GEOMETRIA. Klasyfikacja kątów ze względu na

Transkrypt

1 GEOMETRIA Geometrię należy zacząć od definicji najprostszych pojęć z nią związanych: z punktem i prostą. Są to pojęcia niedefiniowalne...na szczęście dla ucznia nie mają definicji. Punkty oznaczamy wielką literą, proste małą. Kolejnymi figurami geometrii są: półprosta (część prostej ograniczona jednym punktem) odcinek (część prostej ograniczona dwoma punktami i wzięta razem z tymi punktami) kąt (figura składająca się z dwóch półprostych o wspólnym początku i części płaszczyzny ograniczonej przez te półproste) Każde dwie półproste dzielą płaszczyznę na dwie części, dlatego ważne jest zaznaczenie łuku, aby zwrócić uwagę na kąt, który nas interesuje. Kąty dzielimy ze względu na miarę lub ze względu na położenie: Klasyfikacja kątów ze względu na miarę położenie zerowy 0 o wierzchołkowe równe miary ostry 0 o < α < 90 o przyległe w sumie 180 o prosty 90 o naprzemianległe równe rozwarty 90 o < α < 180 o odpowiadające równe półpełny 180 o pełny 360 o Zwrócić należy uwagę na rysunek kąta zerowego i kąta pełnego. W obydwu przypadkach ramiona kąta pokrywają się, jednak w przypadku kąta pełnego widać łuk oznaczający kąt, w przypadku kąta zerowego tego łuku nie ma.

2 Kąty wierzchołkowe powstają przy przecięciu się dwóch prostych. Katy wierzchołkowe mają równe miary. Kąty przyległe to kąty, które mają wspólny wierzchołek i jedno ramie wspólne, a pozostałe ramiona tworzą prostą. Ich miary w sumie dają 180 o. α + β = 180 o Kąty naprzemianległe i odpowiadające powstają, gdy dwie proste równoległe przetniemy trzecia prostą. Kąty naprzemianległe mają równe miary. Na rysunku obok kąty naprzemianległe to (1,7), (2,8), (3, 5), (4,6) Jeśli jeden kąt leży po lewo i nad prostą, to ten drugi leży po prawo i pod, ale pod drugą prostą. Kąty odpowiadające to (1,5), (2,6), (3,7), (4,8). Jeśli jeden kąt leży po lewo i nad prostą, to ten drugi też leży po lewo i nad, ale nad drugą prostą. Poza tym na rysunku obok widać kąty wierzchołkowe: (1,3), (2,4), (5,7), (6,8), oraz kąty przyległe (1,2), (2,3), (3,4), (4,1), (5,6), (6,7), (7,8), (8,1). Zad. 1 Uzupełnij miary brakujących kątów na rysunku : Rozwiązanie: Zaczniemy od otoczenia danego kąta: kąt 3 = 120 o, jako wierzchołkowy do kąta 120 o, kąt 2 = kąt 4 = 180 o 120 o = 60 o, jako przyległe do kąta = 120 o, Teraz korzystając z kątów odpowiadających otrzymujemy: kąt 5 = 120 o, jako odpowiadający do kąta = 120 o. Pozostałe kąty otrzymujemy jako kąty wierzchołkowe i przylegle: kąt7 = 120 o, kąt6 = kąt 8 = 180 o 120 o = 60 o

3 Zad.2 Uzupełnij miary brakujących kątów na rysunku : Zad.3 Uzupełnij miary brakujących kątów na rysunku : Rozwiązanie: Zaczynamy od danego kąta. Do niego przyległy jest kąt β (bo ich ramiona tworzą prostą, maja wspólny wierzchołek i ramię), stąd β = 180 o 40 o = 140 o (jako przyległe, kąty dają w sumie 180 o ) Kąt 40 o jest wierzchołkowy z kątem α, stąd α = 40 o Zad. 4 Uzupełnij miary brakujących kątów na rysunku : Suma kątów trójkątach równa jest 180 o. Dowód tego faktu jest bardzo prosty: KĄTY W TRÓJKĄTACH Przez punkty A i B prowadzimy prostą, a następnie prostą równoległą do niej prowadzimy przez punkt C Otrzymaliśmy dwa warianty dwóch prostych równoległych przeciętych trzecią prostą. Pierwszy to początkowe dwie proste równoległe i prosta AC, stąd otrzymaliśmy kąty naprzemianległe o równych miarach (kąty β). Drugi wariant to początkowe dwie proste równoległe i prosta BC, a stąd odpowiaające sobie kąty α o równych miarach. Stąd przy wierzchołku C otrzymaliśmy wszystkie trzy kąty trójkąta. Dają one w sumie 180 o (ich ramiona tworzą prosta przechodząca przez punkt C.

4 Trójkąty dzielimy ze względu na miary kątów lub na długości boków. Klasyfikacja trójkątów ze względu na: miary kątów długość boków ostrokątne wszystkie kąty ostre równoboczny wszystkie boki równe, wszystkie kąty po 60 o prostokątne jeden kąt prosty, pozostałe ostre równoramienny rozwartokątne jeden kąt rozwarty, pozostałe ostre różnoboczny dwa boki równe, zwane ramionami, kąty pod ramionami mają równe miary poza sumą miar równą 180 o nie zachodzą inne warunki Zad.5 Ustal miary brakujących kątów w trójkątach: Korzystając z informacji, że suma miar kątów w trójkącie równa jest 180 o mamy: 22 o + 47 o = 69 o (suma danych kątów) 180 o 69 o = 111 o Korzystając z informacji, że suma miar kątów w trójkącie równa jest 180 o mamy: 122 o + 28 = 150 o (suma danych kątów) 180 o 150 o = 30 o Oznaczenie boków identycznymi literami świadczy o tym, że trójkąt jest równoramienny. Wynika stąd, że kąt α = 42 o, bo kąty pod równymi ramionami mają równe miary. Dwa kąty przy postawie dają razem 42 o + 42 o = 84 o Więc β = 180 o 84 o = 96 o Oznaczenie boków identycznymi literami świadczy o tym, że trójkąt jest równoramienny. Wynika stąd, że kąt α = β, bo kąty pod równymi ramionami mają równe miary. W sumie wszystkie kąty dają 180 o, więc jeśli odejmiemy dany kąt, to otrzymamy miarę dwóch kątów przy podstawie. α + β = 180 o 38 o = 142 o α = β = = 71o kropka w kacie informuje, że to kąt prosty (90 o ) Podane kąty dają w sumie 90 o + 35 o = 125 o Brakujący kąt to uzupełnienie do 180 o α = 180 o 125 o = 55 o

5 Stopnie i ich podział nie są zapisywane w systemie dziesiątkowym, ale w sześćdziesiątkowym. Oznacza to, że 60 jednostek niższego rzędu daję jedną jednostkę rzędu wyższego. Tak działają zegarowe minuty i godziny, sekundy i minuty. Tak tez działają miary kątów. Każdy 1stopień to 60 minut 1 o = 60, 1 = 60. Wygodnie do obliczeń pamiętać, że 180 o = 179 o 60 (jeden stopnień został zamieniony na minuty) Rozwiązując dany przykład najpierw musimy zsumować miary danych kątów: 42 o o 35 = (42 o + 35 o ) + ( ) = 77 o + 78 = 77 o + ( ) = 77 o + 1 o + 18 = 78 o 18 Aby obliczyć brakujący kąt należy od 180 o odjąć miarę sumy dwóch danych kątów: 180 o 78 o 18 = 179 o o 18 =101 o 42 Uzupełnij miary brakujących kątów w trójkątach: