Funkcje trygonometryczne

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Funkcje trygonometryczne"

Transkrypt

1 Funkcje trygonometryczne Sinus kąta ostrego α stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α do długości przeciwprostokątnej: sin α = a : c = a/c Cosinus kąta ostrego α stosunek długości przyprostokątnej przyległej do kąta α do długości przeciwprostokątnej: cos α = b : c = b / c Tangens kąta ostrego α stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α do długości przyprostokątnej przyległej do tego kąta: tg α = a : b = a / b = tan α Cotangens kąta ostrego α stosunek długości przyprostokątnej przyległej do tego kąta do długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α: ctg α = b : a = b / a b / a = ctg α = 1 : (a/b) = 1 : tg α = 1 / tg α Kąt skierowany kąt płaski z ustalonym uporządkowaniem ramion. Pierwsze ramię kąta nazywamy ramieniem początkowym, drugie ramieniem końcowym. Kąt skierowany oznaczamy łukiem zakończonym strzałką, wskazującą ramię końcowe.

2 Kąt skierowany umieszczony w układzie współrzędnych Kąt skierowany jest umieszczony w układzie współrzędnych, jeśli jego wierzchołek znajduje się w początku układu współrzędnych

3 Kąt skierowany zerowy kąt 0 o Kąt skierowany pełny 360 o Kąt α o dowolnej mierze stopniowej można przedstawić w postaci: γ = k*360 o + α, gdzie 0 α < 360 o oraz k C Wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30 o, 45 o, 60 o Kąt α [ o ] 30 o 45 o 60 o sin α ½ 2 / 2 3 / 2 cos α 3 / 2 2 / 2 ½ tg α 3 / ctg α / 3 Związki między funkcjami trygonometrycznymi sin 2 α + cos 2 α = 1 (jedynka trygonometryczna) 1/tg α = ctg α sin α / cos α = tg α cos α / sin α = ctg α sin α = cos (90 o α) cos α = sin (90 o α) tg α = 1 / (tg 90 o α) tg α = sin α / cos α sin (180 o α ) = sin α cos (180 o α) = -cos α tg (180 o α) = -tg α ctg (180 o α) = -ctg α sin α = (1 cos 2 α) = tg α / ( (1 + tg 2 α) = 1/ ( (1 +ctg 2 α) cos α = (1 sin 2 α) = 1 / ( (1 + tg 2 α) = ctg/ ( (1 +ctg 2 α) tg α = sin α / (1 sin 2 α) = (1 sin 2 α) / cos α = 1 / ctg α) ctg α = (1 sin 2 α)/ sin α = cos α / (1 cos 2 α) = 1 / tg α) sin α = y/r, cos α = x/r, gdzie r = (x 2 + y 2 ) tg α = y/x, gdy x 0 ctg α = x/y, gdy y 0 Podstawowe tożsamości trygonometryczne

4 sin α = cos (90 o α) cos α = sin (90 o α) tg α = ctg (90 o α) ctg α = tg (90 o α) tg α = 1 / tg(90 o α) ctg α = 1/ tg (90 o α) sin 2 α + cos 2 α = 1 tg α = sin α / cos α sin (90º + α) = cos α tg (90 + α) = - 1/tg α sin (180 α) = sin α tg (180 α) = - tg α jedynka trygonometryczna tg (90 o α) = cos α / sin α cos (90 + α ) = - sin α cos (180 α) = - cos α ctg (180 α) = - ctg α sin (α o ) = sin α cos (α o ) = cos (α o ) tg (α o ) = tg α ctg (α o ) = ctg α sin(-α) = -sin α cos (-α) = cos α tg(-α) = -tg α ctg (-α) = -ctg α Funkcje trygonometryczne kątów 30 0, 45 0, 60 0 wartości na wykresach Funkcje sinus i cosinus kątów 30 o i 60 o - bezpośrednio z wykresu sin 30 o = ½ : 1 = ½ cos 30 o = 3/2 sin 60 o = 3/2 cos 60 o = ½ : 1 = ½ Funkcje tangens i cotangens kątów 30 o i 60 o z obliczeń tg 30 o = ½ : 3/2 = 1/ 3 = 3/3 ctg 30 o = 3/2 : ½ = 3 tg 60 o = 3/2 : ½ = 3 ctg 60 o = ½ : 3/2 = 1/ 3 = 3/3 Wartości funkcji tg 30 o i ctg 60 o - bezpośrednio z wykresu tg 30 o = 3/3/1 = 3/3 ctg 60 o = 3/3/1 = 3/3 Wartości funkcji tg 60 o i ctg 30 o - bezpośrednio z wykresu tg 60 o = 3/1 = 3 ctg 30 o = 3/1 = 3/3

5 Przeliczenie wartości funkcji trygonometrycznych kąta 0-90 o podana wartość jednej funkcji, obliczenie pozostałych Obliczenie wartości funkcji trygonometrycznych, gdy dana wartość jednej funkcji

6 Dana wartość jednej funkcji w postaci ilorazu lub jednej liczby zastąpienie ilorazem liczby przez 1

7 Znaki funkcji trygonometrycznych Ćwiartka układu sin α cos α tg α ctg α I (0 o - 90 o ) II (90 o -180 o ) III (180 o -270 o ) IV (270 o -360 o ) Wierszyk dotyczący znaków funkcji trygonometrycznych: W pierwszej wszystkie są dodatnie w drugiej tylko sinus w trzeciej tangens i cotangens a w czwartej cosinus

8 Wartości funkcji trygonometrycznych dla wielokrotności kata 90 o 0 o 90 o 180 o 270 o 360 o sin α cos α tg α 0 - ( ) 0 - ( ) 0 ctg α - ( ) 0 - ( ) 0 - ( ) Wzory redukcyjne φ 90 o - α 90 + α α α α α α sin φ cos α cos α sin α -sin α -cos α -cos α -sin α cos φ sin α -sin α -cos α -cos α -sin α sin α cos α tg φ ctg α -ctg α -tg α tg α ctg α -ctg α -tg α ctg φ tg α -tg α -ctg α ctg α tg α -tg α -ctg α Wzory trygonometryczne Podstawowe wzory sin 2 α + cos 2 α =1 - jedynka trygonometryczna tg α = sin α / cos α dla α π/2 + kπ i k C ctg α = cos α / sin α dla α kπ i k C tg α = 1/ ctg α dla α kπ/2 i k C ctg α = 1/ tg α dla α kπ/2 i k C tg α * ctg α = 1 Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów sin (α + β) = sin α * cos β + cos α * sin β cos (α + β) = cos α *cos β sinα * sin β tg (α + β) = (tg α + tgβ) / (1 tgα * tgβ) ctg (α + β) = ( ctg α * ctg β - 1) / (ctg α + ctg β) sin (α - β) = sin α * cos β cos α * sin β cos (α - β) = cos α * cos β + sin α * sin β tg (α - β) = (tg α tg β) / (1 + tg α * tg β) ctg(α-β) = (ctg α * ctgβ + 1) / (ctg β ctg α) Funkcje trygonometryczne kąta podwojonego sin2α = 2* sin α * cosα = 2*tgα / (1+tg 2 α) cos2α = cos 2 α - sin 2 α = 1-2*sin 2 α = (1-tg 2 α)/(1+tg 2 α) tg2α = 2* tgα / (1 - tg 2 α) = 2/(ctgα tgα) ctg2α = (ctg 2 α -1/(2*ctgα) = (ctgα tgα).2 Funkcje trygonometryczne połowy kąta sin(α/2) = ± ((1-cosα)/2) cos(α/2) = ± ((1+cosα)/2) (bierzemy znak + lub - w zależności od tego, do której ćwiartki należy α/2) tg(α/2) = ±(1-cosα)/sinα = sinα/(1+cosα) = (1-cosα)/sinα

9 ctg(α/2) =± (1+cosα)/sinα = (1+cosα)/sinα = sinα/(1-cosα) Sumy funkcji trygonometrycznych sinα+sinβ = 2 * sin((α+β)/2) * cos(α-β)/2) cosα+cosβ = 2*cos((α+β)/2) * cos(α-β)/2) tgα+tgβ = sin(α+β) / (cosα*cosβ) ctgα+ctgβ = sin(α+β) / (sinα*sinβ) Różnice funkcji trygonometrycznych sinα - sinβ = 2 * sin((α-β)/2) * cos(α+β)/2) cosα - cosβ = -2*sin((α-β)/2) * sin(α+β)/2) tgα - tgβ = sin(α-β) / (cosα*cosβ) ctgα - ctgβ = sin(β-α) / (sinα*sinβ) Parzystość i nieparzystość funkcji cos(-x) = cos(x) sin(-x) = -sin(x) tg(-x) = -tg(x) ctg(-x) = -ct(x) Miara łukowa kata długość łuku wyciętego przez kąt o promieniu 1 i środku w wierzchołku kąta Miarą łukową kąta środkowego nazywamy liczbę α, równą stosunkowi długości łuku L okręgu, na którym jest oparty ten kąt, do długości promienia r tego okręgu, czyli

10 α = l / r Jeśli r = 1 to α = L / 1 = L Miara łukowa kąta miara kąta wyrażona przez stosunek długości łuku okręgu opartego na tym kącie do długości promienia okręgu Gdzie α rozpatrywany kąt, l długość łuku, r promień okręgu, którego wycinkiem jest łuk. Jednostką miary łukowej kąta jest radian (1 rad). Radian miara kata środkowego opartego na łuku równym promieniowi r okręgu Wymiarem radiana jest jedność [rad] = 1 1 rad = 180º / π =~ 57 o 17 44,81 Zamiana kątów α = α [rad] = α [ o ] * π / 180 o α [ o ] = α * 180 o / π Wykresy funkcji trygonometrycznych: sin(x), cos(x), tg(x), cos(x)

11 Sinusoida Dziedzina : D f = R Zbiór wartości: Y f = [-1; 1] Miejsca zerowe: f(x) = 0 dla x = k* π, k C Funkcja nieparzysta: cos(-x) = cos(x) Funkcja okresowa o okresie T=2π = 360 o Funkcja rośnie w przedziałach (-π/2 + 2kπ, 3/2*π + 2kπ), k C Cosinusoida Dziedzina : D f = R Zbiór wartości: Y f = [-1; 1] Miejsca zerowe: f(x) = 0 dla x = π/2 + k* π, k C Funkcja parzysta: cos(-x) = cos(x) Funkcja okresowa o okresie T=2π = 360 o Funkcja rośnie w przedziałach (π + 2k π, 2π + 2kπ), k C

12 Tangensoida Dziedzina : D f = R \ {x: x = π/2 + k* π, k C} Zbiór wartości: R Miejsca zerowe: f(x) = 0 dla x = k* π, k C Funkcja nieparzysta: tg(-x) = -tg(x) Funkcja okresowa o okresie T = π = 180 o Funkcja rośnie przedziałami w (-π/2 + kπ, π/2 +kπ) k C Cotangensoida Dziedzina : Df = R \ {x: x = k* π, k C} Zbiór wartości: R Miejsca zerowe: f(x) = 0 dla x = π/2 + k* π, k C

13 Funkcja nieparzysta: ctg(-x) = -ctg(x) Funkcja okresowa o okresie T = π = 180 o Funkcja rośnie przedziałami w (kπ, π+kπ) k C Zależności między funkcjami trygonometrycznymi Pole trójkąta gdy dane 2 boki i kąt między nimi Funkcje trygonometryczne dowolnego kata

14 Obliczenie długości łuku Ł/(2 πr) = α o /360 o Ł = πrα/180 o = α o / (180/π) * r = α o *(π / 180) * r = α ł * r Miara łukowa kąta

15 Miarą łukową kąta środkowego nazywamy liczbę α, równą stosunkowi długości łuku L okręgu, na którym jest oparty ten kąt, do długości promienia r tego okręgu, czyli α = l / r Jednostką miary łukowej kąta jest radian (1 rad). Radian miara kata środkowego opartego na łuku równym promieniowi r okręgu rad symbol radiana 1 rad = 180º / π =~ 57 o 17 44,81 = 200[grad]/ π = Kąt ma miarę 1 radiana (1 rad), jeśli łuk wyznaczony przez ten kąt na okręgu jednostkowym ma długość 1 Zamiana katów z miary stopniowej na łukową i odwrotnie α = α [rad] = α [ o ] * π / 180 o α [ o ] = α * 180 o / π Wyprowadzenie wzorów na zamianę kątów α o / 360º = α /(2* π) α o / 180º = α / π α o = α * (180 o / π) = α * ρ o α o kąt w stopniach, α kat w mierze łukowej =~ α * 57, o

16 α = α o * (π/180º) = α o / ρ o = α o / 57, o 1 rad = 180º / π =~ 57 o 17 44,81 1 o = π / 180 o 2π [rad] = 360º π [rad] = 180º π/2 [rad] = 90º π/3 [rad] = 60º π/4 [rad] = 45º π/6 [rad] = 30º α [grad] = α * 200/ π = α * α = α [grad]* π / 200 = α [grad]* Miara stopniowa 360 o 180 o 90 o 60 o 45 o 30 o Miara gradowa 400 g 200 g 100 g 66,(6) 50 g 33,(3) g Miara łukowa 2π π π/2 π/3 π /4 π/6 Kąt jako miara obrotu Jeśli określimy kolejność ramion kąta α, czyli wyróżnimy ramię początkowe i końcowe, to kąt taki nazywamy skierowanym. Kąt skierowany oznaczamy łukiem zakończonym strzałką. Kąt skierowany wskazany łukiem o zwrocie przeciwnym do ruchu wskazówek zegara nazywamy kątem skierowanym dodatnio. Kąt skierowany wskazany łukiem o zwrocie zgodnym z ruchem wskazówek zegara jest kątem skierowanym ujemnie. Miarę każdego kąta skierowanego można przedstawić w postaci: k* α, gdzie 0 0 <= α < k jest pewną ustaloną liczbą całkowitą

17 k*2π + α, gdzie 0 <= α < 2π czyli α < 0; 2π) i k jest ustaloną liczbą całkowitą Miara α jest nazywana miarą główną kąta skierowanego. Jeżeli ramiona kątów skierowanych się pokrywają, to ich miary główne są równe. Kąty przeciwne to kąty, których miary są liczbami przeciwnymi. Kąty w ćwiartkach układu współrzędnych Ćwiartka I II III IV Kąt w stopniach 0 o < α < 90 o 90 o < α < 180 o 180 o < α < 270 o 270 o < α < 360 o Kąt w radianach 0 < α < π/2 π/2 < α < π π < α < 3/2 *π 3/2*π < α < 2 *π Kąt w gradach 0 g < α < 100 g 100 g < α < 200 g 200 g < α < 300 g 300 g < α < 400 g Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta sin α = y/r cos α = x/r tg α = y/x x 0 ctg α = x/y y 0

18 ctg α = 1/ (y/x) = 1/tg α x 0, y 0 Wyznaczenie współrzędnych punktu i narysowanie końcowego ramienia kata Jeśli punkt P leży na końcowym ramieniu kata α i jego promień wodzący jest równy 1 to P = (1*cos α, 1*sin α) = (cos α, sin α) Wyznaczenie punktu P i kąta α, gdy dany jest kąt α. - nanosimy wartości współrzędnych punktu P: x P = cos α oraz y P = sin α i kreślimy ramię kąta OP α = 30 o cos α = 3/2 ~= 0,8660 = x P sin α = 1/2 = y p Wyznaczenie ramienia kąta α, gdy dany jest tg α tg α = y/x = t/1 = 2t/2 = 3t/3 itd. Przyjmujemy za współrzędne punktu P wartości (t, 1) lub (2t, 2) itp. Wyznaczamy punkty na podstawie współrzędnych i rysujemy ramię kata OP Przykład: dany tg α = 4

19 tg α = -4 = y/x = -4/1 = -1/4 Przyjmujemy P1 = A = (1, -4) lub P2 = B = (-1, 4) α = 104,04 o lub α = o Gdy dany jest tg α w postaci a/b to można przyjąć za x wartość b, a za y wartość a lub ich wielokrotności. Dany cos α Przykład: cos α = -2/3 Dany sin α

20 Przykład: sin α = -1/3 sin α = -1/3 = y/r y/r = -1/3 = -2/6 Przyjmujemy: y = -1, r = 3 α1 = o α2 = 340,52 o Wartości funkcji trygonometrycznych wielokrotności kata π/2 0 o 90 o = π/2 180 o =π 270 o =3/2*π =2 sin α cos α tg α 0 (nie istnieje) 0 (nie istnieje) 0 ctg α = 1/tg α (nie istnieje) 0 (nie istnieje) 0 (nie istnieje) Znaki wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta Punkt P = (x, y) leży w ćwiartce: I gdy x >0 i y > 0 sin α > 0, cos α > 0, tg α > 0, ctg α > 0 II gdy x < 0 i y > 0 sin α > 0, cos α < 0, tg α < 0, ctg α < 0 III gdy x < 0 i y > 0 sin α < 0, cos α < 0, tg α > 0, ctg α > 0 IV gdy x > 0 i y < 0 sin α < 0, cos α > 0, tg α < 0, ctg α < 0 Parzystość funkcji trygonometrycznych Funkcje nieparzyste: sinus, tangens i cotangens Funkcja parzysta: cosinus sin (-α) = -sin α cos (-α) = cos α tg (-α) = -tg α ctg (-α) = -ctg α Wzory redukcyjne sin (180 o α) = sin α sin (π α) = sin α II ćwiartka cos (180 o α) = -cos α cos (π α) = -sin α

21 tg (180 o α) = -tg α ctg (180 o α) = -ctg α tg (π α) = - sin α ctg (π α) = tg α sin (180 o + α) = -sin α = π III ćwiartka cos (180 o + α) = -cos α tg (180 o + α) = tg α ctg (180 o + α) = ctg α sin (360 o - α) = -sin α π = IV ćwiartka cos (360 o - α) = cos α tg (360 o - α) = -tg α ctg (360 o - α) = -ctg α sin (90 o - α) = cos α 90 0 = π/2 cos (90 o - α) = sin α tg (90 o - α) = ctg α = 1/ (tg α) ctg (90 o - α) = tg α Analogicznie dla funkcji 90º + α oraz α funkcje zmieniają się w kofunkcje (sin cos, tg ctg) W osi x (0, 180, 360) we wzorach redukcyjnych funkcje się nie zmieniają w kofunkcje, a ewentualnie zmieniają się znaki, w zależności od ćwiartek. W osy y (90 0, ) we wzorach redukcyjnych funkcje zmieniają się w kofunkcje, z uwzględnieniem znaków w zależności od ćwiartki układu współrzędnych. Okresowość funkcji trygonometrycznych sin (k*360 o + α) = sin α cos (k*360 o + α) = cos α k C tg (k*180 o + α) = tg α ctg (k*180 o + α) = ctg α sin (k*2π + α) = sin α cos (k*2π + α) = cos α tg (k*π + α) = tg α ctg (k*π + α) = ctg α Liczbę 360 o = 2π dla funkcji sinus i cosinus nazywa się okresem podstawowym tych funkcji. Liczbę 180 o = π dla funkcji tangens i cotangens nazywa się okresem podstawowym tych funkcji. Okres podstawowy funkcji najmniejsza dodatnia liczba, która dodana do (odjęta od) argumentu funkcji nie zmienia jej wartości, np. sin 1000 o = sin 640 o = sin = sin (-80 0 ) Związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta sin 2 α + cos 2 α = 1 - jedynka trygonometryczna tg α = sin α / cos α, gdy cos α 0 ctg α = 1/(tg α = (cos α) / (sin α), gdy sin α 0 Tożsamość trygonometryczna każde równanie wyrażające zależności między funkcjami trygonometrycznymi zachodzące dla wszystkich katów, dla których wartości tych funkcji istnieją. Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów sin (α + β) = sin α * cos β + cos α * sin β

22 cos (α + β) = cos α * cos β sinα * sin β sin (α - β) = sin α * cos β cosα * sin β cos (α - β) = cos α * cos β + sinα * sin β tg (α + β) = (tg α + tg β) / (1 tg α * tg β) ctg (α + β) = (ctg α * ctg β - 1) / (ctg α + ctg β) tg (α - β) = (tg α tg β) / (1 + tg α * tg β) ctg (α - β) = (ctg α * ctg β + 1) / (ctg β ctg α) cos 2 α = cos 2 α sin 2 α cos 2 α = 2 cos 2 α 1 cos 2 α = 1 sin 2 α sin 2 α = 2 * sin α * cos α tg 2 α = 2*tg α / (1 tg 2 α), gdy cos α 0 i cos 2 α 0 Suma i różnica funkcji trygonometrycznych sin α + sin β = 2 * sin (α + β) /2 * cos (α β) /2 cos α + cos β = 2 * cos (α + β) /2 * cos (α β) /2 sin α - sin β = 2 * sin (α - β) /2 * cos (α + β) /2 cos α - cos β = 2 * sin (α + β) /2 * sin (α β) /2

Matematyka kompendium 2

Matematyka kompendium 2 Matematyka kompendium 2 Spis treści Trygonometria Funkcje trygonometryczne Kąt skierowany Kąt skierowany umieszczony w układzie współrzędnych Wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30 o, 45 o, 60 o

Bardziej szczegółowo

Funkcje trygonometryczne

Funkcje trygonometryczne Funkcje trygonometryczne Wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30 o, 45 o, 60 o Kąt α [ o ] 30 o 45 o 60 o sin α ½ 2 / 2 3 / 2 cos α 3 / 2 2 / 2 ½ tg α 3 / 3 1 3 ctg α 3 1 3 / 3 Związki między funkcjami

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA 8. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego (α < 90 ). Stosunki długości boków trójkąta prostokątnego nazywamy funkcjami trygonometrycznymi.

MATEMATYKA 8. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego (α < 90 ). Stosunki długości boków trójkąta prostokątnego nazywamy funkcjami trygonometrycznymi. INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy do matury i rekrutacji na studia medyczne Rok 017/018 www.medicus.edu.pl tel. 501 38 39 55 MATEMATYKA 8 FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego

Bardziej szczegółowo

Funkcje trygonometryczne. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 1 / 14

Funkcje trygonometryczne. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 1 / 14 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 1 / 14 Miara kąta Miara kąta kąt mierzymy od ramienia początkowego do końcowego w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (α > 0) kąt zgodny

Bardziej szczegółowo

Funkcje trygonometryczne

Funkcje trygonometryczne Funkcje trygonometryczne Piotr Rzonsowski Teoria Definicja. Sinusem kąta ostrego α nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α do przeciwprostokątnej sin α = b c. Cosinusem kąta ostrego

Bardziej szczegółowo

8. TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO.

8. TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO. WYKŁAD 6 1 8. TRYGONOMETRIA. 8.1. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO. SINUSEM kąta nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym : =. COSINUSEM

Bardziej szczegółowo

Funkcje trygonometryczne

Funkcje trygonometryczne Funkcje trygonometryczne Piotr Rzonsowski Teoria Definicja. Sinusem kąta ostrego nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej sin = b c. Cosinusem kąta ostrego nazywamy

Bardziej szczegółowo

TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA SKIEROWANEGO

TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA SKIEROWANEGO TRYGONOMETRIA Trygonometria to dział matematyki, którego przedmiotem badań są związki między bokami i kątami trójkątów oraz tzw. funkcje trygonometryczne. Trygonometria powstała i rozwinęła się głównie

Bardziej szczegółowo

Blok III: Funkcje elementarne. e) y = 1 3 x. f) y = x. g) y = 2x. h) y = 3x. c) y = 3x + 2. d) y = x 3. c) y = x. d) y = x.

Blok III: Funkcje elementarne. e) y = 1 3 x. f) y = x. g) y = 2x. h) y = 3x. c) y = 3x + 2. d) y = x 3. c) y = x. d) y = x. Blok III: Funkcje elementarne III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x y = x y = x y = x III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x + y = 4 x III. Znajdź miejsca zerowe funkcji: a) y = 6 x y = x e) y = x f) y

Bardziej szczegółowo

Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym

Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym Oznaczenia boków i kątów trójkąta prostokątnego użyte w definicjach Sinus Sinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek przyprostokątnej

Bardziej szczegółowo

1. Wyznacz długości boków trójkąta prostokątnego ABC oraz wartości funkcji trygonometrycznych kąta CABmającdane sin (CAB) = 4 5i BC = 2.

1. Wyznacz długości boków trójkąta prostokątnego ABC oraz wartości funkcji trygonometrycznych kąta CABmającdane sin (CAB) = 4 5i BC = 2. Funkcje trygonometryczne. Wyznacz długości boków trójkąta prostokątnego ABC oraz wartości funkcji trygonometrycznych kąta CABmającdane sin (CAB) = 4 5i BC =..Rozwiążtrójkątprostokatnymającdaneprzyprostokątne

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje elementarne

1 Funkcje elementarne 1 Funkcje elementarne Funkcje elementarne, które będziemy rozważać to: x a, a x, log a (x), sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arc ctg(x). 1.1 Funkcje x a. a > 0, oraz a N

Bardziej szczegółowo

ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN

ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN Gr. 1 Zad. 1. Dane są punkty: P = (-, 1), R = (5, -1), S = (, 3). a) Oblicz odległość między punktami R i S. b) Wyznacz współrzędne środka odcinka PR. c) Napisz równanie

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

2 5 C). Bok rombu ma długość: 8 6

2 5 C). Bok rombu ma długość: 8 6 Zadanie 1 W trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej 6 i przyprostokątnej sinus większego z kątów ostrych ma wartość: C) Zadanie Krótsza przekątna rombu o długości tworzy z bokiem rombu kąt 60 0. Bok

Bardziej szczegółowo

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Lp. Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe I Granica i pochodna funkcji. Uczeń: Uczeń: 1 Powtórzenie wiadomości o granicy ciągu,

Bardziej szczegółowo

7. Funkcje elementarne i ich własności.

7. Funkcje elementarne i ich własności. Misztal Aleksandra, Herman Monika 7. Funkcje elementarne i ich własności. Definicja funkcji elementarnej Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe potęgowe, np. wykładnicze logarytmiczne

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

W tym rozdziale przypomnimy wiadomości o funkcjach trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym.

W tym rozdziale przypomnimy wiadomości o funkcjach trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. ONOMETRYCZNE A B FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO W tym rozdziale przypomnimy wiadomości o funkcjach trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. 1. Sinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA 3, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0,3 C. 30. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

Dział I FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE

Dział I FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: III Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Miara kąta. Sprawnie operuje pojęciami:

Bardziej szczegółowo

=, =, =, = Funkcje trygonometryczne kąta skierowanego określa się wzorami:

=, =, =, = Funkcje trygonometryczne kąta skierowanego określa się wzorami: Matematyka to nauka o naszych wspólnych urojeniach. Ale urojenia jak to urojenia, jak się je nieco usystematyzuje to stają się rzeczywistością. To już druga część słynnego kompendium czyli funkcje trygonometryczne,

Bardziej szczegółowo

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany:

Bardziej szczegółowo

Funkcje trygonometryczne. sinus (sin) cosinus (cos) tangens (tg) kotangens (ctg) secans (sec) cosecans (cosec)

Funkcje trygonometryczne. sinus (sin) cosinus (cos) tangens (tg) kotangens (ctg) secans (sec) cosecans (cosec) Matematyka to nauka o naszych wspólnych urojeniach. Ale urojenia jak to urojenia, jak się je nieco usystematyzuje to stają się rzeczywistością. To już druga część słynnego kompendium czyli funkcje trygonometryczne,

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM Zespól Szkół Ogólnokształcących i Zawodowych w Ciechanowcu 23 czerwca 2017r. Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM Strona 1 z 9 1. Geometria płaska trójkąty zna

Bardziej szczegółowo

< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia:

< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia: Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 Zdania logiczne Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory Ocenić wartość logiczną zdania (odpowiedź uzasadnić): < Nieprawda, że

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie rozszerzonym. Klasa 2 1. TRYGONOMETRIA STOPIEŃ UMIEJĘTNOŚCI UCZNIA Dopuszczający Zna i

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres

Bardziej szczegółowo

PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM

PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM Zad.1. (0-1) Liczba 3 8 3 3 9 2 A. 3 3 Zad.2. (0-1) jest równa: Liczba log24 jest równa: B. 3 32 9 C. 3 4 D. 3 5 A. 2log2 + log20 B. log6 + 2log2

Bardziej szczegółowo

Równania i nierówności trygonometryczne

Równania i nierówności trygonometryczne Równania i nierówności trygonometryczne Piotr Rzonsowski Zadanie 1. Obliczyć równania: Zadania obowiązkowe a) cos x = 1, b) tg x =, c) cos( x + π ) =, d) sin x = 1. Wskazówka: (a) Oblicz cos y = 1 a następnie

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0, C. 0. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba

Bardziej szczegółowo

trygonometria Trygonometria to dział matematyki, który bada związki między bokami i kątami trójkątów.

trygonometria Trygonometria to dział matematyki, który bada związki między bokami i kątami trójkątów. Trygonometria to dział matematyki, który bada związki między bokami i kątami trójkątów. Funkcje trygonometryczne dla kątów ostrych to stosunki długości odpowiednich dwóch boków trójkąta prostokątnego.

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A01 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba log 1 3 3 27 jest równa:

Bardziej szczegółowo

Matematyka ETId I.Gorgol. Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje

Matematyka ETId I.Gorgol. Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje cyklometryczne. Definicja funkcji DEFINICJA Niech dane będa dwa zbiory D i P. Funkcja f : D P nazywamy przyporzadkowanie, które każdemu elementowi ze zbioru D przyporzadkowuje

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w

Bardziej szczegółowo

1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Poziom (K) lub (P)

1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Poziom (K) lub (P) Wymagania edukacyjne dla klasy IIIc technik informatyk 1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE rok szkolny 2014/2015 zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje jego ramię początkowe i końcowe wyznacza wartości

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Zadania powtórzeniowe do matury -poziom podstawowy i rozszerzony

Matematyka. Zadania powtórzeniowe do matury -poziom podstawowy i rozszerzony Matematyka Zadania powtórzeniowe do matury -poziom podstawowy i rozszerzony Spis treści 1 Ciągi liczbowe 4 1.1 Zadania o sposobach opisywania ciągów................... 4 1.2 Zadania o granicach ciągów

Bardziej szczegółowo

Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii. Trójkąty. Trójkąt dowolny. Wielokąty trygonometria 1.

Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii. Trójkąty. Trójkąt dowolny. Wielokąty trygonometria 1. Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii Wielokąt wypukły miara każdego kąt wewnętrznego jest mniejsza od 180 o. Liczba przekątnych: n*(n-2) Suma kątów wewnętrznych wielokąta

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania

Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania FUNKCJA KWADRATOWA Wykres funkcji f (x) = ax Przesunięcie wykresu funkcji f(x) = ax o wektor Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 51. ( pkt) Rozwiąż równanie 3 x = 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x+ 3y = 5 Rozwiąż układ równań. x y = 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0. ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (36 h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie

Bardziej szczegółowo

Dr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz

Dr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz Dr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz Dr inż. Janusz Dębiński 1 2.1. Przestrzeń i płaszczyzna Podstawowe definicje Punkt - najmniejszy bezwymiarowy

Bardziej szczegółowo

Ostatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r.

Ostatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r. Ostatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r. Spis treści 1. Funkcja liniowa 5 2. Funkcja kwadratowa 7 3. Trygonometria 11 4. Ciagi liczbowe 13 5. Wielomiany 15 6. Funkcja wykładnicza 17 7. Funkcja wymierna

Bardziej szczegółowo

Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień.

Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień. Zadanie Należy zacząć od sprawdzenia, co studenci pamiętają ze szkoły średniej na temat funkcji jednej zmiennej. Na początek można narysować kilka krzywych na tle układu współrzędnych (funkcja gładka,

Bardziej szczegółowo

III. Funkcje rzeczywiste

III. Funkcje rzeczywiste . Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja

Bardziej szczegółowo

VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH

VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH VIII. ZIÓR PRZYKŁDOWYCH ZDŃ MTURLNYCH ZDNI ZMKNIĘTE Zadanie. ( pkt) 0 90 Liczba 9 jest równa 0.. 00 C. 0 9 D. 700 7 Zadanie. 8 ( pkt) Liczba 9 jest równa.. 9 C. D. 5 Zadanie. ( pkt) Liczba log jest równa.

Bardziej szczegółowo

Wzory funkcji cyklometrycznych (kołowych)

Wzory funkcji cyklometrycznych (kołowych) Wzory funkcji cyklometrycznych (kołowych) Mateusz Kowalski www.kowalskimateusz.pl 19.07.01 Streszczenie Wzory funkcji cyklometrycznych wraz z wyprowadzeniami. 1 A co to za funkcje? Funkcje cyklometryczne

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zad. 1 (2 pkt) Rozwiąż równanie Zad.2 (2 pkt) 2 3x 1 = 1 2x 2 Rozwiąż układ równań x +3y =5 2x y = 3 Zad.3 (2 pkt) 2 Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0 Zad.4 (2 pkt) 3 2

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

na postać kanoniczną, podaj współrzędne wierzchołka paraboli i określ czy jej ramiona są skierowane w górę czy w dół.

na postać kanoniczną, podaj współrzędne wierzchołka paraboli i określ czy jej ramiona są skierowane w górę czy w dół. Zadania na poprawkę dla sa f x x 1x na postać kanoniczną, podaj współrzędne wierzchołka paraboli i określ czy jej ramiona są skierowane w górę czy w dół. 1. Zamień postać ogólną funkcji kwadratowej 5.

Bardziej szczegółowo

1. Równania i nierówności liniowe

1. Równania i nierówności liniowe Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2015

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2015 1 MATEMATYKA - poziom podstawowy klasa 2 CZERWIEC 2015 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 17 stron. 2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ MATEMATYKA - poziom podstawowy klasa 1

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ MATEMATYKA - poziom podstawowy klasa 1 1 MATEMATYKA - poziom podstawowy klasa 1 MAJ 2016 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 17 stron. 2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to przeznaczonym.

Bardziej szczegółowo

Krzywe stożkowe Lekcja II: Okrąg i jego opis w różnych układach współrzędnych

Krzywe stożkowe Lekcja II: Okrąg i jego opis w różnych układach współrzędnych Krzywe stożkowe Lekcja II: Okrąg i jego opis w różnych układach współrzędnych Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej Okrąg Okrąg jest szczególną krzywą stożkową. Wyznacza nam koło, które jest podstawą

Bardziej szczegółowo

POWTÓRZENIE WIADOMOŚCI Z TRYGONOMETRII

POWTÓRZENIE WIADOMOŚCI Z TRYGONOMETRII Zad.1 Rozwiąż trójkąt prostokątny: a) a 4, 0 b) b 8, c 1 POWTÓRZENIE WIADOMOŚCI Z TRYGONOMETRII Zad. Oblicz wartość wyrażenia cos 0 cos 45 cos0 cos 45. Zad.4 Wyznacz długości przyprostokątnych trójkąta

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia 1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej

Bardziej szczegółowo

Przygotowanie do poprawki klasa 1li

Przygotowanie do poprawki klasa 1li Zadanie Rozwiąż równanie x 6 5 x 4 Przygotowanie do poprawki klasa li Zadanie Rozwiąż nierówność x 4 x 5 Zadanie Oblicz: a) 9 b) 6 5 c) 64 4 d) 6 0 e) 8 f) 7 5 6 Zadanie 4 Zapisz podane liczby bez znaku

Bardziej szczegółowo

SPRAWDZIAN Z 1. SEMESTRU KLASY 2 ROZSZ

SPRAWDZIAN Z 1. SEMESTRU KLASY 2 ROZSZ www.zadania.info NJWIEKSZY INTERNETOWY ZIÓR ZŃ Z MTEMTYKI SPRWZIN Z 1. SEMESTRU KLSY 2 ROZSZ ZNIE 1 (5 PKT) Funkcja f określona jest wzorem f (x) = (3m 5)x 2 (2m 1)x + 0, 25(3m 5). Wyznacz te wartości

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

2 cos α 4. 2 h) g) tgx. i) ctgx

2 cos α 4. 2 h) g) tgx. i) ctgx ZESTAW I - FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE - powtórzenie. Znajdź wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych, jeśli: sin α b). Oblicz wartość wyrażenia: tg ctg 77 = b) sin 0 (cos ) = c) sin = d) [( sin 0

Bardziej szczegółowo

Uczeń: szkicuje wykres funkcji f(x) = ax 2 podaje własności funkcji f(x) = ax 2 stosuje własności funkcji f(x) = ax 2 do rozwiązywania zadań Uczeń:

Uczeń: szkicuje wykres funkcji f(x) = ax 2 podaje własności funkcji f(x) = ax 2 stosuje własności funkcji f(x) = ax 2 do rozwiązywania zadań Uczeń: MATeMAtyka lan wynikowy: Zakres podstawowy i rozszerzony Oznaczenia: wymagania konieczne; wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające - dopuszczający;

Bardziej szczegółowo

PLAN RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE II (zakres rozszerzony)

PLAN RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE II (zakres rozszerzony) DZIAŁ PROGRAMOWY JEDNOSTKA LEKCYJNA 1 Program nauczania: Matematyka z plusem Liczba godzin nauki w tygodniu: 5 Planowana liczba godzin w ciągu roku: 160 PLAN RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W

Bardziej szczegółowo

Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność

Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność Spis treści WSTĘP 5 ROZDZIAŁ 1. Matematyka Europejczyka. Program nauczania matematyki w szkołach ponadgimnazjalnych

Bardziej szczegółowo

1 Zbiór liczb rzeczywistych

1 Zbiór liczb rzeczywistych Zbiór liczb rzeczywistych Pojęcieliczbyzmieniałosięwczasie.Najpierwbyłyliczbynaturalne:,,,...,potem ułamki, czyli liczby wymierne. W czasach Pitagorasa pojawiły się liczby niewymierne takiejaknp.,aznaczniepóźniejliczbyujemneiliczba0(dopierowviiiwieku).

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzamin poprawkowy w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Podręcznik klasa 1 ZAKRES PODSTAWOWY i ROZSZERZONY

Zakres na egzamin poprawkowy w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Podręcznik klasa 1 ZAKRES PODSTAWOWY i ROZSZERZONY MATEMATYKA Klasa TMB Zakres na egzamin poprawkowy w r. szk. 013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Podręcznik klasa 1 ZAKRES PODSTAWOWY i ROZSZERZONY (zakres rozszerzony - czcionką pogrubioną) Hasła programowe Wymagania

Bardziej szczegółowo

k R { 5 }.Warunek zadania zapiszemy korzystając z wzorów Viette a:

k R { 5 }.Warunek zadania zapiszemy korzystając z wzorów Viette a: Zadanie 0 Zbiór A, to półpłaszczyzna ograniczona prostą y -x+, zbiór B, to koło ośrodku S( ; 0) i promieniu r. Różnica B-A jest odcinkiem koła (bez cięciwy). ( ): Zbiory A m, to kwadraty o wierzchołkach

Bardziej szczegółowo

IV etap edukacyjny. Cele kształcenia wymagania ogólne

IV etap edukacyjny. Cele kształcenia wymagania ogólne IV etap edukacyjny Cele kształcenia wymagania ogólne I. Wykorzystywanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje tekst matematyczny. Po rozwiązaniu zadania interpretuje otrzymany wynik. Uczeń używa prostych,

Bardziej szczegółowo

Poziom wymagań. Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielomianu

Poziom wymagań. Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielomianu Plan wynikowy klasa 2g - Jolanta Pająk Matematyka 2. dla liceum ogólnokształcącego, liceum profilowanego i technikum. ształcenie ogólne w zakresie rozszerzonym rok szkolny 2015/2016 Wymagania edukacyjne

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych Centralna Komisja Egzaminacyjna Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki listopad 009 Klucz odpowiedzi do

Bardziej szczegółowo

Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n

Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n V. Napisz 4 początkowe wyrazy ciągu: Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie a) a n = n b) a n = n + 3 n! c) a n = n! n(n + ) V. Oblicz (lub zapisz) c, c 3, c k, c n k dla: a) c n = 3 n b) c n = 3n

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (30h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania

Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania FUNKCJA KWADRATOWA Wykres funkcji f () = a Przesunięcie wykresu funkcji f() = a o wektor Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURA

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURA NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURA DLA KLAS TRZECICH POZIOM PODSTAWOWY GRUPA I 1 STYCZNIA 011 CZAS PRACY: 170 MINUT Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT.) Liczba

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności

Układy równań i nierówności Układy równań i nierówności Zad : Dla jakich wartości parametru m rozwiązaniem układu równań: + y m = 0 + y = 0 y jest para liczb x, y spełniająca warunek: =? x Odp: m = lub m = 4 Zad : Dla jakich wartości

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdający

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji jednej zmiennej

Pochodna funkcji jednej zmiennej Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )

Bardziej szczegółowo

Funkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje

Funkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje Funkcje Andrzej Musielak 1 Funkcje Funkcja liniowa Funkcja liniowa jest postaci f(x) = a x + b, gdzie a, b R Wartość a to tangens nachylenia wykresu do osi Ox, natomiast b to wartość funkcji w punkcie

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ TREŚCI KSZTAŁCENIA WYMAGANIA PODSTAWOWE WYMAGANIA PONADPODSTAWOWE Liczby wymierne i

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 51. ( pkt) Rozwiąż równanie 3 x = 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x+ 3y = 5 Rozwiąż układ równań. x y = 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0. ZNI OTWRTE KRÓTKIEJ OPOWIEZI Zadanie 54. ( pkt)

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 poziom podstawowy

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 poziom podstawowy LUELSK PRÓ PRZE MTURĄ 07 poziom podstawowy Schemat oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania (podajemy kartotekę zadań, gdyż łatwiej będzie

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny.

Przykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny. Przykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny Zestaw I 1) Przedstaw i omów postać kanoniczną i iloczynową funkcjikwadratowej Daną funkcję przedstaw w postaci kanonicznej: y = ( )(

Bardziej szczegółowo

Planimetria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie

Planimetria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie Planimetria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie http://www.zadania.info/) 1. W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona na przeciwprostokątną ma długość 10 cm, a promień okręgu

Bardziej szczegółowo

Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Wstęp

Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Wstęp Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Wstęp Katarzyna Kluzek i Adrian Silesian Zakład Genetyki Molekularnej Człowieka tel. 61 829 58 33 adrian.silesian@amu.edu.pl katarzyna.kluzek@amu.edu.pl Pokój 1.117

Bardziej szczegółowo

Tematy próbnego pisemnego egzaminu dojrzałości z matematyki

Tematy próbnego pisemnego egzaminu dojrzałości z matematyki Tematy próbnego pisemnego egzaminu dojrzałości z matematyki Zadanie Rozwiąż nierówność: [ +log 0, ( x- )] + [ +log 0, ( x- )] + [ +log 0, ( x- )] ++ + [ + log 0, ( x- )] Zadanie Odcinek AB, gdzie A = (,

Bardziej szczegółowo

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018. Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 017/018 19 grudnia 017 1 1 Klasy pierwsze - poziom podstawowy 1. Dane są zbiory

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU Z MATEMATYKI, ZGODNY Z PODSTAWĄ PROGRAMOWĄ OGŁOSZONĄ PRZEZ MINISTRA EDUKACJI NARODOWEJ DNIA 23 VIII 2007 R.

ROZKŁAD MATERIAŁU Z MATEMATYKI, ZGODNY Z PODSTAWĄ PROGRAMOWĄ OGŁOSZONĄ PRZEZ MINISTRA EDUKACJI NARODOWEJ DNIA 23 VIII 2007 R. ROZKŁAD MATERIAŁU Z MATEMATYKI, ZGODNY Z PODSTAWĄ PROGRAMOWĄ OGŁOSZONĄ PRZEZ MINISTRA EDUKACJI NARODOWEJ DNIA 3 VIII 007 R. Przedstawione poniżej treści obejmujące zakres rozszerzony wyróżnione są pogrubioną

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Metody Fizyki I Dr hab. inż. Mariusz Przybycień

Matematyczne Metody Fizyki I Dr hab. inż. Mariusz Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Dr hab. inż. Mariusz Przybycień Matematyka dla przyrodników i inżynierów, D.A. McQuarrie, PWN, Warszawa 005. Wybrane rozdziały matematycznych metod fizyki, A. Lenda, B. Spisak,

Bardziej szczegółowo

STEREOMETRIA. Poziom podstawowy

STEREOMETRIA. Poziom podstawowy STEREOMETRIA Poziom podstawowy Zadanie ( 8 pkt ) W stożku tworząca o długości jest nachylona do powierzchni podstawy pod kątem, którego tangens jest równy Oblicz stosunek pola powierzchni bocznej do pola

Bardziej szczegółowo

KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI

KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 1999 r 1. Stop składa się z 40% srebra próby 0,6, 30% srebra próby 0,7 oraz 1 kg srebra próby 0,8. Jaka jest waga i jaka

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego.

Bardziej szczegółowo

Zadania powtórzeniowe przygotowujące do matury. Matematyka

Zadania powtórzeniowe przygotowujące do matury. Matematyka Zadania powtórzeniowe przygotowujące do matury Matematyka Spis treści 1 Ciągi liczbowe 3 1.1 Zadania o sposobach opisywania ciągów................... 3 1.2 Zadania o granicach ciągów liczbowych....................

Bardziej szczegółowo

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2). 1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego

Bardziej szczegółowo