 360 < α < 180 itd. sin α >0 dla k 360 < α < k 360, gdzie k 14 TRYGONOMETRIA

23 C Korzystając z wykresu funkcji y = sinα, odpowiedz: 1. Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartość 1?. Dla jakich argumentów wartości funkcji są ujemne? 3. Która z liczb jest większa: sin 00 czy sin 0? 4. Która z liczb: sin 170 ), sin 190 ), sin 600, sin 50 jest dodatnia? Jeszcze raz przyjrzyjmy się sinusoidzie. Łatwo zauważyć, że ma ona nieskończenie wiele osi symetrii. Jedną z nich zaznaczono na rysunku obok. Rysunek ten ilustruje równość: sin α = sin 180 α) Sinusoida ma także nieskończenie wiele środków symetrii. Jednym z nich jest początek układu współrzędnych. Dla argumentów o przeciwnych znakach wartości funkcji są liczbami przeciwnymi. Rysunek obok ilustruje równość: sin α) = sinα Wartość sinusa dowolnego kąta można ustalić za pomocą kalkulatora. Gdy nie mamy odpowiedniego kalkulatora, to sinus dowolnego kąta możemy ustalić, korzystając z tablic trygonometrycznych. Można bowiem obliczanie sinusa dowolnego kąta sprowadzić do obliczania sinusa pewnego kąta od 0 do 90. Wystarczy w tym celu skorzystać ze wzorów, które zapisano obok, albo znaleźć odpowiedni kąt, posługując się sinusoidą. sin α =sinα + k 360 ) dla dowolnego k sin α = sin 180 α) sin α) = sinα P Sposób I Korzystamy ze wzorów. sin 147 = sin )=sin33 0,5446 Sposób II Posługujemy się sinusoidą znajdujemy odpowiednie odcinki jednakowej długości). WYKRES FUNKCJI y=sinα 15

24 sin 57 )= sin57 0,8387 sin 50 = sin )= = sin 70 )= sin70 0,9397 sin 315 = sin )= = sin 45 )= sin45 = sin 43 )= sin43 = = sin ) = sin 63 )= =sin63 0,891 ZADANIA 1. Narysuj odpowiedni fragment sinusoidy, a następnie odczytaj największą i najmniejszą wartość oraz miejsca zerowe funkcji y =sinα, gdy: a) 360 α 0 b) 360 α 540 c) 450 α 70. Korzystając z sinusoidy, ustal, która z podanych liczb jest większa: a) sin 100 czy sin 170 d) sin 351 czy sin 6 b) sin 633 czy sin 635 e) sin 44 ) czy sin 77 ) c) sin 457 ) czy sin 460 ) f) sin 05 ) czy sin Wymień wszystkie kąty większe od 500 i mniejsze od 500,dlaktórych: a) sinus jest równy 1, b) sinus jest równy TRYGONOMETRIA

25 4. Korzystając z sinusoidy, odpowiedz, która z podanych liczb jest liczbą ujemną. sin 50 ) sin 11 sin 179 sin 194 sin 30 ) sin 451 sin 71 ) 5. Które zdania są prawdziwe? a) Jeśli 360 < α < 400,tosinα >0. b) Wśródkątówwiększychod100 i mniejszych od 1000 są trzy kąty, których sinus jest równy 1. c) Wartość funkcji y =sinα dla argumentu α = 30 jest równa 1. d) Wśród kątów dodatnich i mniejszych od 360 są dwa kąty, których sinus jest równy 1 3. e) Dla argumentów większych od 810 i mniejszych od 900 funkcja y =sinα nie przyjmuje wartości Posługując się sinusoidą, oblicz: a) sin 150, sin 10, sin 135 c) sin 80 ), sin 85, sin 10 ) b) sin 60 ), sin 45 ), sin 150 ) d) sin 134, sin 5 ), sin Oblicz: a) sin 00, sin 38, sin 54 c) sin 169 ), sin ), sin 316 ) b) sin 303, sin 80, sin 34 d) sin 397, sin 834, sin 75 ) 8. Ustal, ile jest kątów takich, że 360 α 360, spełniających warunek sin α = a, gdy: a) a = 1 b) a = 1 3 c) a =0 d) a = Korzystając z sinusoidy, znajdź kąty, dla których funkcja y = sin α ma tę samą wartość co dla kąta: sin α =sin70 α =70 + k 360 lub α = k 360, k a) 10 d) 5 b) 75 e) 110 c) 50 f) Znajdź wszystkie argumenty, dla których wartość funkcji y = sinα jest równa sin 0,jeśli: a) 180 < α < 180 b) 360 α 0 c) 70 α 70 WYKRES FUNKCJI y=sinα 17

26 11. Znajdź wszystkie kąty spełniające warunek 360 α 360 oraz równość: a) sin α = b) sin α = 3 c) sin α = 1 d) sin α = 1. Znajdź za pomocą tablic trygonometrycznych kąty spełniające podane warunki. Wyniki podaj w zaokrągleniu. a) sin α = 0,6 i 180 < α < 180 c) sin α = 0,1 i 360 < α <0 b) sin α = 0,99 i 360 < α < 360 d) sin α = 0,53 i 90 < α < 70 TEST T1. Która z poniższych własności nie jest własnością funkcji y = sinα? A. Funkcja osiąga wartość 1 dla argumentu α = 450. B. Wartości funkcji dla argumentów α = 100 i α = 460 są równe. C. Jednym z miejsc zerowych funkcji jest α = 540. D. Funkcja jest rosnąca w przedziale 0 ; 180 ). T. Korzystając z sinusoidy, wskaż, która z poniższych nierówności jest prawdziwa. A. sin 80 < sin 170 C. sin 90 ) < sin 70 B. sin 00 ) > sin 00 D. sin < sin 361 T3. Korzystając z sinusoidy, wskaż, która z poniższych wartości α nie spełnia warunku sin α = 1. A. 30 B. 10 C. 10 D. 150 WYKRES FUNKCJI y=cosα UNKCJI Wykres funkcji y = cosα moglibyśmy otrzymać, posługując się podobnie jak w poprzednim rozdziale) kołem trygonometrycznym. Odpowiedni wykres można jednak otrzymać także w inny sposób posługując się sinusoidą. Wykorzystamy w tym celu pewną zależność między sinusem a cosinusem. Na rysunku obok punkty P i P leżą w tej samej odległości od początku układu współrzędnych. Punkt P leży na końcowym ramieniu kąta α, a punkt P nakońcowym ramieniu kąta α +90. Zaznaczone trójkąty są przystające. Zatem jeśli P =a, b), to P = b, a). 18 TRYGONOMETRIA

27 Z definicji sinusa i cosinusa wynikają równości: cos α = a r sin α +90 )= a r Stąd otrzymujemy: cos α =sinα +90 ) Uwaga. Na rysunku kąt α jest kątem ostrym. Można uzasadnić, że powyższa równość jest prawdziwa dla dowolnego kąta α. Jeśli a >0,to: wykres funkcji y = f x a) można otrzymać, przesuwając wykres funkcji y = f x) oa jednostek w prawo, wykres funkcji y = f x + a) można otrzymać, przesuwając wykres funkcji y = f x) o a jednostek w lewo. A 1. Powyżej przypomnieliśmy reguły dotyczące przesuwania wykresów. Przesuwając odpowiednio wykres funkcji y = sinα, naszkicuj wykres funkcji y =sinα ).. Poniżej narysowano wykresy następujących funkcji: f α) =sinα +90 ) gα) =sinα 90 ) hα) =sinα 180 ) Dopasuj wzory do wykresów. 3. Jak należy przesunąć wykres funkcji y = sinα, aby otrzymać wykres funkcji y =cosα? Z równości cos α =sinα +90 ) wynika, że wykres funkcji y = cosα można otrzymać, przesuwając odpowiednio wykres funkcji y = sinα. Obok przedstawiono wykresy obu funkcji. WYKRES FUNKCJI y=cosα 19

28 Wykres funkcji y = cosα, zwany cosinusoidą, ma taki sam kształt jak sinusoida, a różni się tylko położeniem układu współrzędnych. B Posługując się szablonem do rysowania sinusoidy, narysuj wykres funkcji y =cosα. Z wykresu funkcji y =cosα można odczytać jej różne własności. Na przykład: Zbiór wartości funkcji y =cosα to przedział 1; 1. Dla argumentów różniących się o 360 wartości funkcji są takie same. cos α =cosα + k 360 ), gdzie k Największą wartość równą 1) funkcja przyjmuje dla każdego z argumentów: 0, 360, 360, 360, 360,... cos α =1 dla α = k 360,gdzie k Najmniejszą wartość równą 1) funkcja przyjmuje dla argumentów α = k 360,gdziek Funkcja ma nieskończenie wiele miejsc zerowych. cos α =0 dla α =90 + k 180,gdzie k Funkcja przyjmuje wartości dodatnie, gdy: 90 α 90 lub α , lub α ,... cos α > 0 dla 90 + k 360 < α <90 + k 360, gdzie k C Korzystając z wykresu funkcji y = cos α, odpowiedz na pytania: 1. Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartość 1?. Dla jakich argumentów wartości funkcji są ujemne? 3. Którazliczbjestwiększa: cos00 czy cos 0? 4. Która z liczb: cos 300, cos 170 ), cos 370 ), cos 390 jest ujemna? 5. Podaj kilka argumentów, dla których wartość funkcji wynosi cos TRYGONOMETRIA

29 Łatwo zauważyć, że cosinusoida ma nieskończenie wiele środków symetrii. Jeden z nich zaznaczono na rysunku obok. Rysunek ten ilustruje równość: cos α = cos 180 α) Wykres funkcji y = cosα jest także osiowosymetryczny. Jedną z osi symetrii jest oś y, ponieważ dla kątów α oraz α wartości funkcji są jednakowe. cos α) = cosα Podobnie jak dla funkcji y =sinα, korzystając z tablic trygonometrycznych, możemy obliczać cosinusy dowolnych kątów. Możemy w tym celu skorzystać ze wzorów, które podane są obok, albo posłużyć się cosinusoidą. cos α =cosα + k 360 ), dla dowolnego k cos α = cos 180 α) cos α) = cos α P Sposób I Korzystamy ze wzorów. cos 30 )=cos30 = 3 Sposób II Posługujemy się cosinusoidą znajdujemy odpowiednie odcinki jednakowej długości). cos 159 = cos )= = cos1 0,9336 cos 31 = cos )= = cos 48 )=cos48 0,6691 WYKRES FUNKCJI y=cosα 1

30 ZADANIA 1. Narysuj odpowiedni fragment cosinusoidy i odczytaj największą wartość, najmniejszą wartość oraz miejsca zerowe funkcji y =cosα, gdy: a) 360 α 0 c) 450 α 630 b) 180 < α < 360 d) 90 < α < 540. Korzystając z cosinusoidy, oceń, która z podanych liczb jest mniejsza: a) cos 14 czy cos 6 c) cos 83 ) czy cos 19 b) cos 34 ) czy cos 339 ) d) cos 176 ) czy cos98 3. Posługując się cosinusoidą, oblicz: a) cos 10, cos 135 c) cos 30 ), cos 5 ) b) cos 10, cos 405 d) cos 480 ), cos 315 ) 4. Oblicz: a) cos 1 ), cos 61 ), cos 89 ) c) cos 19, cos 03 ), cos 309 b) cos 14, cos 155, cos 108 d) cos 74, cos 477, cos 400 ) 5. Narysuj w jednym układzie współrzędnych sinusoidę i cosinusoidę. Korzystając z rysunku, porównaj liczby: a) sin 50 i cos50 d) sin 170 i cos ) b) sin 94 i cos 94 e) sin 97 ) i cos 157 ) c) sin 17 ) i cos 17 ) f) sin 354 ) i cos Na poniższych rysunkach przedstawiono fragmenty wykresów funkcji y = sin α oraz y = cos α. Który z nich jest fragmentem sinusoidy, a który cosinusoidy? 7. O kątach α, β, γ i δ wiemy, że: 50 < α < < β < < γ < < δ < 880 Dla których z nich sinus jest liczbą ujemną i jednocześnie cosinus jest liczbą ujemną? TRYGONOMETRIA

31 8. Ustal, której funkcji: y = sinα czy y = cosα dotyczy zdanie: a) Wartość funkcji dla α = 1800 jest równa 0. b) Wartość funkcji dla α = 900 jest równa 1. c) Dla 460 < α < 500 funkcja przyjmuje wartości ujemne. d) Liczba miejsc zerowych wśród argumentów 500 < α < 500 jest parzysta. e) Dla 30 < α < 400 funkcja nie przyjmuje wartości Korzystając z cosinusoidy, znajdź kąty, dla których funkcja y =cosα przyjmuje tę samą wartość co dla kąta: a) 15 d) 39 b) 13 e) 54 c) 17 f) 7 cos α =cos70 α =70 + k 360 lub α = 70 + k 360, k 10. Znajdź wszystkie argumenty, dla których wartość funkcji y = cosα jest równa cos 35,jeśli: a) 360 α 0 b) 90 < α < 360 c) 180 < α < Znajdź wszystkie kąty spełniające warunek 360 α 360 oraz równość: a) cos α = 1 b) cos α = c) cos α = 3 d) cos α = 1. Znajdź za pomocą tablic trygonometrycznych kąty spełniające warunki: a) cos α = 0,8 i 180 < α < 180 c) cos α = 0,31 i 360 < α <90 b) cos α =0,45 i 0 < α < 360 d) cos α = 0,07 i 180 < α < a) Wiadomo, że sin 45 =cos45 =. Korzystając z wykresów funkcji y = sinα i y = cosα, znajdź wszystkie argumenty, dla których wartości tych funkcji są równe. b) Dla jakich argumentów wartości funkcji y = sin α są większe od wartości funkcji y =cosα? 14. Korzystając z wykresów odpowiednich funkcji trygonometrycznych i ich własności, wyjaśnij, dlaczego nie istnieje kąt, który spełnia podaną równość. a) sin α +cosα = b) +cosα = 1 c) sin α cos α = +sinα WYKRES FUNKCJI y=cosα 3

32 TEST T1. Która z poniższych własności nie jest własnością funkcji y = cosα? A. Wartości funkcji dla argumentów α = 97 i α =97 są równe. B. Oś y jest osią symetrii wykresu funkcji. C. Funkcja jest rosnąca w przedziale 180 ;0 ). D. Funkcja osiąga wartość 1 dla argumentu α = 540. T. Korzystając z wykresu funkcji y = cosα, wskaż, dla której z poniższych wartości argumentu cos α = cos 10 ). A. α = 190 C. α = 370 B. α = 100 D. α = 170 T3. Wykres funkcji y = cosα można otrzymać z wykresu funkcji y = sinα w wyniku symetrii względem: A. osi x B. osi y C. prostej a D. prostej b WYKRES FUNKCJI y=tgα FUNKCJI A Prosta PQ na rysunku obok jest styczna do narysowanego okręgu. Promień tego okręgu ma długość 1. Jakie współrzędne ma punkt P, a jakie punkt Q? Przy rysowaniu wykresu funkcji y = tgα będziemy postępować podobnie jak przy rysowaniu sinusoidy posłużymy się kołem trygonometrycznym. Kąt α na rysunku obok jest kątem środkowym w okręgu o promieniu długości 1. Prosta k jest styczna do okręgu i prostopadła do osi x. Na końcowym ramieniu kąta α wybieramy punkt P, który leży na tej stycznej. Druga współrzędna punktu P jest wobec tego równa tg α. Uwaga. Opisanej własności tangens zawdzięcza swą nazwę. Po łacinie tangens oznacza styczny. 4 TRYGONOMETRIA

33 Przedstawiony poniżej rysunek pokazuje, w jaki sposób można wykorzystać koło trygonometryczne, aby zaznaczyć punkty należące do wykresu funkcji y =tgα. Wszystkie punkty tego wykresu odpowiadające argumentom większym od 90 imniejszymod90 tworzą linię, którą zaznaczono na rysunku kolorem czerwonym. Zwróć uwagę, że im większa jest miara kąta ostrego α, tym większa jest wartość tg α. Wiadomo też, że tangens nie jest określony dla kątów 90 i 90. Na rysunku obok proste zaznaczone przerywaną linią są równoległe do osi y. Wykres funkcji y = tgα zbliża się do tych prostych, lecz nigdy ich nie przetnie. Innymi słowy punkty tego wykresu mogą leżeć dowolnie blisko tych prostych. Takie proste nazywamy asymptotami pionowymi) wykresu funkcji. Na powyższym rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji y = tgα dla argumentów większych od 90 i mniejszych od 90. Aby narysować wykres dla pozostałych argumentów, skorzystamy z pewnej własności tangensa. WYKRES FUNKCJI y=tgα 5

34 Na rysunku obok punkty P i P leżą w tej samej odległości od początku układu współrzędnych. Punkt P leży na końcowym ramieniu kąta α, a punkt P nakońcowym ramieniu kąta α Z przystawania zaznaczonych kątów wynika, że jeśli P =a, b), to P = a, b). Wobec tego: tg α = b a tg α )= b a = b a Zatem otrzymujemy: tg α =tgα ) Równość tg α+180 )=tgα oznacza, że wartości funkcji tangens powtarzają się co 180. Na poniższym rysunku przedstawiony jest wykres funkcji y =tgα, zwanytangensoidą. Z wykresu funkcji y =tgα można odczytać wiele jej własności. Na przykład: Funkcja nie jest określona dla kątów o mierze 90 +k 180,gdzie k. Proste równoległe do osi y, przecinające poziomą oś w punktach o pierwszej współrzędnej α =90 + k 180,gdzie k, sąasymptotami wykresu funkcji. Zbiorem wartości funkcji y = tg α jest zbiór liczb rzeczywistych. Dla argumentów różniących się o 180 wartości funkcji są takie same. tg α =tgα + k 180 ), gdzie k Funkcja ma nieskończenie wiele miejsc zerowych. tg α =0 dla α = k 180,gdzie k Funkcja przyjmuje wartości dodatnie, gdy: 0 < α <90 lub 180 < α < , lub 180 < α <90 180,... tg α >0, gdy k 180 < α <90 + k 180, gdzie k 6 TRYGONOMETRIA

35 Wykres funkcji y =tgα jest środkowosymetryczny. Jednym ze środków symetrii tego wykresu jest początek układu współrzędnych zob. rysunek obok). Spełniona jest więc następująca równość: tg α) = tgα tg α =tgα + k 180 ), k tg α) = tg α Korzystając z tablic trygonometrycznych, można obliczać tangens dowolnego kąta. W tym celu możemy skorzystać ze wzorów zapisanych obok albo posłużyć się wykresem. P Sposób I Korzystamy ze wzorów. Sposób II Posługujemy się tangensoidą znajdujemy odpowiednie odcinki jednakowej długości). tg 135) = tg )= =tg45 =1 tg 15 =tg )= =tg35 0,7 tg 10 =tg ) = tg 60 )= = tg60 = 3 WYKRES FUNKCJI y=tgα 7

36 ZADANIA 1. Narysuj odpowiedni fragment tangensoidy i odczytaj: a) miejsca zerowe funkcji y =tgα dla 180 α 70, b) dla jakich kątów α, spełniających warunek 360 α 540, tangens nie jest określony, c) dla jakich argumentów funkcja y = tgα przyjmuje wartości dodatnie.. Posługując się odpowiednimi wykresami, oblicz: a) tg 150, tg 135 c) tg 45 ), tg 330 ) b) tg 10, tg 5 d) tg 10 ), tg 405 ) 3. Oblicz: a) tg 17 ), tg 8 ) c) tg 166, tg 59 b) tg 103, tg 197 d) tg 134 ), tg 379 ) 4. Znajdź kąty, dla których funkcja y =tgα przyjmujetęsamąwartośćco dla kąta: a) 78 b) 3 c) 73 d) 319 tg α =tg50 α =50 + k 180, k 5. Wśród kątów spełniających podany warunek znajdź te, których tangens jest równy tg 7. a) 360 α 0 c) 90 < α < 70 b) 180 α 90 d) 90 < α < Znajdź wszystkie kąty α spełniające warunek 360 α 360 oraz równość: a) tg α =1 b) tg α = 3 c) tg α = 1 d) tg α = Znajdź za pomocą tablic trygonometrycznych kąty spełniające warunki: a) tg α =0,65 i 0 < α < 360 b) tg α = 4,7 i 360 < α < Korzystając z wykresów funkcji trygonometrycznych, uporządkuj podane liczby w kolejności od najmniejszej do największej. a) sin 85, cos85, tg85 c) sin 80, cos 85 ), tg 80 ) b) sin 9, cos9, tg9 d) sin 10 ), cos 50, tg 95 ) 8 TRYGONOMETRIA

37 Przy sporządzaniu wykresów funkcji trygonometrycznych korzystaliśmy ze wzoru sin 90 + α) =cosα. Ze wzoru tego można także skorzystać, gdy chcemy obliczyć sinus kąta rozwartego, na przykład: sin 150 = sin )=cos60 = 1 Poniżej podajemy listę wzorów, które pozwalają zredukować problem obliczania wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta do odczytania odpowiednich wartości w tablicach trygonometrycznych. Wzory te nazywamy wzorami redukcyjnymi. sin α) = sinα cos α) = cosα tg α) = tgα sin 90 α) =cosα cos 90 α) =sinα sin 90 + α) = cosα cos 90 + α) = sinα sin 180 α) = sinα cos 180 α) = cosα tg 180 α) = tgα sin 70 + α) = cosα cos 70 + α) = sinα sin α) = sinα cos α) = cosα tg α) = tgα sin 360 α) = sinα cos 360 α) = cosα tg 360 α) = tgα sin 70 α) = cosα cos 70 α) = sinα Każdy z tych wzorów można stosować dla dowolnego kąta α, dla którego odpowiednia funkcja jest określona. 9. Oblicz skorzystaj ze wzorów redukcyjnych): a) sin 10, cos 315, sin 40 ) c) tg 315, tg 150, tg 480 ) b) cos 110, sin 88, cos 490 ) d) tg 100 ), tg 60, tg Uzasadnij tożsamość: a) cos 70 α) + cos 70 + α) =0 c) cos 70 α)+sin 70 + α) =1 b) cos 70 + α) sin 180 α) 1=0 d) cos 90 + α) sin 90 α) = tg 180 α) 11. Uzasadnij tożsamość: a) sin 45 + α) =cos45 α) c) tg 45 + α) = 1 tg 45 α) b) cos 45 + α) =sin45 α) d) 1 tg 45 +α) =tg45 α) 1. Wykaż, że jeśli α, β i γ są kątami trójkąta, to: sin α + β) =sinγ oraz tg α + β) = tgγ WYKRES FUNKCJI y=tgα 9

38 13. Oblicz: a) sin 130 cos 40 cos 130 sin 40 c) cos 10 cos 30 cos 50 sin 40 sin 60 sin 80 b) tg 0 tg 40 tg 50 tg 70 d) sin 5 sin 50 sin 75 sin 105 sin 130 sin Uprość wyrażenie, a następnie oblicz jego wartość: a) cos 5 tg 315 cos 135 b) cos 5 sin 315 sin 40 tg Oblicz wartość wyrażenia: tgα 180 )sinα 90 ) cos450 + α). TEST T1. Która z poniższych miar kąta nie należy do dziedziny funkcji y =tgα? A. 0 B. 70 C. 180 D. 5 T. Która z poniższych własności dotyczy funkcji y = tgα? A. Dziedziną funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych. B. Jednym z miejsc zerowych funkcji jest α = 70. C. Oś y jest jedną z asymptot funkcji. D. Funkcja jest rosnąca dla 90 < α < 70. T3. Która z poniższych wartości jest różna od tg 40? A. tg 140 ) B. tg 140 C. tg 400 D. tg 0 MIARA ŁUKOWA KĄTA ĄTA 1 90 ką- Do tej pory, określając wielkość kąta, używaliśmy miary stopniowej. Jej podstawową jednostką jest 1 taką miarę ma kąt, który stanowi ta prostego). Miara stopniowa nie jest jedyną stosowaną miarą kątów. Na przykład w geodezji wielkości kątów często określa się za pomocą jednostek zwanych gradusami. 1 gradus w skrócie 1 grad) to 1 kąta prostego TRYGONOMETRIA

39 CIEKAWOSTKA Gradusy i stopnie kątowe) mają ciekawy związek z jednostkami długości. 1 km zdefiniowano pierwotnie za pomocą długości południka: przyjęto, że km jest równe połowie długości południka, czyli odpowiada np. odległości mierzonej wzdłuż południka między biegunem a równikiem różnica szerokości geograficznej tych punktów wynosi 90 ). Gradus to kąta prostego, zatem kątowi o mierze 1 grad odpowiada odległość 100 km. Za pomocą długości południka określono też inną jednostkę długości milę morską. Zdefiniowano ją jako odległość wzdłuż południka odpowiadającą 1 minucie kątowej) szerokości geograficznej, czyli kątowi omierze1 odpowiada odległość 60 mil morskich. W nawigacji morskiej często wykorzystuje się związek między miarą kąta współrzędne geograficzne) a odległością długość rejsu). Niewygodnie jest używać wówczas stopni jako jednostki miary kąta, a odległości podawać w kilometrach. Zwykle kąty określa się w stopniach, a odległości w milach morskich albo kąty określa się w gradusach, a odległości w kilometrach. l = α 360 πr l długość łuku Omówimy teraz inny sposób określania miary kąta. Kąt środkowy wyznacza na okręgu pewien łuk, którego długość zależy od miary kąta i długości promienia okręgu. A 1. Kąt środkowy 100 wycina z okręgu o promieniu 5 cm pewien łuk. Oblicz długość tego łuku.. Dla każdego z trzech okręgów, które narysowano obok, oblicz stosunek długości zaznaczonego łuku do długości promienia. Na rysunku obok kąt środkowy α wycina z dwóch okręgów łuki o różnych długościach. Wprawdzie długości tych łuków zależą od długości promieni okręgów, ale stosunek długości łuku do promienia okręgu jest w każdym wypadku taki sam. Ta obserwacja pozwala określić nową miarę kąta, zwaną miarą łukową. l 1 = α 360 πr 1 l = α 360 πr l 1 = l r 1 r = α 360 π MIARA ŁUKOWA KĄTA 31

40 Miara łukowa kąta środkowego w okręgu to liczba równa stosunkowi długości łuku, na którym oparty jest ten kąt, do długości promienia okręgu. Uwaga. Dla dowolnego kąta α spełniającego warunek 0 α 360 możemy w ten sposób określić jego miarę łukową, gdyż każdy taki kąt jest kątem środkowym pewnego okręgu. Zauważ, że kąt środkowy, który jest kątem prostym, oparty jest na 1 4 okręgu. Miara łukowa tego kąta jest więc równa stosunkowi 1 długości okręgu do długości promienia. Ponieważ πr = r π, więc miara łukowa kąta prostego jest równa π. B Oblicz miary łukowe kątów: półpełnego, pełnego oraz kątów 30, 60 i 45. Miary łukowe niektórych kątów warto zapamiętać. miara w stopniach miara łukowa π π π π 3 π 4 π 6 C Zapis sin π 6 oznacza sinus kąta, którego miara łukowa jest równa π 6,zatem sin π 6 =sin30 = 1. Podaj wartości: cos π 4, tg π 3, sin π. Kąt o mierze łukowej 1 nazywamy radianem. 1 radian w skrócie 1 rad) to taki kąt, który w okręgu wycina łuk o długości równej promieniowi okręgu. Zauważ, że kąt środkowy o mierze łukowej a w okręgu o promieniu długości r wyznacza łuk okręgu o długości a r. Naprzykład,miarąłukową kąta pełnego jest π. Kąttenwyznacza łuk okręgu o długości πr. W kącie o mierze a radianów mieści się więc a kątów o mierze 1 rad. Jeżeli miara łukowa pewnego kąta wynosi a, to możemy powiedzieć, że miara tego kąta wynosi a radianów w skrócie: a rad). Zamiast pisać: miara łukowa kąta 90 wynosi π,piszemy: 90 = π rad. 3 TRYGONOMETRIA

41 Łatwo obliczyć, ile stopni ma kąt o mierze 1 rad. Niech x oznacza miarę stopniową takiego kąta, a l długość łuku wyciętego przez ten kąt wokręguopromieniudługościr.zatem r l = 1. Równość tę można zapisać wpostaci: x 360 πr =1 r Stąd wynika, że: x = 180 π Zatem: 1rad= 180 π Wiadomo, że 360 = π rad. Jeśli więc α oznacza miarę pewnego kąta wstopniach,ax miarę tego kąta w radianach, to związek między α i x będzie określała proporcja: α 360 = x π Uwaga. Miarę łukową kątów określiliśmy dla kątów środkowych w okręgu, tzn. dla kątów spełniających warunek 0 α 360. Zauważ, że powyższa równość określa pewne przyporządkowanie, w którym tym kątom odpowiadają liczby z przedziału 0;π. To przyporządkowanie możemy rozszerzyć na kąty większe niż 360 i kąty ujemne. Przyjmujemy, że powyższa proporcja określa związek między dowolną liczbą stopni α i odpowiadającą mu liczbą radianów x. P a) Wyraź w radianach kąt 40. x liczba radianów odpowiadająca kątowi = x π 1 9 = x π x = 9 π b) Wyraź w stopniach kąt 3 5 π radianów. x miarakąta 3 5 π wyrażona wstopniach x 360 = 3 5 π π x 360 = 3 10 x = 108 c) Wyraź w radianach kąt 400. x liczba radianów odpowiadająca kątowi = x π x = 400 π 360 x = 0π 9 d) Wyraź w stopniach kąt 3π radianów. x miarakąta 3π wyrażona wstopniach x 360 = 3π π x 360 = 3 x = 540 MIARA ŁUKOWA KĄTA 33

42 ZADANIA 1. a) W okręgu o promieniu długości 5 pewien kąt środkowy wyznacza łuk o długości 3. Podaj miarę tego kąta w radianach. b) Wokręguopromieniudługości 3 kąt środkowy o mierze łukowej 3 4 π wyznacza pewien łuk. Oblicz długość tego łuku. c) Jaką miarę łukową ma kąt środkowy okręgu oparty na 1 10 okręgu?. Promień każdego z narysowanych okręgów ma długość 4. Przy zaznaczonych łukach podano ich długości. Oblicz, ile radianów mają kąty α, β i γ. 3. Wyraź w radianach kąty 90, 180, 70, 360, 30 i 60, a następnie: a) zapisz w radianach kąty: 70, 15, 10,,5, 75, 9. b) zapisz w stopniach kąty: π 3 rad, 3π 4 rad, 5π 6 rad, 6π rad, π 8 rad, 5π 1 rad. 4. a) Wyraź w radianach sumę miar kątów siedmiokąta. b) Oblicz miarę łukową kąta 1-kąta foremnego. Suma miar kątów wielokąta o n wierzchołkach w stopniach) wynosi: n ) a) Wyraź w radianach kąty: 50, 7, 15, 4, 8, 315. b) Wyraź w stopniach kąty: π 5 rad, π 9 rad, 7π 8 rad, 8π rad, 0,9π rad, 1,6π rad a) W okręgu o promieniu długości 10 kąt środkowy α wyznacza łuk o długości 15. Wyraź w stopniach miarę kąta α. b) Kąt wpisany α wyznacza na okręgu o promieniu długości 1 łuk o długości 8. Czy kąt α ma miarę większą czy mniejszą niż 45? 7. a) Wyraź w radianach kąt 1. b) Korzystając z wyniku otrzymanego w a), wyraź w radianach kąty:,17 i Gdy piszemy sin 1, mamy na myśli liczbę równą sinusowi kąta o mierze 1 rad. Natomiast sin 1 to sinus kąta 1. Która liczba jest większa: a) sin 1 czy sin 1, b) cos 0,5 czy cos 0,5, c) tg π czy tg 3,14? 9. Jeżeli ciało porusza się po okręgu, to można badać jego prędkość kątową opisującą, o jaki kąt obraca się ono w jednostce czasu. Wyraź w rad/h prędkość kątową: a) wskazówki minutowej zegara, b) Ziemi obracającej się wokół swojej osi, c) karuzeli wykonującej 1 obrót w ciągu 5 sekund. 34 TRYGONOMETRIA