1. Wyznacz długości boków trójkąta prostokątnego ABC oraz wartości funkcji trygonometrycznych kąta CABmającdane sin (CAB) = 4 5i BC = 2.

Transkrypt

1 Funkcje trygonometryczne. Wyznacz długości boków trójkąta prostokątnego ABC oraz wartości funkcji trygonometrycznych kąta CABmającdane sin (CAB) = 4 5i BC =..Rozwiążtrójkątprostokatnymającdaneprzyprostokątne a =, b = Oblicz,gdy: a) 3 b) 9 3 c) Oblicz długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego, jeśli α jest jednym z dwóch kątów ostrych trójkątaoraz tgα = 4 3idługośćprzeciwprostokątnejrównajest 5cm. 5. Wyznacz kąty trójkąta prostokątnego wiedząc, że: a)iloczynsinusajednegokątaostregoicosinusadrugiegokątaostregowynosi 4. b) kwadrat odwrotności tangensa kąta ostrego wynosi 3. 6.Wpewnymtrójkącieprostokątnymsumacosinusówkątówostrychjestrówna 3 3.Oblicziloczynsinusów tych kątów. 7. Wyznacz wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych trójkąta prostokątnego, w którym dana przyprostokątna jest dwa razy dłuższa od drugiej przyprostokątnej. 8. Dany jest prostopadłościan o krawędziach podstawy dm, dm i wysokości 30 cm. Podaj wartości funkcji trygonometrycznych kąta zawartego między przekątną podstawy a przekątną prostopadłościanu. β 9. Korzystając z danych przedstawionych na rysunku, obliczwartośćwyrażenia: tg β 5sinβctgα+ cos 0 α. 6 α 8 0.Turystaidzieprostądrogąwznoszącąsiępodkątem 5. a)jakąróżnicępoziomówpokonapoprzejściu 0,5km? b)jakdługomusiałbyiśćtądrogązszybkością 4,5km/h,abypokonaćróżnicępoziomówrówną 30m.. Przekątne deltoidu mają długości 0 cm i 30 cm. Punkt przecięcia przekątnych dzieli dłuższą z nich w stosunku :. Oblicz miary kątów deltoidu. C. Dany jest trójkąt ABC. a)obliczwartośćstosunku AB CA. b)wyznaczwartości BC CD. B a D 45 A a 3. Korzystając z danych na rysunku oblicz wysokość komina. h 40 m 45

2 4. Wierzchołek latarni morskiej znajduje się 30 metrów nad poziomem morza. W kierunku latarni płynie ponton,zktóregowidaćwierzchołeklatarnipodkątem 0.Popewnymczasiepontonzbliżyłsiędolatarni tak,żejejwierzchołekwidaćpodkątem 35.Jakąodległośćprzebyłpontonwtymczasie? 5.Pewnegodniapoziomwody y(wmetrach)naławicypiaskowejuwejściadoportuwyrażałsięwzorem: y = 4+0sin ( π t), gdzie toznaczaliczbęgodzinjakaupłynęłaodgodziny 00. Obliczpoziomwodyogodzine4 00,5 00,6 00.Októrejgodzinietegodniawodaosiągnienajwyższypoziom? 6. Wyznacz wartości funkcji trygonometrycznych kata ostrego α, jeśli: a) sin(90 α) = 3 0 b) ctg(90 α) = 5 c) sinα = 3 d) ctgα =,4 7.Korzystającztożsamości ctg α+ = sin α wyznaczwartościpozostałychfunkcjitrygonometrycznychkąta ostrego,gdy ctgα = 7. 8.Czyistniejekąt α,dlaktórego a) sinα = 3 sin(90 α) = b) tgα = tg(90 α) = c) tgα = 5 ctgα = 5+ d) tgα = 3 4 sinα = 3 5 e) 3cosα = 6 f) sinα = 5 cosα = 5 9.Wiedząc,że αjestkątemostrymitgα =,obliczwartośćwyrażenia 4cosα sinα 3cosα+5sinα. 0.Oblicz a b,gdy a = sin 4 α cos 4 α, b = 4sin α cos αdla α = 60.. Test wyboru. Zaznacz poprawne odpowiedzi. a)sinuskątaostrego αjestrówny 3 5.Wynikastąd,że: (A) cosα = 5. (B) tgα = 0,75. (C) ctg(90 α) = 4 3. b) W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość 50 cm, a sinus jednego z kątów ostrych jest równy 4 5.Zatemwtymtrójkącie: (A)obwódjestrówny cm. (B)tangensjednegozkątówostrychjestwiększyod 3. (C)jednazwysokościmadługość 3,44cm. c) W ośmiokącie foremnym o boku (rysunek obok): (A) α = 0. (B) = +. (C) tgβ =. d)następującerównaniejestprawdziwedla α = 60. (A) cosα+cos(90 α) = 3 (B) 3sinα = tg45 (C) tg α+ctg α = 3+cosα β α e) Wartość następującego wyrażenia jest rowna. (A) sin40 cos50 (B) sin9 cos6

3 (C) (sin0 +cos0 )(sin0 cos0 )+sin 70.(R)Miarydwóchkątówtrójkątawynoszą π 6 i π 5.Obliczmiarętrzeciegokąta.Odpowiedźpodajwstopniach. 3.(R) Naszkicuj w układzie współrzędnych kąt α taki, że a) sinα = 3 α 70,360 b) cosα = 4 5 c) tgα = α 80,70 d) ctgα = (R)Wiedząc,że 0 α 360, sinα < 0oraz 4tgα = 3sin α+3cos α a) oblicz tgα, b) zaznacz w układzie współrzędnych kąt α i podaj współrzędne dowolnego punktu, różnego od początku układu współrzędnych, który leży na końcowym ramieniu tego kąta. 5.(R) Wyznacz wartości funkcji trygonometrycznych kąta: a) β = 0 b) β = 0 c) β = 35 6.(R) Oblicz: a) sin765 b) cos00 c) sin( 70 ) d) tg( 750 ) e) cos( 450 ) f) ctg( 395 ) g) sin( 7π) h) cos 5 π i) ctg( 3 4 π) j) tg 3 3 π k) sin50 3cos0 +tg35 7.(R) Wyznacz wartości funkcji trygonometrycznych kąta, gdy: a) sin = 5 5 ( 3 π,π) b) tg = 3 ( π,π) c) cos = 3 8.(R)Miarypięciukątówtworząciągarytmetyczny.Drugimwyrazemtegociągujest 50 aczwartym 70. Oblicz sumę sinusów tych pięciu kątów. sin+cos 9.(R) Oblicz wartość wyrażenia sin 3cos, dla tg =. 30.(R)Wykaż,żewyrażenie cos sin cos = tg+ tg niejesttożsamością. 3.(R) Sprawdź, czy podana równość jest tożsamością trygonometryczną: a) (cosα sinα) = sinαcosα ( ) cos b) α sin α = sin α cos α c) cosα +tg α = dla α ( π, 3 π) cosα d) sinα = +sinα cosα,dla α π +kπ,gdzie k C. 3.(R) Rozwiąż równanie: a) cos3 = sin 5 6 π b) tg = sin,gdy ( π, π c) 3tg ( π ) = d) ctg = 3 3 e) cos = ),gdzie ( π,0)

4 33.(R)a)Obliczwartośćwyrażenia sin,jeśli ctg = 5 ( 0, π ). b)sprawdź,czy ctg0 ctg0 = sin0. c)napodstawiewzoru: sin(α+β) = sinαcosβ +sinβcosα,oblicz: sin75. d)oblicz sinα+cosα,gdy sinα cosα = 0,5. 34.(R) Dla jakich wartości parametru: a) mrównanie 3cos = mmarozwiązanie; b) aistniejerozwiązanierównania sin = a 3; c)danejestrównanie sin = a +,zniewiadomą.wyznaczwszystkiewartościparametru a,dlaktórych dane równanie nie ma rozwiązań. d)wyznaczwszystkiewartościparametru m,dlaktórychrównanie (sin cos ) + m 5 = 0z niewiadomą ma rozwiązanie. 35.(R)Danajestfunkcja fowzorze f() = cos+4cos+3. a)oblicz f(π). b) Wyznacz zbiór miejsc zerowych funkcji f. 36.(R)Wyznacznajwiększąujemnąliczbęspełniającąrównanie cos ( + π 6) =. 37.(R) Zbiór A jest zbiorem rozwiązań równania cos3 = cos w zbiorze liczb rzeczywistych, zaś B zbiorem rozwiązańrównania sin4 = 0wprzedziale 0,π.Wyznacziloczynzbiorów AiB. 38.(R)a)Rozwiążrównanie: +cos = cos. b)podajwspółrzędnepunktówprzecięciasięwykresówfunkcji y = siniy= coswprzedziale π, π. c)rozwiążrównanie cos = sin. d) Rozwiąż równanie sin = sin4 wprzedziale π,π. 39.(R) Wyznacz wszystkie rozwiązania równania cos = cos należące do przedziału 0,. 40.(R)Danejestrównaniepostaci (cos ) (cos+p+) = 0,gdzie p Rjestparametrem. a) Dla p = wypisz wszystkie rozwiązania tego równania należące do przedziału 0; 5. b) Wyznacz wszystkie wartości parametru p, dla których dane równanie ma w przedziale π; π trzy różne rozwiązania. 4.(R)Danajestfunkcja fokreślonawzorem f() = sin sin sin dla (0,π) (π,π). a) Naszkicuj wykres funkcji f. b) Wyznacz miejsca zerowe funkcji f. 4.(R)a)Naszkicujwykresfunkcji y = sinwprzedziale π,π. b)naszkicujwykresfunkcji y = sin sin wprzedziale π,π izapisz,dlaktórychliczbztego przedziałuspełnionajestnierówność sin sin < (R)Naszkicujwykresfunkcji fiodczytajzniegojegomiejscazeroweizbiórwrtości: a) f() = sin ( ) π b) f() = cos ( ) + π 3 c) f() = ctg ( ) π 6 d)naszkicujdla π,π wykresfunkcji y = cos. e)naszkicujwykresfunkcji f() = sincosdla ( π,π),podajjejmiejscazeroweiprzedziały,w których funkcja przyjmuje wartości dodatnie. f)wyznaczokreszasadniczyfunkcjiisporządźjejwykres g() = sin+cos. 44.(R)a)Wyznaczwszystkieliczbyzprzedziału ( π, π ),którespełniająnierówność tg >. b)rozwiążnierówność cos 0,5wprzedziale 0,π. c) Odczytaj z wykresu funkcji, dla jakich wartości argumentu 0, π spełniona jest nierówność sin >. d)rozwiążnierówność ctg.

5 Funkcje trygonometryczne A 45.(R)Obiekty AiBleżąpodwóchstronachjeziora. Wterenie dokonano pomiarów odpowiednich kątów i ich wyniki przedstawiono na rysunku. Odległość między obiektami B i Cjestrówna 400m.Obliczodległośćwliniiprostejmiędzyobiektami AiBipodajwynik,zaokrąglającgodo jednego metra. B C 46.(R)Danyjesttrójkątobokachdługości, 3,.Obliczcosinusisinuskątależącegonaprzeciwnajkrótszego boku tego trójkąta. 47.(RR)Wyznaczpochodnąfunkcji y = cos. 48.(RR) Zbadaj monotoniczność funkcji określonej wzorem f() = 5 + cos4. 49.(RR)a)Zbadaj,czyistniejestycznadokrzywejorównaniu y = 4 sinrównoległadoprostejorównaniu y =. b)wyznaczwspółczynnikkierunkowystycznejdowykresufunkcji f() = cos wpunkcie M = ( 0,f( 0 ))jeśli 0 = 3 8 π.