MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1

Transkrypt

1 Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia praw autorskich. Copyright Wydawnictwo Maurycy MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1 Poniższy test składa się z 50 pytań wielokrotnego wyboru (każde z nich może mieć jedno, dwa, trzy lub brak prawidłowego rozwiązania). Czas na rozwiązanie 10 minut. 1. Pole pewnego trójkąta jest równe połowie iloczynu długości dwóch jego boków. Wynika stąd, że: a) te dwa boki są równej długości; b) pozostały bok jest dłuższy od każdego z tych dwóch boków; c) miary kątów tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. n r,14. Ciąg a =, gdzie n = 1,,..., jest: n a) stały; b) rosnący i nieograniczony; c) zbieżny do Liczba 4 jest równa: a) 4 + ; b) ; c) Dla każdej liczby całkowitej dodatniej n liczba (4n ) jest: a) tej samej parzystości co n (tzn. te dwie liczby są obie parzyste lub obie nieparzyste); b) większa od n ; c) mniejsza od n. 5. Proste określone równaniami y = x + a i y = x + b przecinają się w punkcie, którego obie współrzędne są dodatnie. Wynika stąd, że: a) a > b > 0; b) a 0 lubb > a; c) b < a. 6. Liczby rzeczywiste a i b mają tę własność, że ich suma i ich różnica są liczbami całkowitymi. Wynika stąd, że: a) liczby a i b są całkowite; b) liczby a i b są wymierne; c) liczba a b jest całkowita. 1

2 7. Średnia arytmetyczna sześciu liczb różnych od zera jest równa zeru. Wówczas: a) trzy z nich są dodatnie, a trzy ujemne; b) co najmniej jedna z liczb jest dodatnia; c) co najmniej trzy liczby są tego samego znaku. 8. Dwie różne sfery (powierzchnie kul) mają niepustą część wspólną. Wówczas: a) ta część wspólna jest zawarta w pewnej płaszczyźnie; b) jeśli ta część wspólna zawiera dwa punkty, to jest okręgiem; c) punkty tej części wspólnej są jednakowo odległe od prostej łączącej środki tych sfer. 9. Istnieje ciąg mający nieskończenie wiele wyrazów ujemnych oraz nieskończenie wiele wyrazów dodatnich i równocześnie: a) będący ciągiem arytmetycznym; b) będący ciągiem geometrycznym; c) mający granicę równą Funkcja dana wzorem g x) log ( tg x) = jest określona w punkcie: ( 10 a) ; x b) ; 4 x c). 5 x 11. Minimalna liczba krawędzi wielościanu jest równa: a) 5; b) 6; c) Równanie x + x = 0 ma: a) dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty; b) dokładnie dwa pierwiastki rzeczywiste; c) nieskończenie wiele pierwiastków rzeczywistych. 1. Stosunek objętości kuli do objętości opisanego na niej walca: a) jest liczbą niewymierną; b) jest mniejszy od 0.75; c) jest większy od Układ równań xy = 0 yz = 5 zx = 4 jest spełniony przez: a) co najmniej jedną trójkę (x, y, z) liczb całkowitych dodatnich; b) dokładnie jedną trójkę (x, y, z) liczb całkowitych dodatnich; c) dokładnie sześć trójek (x, y, z) liczb całkowitych dodatnich. 15. W pewnym trójkącie środek okręgu wpisanego pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego. Wynika stąd, że w tym trójkącie: a) promień okręgu opisanego jest dwa razy dłuższy od promienia okręgu wpisanego; b) każda wysokość jest również dwusieczną kąta tego trójkąta; c) każda środkowa jest również symetralną boku.

3 16. Trójmian kwadratowy x x 1998 ma: a) dwa różne pierwiastki wymierne; b) dwa różne pierwiastki niewymierne; c) dwa pierwiastki rzeczywiste x 1, x i liczba x 1 + x jest naturalna oraz dzieli się przez Niech A, B i C będą zbiorami i niech D {A \ (B C)] [A B] [A C]. Wówczas: a) A = D \ (A B C); b) A = D; c) A B = D C; d) A C = D B. 18. Iloczyn dowolnych kolejnych ośmiu liczb całkowitych jest podzielny przez: a) 10; b) 11; c) Wysokość opuszczona na przeciwprostokątną dzieli trójkąt prostokątny na dwie części. Pola kół wpisanych w te części są równe S 1 i S, natomiast pole koła wpisanego w wyjściowy trójkąt jest równe S. Wynika stąd, że: a) S S 1 + S ; b) S = S 1 + S ; c) S S 1 + S. 0. Wewnątrz sześcianu o krawędzi 1 zmieści się: a) czworościan foremny o krawędzi 7; b) kula o polu powierzchni ; c) pewien walec o wysokości Na płaszczyźnie dane są trzy okręgi o środkach O 1, O, O i promieniach r 1, r, r. Każde dwa z nich są styczne zewnętrznie, ponadto O 1 O > O O > O O 1. Wynika stąd, że: a) r > r 1 ; b) r > r ; c) r < r 1 + r.. W pudełku mamy 70 kul, z czego 0 kul jest czerwonych, 0 zielonych, 0 żółtych, a każda z pozostałych jest biała lub czarna. Najmniejsza liczba kul, jaką trzeba wyciągnąć z tego pudełka, by być pewnym, że wyciągnięto 10 kul w tym samym kolorze jest równa: a) 11; b) 8; c) 40.. Liczba ( 97) 17 + ( 97) 17 + jest: a) całkowita parzysta; b) całkowita nieparzysta; c) niewymierna.

4 Równanie x 100x 1 = 0 ma: a) co najmniej jeden pierwiastek całkowity; b) co najmniej jeden pierwiastek niewymierny; c) dokładnie 100 różnych pierwiastków rzeczywistych. 5. Niech n będzie najmniejszą liczbą całkowitą dodatnią, dla której liczba n! jest podzielna przez Wynika stąd, że: a) n < 40; b) n > 100; c) n jest liczbą parzystą. 6. Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe 1. Na to, by zdarzenia A i B były niezależne wystarcza, żeby prawdopodobieństwo zdarzenia B było równe: a) 0; b) 4; c) 1. log 5 5log 7 7. Liczba jest: a) dodatnia; b) całkowita; c) równa zero. 8. Warunek: wśród liczb a, b, c, co najmniej dwie są równe zero jest równoważny warunkowi: a) ab + ac + bc = 0; b) a + b + c > 0; c) (a + b )(a + c )(b + c ) = Niech f (x) = x + bx + c. Na to, by równanie f (x) = 0 miało dwa pierwiastki r 1 i r takie, że x 1 < 1 < x wystarczy by: a) b 4c > 0; b) b + c < 1; c) c > Punkt O 1 jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym prostokątnym, a O jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. Wynika stąd, że: a) O 1 = O ; b) O 1 jest środkiem pewnego boku tego trójkąta; c) O i środki pewnych dwóch boków tego trójkąta leżą na jednej prostej. 1. Liczba różnych trójkątów równobocznych, których wierzchołki są jednocześnie wierzchołkami danego sześcianu jest równa: a) 4; b) 8; c) 1. 4

5 4 4. Kąt α jest taki, że sin α =. Wynika stąd, że liczba sin α + cos α jest równa: 4 a) ; b) ; 16 7 c) 1.. Pole powierzchni bocznej ostrosłupa czworokątnego prawidłowego jest razy większe od pola jego podstawy. Krawędź boczna tego ostrosłupa ma długość a Wynika stąd, że krawędź podstawy ma długość: a) równą 1 a ; b) równą 5; 5 a c) większą od a. 4. Suma liczb dodatnich p i q jest równa sumie ich odwrotności. Wynika stąd, że: a) suma ta jest równa ; b) liczba p jest odwrotnością liczby q; c) p = q = Funkcja f ( x) = x + x przyporządkowuje: a) każdej liczbie wymiernej liczbę niewymierną; b) każdej liczbie niewymiernej liczbę wymierną; c) każdej liczbie niewymiernej liczbę niewymierną. 6. Liczba całkowita dodatnia n w zapisie dziesiętnym ma ostatnią cyfrę 7. Wynika stąd, że: a) n nie jest kwadratem liczby naturalnej; b) n nie jest sześcianem liczby naturalnej; c) n nie dzieli się przez Istnieje ostrosłup prawidłowy sześciokątny o polu powierzchni całkowitej równym 1998 mający: a) pole powierzchni bocznej równe 998; b) pole podstawy równe 998; c) objętość mniejszą od Zdanie p jest prawdziwe, a zdanie q fałszywe. Niech r 1 będzie zdaniem: p (p q), r zdaniem q (p q) oraz r zdaniem: (q p) q. a) wszystkie spośród zdań r 1, r, r są prawdziwe; b) Zdanie r 1 jest fałszywe, a r, r są prawdziwe; c) zdania r 1 i r są fałszywe, a r jest prawdziwe. 9. Istnieje przekrój płaski sześcianu będący: a) trójkątem; b) trapezem nierównoramiennym; c) pięciokątem. 40. Istnieje taka liczba rzeczywista a, że równanie cos (ax) = x jest spełnione przez: a) dokładnie jedną liczbę rzeczywistą; b) dokładnie dwie liczby rzeczywiste; c) dokładnie trzy liczby rzeczywiste 4 5

6 KLUCZ ODPOWIEDZI 1. b. b. b 4. a,c 5. c 6. b,c 7. b,c 8. a,b,c 9. b 10. a,b 11. b 1. b 1. b 14. a,b 15. a,b,c 16. b,c 17. b 18. a,c 19. a,b,c 0. a,b,c 1. b. b. a 4. b 5. a 6. a,c 7. b,c 8. a,c 9. b 0. b 1. b. a. b 4. b 5. a 6. a,c 7. b,c 8. b 9. a,b,c 40. a,b,c 6